CHAPITRE B

Phénomènes de tension.

15. Cas d'un circuit homogène et d'une seule force électromotrice. — Dans les considérations qui précèdent, nous nous sommes bornés à envisager des corps prismatiques, et nous avons admis que leurs axes, sur lesquels nous avons pris les abscisses, étaient des lignes droites. Mais tous les principes établis subsistent encore, quand on suppose que le conducteur est inflécbi d'une manière quelconque, et qu'on compte les abscisses sur son axe devenu curviligne -, cette observation était nécessaire pour justilier dans la plupart des cas l'application de nos formules, car la nature des circuits galvaniques ne permet que rarement de les étendre en ligne droite ^ ce point établi, nous allons immédiatement nous occuper du cas le plus simple, de celui où le corps prismatique, formé dans toute sa longueur de la même substance, est replié sur lui-même, en supposant que le siège de la force électromotrice soit placé au point où se touchent les deux extrémités du conducteur. Bien que ce cas imaginaire ne corresponde à aucun phénomène naturel, il nous sera néanmoins d'un grand secours pour l'étude des autres cas qui se présentent réellement.

La tension correspondant à un point quelconque d'un corps prismatique, tel que nous venons de le définir, peut être déduite de réquation dilîérentielle que nous avons trouvée dans le paragraphe 11. Pour cela nous n'avons qu'à intégrer cette équation et à déterminer d'après les autres conditions du problème les constantes ou les fonctions arbitraires qui entrent dans l'intégrale ; mais dans la plupart des cas la question se simplifie beaucoup, parce qu'un ou même deux termes de l'équation disparaissent, en raison de la nature particulière du

problème ; ainsi presque toutes les actions galvaniques sont de telle nature que les phénomènes sont permanents et invariables, dès le premier instant où ils commencent à se manifester. Dans ce cas la tension est indépendante du temps, et l'équation (a) devient

, dhi bc 0= k -j— u ;

en outre l'atmosphère environnante n'a généralement pas d'influence (comme nous l'avons déjà fait remarquer paragraphe 9) sur l'état électrique du circuit galvanique. Alors 6=0 et l'équation précédente se réduit à

dH ' = 1^2'

L'intégrale de cette dernière équation est

u=z fx + c; {c)

en représentant par f et c des constantes qui restent à déterminer. L'équation (c) exprime donc la loi de la distribution des tensions dans un conducteur prismatique homogène, quand l'action de l'air est insensible, et que l'état électrique ne varie plus avec le temps. C'est sur ce cas que nous nous arrêterons le plus longtemps, parce que les conditions qui viennent d'être énoncées se trouvent le plus souvent réalisées dans le circuit galvanique.

Nous pouvons déterminer l'une des constantes au moyen de la force électromotrice, développée au point de jonction des extrémités du conducteur, cette quantité devant être regardée comme invariable, et donnée dans chaque cas particuher; supposons, en effet, l'origine des coordonnées placée en un point quelconque de l'axe du corps, et désignons par :i\ l'abscisse correspondant à Tune de ses extrémités, alors, d'après l'équation {c}, la tension appartenant à cette extrémité sera

nous obtenons de même pour la tension de l'autre extrémité, quand nous désignons par a?^ son abscisse,

maintenant appelons a la force électromotrice donnée, ou la difîérence des tensions appartenant aux deux extrémités, nous aurons

Mais x^ — x^ représente évidemment la longueur totale, positive ou négative, du conducteur prismatique, et par conséquent, si nous désignons cette longueur par /, nous obtiendrons l'équation

au moyen de laquelle la constante / peut être déterminée. Maintenant si nous introduisons la valeur ainsi obtenue dans l'équation (c), celle-ci devient

a uz=±: — x-\-c;

de sorte qu'il ne reste plus à déterminer que la constante c. Nous pouvons supprimer le double signe =t en attribuant à la force électromotrice a une valeur positive ou négative, suivant que l'extrémité du conducteur qui correspond à la plus grande abscisse, possède ou non la plus grande des deux tensions. Dans cette hypothèse on a toujours

a uz=jx-^c', {d)

la constante c reste en général tout à fait indéterminée ; d'où Ton voit que l'on peut à volonté faire varier, par l'influence de causes extérieures, la distribution de l'électricité, et que la variation est partout la même dans toute l'étendue du conducteur.

Parmi les nombreuses considérations qui se rapportent à

cette constante, il en est une qui est d'une importance particulière pour le circuit galvanique. Je veux parler du cas où un point quelconque du circuit se trouve mis en rapport avec un conducteur qui absorbe complètement l'électricité;, de telle manière que la tension puisse être considérée comme anéantie au point touché ; si nous appelons \ l'abscisse appartenant à ce point, nous aurons, conformément à Téquation {d) :

Si nous tirons de là la valeur de la constante c et que nous la reportions dans cette même équation (d) , nous aurons la nouvelle équation

au moyen de laquelle on peut trouver la tension correspondant à un point quelconque d'un circuit galvanique dont la longueur est / et la force électromotrice «, quand le point dont i'abscisse est x est touché par un conducteur qui enlève toute rélectricité.

Si, au lieu d'admettre une dérivation qui enlève constamment l'électricité, nous supposons qu'une cause permanente en apporte sans cesse du dehors au circuit, de telle manière que la tension correspondant a l'abscisse x conserve une valeur invariable, que nous désignerons par a, alors nous aurons pour déterminer la constante c l'équation

et la tension d'un point quelconque du circuit sera donnée par l'équation

• Nous venons de voir comment îa constante c peut être déler-

minée, quand la tension d'un point quelconque du circuit se trouve fixée par les circonstances extérieures ; maintenant se présente la question de savoir quelle valeur on devra donner à la constante, quand le circuit est complètement abandonné à lui-même, et que par conséquent cette valeur ne peut être déduite des circonstances extérieures ; pour répondre à cette question, il suffira de considérer que les deux électricités se développent toujours en quantités égales dans le même temps, quand le circuit est primitivement à l'état naturel. On peut, d'après cette observation, affirmer qu'un circuit simple, tel que nous le considérons, doit prendre des deux côtés du point de contact des tensions égales et de signes contraires, quand il est bien isolé et qu'au moment de sa formation il est complètement à l'état neutre ; il en résulte que le point milieu se trouve à l'état naturel. D'après le même principe on voit encore que si, au moment de la formation du circuit, quelque circonstance vient déranger la distribution normale de l'électricité, l'état anormal qui s'établit persiste, jusqu'à ce qu'une cause étrangère vienne le modifier de nouveau.

Un circuit galvanique simple, tel que nous l'avons considéré jusqu'à présent, possède donc essentiellement les propriétés suivantes, qui résultent directement de l'équation {d).

a. La tension d'un tel circuit varie progressivement dans toute rétendue du conducteur, et pour des longueurs égales, la variation est toujours la même ; mais au point où les deux extrémités se touchent, il se produit un saut brusque, et la différence de tension, d'une extrémité à l'autre, est égale à toute la/orce électromotrice.

b. Quand la tension d'un point quelconque du circuit se trouve modifiée par une cause quelconque, tous les autres points subissent en même temps la même variation de tension.