ABC D' D' D

qui sont précisément celles des cosinus des angles que fait avec les mômes axes la normale au plan directeur que l'on obtiendrait en considérant l'action des mêmes circuits sur un élément situé en A.

Or, cet élément serait porté par l'action du système dans une direction comprise dans le plan directeur ; d'où l'on lire cette conséquence remarquable, que lorsqu'un système quelconque de circuits fermés agit alternativement sur un solénoîde indéfini et sur un élément situé à rexlrémité de ce solénoîde, les directions suivant lesquelles sont portés respectivement l'élément et l'extrémité du solénoîde, sont perpendiculaires entre elles. Si on suppose l'élément situé dans le plan directeur lui-même, l'action que le système exerce sur lui est à son maximum, et a pour valeur

Celle que le même système exerce sur le solénoîde vient d'être trouvée égale à

ces deux forces sont donc toujours entre elles dans le rapport constant pour UQ même élément et un môme solénoîde

c'est-à-dire, comme la longueur de l'élémentest h l'aire de la courbe fermée que décrit un des courants du solénuide divisée par la dis* tance de deux courants consécutifs; ce rapport est indépendant de la forme et de la grandeur des courants du système qui agit sur l'élément et sur le solénoide.

Lorsque le système de circuits fermés que nous venons de considérer est lui-même un solénoîde iodéfini, la normale au plan directeur passant par le point A est, comme nous venons de le voir, la droite qui joint ce point A. à l'extrémité du solénoide; il suit de la que l'action mutuelle de deux soléuoïdes indéflnis a lieu suivant la droite qui joiul l'extrémité de l'un à l'extrémité de l'autre; pour en trouver la valeur, nous désignerons par V l'aire descircuits formés par les courants de ce nouveau solénoîde, ^ la distance entre les plans de deux de ces circuits qui se suivent immédiatement, / la distance des extrémités des deux solénoides indéfinis, et nous aurons

82 THÉORIE MATHéMATIQUK

D = — -nî , ce qui donne pour leur action mutuelle

XiV'D XX' «V

in^

qui est en raison inverse du carré de la distance /. Quand Tun des so* lénoïdes est défini, on peut le remplacer par deux solénoïdes indéfinis, et l'action se trouve composée de deux forces, Tune attractive et l'autre répulsive, dirigées suivant les droites qui joignent les deux extrémités du premier à l'extrémité du second. Ëofin, dans le cas où deux solénoïdes définis L'L", L,L, (fig. 33) agissent l'un sur l'autre, il y a quatre forces dirigées respectivement suivant les droites L'L^, L'L„ L"Lj, L"L, qui joignent leurs extrémités deux à deux; et si, par exemple, il y a répulsion suivant L'L^ il y aura attraction suivant L'L, et L"Lj, et répulsion suivant L"L,.

Pour justifier la manière dont j'ai conçu les phénomènes que présentent les aimants, en les considérant comme des assemblages de courants électriques formant de très petits circuits autour de leurs particules, il fallait démontrer, en partant de la formule par laquelle j'ai représenté l'action mutuelle de deux éléments de courants électriques, qu'il résulte de certains assemblages de ces petits circuits des forces qui ne dépendent que de la situation de deux points déterminés de ce système, et qui jouissent, relativement à ces deux points, de toutes les propriétés des forces qu'on attribue à ce qu'on appelle des molécules de fluide austral et de fluide boréal, lorsqu'on explique par ces deux fluides, les phénomènes que présentent les aimants, soit dans leur action mutuelle, soit dans celle qu'ils exercent sur un fil conducteur : or on sait que les physiciens qui préfèrent les explications où l'on suppose l'existence de ces molécules à celles que j'ai déduites des propriétés des courants électriques, admettent qu'à chaque molécule de fluide austral répond toujours, dans chaque particule du corps aimanté, une molécule de fluide boréal de même intensité, et qu'en nommant élément magnétique l'ensemble de ces deux molécules qu'on peut considérer comme les deux pôles de cet élément, il faut pour expliquer les phénomènes que présentent les deux genres d'action dont il est ici question : 1* que l'action mutuelle de deux éléments magnétiques se compose de quatre forces, deux attractives et deux répulsives, dirigées suivant les droites qui joignent les deux

DES PHÉNOMÈNES ÉLFXTHO-DYNA MIIJUES 83

molécules d'ua de ces éléments aux deux molécules de l'autre, et dont l'iolensiié soit on raison inverse des carrés de ces droites ; 2* que quand un de ces éléments agit sur une portion infiniment petite de SI conducteur, il en résulte deux forces perpendiculaires aux plans passant par les deux molécules de l'élément et par la direction de la petite portion du fli, et qui soient proportionnelles aux sinus deaangles que cette direction forme avec les droites qui en mesurent les distances aux deux molécules, et en raison inverse des carrés de ces distances. Tant qu'on n'admet pas la manière dont je conçois l'action des aimants, et tant qu'on attribue ces deux espèces de forces à des molécules d'un Huide austral et d'un fluide boréal, il est impossible de les ramener à un seul principe ; mais dès qu'on adopte ma manière de voir sur la constitution des aimants, on voit, par les calculs précédents, que ces deux sortes d'actions et les valeurs des forces qui en résultent se déduisent immédiatement de ma formule, et qu'il suffit pour trouver ces valeurs de substituer à l'assemblage de deux molécules, l'une de fluide austral, l'autre de fluide boréal, un solénolde dont les extrémités, qui sont les deux points déterminés dont dépendent les forces dont il s'agît soient situées précisément aux mêmes points où l'on supposerait placées les molécules des deux fluides.

Dés lors deux systèmes de très petits solénoïdes agiront l'un sur l'autre, d'après ma formule, comme deux aimants composés d'aulant d'éléments magnétiques que l'on supposerait de solénoïdes dans ces deux systèmes; un de ces mêmes systèmes agira aussi sur ua élément de courant électrique, comme le fait un aimant; et par conséquent tous les calculs, toutes les explications, fondés tant sur la considération des forces attractives et répulsives de ces molécules en raison inverse des carrés des distances, que sur celle de forces révolutives entre une de ces molécules et un élément de courant électrique, dont je viens de rappeler la loi telle que l'admettent les physidens qui n'adoptent pas ma théorie, sont nécessairement les mêmes, soit qu'on explique comme moi par des courants électriques les phénomènes que produisent les aimants dans ces deux cas, ou qu'on préfère l'hypothèse des deux fluides. Ce n'est donc point dans ces calculs ou dans ces explications qu'on peut chercher ni les objections contre ma théorie, ni les preuves en sa faveur. Les preuves sur les- ^^ quelles je l'appuie, résultent surtout de ce qu'elle ramène à un prin- ^m cipe unique trois séries d'actions que l'ensemble des phénomènes

prouve être dues à une cause commune, et qui ne peuvent y être ramenées autrement. En Suède, en Allemagne, en Angleterre, on a cru pouvoir les expliquer par le seul fait de Faction mutuelle de deux aimants, tel que Coulomb l'avait déterminé ; les expériences qui nous offrent des mouvements de rotation continue sont en contradiction manifeste avec cette idée. En France, ceux qui n'ont pas adopté ma théorie, sont obligés de regarder les trois genres d'action que j'ai ramenés à une loi commune, comme trois sortes de phénomènes absolument indépendants les uns des autres. Il est à remarquer, cependant, qu'on pourrait déduire de la loi proposée par M. Biot pour l'action mutuelle d'un élément de fil conducteur et de ce qu'il appelle une molécule magnétique, celle qu'a établie Coulomb relativement à l'action de deux aimants, si l'on admettait qu'un de ces aimants est composé de petits courants électriques, tels que ceux que j'y conçois; mais alors comment pourrait-on ne pas admettre que l'autre est composé de même, et adopter, par conséquent, toute ma manière de voir?

D'ailleurs, quoique M. Biot ait nommé force élémentaire (I) celle dont il a déterminé la valeur et la direction dans le cas où un élément de fil conducteur agit sur chacune des particules d'un aimant, il est clair qu'on ne peut regarder comme vraiment élémentaire, ni une force qui se manifeste dans l'action de deux éléments qui ne sont pas de même nature, ni une force qui n'agit pas suivant la droite qui joint les deux points entre lesquels elle s'exerce. Cependant, dans le Mémoire que cet habile physicien a communiqué à l'Académie les 30 octobre et 18 décembre 1820 (2), il regarde comme élémentaire la

(i) Précis élémentaire de physique, t. II, p. i22 de la seconde édition.

(2) Ce dernier Mémoire n'ayant pas été publié à part, je ne connais la formule qui y est donnée pour exprimer cette force que par le passage suivant de la seconde édition du Précis élémentaire de physique , t. II, p. 122 et 123.

« En divisant par la pensée toute la longueur du fil conjonctif Z'C (fig. 34) « en une infinité de tranches d'une très petite hauteur, on voit que chaque « tranche doit agir sur Taiguille avec une énergie différente, selon sa distance M et sa direction. Or, ces forces élémentaires sont précisément le résultat simple M qu'il importe surtout de connaître ; car la force totale exercée par le fil « entier n'est que la somme de leurs actions. Mais le calcul su£Bt pour remonc ter de cette résultante à l'action simple. C'est ce qu'a fait M. Laplace. 11 a c déduit de nos observations, que la loi individuelle des forces élémentaires

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DTN A MIQU ES 85

force qu'exerce un élément de Ul cooducteur sur un molécule de fluide austral ou de fluide boréal, c'est-à-dire sur le pôle d'un élé-

■• exercises par chaque tranche du (il conjonctiT, était la raison inverse du carré " âe la dislance, c'est-à-dire précisément la même que l'on sait exister dans les

■ actions mafrnétiqucs ordinaires. Cette analyse montrait que, pour compléter

■ la connaissance de la force, il restait encore à déterminer si Tnction de chaque 1 tranche du fil était la même dans toute» les directions à distance égale, ou si

■ elle était plus énergique dans certains sens que dans d'autres. Pour di^cider •• cette question, j'ai fpndu dans un plan vertical un long fil île cuivre ZHC - ffip. 34], en le pliant en U, de manière que les deux branches ZM, MC fissent 1 avec l'horizontale H)f des angles égaux. Devant ce fil, j'en ai tendu un autre

■ ZH'C de même matière, de même diamètre, pris dans le même tirage; mats <• j'ai disposé celui-ci verticalement, de manière qu'il ne t&l séparé du premier

■ en HH' que par une bande de papier très mince. J'ai ensuite suspendu notre • aiguille aimantée AB devant ce système, à la hauteur des points H, H', et j'ai

■ observé ces oscillations pour diver.'^es distances, en faisant successivement H passer le courant vollaïque par le fil plii^ et par le fil droit. J'ai trouvé ainsi € que, pour l'un comme pour l'autre, l'action était réciproque à la distance aux « points H, M': mais l'intensité absolue était plus faible pour le (il oblique que « pour le fil droit, dans la proportion de l'angle ZUH à l'unité. Ce résultat aoa- " lysé par le calcul, m'a paru indiquer que l'action de chaque élément f du fil I oblique sur chaque molécule m de magnétisme austral ou boréal est reci-

■ proqiie an carré de su dislance fim k cette molécule, et proportionnelle au •> sinus de l'angle m|iH formé par la distance ^m avec la longueur du fil, ■

Il est assez remirquable que cette loi qui est une conséquence rigoureuse de la formule pur laquelle j'ai exprimé l'action mutuelle de deux éléments de fils conducteurs, quand on remplace, conformément à ma théorie, chaque élément magnétique par un très petit soli-noïde électro-dynamique, a d'abord été trouvée par une erreur de calcul; en effet, pour qu'elle soit vraie, il faut que Vinfenaiti abtolve de la force soit proportionnelle, non pas à l'angle ZHH, mais k la tangente de la moitié de cet angle, ainsi que l'a démontré U. Savary, dans le Mémoire qu'il u lu à l'Académie, le 3 Tévrier 1823. qui a été publié dans le temps et se trouve ainsi dans le Jo'imal de pliytiipte, t. XCVI, p, 1 -<5 et suiv. Il paraît, ■u reste, que H. Biut a reconuu cette erreur, car dans la troisième édition du même ouvrage qui vient de paraître, il donne, à la vérité, sans citer le Mémoire oIi elle avait été corrigée, de nouvelles expériences 01*1 l'intensité de la force totale est, ronformément au calcul de M. Savary, proportionnelle à la tangente de la moitié de l'angle ZUil, et il en conclut de nouveau, avec plus de raison qu'il ne l'avait fait de ses premières expériences, que la force qu'il appelle élémentaire est, k distances égales, proportionnelle au sinus de l'angle compris entre la direction de l'élément de fil conducteur et celle de la droite qui en joint le milieu & la molécule magnétique, (Prêcit élémentaire de phj/tvjue txpérimtniale, troisième édition, t. II. p. 740-7iS.)

ment magnétique, et il y considère comme un phénomène composé l'action mutuelle de deux éléments de conducteurs voltaïques. Or, on conçoit aisément que s'il existe en effet des molécules magnétiques, leur action mutuelle peut être considérée comme la force élémentaire : c'était le point de vue des physiciens de la Suède et de l'Allemagne, qui n'a pu supporter l'épreuve de l'expérience, puisque cette force étant proportionnelle à une fonction de la distance, ne peut jamais donner lieu au mouvement toujours accéléré dans le même sens, du moins tant que, comme ils le supposaient, les molécules magnétiques sont considérées comme fixées à des points déterminés des fils conducteurs qu'ils regardaient comme des assemblages de petits aimants, et alors les deux autres genres d'action étaient des pbé nomènes composés, puisque l'élément voltaïque l'était. On conçoit également que ce soit l'action mutuelle de deux éléments de fils conducteurs qui offre la force élémentaire : alors l'action mutuelle de deux éléments magnétiques, et celle qu'un de ces éléments exerce sur une portion infiniment petite de conducteur voltmque, sont des actions composées, puisque l'élément magnétique doit, dans ce cas, être considéré comme composé. Mais comment concevoir que la force élémentaire soit celle qui se manifeste entre un élément magnétique et une portion infiniment petite de conducteur voltsûque, c'està-dire entre deux corps à la vérité d'un très petit volume, mais dont l'un est nécessairement composé, quelle que soit celle des deux manières d'interpréter les phénomènes dont nous venons de parler ?

La circonstance que présente la force exercée par un élément de fil conducteur sur un pôle d'un élément magnétique, d'agir dans une direction perpendiculaire à la droite qui joint les deux points entre lesquels se développe cette force, tandis que l'action mutuelle de deux éléments de conducteur a lieu suivant la ligne qui les joint, n'est pas une preuve moins démonstrative de ce que la première de ces deux forces est un phénomène composé. Toutes les fois que deux points matériels agissent l'un sur l'autre, soit en vertu d'une force qui leur soit inhérente, ou d'une force qui y naisse par une cause quelconque, telle qu'un phénomène chimique, une décomposition ou une recomposition du fluide neutre résultant de la réunion des deux électricités, on ne peut pas concevoir cette force autrement que comme une tendance de ces deux points à se rapprocher ou à s'éloigner l'un de l'autre suivant la droite qui les joint, avec des vitesses

DES PnÊNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES

réciproquement proportioanelles k leurs masses, et cela lors même que cette force ne se transmettrait d'une des particules matérielles k l'autre que par un fluide interposé, comme la masse du boulet n'est portée en avant avec une certaine vitesse, par le ressort de l'air dégagé de la poudre, qu'autaut que la masse du canon est portée en arrière suivant la même droite, passant par les centres d'inertie du boulet et du canon, avec une vitesse qui est à celle du boulet, comme la masse de celui-ci est à la masse du canon.

C'est là un résultat nécessaire de l'inertie de la matière, que Newton signalait comme un des principaux fondements de la théorie physique de l'univers, dans le dernier des trois axiomes qu'il a placés au commencement des PhiiosophÙE naturalis principia mal/iematica, en disant que l'action est toujours égale et opposée à la réaction; car deux forces qui donnent à deux masses des vitesses inverses de ces masses, sont des forces qui les feraient produire des pressions égales sur des obstacles qui s'opposeraient invinciblement à ce qu'elles se missent en mouvement, c'est-à-dire des forces égales. Pour que ce principe soit applicable dans le cas de l'action mutuelle de deux particules matérielles traversées par le courant électrique, lorsqu'on suppose cette action transmise par le fluide éminemment élastique qxii remplit l'espace, et dont les vibrations constituent la lumière (1), il faut admettre que ce lluide n'a aucune inertie appréciable, comme l'air à l'égard du boulet et du canon ; mais c'est ce dont on ne peut douter, puisqu'il n'oppose aucune résistance au mouvement des planètes. Le phénomène de la rotation du moulinet électrique avait porté plusieurs physiciens à admettre une inertie appréciable dans les deux fluides électriques, et par conséquent dans celui qui résulte de leur combinaison ; mais cette supposition est en opposition avec tout ce que nous savons d'ailleurs de ces fluides, et avec le fait que les mouvements planétaires n'éprouvent aucune résistance de la part de l'éther; il n'y a plus d'ailleurs aucun motif de l'admettre, depuis que j'ai montré que la rotation du moulinet électrique est due à une répulsion électro-dynamique produite entre la pointe du moulinet et

(1) Ce fluide ae peul 6tre que celui qui résulte de la combinaison des deux ilectricitéa. Afin d'éviter de répéter toujours la mâme phrase pour le dùsigoer, je crois qu'on dnil employer, comme Ëuler, le noin d'éther, en enlendaDt tou-

jours par ce mot le fluide ainsi déflni.

les particules de Tair ambiant, par le courant électrique qui s'échappe de cette pointe (1).

Lorsque M. OErsted eut découvert l'action que le fil conducteur exerce sur un aimant, on devait, à la vérité, être porté à soupçonner qu'il pouvait y avoir une action mutuelle entre deux fils conducteurs; mais ce n'était point une conséquence nécessaire de la découverte de ce célèbre physicien, puisqu'un barreau de fer doux agit aussi sur une aiguille aimantée, et qu'il n'y a cependant aucune action mutuelle entre deux barreaux de fer doux. Tant qu'on ne connaissait que le fait de la déviation de l'aiguille aimantée par le fll conducteur, ne pouvait-on pas supposer que le courant électrique communiquait seulement à ce fil la propriété d'être influencé par l'aiguille d'une manière analogue à celle dont l'est le fer doux par cette même aiguille, ce qui suffisait pour qu'il agît sur elle, sans que pour cela il dût en résulter aucune action entre deux fils conducteurs lorsqu'ils se trouveraient hors de l'influence de tout corps aimanté ? L'expérience pouvait seule décider la question : je la fis au mois de septembre 1820, et l'action mutuelle des conducteurs voltaïques fut démontrée.

A l'égard de l'action de notre globe sur un fil conducteur, l'analogie entre la terre et un aimant suffisait sans doute pour rendre cette action extrêmement probable, et je ne vois pas trop pourquoi plusieurs des plus habiles physiciens de l'Europe pensaient qu'elle n'existait pas ; non seulement comme M. Erman, avant que j'eusse fait l'expérience qui la constatait (2), mais après que cette expérience eut été communiquée à l'Académie des sciences, dans sa séance du 30 octobre 1820, et répétée plusieurs fois, dans le courant de novembre de la même année, en présence de plusieurs de ses membres et d'un grand nombre d'autres physiciens, qui m'ont autorisé, dans le temps, à les citer comme ayant été témoins des mouvements produits par l'action de la terre sur les parties mobiles des

(i) Voyez la note que je lus à rAcadémie, le 24 juin 1822, et qui est insérée dans les Annales de chimie, t. XX, p. 419-421, et dans mon Recueil dCobservalions électro-dynamiques^ p. 316-318.

(2) Dans un Mémoire très remarquable, imprimé en 1820, ce célèbre physicien dit que le fil conducteur aura cet avantage sur Taiguille aimantée dont on se sert pour des expériences délicates, que le mouvement qu'il prendra dans ces expériences ne sera point influencé par Faction de la terre.

DES PHÉNOMÈNES ÉLKCTRO-DYN AM IQUES 89

appareils décrils et Qgurés dans les Annales de chimie et de physique, i. XV, p. 191-196 (P. II, fig. 5 et P. III, fig. 711, ainsi que dans mon Recueil d'obxn^-alions électro-dynamiques, p. 43-48, puisque près d'un an après, les physiciens anglais élevaient encore des doutes sur les résultats d'expériences si complètes et faites devant un si grand nombre de témoins (1). On ne peut nier l'importance de ces expériences, ni se refuser à convenir que la découverte de l'action de la terre sur les fils conducteurs m'appartient aussi complètement que celle de l'action mutuelle de deux conducteurs. Mais c'était peu d'avoir découvert ces deux genres d'actions et de les avoir constatés par l'expérience ; il Fallait encore :

l' Trouver la formule qui exprime l'action mutuelle de deux éléments de courants électriques ;

2* Montrer que d'après la loi, exprimée par cette formule, de l'attraction entre les courants qui vont dans le même sens, et de la répulsion entre ceux qui vont en sens contraire, soit que ces courants soient parallèles ou forment un angle quelconque (3), l'action de la terre sur les fils conducteurs est identique, dans toutes les circonstances qu'elle présente, k celle qu'exercerait sur ces mêmes fils un faisceau de couranis électriques dirigés de l'est à l'ouest et situés au midi de l'Europe, où les expériences qui constatent cette action ont été faites ;

3* Calculer d'abord , en partant de ma formule et de la manière

(I) Voyelle Mémoire de M. Faraday, publié le 11 septembre 18Ï1. La traduction de ce Mémoire se trouve dnns les Annale» de chimie el de j'hysique, 1, XVIil, p. 3:17-370, et dans tnon Recueil d'observations électro-dynamiques, p. 1Î5-IB8. C'est par une faute d'impression qu'elle porte la date du i septembre 1821, au lieu de celle du tl septembre 1821.

(3) Les expériences qui mettent en évidence l'action mutuelle de deux cou* ranls rectilignes dans ces deux cas, furonl communiquées & l'Académie dans la ti&nce du 9 octobre ISSO. Les appareils que j'avais employés sont décrits el figurés dans le l. XV des Annales de chimie el de physique, savoir; 1' celui pour l'action mutuelle de deux courants parallèles, p. 73 (PI. I, fig. I), et avec plus de détail dans mon Recueil d'obtertatioits électrchàynamique», p. 16-18 ; 8* celui pour l'action mutuelle de deux courants formant un angle quelconqui.-, p. 171 du même 1. XV des Annales de chimie et df phy tique (PI. Il, fig. 2), el dans mon Recueil, d. 33. Les figures portent dans mon Recueil les mêmes numéros que

tuittalet.

dont j'ai expliqué les phénomènes magnétiques par des courants électriques formant de très petits circuits fermés autour des particules des corps aimantés, Faction que doivent exercer Tune sur l'autre deux particules d'aimants considérées comme deux petits solénoïdes équivalant chacun à deux molécules magnétiques, Tune de fluide austral, l'autre de fluide boréal, et celle qu'une de ces particules doit exercer sur un élément de fil conducteur ; s'assurer ensuite que ces calculs donnent précisément pour ces deux sortes d'actions, dans le premier cas la loi établie par Coulomb pour l'action de deux aimants, et dans le second celle que M. Biot a proposée, relativement aux forces qui se développent entre un aimant et un fil conducteur. C'est ainsi que j'ai ramené à un principe unique ces deux sortes d'actions, et celle que j'ai découverte entre deux fils conducteurs. 11 était sans doute facile, d'après l'ensemble des faits, de conjecturer que ces trois sortes d'actions dépendaient d'une cause unique. Mais c'est par le calcul seul qu'on pouvait justifier cette conjecture, et c'est ce que j'ai fait, sans rien préjuger sur la nature de la force que deux éléments de fils conducteurs exercent l'un sur l'autre : j'ai cherché, d'après les seules données de l'expérience, l'expression analytique de cette force ; et en la prenant pour point de départ, j'ai démontré qu'on en déduisait par un calcul purement mathématique les valeurs des deux autres forces telles qu'elles sont données par l'expérience, l'une entre un élément de conducteur et ce qu'on appelle une molécule magnétique, l'autre entre deux de ces molécules, en remplaçant, dans l'un et l'autre cas, comme on doit le faire d'après ma manière de concevoir la constitution des aimants, chaque molécule magnétique par une des deux extrémités d'un solénoïde électro-dynamique. Dès lors tout ce qu'on peut déduire des valeurs de ces dernières forces subsiste nécessairement dans ma manière de considérer les effets qu'elles produisent, et devient une suite nécessaire de ma formule, et cela seul sufiirait pour démontrer que l'action mutuelle des deux éléments de fils conducteurs est réellement le cas le plus simple et celui dont il faut partir pour expliquer tous les autres ; les considérations suivantes me semblent propres à confirmer de la manière la plus complète ce résultat général de mon travail, elles se déduisent facilement des notions les plus simples sur la composition des forces, et sont relatives à l'action mutuelle de deux systèmes, composés tous deux de points infiniment rapprochés les uns des autres, dans les divers cas qui

peuvent se présenter suivant que ces systèmes ne contiennent que des points de même espèce, c'est-à-dire qui tous attirent ou repoussent les mêmes points de l'autre système, ou qu'il y ait, soit dans un de ces systèmes, soit dans tous les deux, des points de deux espèces opposées, dont les uns attirent ce que les autres repoussent et repoussent ce qu'ils attirent.

Supposons d'abord que chacun des deux systèmes soit composé de molécules de même espèce, c'est-à-dire que celles de l'un agissent toutes par attraction ou toutes par répulsion sur celles de l'autre, avec des forces proportionnelles à leurs niasses ; soient MM'M", etc. {Qg, 35), les molécules qui composent le premier, et ?» une quelconque de celles du second : en composant successivement toutes les actions ma, mb, md, etc., exercées par M, M', M", etc , on obtiendra les résullantes me, me, etc., dont la dernière sera l'action du système MM'M" sur le point m, et passera à peu près par le centre d'inertie de ce système. En raisonnant de même relativement aux autres mr.Iécules du second système, on trouvera que les résultantes correspondantes passeront aussi toutes très près du centre d'inertie du premier système, et auront une résultante générale qui passera aussi à peu près par le rentre d'inertie du second : nous nommerons centres d'action les deux points extrêmement voisins des centres respectifs d'inertie des deux systèmes par lesquels passe cette résultante générale; it est évident qu'elle ne tendra, à cause des petite.s distances oii ils sont des centres d'inertie, à imprimer k chaque système qu'un mouvement de translation.

Supposons, en second lieu, que les molécules du second système restant toutes de même espèce, celles du premier soient les unes attractives et les autres répulsives à l'égard de ces molécules du second système, les premières donneront une résultante o/(fig. 36), passant par leur centre d'action N, et par le centre d'action o de l'autre système : de même, les particules répulsives donneront une résultante oe, passant par leur centre d'action P et par le même point 0 : la résultante générale sera donc la diagonale og ; et comme elle passe à peu près par le centre d'inertie du second système, elle ne tendra encore à lui imprimer qu'un mouvement de translation. Cette résultante est d'ailleurs dans le plan mené par les trois centres d'action o, N, P; et quand les molécules attractives sont en même nombre que les n^pulsives, et agissent avec la même intensité, sa

direction est, en outre, perpendiculaire à la droite oO qui divise Tangle PoN en deux parties égales.

Considérons enfin le cas où les deux systèmes seraient composés Tun et l'autre de molécules d'espèces différentes. Soient N et P (fig. 37) centres d'action respectifs des molécules attractives et répulsives du premier, soient netp les centres correspondants du second, de sorte qu'il y ait attraction entre N et jo, ainsi qu'entre n et P, et qu'il y ait répulsion entre N et n, de même qu'entre P et p. Les actions combinées de N et P sur p donneront une résultan le dirigée suivant la diagonale pe : semblablement, les actions de N et P sur n donneront une résultante nf. Pour avoir la résultante générale, on prolongera ces deux lignes jusqu'à leur rencontre en o, et prenant oh=pe^ et ok = nf^ la diagonale ol sera la résultante cherchée qui donnera l'action exercée par le système PN sur le système pn. Mais comme le point 0 ne fait pas partie du système pn^ il faudra concevoir qu'il est lié à ce système d'une manière invariable sans l'être au premier système PN ; et la force ol tendra généralement, en vertu de cette liaison, à opérer sur j9n un mouvement de translation et un mouvement de rotation autour de son centre d'inertie.

Examinons maintenant la réaction exercée par le second système sur le premier : d'après l'axiome fondamental de la mécanique, que l'action et la réaction de deux particules l'une sur l'autre sont égales et directement opposées, il faudra, pour l'obtenir, composer successivement des forces égales et directement opposées à celles que les particules du premier système exercent sur les particules du second , et il est évident que la réaction totale ainsi trouvée sera toujours égale et directement opposée à l'action totale.

Dans le premier cas, la réaction sera donc représentée par la ligne mt (fig. 35), égale et opposée à la résultante me^ et que l'on pourra supposer appliquée au centre d'action du premier système qui se trouve sur sa direction; d'où il suit qu'en négligeant toujours la petite différence de situation du centre d'action et du centre d'inertie, on n'aura encore ici qu'un mouvement de translation.

Dans le second cas, la réaction sera de même représentée par la ligne oy (fig. 36), égale et opposée à og. Mais comme le point o n'appartient pas au premier système, et que généralement celui-ci ne sera pas traversé par la direction oy» îl faudra concevoir que ce point o soit lié invariablement au premier système sans l'être au second; et, par

cette liaison, la force oy tendra génératemeat à opérer sur le système PN un double mouvement de translation et de rotation. Au reste, cette force OY est dans lo plan PoN ; et lorsque les molécules attractives sont en même nombre que les répulsives et agissent avec la même] intensité, sa direction est, comme celle de og, perpendiculaire à oO.

Enfin, dans le troisième cas, la réaction sera représentée par la ligne o\ (fig. 37], égale et opposée à la résultante o/, et appliquée comme elle au point o. Pour avoir l'action ol sur pn, nous avons conçu tout à l'heure que ce point o était lié à ce second système pn sans l'être au premier PN, Pour avoir maintenant la réaction exercée sur celui-ci, nous concevrons ta force oX appliquée en un point situé en o, et lié au premier système PN sans l'être au second. Cotte force tendra encore généralement à opérer sur PN un double mouvement de translation et de rotation.

Si l'on compare ces résultats avec les indications de l'expériencei relativement aux directions des forces qui s'exercent dans les trois genres d'actions que nous avons distingués plus haut, on verra aisément que les trois cas que nous venons d'examiner leur correspondent exactement. Lorsque deux éléments de conducteurs voltaîques agissent l'un sur l'autre, l'action et la réaction sont, comme dans le premier cas, dirigées suivant la droite qui joint ces deux éléments ; quand il s'agit de la force qui a heu entre un élément de Ql conducteur et une particule d'aimant contenant deux pôles d'espèces opposées, qui agissent en sens contraires avec des intensités égales, l'action et la réaction sont, comme dans le second cas, dirigées perpendiculairement à la droite qui joiut la particule à l'élément ; et deux particules d'un barreau aimanté, qui ne sont elles-mêmes que deux très petits aimants, e.\ercent l'une sur l'autre une action plus comphquée, semblable à celle que présente le troisième cas', et dont on ne ipeut de même rendre raison qu'en la considérant comme le résultat de quatre forces, deux attractives et deux répulsives : il est aisé d'en conclure qu'il n'y a que l'élément de Ûl conducteur dont on puisse supposer que tous les points exercent la môme espèce d'action, et de juger quelle est, des trois sortes de forces dont il est ici question, celle qu'on doit regarder comme la plus simple.

Mais de ce que la force qui a lien entre deux éléments de fils conducteurs est la plus simple, et de ce que celles qui se développent, l'une entre un de ces éléments et une particule d'aimant où se trou-

vent toujours deux pôles de même intensité, l'autre entre deux de ces particules, en sont des résultats plus ou moins compliqués, en faut-il conclure que la première de ces forces doive être considérée comme vraiment élémentaire ? C'est ce que j'ai toujours été si loin de penser que, dans les Notes sur F exposé sommaire des nouvelles expériences électro-magnétiques^ publiées en 1822(1), je cherchais à en rendre raison par la réaction du fluide répandu dans l'espace, et dont les vibrations produisent les phénomènes de la lumière : j'ai seulement dit qu'on devait la considérer comme élémentaire^ dans le sens où les chimistes rangent dans la classe des corps simples tous ceux qu'ils n'ont encore pu décomposer, quelles que soient d'ailleurs les présomptions fondées sur l'analogie qui pourraient porter à croire qu'ils sont réellement composés, et parce qu'après qu'on en a déduit la valeur des expériences et des calculs exposés dans ce Mémoire, c'était en partant de cette seule valeur qu'il fallait calculer celles de toutes les forces qui se manifestent dans les cas les plus compliqués.

Mais quand même elle serait due, soit à la réaction d'un fluide dont la rareté ne permet pas de supposer qu'il réagisse en vertu de sa masse, soit à une combinaison des forces propres aux deux fluides électriques, il ne s'ensuivrait pas moins que l'action serait toujours opposée à la réaction suivant une même droite ; car, ainsi qu'on Ta vu dans les considérations qu'on vient de lire , cette circonstance se rencontre nécessairement dans toute action complexe, quand elle a lieu pour les forces vraiment élémentaires dont se compose l'action complexe. En appliquant le même principe à la force qui s'exerce entre ce qu'on appelle une molécule magnétique et un élément de fil conducteur, on voit que si cette force, considérée comme agissant sur l'élément, passe par son milieu, la réaction de l'élément sur la molécule doit aussi être dirigée de manière à passer par ce milieu et non par la molécule. Cette conséquence d'un principe qu'avaient jusqu'à présent admis tous les physiciens, ne parait pas au reste facile à démontrer par l'expérience, lorsqu'il s'agit de la force dont nous parlons, parce que dans toutes les expériences où l'on fait agir sur un aimant une portion de fil conducteur formant un circuit fermé, le résultat qu'on obtient pour l'action totale est le même, soit qu'on sup-

(i) Recueil éTobêervaHans électro-dynamiques, p. SI 5.

DES PHÉNOUÈNES ÉLECTRO- DYN AHt QQ ES

pose que cette Force passe par l'élémeat de Ql conducteur ou par la molécule magnétiijue , ainsi qu'on l'a vu dans ce Mémoire; c'est ce qui a porté plusieurs physiciens à supposer que l'action exercée par l'élément de 01 conducteur passait seule par cet élément, et que la réaction lui étant opposée et parallèle n'était pas dirigée suivant la même droite, qu'elle passait par la molécule et formait avec la première fois ce qu'ils oat appelé un couple primitif.

Les calculs qui vont suivre me fourniront bientôt l'occasion d'examiner en détail celte singulière hypothèse. On verra, par cet examen, qu'elle n'est pas seulement opposée à l'un des principes fondamentaux de la mécanique, mais qu'elle est en outre absolument inutile pour l'explication des faits observés, et qu'une fausse interprétation (le ces faits a pu seule porter à l'adopter les physiciens qui n'admettent pas que les aimants doivent ri'ellement leurs propriétés à l'action des courants électriques qui entourent leurs particules.

Les phénomèaes produits par les deux fluides électriques en mouvement dans les conducteurs voltaïques paraissent si différents de ceux qui en manifestent la présence quand ils sont en repos dans des corps éle^trisés k la mauière ordinaire, qu'on a aui^si prétendu que les premiers ne davaieut pas être attribués aux mêmes fluides que les seconds. C'est précisément comme si Ton concluait de ce que la suspension du mercure dans le baromètre est un pbénomène entièrement différent de celui du son, qu'on ne doit pas les attribuer au même fluide atmosphérique, en repos dans le premier cas et en mouvement dans le second; mais qu'il faut admettre, pour deux faits aussi différents, deux fluides dont l'un agisse seulement pour presser la surface libre du mercure, et dont l'autre transmette les mouvemeats vibratoires qui produisent le son.

Rien ne prouve d'ailleurs que la force exprimée par ma formule ne puisse pas résulter des attractions et répulsions des molécules des deux fluides électriques, en raison inverse des carrés des distances de ces molécules. Le fait d'un mouvement de rotation s'accélérant continuellement jusqu'à ce que les frottements et la résistance du liquide dans lequel plonge l'aimant ou le conducteur vollaique qui présente celte sorte de mouvement en rendent la vitesse constante, paraît d'abord absolument oppisé à ce genre d'explication des phénomènes électrodynamiques. En elfet, du principe de la conservation des forces vives, qui est une conséqueuce nécessaire des lois mêmes du mouvement,

il suit nécessairement que quand les forces élémentaires, qui seraient ici des attractions et des répulsions en raison inverse des carrés des distances, sont exprimées par de simples fonctions des distances mu* tuelles des points entre lesquels elles s'exercent, et qu'une partie de ces points sont invariablement liés entre eux et ne se meuvent qu'en vertu de ces forces, les autres restant fixes, les premiers ne peuvent revenir à la même situation , par rapport aux seconds , avec des vitesses plus grandes que celles qu'ils avaient quand ils sont partis de cette même situation. Or, dans le mouvement de rotation continue imprimé à un conducteur mobile par l'action d'un conducteur fixe, tous les points du premier reviennent à la même situation avec des vitesses de plus en plus grandes à chaque révolution, jusqu'à ce que les frottements et la résistance de l'eau acidulée où plonge la couronne du conducteur mettent un terme à l'augmentation de la vitesse de rotation de ce conducteur : elle devient alors constante, malgré ces frottements et cette résistance.

Il est donc complètement démontré qu'on ne saurait rendre raison des phénomènes produits par l'action de deux conducteurs voltaîques, en supposant que des molécules électriques agissant en raison inverse du carré de la distance fussent distribuées sur les fils conducteurs, de manière à y demeurer fixées et à pouvoir, par conséquent, être regardées comme invariablement liées entre elles. On doit en conclure que ces phénomènes sont dus à ce que les deux fluides électriques parcourent (1) continuellement les fils conducteurs, d'un

(i) Lors des premiers travaux des physiciens sur les phénomènes électrodynamiques, plusieurs savants crurent pouvoir les expliquer par des distributions de molécules, soit électriques, soit magnétiques, en repos dans les conducteurs voltaïques. Dès que la découverte du premier mouvement de rotation continue faite par M. Faraday eut été publiée, je vis aussitôt qu*elle renversait complètement cette hypothèse, et voici en quels termes j*énonçai cette observation, dont ce que Je dis ici n*est que le développement, dans VExposé sommaire des nouvelles expériences électro-magnéiiques faites par différents physiciens depuis le mois de mars 1821, que je lus dans la séance publique de TAcadémie royale des Sciences le 8 avril 1822.

« Tels sont les nouveaux progrès que vient de faire une branche de la phy- « sique, dont nous ne soupçonnions pas même Texistence il y a seulement deux « années, et qui déjà nous a fait connaître des faits plus étonnants peut-être « que tout ce que la science nous avait jusqu'à présent offert de phénomènes

mouvement exlrêtnement rapide , en se réunissant et se séparant alternativement dans les intervalles des particules de ces fils. C'est parce que les phénomènes dont il est ici question ne peuveat être produits que par l'électricité en mouvement, que j'ai cru devoir les désigner sous la dénomination de phénomènes électro-dynamiques ; celle de phénomènes électro-magnétiques, qu'on leur avait donnée jusqu'alors convenait bien tant qu'il ne s'agissait que de l'action découverte par M. OErsted entre un aimant et un courant électrique, mais elle ne pouvait plus présenter qu'une idée fausse depuis que j'avais trouvé qu'on produisait des phénomènes du même genre sans aimant, et par la seule action mutuelle de deux courants électriques.

C'est seulement dans le cas où l'on suppose les molécules électriques en repos dans les corps où elles manifestent leur présence par les attractions ou répulsions produites par elles entre ces corps, qu'on démontre qu'un mouvement indéfiniment accéléré ne peut résulter de ce que les forces qu'exercent les molécules électriques dans cet état de repos ne dépendent que de leurs distances mutuelles. Quand l'on suppose au contraire que, mises en mouvement dans les fils conducteurs par l'action de la pile, elles y changent continueUement de lieu, s'y réunissent à chaque instant en Quide neutre, se séparent de nouveau, et vont aussitôt se réunir à d'autres molécules du Quide de nature opposée, il n'est plus contradictoire d'admettre que des actions en raison inverse des carrés des distances qu'exerce chaque molécule, il puisse résulter entre deux éléments de fils conducteurs une force qui dépende non seulement de leur distance, mais encore des directions des deux éléments suivant lesquelles les molécules élec-

> merveilleux. tJn mouvement qui se continue toujours dans le mfime sens,

• malgré les frottements, malgré la résistance des milieux, et ce mouvement ■• produit par l'aclion mutuelle de deui corps qui demeurent constamment dans " le mËme état, est un fait sans exemple dans tout ce que nous savions des pro- >• priétés que peut offrir la matière inorganique; il prouve que l'action qui « émane des conducteurs voltaïquea, ne peut êlre due à une distribution partiu culiëre de certains Quides en repos dans ces conducteurs, comme le sont les » attractions ei les répulsions électriques ordinaires. On ne peut attribuer cette « action qu'a des fluides en mouvement dans le conducteur qu'ils parcourent H en se portant rapidement d'une des extrémités de la pile à l'autre exlré-

* mité. » Voyei le Journal de physique où cet exposé a été inséré dans le temps, l, XCiV, p. 6B, et mon Recueil d'obtercationt éteclro-dynamiques, p. SOB.

triques se meuvent, se réunissent à des molécules de Tespèce opposée, et s'en séparent l'instant suivant pour aller s'unir à d'autres. Or, c'est précisément et uniquement de cette distance et de ces directions que dépend la force qui se développe alors, et dont les expériences et les calculs exposés dans ce Mémoire m'ont donné la valeur. Pour se faire une idée nette de ce qui se passe dans le fil conducteur, il faut faire attention qu'entre les molécules métalliques dont il est composé est répandu un fluide composé de fluide positif et de fluide négatif, non pas dans les proportions qui constituent le fluide neutre, mais avec un excès de celui de ces deux fluides qui est de nature opposée à l'électricité propre des molécules du métal, et qui dissimule cette électricité, comme je l'ai expliqué dans la lettre que j'écrivis à M. Van Beek au commencement de 1822 (1) : c'est dans ce fluide électrique intermoléculaire que se passent tous les mouvements, toutes les décompositions et recompositions qui constituent le courant électrique.

Gomme le liquide interposé entre les plaques de la pile est, sans comparaison, moins bon conducteur que le fil métallique qui en joint les extrémités, il se passe un temps, très court à la vérité, mais ce-" pendant appréciable, pendant lequel l'électricité intermoléculaire, supposée d'abord en équilibre, se décompose dans chacun des intervalles compris entre deux molécules de ce fil. Cette décomposition augmente graduellement jusqu'à ce que l'électricité positive d'un intervalle se réunisse à l'électricité négative de l'intervalle qui le suit immédiatement dans le sens du courant, et son électricité négative à l'électricité positive de l'intervalle précédent Cette réunion ne peut être qu'instantanée comme la décharge d'une bouteille de Leyde ; et l'action entre les fils conducteurs, qui se développe, pendant qu'elle a lieu, en sens contraire de celle qu'ils exerçaient lors de la décomposition, ne peut par conséquent diminuer l'effet de celle-ci, car l'effet produit par une force est en raison composée de son intensité et du temps pendant lequel elle agit ; or ici l'intensité doit être la même, soit que les deux fluides électriques se séparent ou se réunissent : mais le temps pendant lequel s'opère leur séparation est sans comparaison plus grand que celui qu'exige leur réunion.

L'action variant avec les distances entre les molécules des deux

(!) Journal de physique^ t. XCIII, p. 450-453, et ReeueU éTobservaiionê éUetro-àynamiques, p. 174 -177.

DES PHiNOMÈNES ÉLECTBO-DTNAMIQUKS

fluides électriques pendant que se fait cette séparation, il faudrait intégrer, par rapport au temps et pour toute la durée de la séparation, la valeur de la force qui aurait lieu à chaque iustanl, et diviser ensuite, par cette durée, l'intégrale ainsi obtenue. Sans faire ce calcul, pour lequel il faudrait avoir des données, qui nous manquent encore, sur la manière dont les distances des molécules électriques varient, avec le temps, dans chaque intervalle intermoléculaire du fil conducteur, il est aisé de voir que les forces produites de cette manière, entre deux éléments de ce Ql, doivent dépendre des directions du courant électrique dans chacun de ces éléments,

S'il était possible, en partant de celte considération, de trouver que l'action mutuelle de deux éléments est en effet proportionnelle à la formule par laquelle je l'ai représentée, cette explication du fait fondamental de toute la théorie des phénomènes électro-dynamiques devrait évidemment être préférée à toute autre; mais elle exigerait des recherches dont je n'ai point eu le temps de m'occuper, non plus que des recherches plus difficiles encore auxquelles il faudrait se livrer, pour voir si l'explicatiou contraire, où l'on attribue les phénomènes électro-dynamiques aux mouvements imprimés k l'étberpar les courants électriques, peut conduire it la même formule. Quoi qu'il en soit de ces hypothèses et des autres suppositions qu'on peut faire pour expliquer ces phénomènes, ils seront toujours représentés par la formule que j'ai déduite des résultats de l'expérience, interprétés par l6 calcul, et il restera mathématiquement démontré, qu'en considérant les aimants comme des assemblages de courants électriques disposés autour de leurs particules ainsi que je l'ai dit, les valeurs des forces qui sont, dans chaque cas, données par l'expérience, et toutes les circonstances des trois sortes d'actions qui ont lieu, l'une entre deux aimants, une autre entre un fil conducteur et un aimant, et la troisième entre deux fils conducteurs, se déduisent d'une force unique, agissant entre deux éléments de courants électriques suivant la droite qui enjoint les milieux.

Quant à l'expression même de cette force, elle est une des plus simples parmi celles qui ne dépendent pas seulement de la distance, mais encore des directions des deux éléments; car ces directions n'y entrent qu'en ce qu'elle contient la seconde difi'érentielle de la racine carrée de la distance des deux éléments, prise en faisant varier alternativement les deux arcs de courants électriques dont cette distance

est une fonction, différentielle qui dépend elle-même des directions des deux éléments, et qui entre d'ailleurs dans la valeur donnée par ma formule d^une manière très simple, puisqu'on a pour cette valeur la seconde différentielle ainsi définie, multipliée par un coefficient constant et divisée par la racine carrée de la distance, en observant que la force est répulsive quand la seconde différentielle est positive, et attractive quand elle est négative. C'est ce qu'exprime le signe — qui se trouve au-devant de l'expression générale

^ dsd*'

de cette force, d'après l'usage où Ton est de regarder les attractions comme des forces positives, et les répulsions comme des forces négatives.

Les époques où l'on a ramené à un principe unique des phénomènes considérés auparavant comme dus à des causes absolument différentes, ont été presque toujours accompagnées de la découverte d'un grand nombre de nouveaux faits, parce qu'une nouvelle manière de concevoir les causes suggère une multitude d'expérience à tenter, d'explications à vérifier ; c'est ainsi que la démonstration donnée par Volta de l'identité du galvanisme et de l'électricité a été accompagnée de la construction de la pile, et suivie de toutes les découvertes qu'a enfantées cet admirable instrument. A en juger par les résultats si importants des travaux de M. Becquerel, sur l'influence de l'électricité dans les combinaisons chimiques, et de ceux de MM. Prévost et Dumas sur les causes des contractions musculaires, on peut espérer que tant de faits nouveaux découverts depuis quatre ans, et leur réduction à un principe unique, aux lois des forces attractives et répulsives observées entre les conducteurs des courants électriques, seront aussi suivis d'une foule d'autres résultats qui établiront entre la physique d'une part, la chimie et même la physiologie de l'autre, la liaison dont on sentait le besoin sans pouvoir se flatter de parvenir de longtemps à la réaliser.

Il nous reste maintenant à nous occuper des actions qu'un circuit fermé, quelles que soient sa forme, sa grandeur et sa position, exerce, soit sur un solénoîde, soit sur un autre circuit d'une forme, d'une grandeur et d'une position quelconques ; le principal résultat de ces

DES PHÉNOMÈNES SLKCTRO-DTN AUIQUBS

recherches consiste dans l'analogie qui existe entre les forces produites par ce circuit, soit qu'il agisse sur un aulre circuit fermé ou sur un solénoide, et les forces qu'exerceraient les points dont l'actioa serait précisément celle qu'on attribue aux molécules de ge qu'on appelle fluide austral et fluide boréal ; ces points étant distribués de la manière que je vais expliquer sur des surfaces terminées par les circuits, et les extrémités du solénoide étant remplacées par deux molécules magnétiques d'espèces opposées. Cette analogie paraît d'abord si complète, que tous les phénomènes électro-dynamiques semblent être ainsi ramenés û la théorie où l'on admet ces deux fluides ; mais on reconnaît bientôt qu'elle n'a lieu qu'à l'égard des conducteurs voltaiques qui forment des circuits solides et fermés, qu'il n'y a que ceux de ces phénomènes qui sont produits par des conducteurs formant de telles circuits dont on puisse rendre r^son de cette manière, et qu'enfin les forces qu'exprime ma formule peuvent seules s'accorder avec l'ensemble des faits. C'est, d'ailleurs, de cette même analogie que je déduirai la démonstration d'un théorème important qu'on peut énoncer ainsi : l'action mutuelle de deux circuits solides et fermés, ou celle d'un circuit solide et fermé et d'un aimant, ne peut jamais produire de mouvement continu avec une vitesse qui s'accélère indéfiniment jusqu'à ce que les résistances et les frottements des appareils rendent cette vitesse constante.

Afin de ne rien laissera désirer sur ce sujet, je commencerai par donner aux formules relatives à l'action mutuelle de deux fils conducteurs une forme plus générale et plus symétrique. Soient pour cela Jet «' deux courbes quelconques qu'on suppose parcourues par des courants électriques dont nous continuerons à désigner les intensités par ( et i'. Soit d s = Mm (flg. 38) un élément de la première courbe, dy = MW un élément de la seconde; x,y, z et x', y', z les coordonnées de leurs milieux o, o', et r la droite oo' qui les joint, laquelle doit être considérée comme une fonction des deux variables indépendantes s et s qui représentent les arcs des deux courbes comptés à partir de deux points fixes pris sur elles. L'action mutuelle des deux éléments As, ds', est, comme nous l'avons vu plus haut, une force dirigée suivant la droite r, et ayant pour valeur

102 THÉORIE MATHÉMÂTiQUt

On peut récrire plus simplement de cette maoilré :

— tt'r*d'(r»dr),

en distinguant par les caractéristiques d et ^ les différentielles relatives à la variation des seules coordonnées ff^ y, z^ de Télément ds, de celles qu'on obtient en faisant varier seulMient les coordonnées x\ y\ s/ de rélément às'\ distinction dont nous nous servirons toutes les fois que nous aurons à considérer def différentielles prises les unes dMne de ces deux manières, et les au(|f8s de l'autre.

Cette force étant attractive, il faut, pour avoir celle de ses compo* santés qui est parallèle à Taxe i$ê x, en multiplier la valeur par

ou par , suivait qu'on la considère comme agissant

sur l'élément d^ ou sur l'éléfllânt ds; dans ce dernier cas, la composante est donc égale à

On peut mettre cetti expression sous une autre forme en faisant usage de la valeuri{u*on obtient pour tidt?, ti et t? réprésentant des quantités quelcoofias, lorsqu'on ajoute* membre à membre, les deux équations identimies

cette valeur est

et en faisant

tidt; — vAu = u*d(- J, uAv = - A{uv) + - ti'd - ,

on en conclut

r»-*(x— a?')d'(r»dr) = i d'[r«*-«(« — ar'ldr] + i r«*-«(«— «?d'-î^

puisque 2 A + n = 1, ce qui donne

«4—1 = — n, ai — a = — n — i.

HaU

6113 PHÉNOMÈNES ÉI.KCTHO'DyNAMIQUKS

r'=|jr-xr+(j-yr+(' -»■)".

et par cooséquent

= di +

<iy+-

-di,

-i')ix' — j — j')dî' j

(g— g')dy'— (y— yldz*

" x~x (g — xy (X — X')*

La composants para] lèle à l'axe des x a doac pour valeur

iy-

■«■jdi'— (X— g'jd»'^

;j-j')dy'-(y-y')dT'

dy].

Les deux termM de cette expressioa peuveol être coasidéréa séparémoDt comme deux forces dont la réunioa équivaut à la force cherchée. Or, il estaisâde voir que quaad la courbe s' forme un circuit fermé, toutes les forces telles que celle qui a pour expression la partie

- «'d' ■— — , provenant de l'action de tous les éléments d/ du

circuit 5' sur le même élément dise détruisent mutuellement. En effet, toutes ces forces sont appliquées au même point 0, milieu de l'élément di, suivant une même droite parallèle à l'axe des z ; il faut donc pour avoir la lorce produite suivant celte droite par l'action d'une

portion quelconque du conducteurs' intégrer -lï'd'^ — -i — d'une

des extrémités cette portion à l'autre, et l'on trouve

' -vnJ' — g;idr, * — «df,)-!.

en nommant x\ , r, , dr, , les quantités qui se rapportent à une extrémité, et xj, r„ dr, celles qui sont relatives à l'autre, cette valeur devient évidemment nulle quand, le circuit étant fermé, ses deux extrémités sont au mémo point.

Quand le conducteur t" forme ainsi un circuit fermé, il faut donc, pour avoir plus simplement l'action qu'il exerce sur l'élément d* pa>

rallèlement à l'axe des x^ supprimer, dans Texpression de la composante parallèle à cet axe, la partie -lï' ^^ — , et n'avoir égard qu'à Taùtre partie

1 r(z-z')A:xf-(x-x')Az {x^a/)dy-(y^y')dx' 1

que nous représenterons par X.

En appliquant les mêmes considérations aux deux autres composantes de la même force qui sont parallèles aux axes des y et des s, on leur substituera des forces Y, Z, ayant pour valeurs

y = i ^M^-^'W'-(y-y')à^ j^ (y-y)dz-(z-zody ^ i

Ainsi, lorsqu'il s'agit d'un circuit fermé, la résultante R des trois forces X, Y, Z, auxquelles sont réduites les composantes de la force — uVd'(r*dr), remplace cette force; et l'ensemble de toutes les forces R est équivalent à celui de toutes les forces exercées par chacun des éléments ds', du circuit fermé s\ et représente l'action totale de ce circuit sur l'élément ds. Voyons maintenant quelle est la valeur et la direction de cette force R.

Soient u, t), t&, les projections de la ligne r sur les plans des yz^ des xz et des xy, faisant respectivement les angles f i X) 4^' ^^^^ ^^ axes des y, des z et des x. Considérons le secteur M'om' (flg. 38), qui a pour base l'élément d$\ et pour sommet le point o milieu de ds, dont les coordonnées sont x^ y, z. Appelons X, pi, v les angles que fait avec les axes la normale au plan de ce secteur, et 0' l'angle compris entre les directions de ds' et de r. Le double de l'aire de ce secteur estrds' sin. 0', et ses projections sur les plans des coordonnées sont

u*d'f =rds'sin6'cosX = {t/ — y)d^ — {z — z)dy\ v^d'x = rds'sinO'cos|&= (z — z)daf — {x' — x)dz\ to'd'^=:rdf'8inO'co8v = (a/ — x)dy^ — (y' — y)dx\

On peut donc donner cette nouvelle forme aux valeurs des forces

1 ../w'd'x^ M;«d'+^ \ 1 tï'd5d5'sin67dz dy \

^=â"(-7=^'^~-7=^'yj = a ;= (d7^"^«^-d7^"^V'

„ I ..,/M;«d'+^ ti«d>^ \ 1 tfdsd^'sinO/da: dz ^\

y = -ii (--r-r dar -—7^ dz) = ( ^— cosv— .-7-cosX 1.

i ../u«d> . w'd'x^ \ 1 tï'd$d5'sin6'/dy , dar \

Or ces valeurs donnent

dx Au de

Xco8X-f-Ycos|& + 2cosv = o;

c'est-à-dire que la direction de la force R fait avec celle de Télément mM = d5, et avec la normale op au plan du secteur M'om', des angles dont les cosinus sont zéro, de sorte que cette force est à la fois dans le plan du secteur et perpendiculaire à l'élément ds. Quant à son intensité, on a par les formules connues

A^> . ^« . rw. * tï'dsds'sinO'sinpom i fï'd 5 ds'sinO' ces moi * a r* a r*

ok étant la projection de om sur le plan du secteur M'om'. On peut décomposer cette force dans le plan du même secteur en deux autres. Tune S dirigée suivant la ligne 00' = r, l'autre T perpendiculaire à cette ligne. Celle-ci est

« « r« « ir* i . ' tï'dsds'sinô'cosmoicosAoA:

T = RcosToR = ReosAo* = ;

et comme l'angle trièdre formé par les directions de om^ ok et oh donne

cosmok cos hok = ces moA = cosO,

il vient

„ 1 t'râsds'sintt'costt

La force S suivant oh est

S = RsinAoA = TtangAoJk.

Mais en désignant par (o l'inclinaison du plan moh sur le plan Ao*, qui est celui du secteur M'om', on a

tang AoA = tang 0 cos u ; ainsi

Q 1 tV'dsds'sinOsinO'cosco S = - .

Si l'on intègre les expressions de X, Y, Z pour toute retendue du circuit fermé sfj on aura les trois composantes de l'action exercée par tout ce circuit sur l'élément d$ ; en remplaçant n par sa valeur 2, celles des trois composantes deviennent

Des forces semblables appliquées à tous les éléments d^ de la courbe s donneront l'action totale exercée par le circuit sf sur le circuit 5. On les obtiendra en intégrant de nouveau les expressions précédentes dans toute l'étendue de ce dernier circuit.

Concevons maintenant deux surfaces prises à volonté o*, 9% terminées par les deux contours s, s\ dont tous les points soient liés invariablement entre eux et avec tous ceux de la surface correspondante, et sur ces surfaces des couches infiniment minces d'un même fluide magnétique qui y soit retenu par une force coercitive suffisante pour qu'il ne puisse point s'y déplacer. En considérant sur ces deux surfaces deux portions infiniment petites du second ordre que nous représenterons par d*(r et dV, dont les positions soient déterminées par les coordonnées x^ y y % pour la première, td^ y\ z' pour la seconde, et dont la distance soit r, leur action mutuelle sera une force répulsive dirigée suivant la ligne r et représentée par

— ï:^ — Z. — que nous considérerons comme agissant sur l'élément

ds; f, e^ désignent ici ce qu'on appelle l'épaisseur de la couche magnétique sur chaque surface; |ji est un coefficient constant, tel

DES PHÉNOMÈNES ÉLBCTRO-DTNAMIQUBS

que [iw' représente l'action répulsive qui aurait lieu, si l'on réunissait en deux points situés à une distance égale à l'unité, d'une part tout le fluide répandu sur une aire égale à l'unité de surface, où l'épaisseur serait constante et égale à «, de l'autre tout le fluide répandu sur une autre aire égale à l'unité de surface, où l'épaisseur serait aussi constante et égale à c'.

En décomposant cette force parallèlement aux trois axes, on a les trois composantes

iui'd'ffd*ff'(j — x")

(Ut'cl'»d'T'(l —

Concevons maintenant une nouvelle surface terminée par le même contours qui limite la surface <t, et telle que toutes les portions de normales de la surface o- comprises entre elle et la nouvelle surface soient très petites. Supposons que sur cette dernière surface soit distribué le fluide magnétique de l'espèce contraire à celui de la surface ff, de manière qu'il y en ait sur la portion de la nouvelle surface circonscrite par les normales menées par tous les points du contour de l'élément de surface à*a une quantité égale à celle du fluide répandu sur dV. En nommant h la longueur de la petite portion de la normale à la surface u, menée par le point dont les coordonnées sont X, y, z, et comprise entre les deux surfaces, laquelle mesure dans toute l'étendue de l'aire infiniment petite d'à- la distance de ses points aux points correspondants de l'autre surface, el en désignant parE, T|, Ç les angles que cetle normale fait avec les axes, les trois composantes de l'action mutuelle entre l'élément dV et la petite portion de la nouvelle surface circonscrite comme nous venons de le dire, qui est toujours égale à d*o- tant que A est très petit et qu'on néglige dans les calculs, comme nous le faisons ici, les puissances de h supérieures à la première s'obtiendront en remplaçant dans l'expression que nous venons de trouver, x, y, z par a: + Acos5, y + A cos n, 2 -|- A cos C Et comme les deux fluides répandus sur les deux aires égales à rf*» sont de nature contraire, il faudra retrancher les nouvelles valeurs de ces composantes des valeurs trouvées précédemment; ce qui se réduira, puisqu'on néglige les puissances de A supérieures à la première, à différentier ces valeurs, à remplacer dans le résultat les différentielles de x, y, s par AcosÇ, Acosii, Acos C» et à en changer le signe. Ces différentielles étant prises en passant de la pre-

AÙS THÉORIE MATHÉMATIQUE

mière surface o* à l'autre, nous les désignerons par S, suivant la notation du calcul des variations ; nous aurons ainsi pour la composante

parallèle aux x ce que devient — |xee'd*o'd'o''8 — j— , quand on y remplace &r par h cos Ç, c'est-à-dire

jiw'd'ffd'o'AcosÇ

Nous allons maintenant déterminer la forme de la position de l'élément cPfT.

Désignons comme précédemment par u, t;, to les projections de la ligne r sur les plans des yz, des zx et des xy^ et par f, x> ^« ^^^ angles que ces projections font avec les axes des y, des z et des x respectivement. Décomposons la première surface <t en une infinité de zones infiniment étroites, telles que abcd (fig. 42), par une suite de plans perpendiculaires au plan des yz menés par la coordonnée my = x du point m'. Chaque zone se terminant aux deux bords du contour s de la surface o*, aura pour projection sur le plan des yz une aire décomposable elle-même en éléments quadrangulaires infiniment petits, auxquels répondront autant d'éléments de la surface o* sur la zone dont il s'agit. Ce sont ces éléments qu'on doit considérer comme les valeurs de d'o*. Celui dont la position, à l'égard de l'élément dV, est déterminée par les coordonnées polaires r, t/, f , est égal à sa projection ududf sur le plan des yz divisée par le cosinus de l'angle Ç compris entre ce plan et le plan tangent à la surface <t avec lequel coïncide l'élément d'o*. Il faudra donc remplacer d'o* par J^dans la

'^ *^ cosÇ

formule précédente, et Ton aura

[3(0:-. or) ^ ]

|AAa'

Pour calculer la valeur de {x — ^ ft> soient mx le prolongement de

la coordonnée mp = x du point m où est situé l'élément d'o*, mu une parallèle au plan des yz menée dans le plan pmm'p\ et mt perpendiculaire à ce dernier plan au point m. Il est aisé de voir que la droite

DES PHÉNOMÈNES ÉLBGTRO-DTNÂMIQUES 109

mil, suivant laquelle pmmlp* coupe le plan tangent en m, & la surface 0*, fait avec les trois lignes ma:, mu^ mt^ qui sont perpendiculaires entre elles, des angles dont les cosinus sont respectivement

Ax du

et 0,

et que la normale mh fait avec les mêmes directions des angles dont les cosinus sont

Ix lu It

ht tenant lieu de la projection de mh sur m/. On a donc

Axlx'\'lulu Vdx* + du*V5ar« + 8u" + 8r«

pour le cosinus de l'angle compris entre la droite mn et la normale mA, et puisque cet angle est droit, dj:8x4-duSu=Ot d'où

-= — r-.Mais l'équation

r* = (a: — xy + u«,

donne

r8r = [x — x)lx + u8ti,

et

rdr = udti + (a? — x')Ax,

d'où Ton déduit

et

dr u , a: — if ûx u x — x 8u

Au r "* r du r r 84:'

en éliminant centre ces deux équations, il vient

, ,.lr ^ dr (a: — a?')* . u'

6X du r r

Si nous tirons maintenant de cette équation la valeur de (a: — ^)?-

pour la substituer dans celle de la force parallèle à l'axe des x^ nous aurons

ïiAttudud^l^ ^^ pj=l**«dç\^-7î —)

La hauteur h et Tépaisseur c de la couche de fluide infiniment mince répandue sur la surface o*, peuvent varier d'un point de cette surface à un autre ; et pour atteindre le but que nous nous proposons de représenter à Taide des fluides magnétiques, les actions qu'exercent les conducteurs voltaïques, il faut supposer que ces deux quantités e, hj varient en raison inverse l'une de l'autre, de manière que leur produit ht conserve la même valeur dans toute l'étendue de la surface 9. En appelant g la valeur constante de ce produit, l'expression précédente devient

W«'d«ffd«pd^

et s'intègre immédiatement. Son intégrale H^^'^^^'df [ -j — C]

exprime la somme des forces parallèles à l'axe des x qui agissent sur les éléments cPa^ de la zone de la surface o* renfermée entre les deux plans menés par m'p' qui comprennent l'angle d<f. La surface o* étant terminée par le contour fermé 5, il faut prendre cette intégrale entre les limites déterminées par les deux éléments a6, cd de ce contour qui sont compris dans l'angle d<f des deux plans dont nous venons de parler, en sorte qu'en nommant u^, r^ et u„ r,, les valeurs de u et de r relatives à ces deux éléments, on a

„..,ve,(ï|-^)

pour la somme de toutes les forces exercées par l'élément d^a^ sur la zone parallèlement à l'axe des x.

Si la surface o*, au lieu d'être terminée par un contour, renfermait de tous côtés un espace de figure quelconque, la zone de cette surface comprise dans l'angle dièdre f serait fermée, et l'on aurait ti, = ti,,

DEB PH^NOmAnICS ÉLECTRO-DYNAMIQUES

r, = r, ; en sorte que l'action exercée sur cette zone parallèlemeDt à l'axe des x serait nulle, et par conséquent aussi celle que rélémeot c^o' exercerait sur toute la surface « composée alors de semblables zones. Et comme la même chose aurait lieu relativement aux forces parallèles aux axes des y et des z, on voit ijue l'assemblage de deux surfaces très rapprochées l'une de l'autre, renfermant de tous côtés un espace de forme quelconque, et couvertes, de la manière que nous venons de le dire, l'une de fluide austral, l'autre de fluide boréal, est sans action sur une molécule magnétique, en quelque endroit qu'elle soit placée, et par conséquent sur ua corps aimanté de quelque manière que ce soit. Reprenons l'expérience précédente

et il nous sera aisé de voir que, pour avoir la somme totale des forces parallèles h l'axe des x que l'élément d^a' exerce sur la surface entière v, U faut intégrer, par rapport à f, les deux parties dont se compose cette expression, respectivement dans les deux portions Aa£B, Bc(fvl du contour s, déterminées par les deux plans tangents p'm'k, p'm'R, menés par la ligne m'p'. Mais il revient au même d'intégrer f».j«'dV —~ dans toute l'étendue du circuits; car si l'on met

pour u et <p leurs valeurs en fonctions de r déduites des équations de la courbe s, on voit qu'en passant de la partie ka&B à la partie Bci^A, if change de signe, et que par conséquent les éléments de l'une de ces parties sont d'un signe contraire k ceux de l'autre.

D'après cela, si nous désignons par X la somme des forces parallèles aux X qu'exerce l'élément dV sur l'assemblage des deux surfaces terminées par le même contour s, nous aurons

OU, ce qui est la même chose,

x=wdv /''-'''""-''"''"'*.

les X, tf, z n'étant relatifs qu'au contour i.

On aura de même, en désignant par Y et Z les sommes des forces parallèles aux y et aux % qui agissent sur le même assemblage de surfaces,

Y = M.'dVj— jirxffjie'dVJi i — i !—,

,j. » r^^d'^ ,,. , rte — x^dy — (y — y')dx „. Z = M«'dVj— j-!:=ffj«d«a j ^ ^ \.^ ^^ 0)

Gomme toutes les forces élémentaires qu'exerce Télément (Pa' sur ces sm*faces passent par le point m' où il est situé, on voit que toutes ces forces ont une résultante unique dont la direction passe par le môme point m\ et dont les composantes parallèles aux axes sont X,Y,Z. Les moments de cette résultante par rapport aux mômes axes sont donc

Yz: — Zy\ Zx—Xz\ Xy' — Yx\

Supposons maintenant qu'au lieu de ces forces on applique au milieu de chacun des éléments ds du contour $ une force égale à

^idPJ — s — , et perpendiculaire au plan du secteur qui a ds pour

base, le point ni pour sommet, et dont l'aire est - rds sin 0. Les trois composantes de celte force étant respectivement égales à

W* d«a -jjl, ixje d«c -^, jiffe d'à' —5-!:,

parallèles à celles qui passent par l'élément dV et dirigées dans le môme sens, on aura les mêmes valeurs pour les trois forces X, Y, Z qui tendent à mouvoir le circuit s; mais les sommes, des moments de rotation qui en résulteront, au lieu d'être représentées par

(i) Il est inutile de remarquei^ que ces X, T, Z expriment des forces toutes différentes de celles que nous avons déjà désignées par les mêmes lettres, lorsqu'il s'agissait de l'action mutuelle de deux éléments de circuits voltaîques.

DES PHÉNOlciNES ÉLECTRO-DTNAMIQUES 113

le seront par

n semble d'abord que ce changement en doit apporter mi à l'action exercée sur le contour «, mais il n'en est pas ainsi pourvu que ce contour forme un circuit fermé, car si Ton retranche la première somme de moments, relative à Taxe des x par exemple, de la quatrième qui se rapporte au môme axe, en faisant attention que x\y^'% doivent être considérées comme des constantes dans ces intégrations, on aura

^^jVr[(*-0' + (y-yy]dx--(x~xir(x^Odx + (y^y-)dy]^ . j. 'Ci** — (x— «')']dx — (x — x)\rAr— (« — x^d*]