VA« + B* + C« = D

elle sera perpendiculaire sur la résultante R des trois forces X, Y, Z, qui fait avecles axes des angles dont les cosinus sont

puisqu'on a, en vertu de Téquation précédente,

RHS PHRNOMÈNER ÉLBCTBO-DYN A MigUBR

Il est à remarquer que la droite que nous venoas de détermiDer est tout à fait indépendante de la direction de l'élément M'N' ; car elle se déduit immédiatement des intégrales A, B, C qui ne dépendent que du circuit fermé et de la positiou des plans coordonnés, et qui sont les sommes des projections sur les plans coordonnés des aires des triangles qui ont leur sommet au milieu de l'élément ds*, et pour bases les différents éléments des circuits fermés s, toutes ces aires étant divisées par la puissance n + i du rayon vecteur r. La résultante étant perpendiculaire sur cette droite A'E que je nommerai directrice, elle se trouve, quelle que soit la direction de l'élément, dans le plan élevé au point A' perpendiculairement à A'E; je donnerai ^ ce plan le nom de plan directeur. Si l'on fait la somme des carrés de X, Y, Z, on trouvera pour valeur de la résultante de l'action du circuil unique ou de l'ensemble de'circuits que l'on considère,

Il = - IHl" (lf'^(«)9i;,C0B|i— C01>1|C0BVJ*-I-(C0SE,C0B«— eiMi;,COaX}*-|-(cOaT|,GOB)L— COlE,G(»|i)*,

Iou, en appelant t l'angle de l'élément ds' avec la directrice, R = -Dirda'8int.

Il est facile de déterminer la composante de cette action dans un plan donné passant par l'élément ds' et faisant un angle f avec le plan mené par ds" et la directrice. En effet, la résultante R étant perpendiculaire à ce dernier plan, sa composante sur le plan donné sera

n sin f , ou - Dii " dï' sÎd i sin f .

Or, sin t sin <f est égal au sinus de l'angle <}• que la directrice fait avec le plan donné. C'est ce que l'on déduit immédiatement de l'angle trièdre formé par d^, par la directrice et par sa projection sur le plan donné. La composante dans ce plan aura donc pour expression

- Diï'di'sin^.

Cette expression peut se mettre sous une autre forme en observant

que ^ est le complément de Tangle que fait la directrice avec la normale au plan dans lequel on considère l'action. On a donc, en nommant (, 71, 2^ les angles que cette dernière droite forme avec les trois axes,

ABC sin4»= g cosÇ + g co8t| + - cosÇ,

et Texpression de Taction devient

- lï'ds (A ces Ç -|- B ces 11 + C ces Ç), a

ou

en faisant

U = A CCS ï 4" B cos T| + C cos Ç.

On voit que cette action est indépendante de la direction de l'élément dans le plan que l'on considère, nous la désignerons sous le nom d'action exercée dans ce plan, et nous conclurons de ce qu'elle reste la même lorsqu'on donne successivement à l'élément différentes directions dans un môme plan, que si celle que la terre exerce sur un conducteur mobile dans un plan fixe est produite par des courants électriques formant des circuits fermés, et dont les distances au conducteur sont assez grandes pour être considérées comme constantes pendant qu'il se meut dans ce plan, elle aura toujours la même valeur dans les différentes positions que prendra successivement le conducteur, parce que les actions exercées sur chacun des éléments dont il est composé restant toujours les mêmes et toujours perpendiculaires à ces éléments, leur résultante ne pourra varier ni dans sa grandeur ni dans sa direction relativement au conducteur. Cette direction changera d'ailleurs dans le plan fixe en y suivant le mouvement de ce conducteur : c'est en effet ce qu'on observe à l'égard d'un conducteur qui est mobile dans un plan horizontal, et qu'on dirige successivement dans divers azimuts :

On peut vérifier ce résultat par l'expérience suivante : dans un disque de bois ABGD (fig. 10), on creuse une rigole circulaire KLMN dans laquelle on place deux vases en cuivre KL, MN de même forme, et qui occupent chacun presque la demi-circonférence de la rigole de

DBS phAnomènes Albctro-dtnaxiquks 33

maaiëre cependant qu'il reste entre eux deux intervalles KN, I«H, qu'on remplit d'un mastic isolant; à chacun de ces vases sont soudées les deux lames de cuivre PQ, RS, incrustées dans le disque et qui portent les coupes X, Y, destinées à mettre, au moyen du mercure qu'elles contiennent, les vases KL, MN, en communication avec les rbéopbores d'une très forte pile; dans le disque est incrustée une autre lame TO portant la coupe Z, où l'on met aussi un peu de mercure ; cette lame TO est soudée au centre 0 du disque à une tige verticale sur laquelle est soudée une quatrième coupe U, dont le fond est garni d'un morceau de verre ou d'agate pour rendre plus mobile le sautoir dont nous allons parler, mais dont les bords sont assez élevés .pour être en communication avec le mercure qu'on met dans cette coupe; elle reçoit la pointe V(Sg. H) qui sert de pivot au sautoir FGHI, dont les brancbes EG, El, sont égales entre elles et soudées en G et I aux lames gxh^ iyf qui plongent dans l'eau acidulée des vases KL, MN, lorsque la pointe Y repose sur le fond de la coupe U, et qui sont attachées par leurs autres extrémités A, /aux brancbes EH, EF, sans communiquer avec elles. Ces deux lames sont égales et semblables et pliées en arcs de cercle d'environ 90*. Lorsqu'on plonge les rbéopbores, l'un dans la coupe Z, l'autre dans l'une des deux coupes X ou Y, le courant ne passe que par une des brancbes du sautoir, et l'on voit celui-ci tourner sur la pointe V par l'action de la terre, de l'est à l'ouest par le midi quand le courant va de la circonférence au centre, et dans le sens contraire quand il va du centre à la circonférence, conformément à l'explication que j'ai donnée de ce phénomène, et qu'on peut voir dans mon Recueil ^Observations ilectr(Hdynamiques^ page 284. Mais lorsqu'on les plonge dans les coupes X et Y, le courant parcourant en sens contraires les deux brancbes EG, El, le sautoir reste immobile dans quelque situation qu'on l'ait placé, quand, par exemple, une des brancbes est parallèle et l'autre perpendiculaire au méridien magnétique, et cela lors même qu'en frappant légèrement sur le disque ÂBGD, on augmente, par les petites secousses qui en résultent, la mobilité de l'instrument En pliant un peu les branches du sautoir autour du point E, on peut leur faire faire différents angles, et le résultat de l'expérience est toujours le même. Il s'ensuit évidemment que la force avec laquelle la terre agit sur une portion de conducteur, perpendiculairement à sa direction, pour la mouvoir dans un plan horizontal, et, par conséquent,

dans un plan donné de position à l'égard du système des courants terrestres, est la même, quelle que soit la direction, dans ce plan, de la portion de conducteur, ce qui est précisément le résultat de calcul qu'il s'agissait de vérifier.

Il est bon de remarquer que l'action des courants de l'eau acidulée sur leurs prolongements dans les lames gh^ if ne trouble en aucune manière l'équilibre de l'appareil ; car il est aisé de voir que Taction dont il est ici question tend à faire tourner la lame gh autour de la pointe Y dans le sens hxg^ et la lame if dans le sens fyiy d'où résulte, à cause de l'égalité de ces lames, deux moments de rotations égaux et de signes contraires qui se détruisent.

On sait que c'est à M. Savary qu'est due l'expérience par laquelle, on constate cette action ; cette expérience peut se faire plus commodément en remplaçant la spirale en fil de cuivre de l'appareil dont il s'est d'abord servi , par une lame circulaire du même métal. Cette lame ABC (fig. 12) forme un arc de cercle presque égal à une circonférence entière ; mais ses extrémités A et G sont séparées l'une de l'autre par un morceau D d'une substance isolante. On met une de ses extrémités A, par exemple, en communication avec un des rhéophores par la pointe 0 qu'on place dans la coupe S (fig. 13) pleine de mercure ; celle-ci est jointe par le fil métallique STR à la coupe R dans laquelle plonge un des rhéopbores. Cette pointe 0 (fig. 12) communique avec l'extrémité A par le fil de cuivre AEQ dont le prolongement QF soutient en F la lame ABC par un anneau de substance isolante, qui entoure en ce point le fil de cuivre. Lorsque la pointe 0 repose sur le fond de la coupe S (fig. 13), la lame ABC (fig. 12) plonge dans l'eau acidulée contenue dans le vase de cuivre MN (fig. 13)qui communique avec la coupe P où se rend l'autre rhéophore ; on voit alors tourner cette lame dans le sens GBA, et pourvu que la pile soit assez forte, le mouvement reste toujours dans ce sens lorsqu'on renverse les communications avec la pile, en changeant réciproquement les deux rhéopbores de la coupe Pà la coupe R, ce qui prouve que ce mouvement n'est point dû à l'action de la terre et ne peut venir que de celle que les courants de l'eau acidulée exercent sur le courant de la lame circulaire ABC (fig. 12)-, action qui est toujours répulsive, parce que si GH représente un des courants de l'eau acidulée qui se prolonge en HK dans la lame ABC, quel que soit le sens de ce courant, il parcourra évidemment l'un des côtés de l'angle GHE en s'approchant, et l'autre

DES PIIÉNOXÈNRS ÉLECTRO-DTNAMIQURS 35

en s'ëloignant du sommet H. Mais il faut, pour que le mouvement qu'on observe dans ce cas ait lieu, que la répulsion entre deux éléments, Tun en I et l'autre en L, ait lieu suivant la droite IL, oblique à Tare ABC, et non suivant la perpendiculaire LT à l'élément situé en L, car la direction de cette perpendiculaire rencontrant la verticale menée par le point 0 autour de laquelle la partie mobile de l'appareil est assujettie à tourner, une force dirigée suivant cette perpendiculaire ne pourrait lui imprimer aucun mouvement de rotation.

Je viens de dire que, quand on veut s'assurer que le mouvement de cet appareil n'est pas produit par l'action de la terre, en constatant qu'il continue d'avoir lieu dans le môme sens quand on renverse les communications avec la pile en changeant les rhéophores de coupes, il fallait employer une pile qui fût assez forte; il est impossible en eflfet, dans cette disposition de conducteur mobile, d'empêcher la terre d'agir sur le fil vertical AE pour le porter à l'ouest, quand le courant y est ascendant, à l'est, quand le courant y est descendant, et sur le fil horizontal EQ, pour le faire tourner autour de la verticale passant par le point 0, dans le sens direct est, sud, ouest, quand le courant va de E en Q, en s'approchant du centre de rotation, et dans le sens rétrograde ouest, sud, est, quand il va de Q en E, en s'éloignant du môme centre (1). La première de ces actions est peu sensible, lors du moins qu'on ne donne au fil vertical AE que la longueur nécessaire pour la stabilité du conducteur mobile sur sa pointe 0; mais la seconde est déterminée par les dimensions de l'appareil; et comme elle change de sens lorsqu'on renverse les communications avec la pile, elle s'ajoute dans un ordre de communication avec l'action exercée par les courants de l'eau acidulée, et s en retranche dans lautre; c'est pourquoi le mouvement observé est toujours plus rapide dans un cas que dans l'autre; cette différence est d'autant plus marquée, que le courant produit par la pile est plus faible, parce qu'à mesure que son intensité diminue, l'action électro- dynamique étant, toutes choses égales d*ailleurs, comme le produit des intensités des deux portions de couranLs qui agissent Tune sur l'autre, cette action entre les courants de l'eau acidulée et ceux de la lame ABC, diminue

(I) Voyez sur ces deux sortes d'actions exerces par le globe terrestre, ce qui est dit dans mon Recueil éTObiervaikm éiêciro^ynamiquet^ pages 980, 984.

comme le carré de leur intensité, tandis que l'intensité des courants terrestres restant la même, leur action sur ceux de la lame, ne devient moindre que proportionnellement à la même intensité : à mesure que l'énergie de la pile diminue, l'action du globe devient de plus en plus près de détruire celle des courants de l'eau acidulée dans la disposition des communications avec la pile où ces actions sont opposées, et l'on voit lorsque cette énergie est devenue très faible, l'appareil s'arrêter dans ce cas, et le mouvement se produire ensuite en sens contraire ; alors l'expérience conduirait à une conséquence opposée à celle qu'il s'agissait d'établir, puisque l'action de la terre devenant prépondérante, on pourrait méconnaître Texistence de celle des courants de Teau acidulée. Au reste, la première de ces deux actions est toujours nulle sur la lame circulaire ABC, parce que la terre agissant comme un système de courants fermés, la force qu'elle exerce sur chaque élément étant perpendiculaire à la direction de cet élément, passe par la verticale menée par le point 0, et ne peut, par conséquent, tendre à faire tourner autour d'elle le conducteur mobile.

Nous allons pour servir d'exemple, appliquer les formules précédentes au cas où le système se réduit à un seul courant circulaire fermé.

Lorsque le système n'est composé que d'un seul courant, parcourant une circonférence de cercle d'un rayon quelconque m on simplifie le calcul, en prenant, pour le plan des ay, le plan mené par l'origine des coordonnées, c'est-à-dire par le milieu A de l'élément ab (fig. 14), parallèlement à celui du cercle; et pour le plan des xz, Delui qui est mené perpendiculairement au plan du cercle par la même origine et par le centre 0.

Soient p ei q les coordonnées de ce centre 0 ; supposons que le point G soit la projection de 0 sur le plan de ay, N celle d'un point quelconque M du cercle, et nommons o) l'angle AGN ; si l'on abaisse NP perpendiculairement sur AX, les trois coordonnées x, y, z du point M seront MN, NP, AP, et l'on trouvera facilement pour leurs valeurs :

z=zq, y = msin(i>, x=p — mcoso). Les quantités que nous avons désignées par A, B, C, étant respecti-

DES PH^NOMiNBS BLBGTR0-DTNAMIQUB8 37

vemeat égales &

yiz — zdy j*idx — xdz (*xûy^yix

/yûz — iûy r zûx — xiz r r^» • J r^* ' J

nous aurons

^ /*8înMdM

B = mq j

cosMdM . /*d«t

^ /*co8MdM • rdM

Si Ton intègre par partie ceux de ces termes qui contiennent siotti et cosci), en faisant attention que

donne

mp 8in«td«t

drss-t::

qu'on supprime les termes qui sont nuls parce que ces intégrales doivent être prises depuis ui = o jusqu'à ai = 9 ic, et qu'on mette les valeurs de Â, B, G ainsi trouvées dans celle de U,

U = Aco8E-}-Bco8i)-f GcosC, on obtiendra

w^ F/ . w • . PS /•«io* «•<!•• . /* d«*I

U=:ml(n+ i)(p*co8C — pfCOsQ J — ^ CO8ÇJ — J.

Or, Tangle ( peut être exprimé au moyen de C; car, en désignant par h la perpendiculaire OK abaissée du centre 0 sur le plan bkQ pour lequel on calcule la valeur de U, on aura A = 9 cos s +/) cos (, et cette valeur deviendra

D = m«j(n+.)[(;,' + ç«)co8Ç-A,]Jïî^-c08c/^

L'évaluation en est bien simple dans le cas où le rayon m est très petit par rapport à la distance / de l'origine A au centre 0 ; car, si on

la développe en série suivant les puissances de m, on verra que quand on néglige les puissances de m supérieures à 3 , les termes en m' s'évanouissent entre les limites o, a ic, et que ceux en m* s'obtiennent

en remplaçant r par / = sj p^ + y* ; il ne reste alors qu'à calculer les valeurs de

/ sin*(i>dcA et de / dco depuis ca = o jusqu'à ca=3ic;

ce qui donne ic pour la première, et aie pour la seconde; la valeur de U se réduit donc a

T7 — ,«• r(2ziil£2L^ (n+i)Ag-]

Pour plus de généralité, nous allons supposer maintenant que le courant fermé, au lieu d'être circulaire, ait ime forme quelconque, mais sans cesser d'être plan et très petit.

Soit MNL (flg. 15) un très petit circuit fermé et plan dont l'aire soit \ et qui agisse sur un élément placé à l'origine A. Partageons sa surface en éléments infiniment petits, par des plans passant par Taxe des z, et soit APQ la trace d'un de ces plans, et M, N ses points de rencontre avec le circuit X, projetés sur le plan des ay en P et Q. Prolongeons la corde MN jusqu'à l'axe des z en G; abaissons de A une perpendiculaire kE = q sur le plan du circuit, et joignons EG. Soit kpq la trace d'un plan infiniment voisin du premier, faisant avec celui-ci un angle dy; faisons AP = m et PQ = Zu. L'action du circuit sur l'élément en A dépend, comme nous l'avons vu, de trois intégrales désignées par A, B, C, que nous allons calculer. Considérons d'abord C, dont la valeur est

/xiy — yàx r

Cette intégrale est relative à tous les points du circuit, et si l'on considère simultanément les deux éléments compris entre les deux plans voisins AGNQ et AGn^, et qui se rapportent à des valeurs égales et des signes contraires de df , on verra que les actions de ces deux éléments doivent être ôtées l'une de l'autre, et que celle de l'élément qui est le plus près de A produit l'action la plus forte. Observant que

DS8 PH<N01liNS8 <LSCTR0-DTNAMIQUB8 39

pour avoir TactioD du plus éloigné, il fout remplacer u et r par u + ^^ et r + 8r, on trouve

(r + Iry

ces deux intégrales étant prises entre les deux valeurs de f relatives aux points extrêmes L, L' entre lesquels est compris le circuit.

La différence de ces deux intégrales pouvant être considérée comme la variation de la première prise en signe contraire, lorsqu'on néglige toutes les puissances des dimensions du circuit dont les exposants surpassent Tunité, il vient

Or

d'où

^ mSii -f zlz îr=— — ;

d'ailleurs l'angle ZAE étant égal à C» on a

cosC cosC

et, à cause des triangles semblables MH6, MSN,

BfH:BIS::GH:NS,

c'est-à-dire

ii:Jii::i —^:^z\

en tirant de cette proportion la valeur de Sx et la reportant dans celle de Sr, on obtient :

^^xcosC-Çj^ ^^^(ti«+i')co8S-yi ^^ ^HcosÇ-ç» ^^ •fCosC * itf*cosC * «rcosC *

et en substituant cette valeur dans celle de G, il vient

'^=/["^'ff:::i~"'-;^]-^t

Le circuit étant très petit, on peut regarder les valeurs de r et de js comme constantes et égales par exemple à celles qui se rapportent au centre de gravité de Taire du circuit, afin que les termes du troisième ordre s'évanouissent, en représentant ces valeurs par / et z^, l'intégrale précédente prendra cette forme

Mais ud<f est l'arc PK décrit de A comme centre avec le rayon u et PQ=8ti; donc ud(fiu est Taire infiniment petite PQpÇi et l'intégrale jud<fdu exprime Taire totale de la projection du circuit, c'est-àdire X cos 2^, puisque ^ est Tangle du plan du circuit avec le plan des xy ; on aura donc enfin

rn— i)cosÇ (n + i)gzn

G-L — j=n Fî~J^-

On obtiendra des valeurs analogues pour B et A, savoir :

__ r(n— QcosS (n+i)££,-|

On connaîtra ainsi les angles que la directrice fait avec les axes, puis-

A B C qu'on a pour leurs cosinus ^, tt, tt, en faisant

Quant à la force produite par Taction du circuit sur Télément situé à Torigine, elle aura, connue on Ta vu plus haut, pour expression

j n' dsT) sin e, e étant Tangle que fait cet élément avec la directrice,

à laquelle cette force est perpendiculaire ainsi qu'à la direction de Télément.

Dans le cas où le petit circuit que Ton considère est dans le même

DES PHÉNOMÈNES ÉLBCTRO-DTNAMIOUBS 41

plan que rélément ds' sur lequel il agit, on a, en prenant ce plan pour celui des 2y,

q=zo, co8C=i, co8i)r=o, cosC = 0, et par suite

D se réduit alors à C; e est égal à -, et l'action du circuit sur rélément

di devient

!•— 1 lï'df'X

Je vais maintenant exposer une nouvelle maoière de considérer l'action des circuits plans d'une forme et d'une grandeur ({uelconque.

Soit un circuit plan quelconque MNm (Qg. 16); partageons sa surface en éléments infiniment petits par des droites parallèles coupées par un second système de parallèles faisant des angles droits avec les premières, et imaginons autour de chacune de ces aires infiniment petites des courants dirigés dans le même sens que le courant MNm. Toutes les parties de ces courants qui se trouveront suivant ces lignes droites, seront détruites, parce qu'il y en aura deux de signes contraires qui parcourront la même droite; et il ne restera que les parties curvilignes de ces courants, telles que MM', mm\ qui formeront le circuit total MNm.

Il suit de là que les trois intégrales Â, B, C s'obtiendront pour le circuit plan d'une grandeur finie, en substituant dans les valeurs que nous venons d'obtenir pour ces trois quantités, à la place de \ un élément quelconque de Taire du circuit que nous pouvons représenter par d*X et intégrant dans toute l'étendue de cette aire.

Lorsque, par exemple, l'élément est situé dans le même plan que le circuit, et qu'on prend ce plan pour celui des 2y, on a

/•/•d*X A = o, B = o. c = (ii— i)jj— ,

et la valeur de la force devient

^-''ff^>-

d'où il suit que, si à chacun des points de Taire du circuit on élève une perpendiculaire égale à ^j, le volume du prisme qui aura pour base le circuit et qui sera terminé à la surface formée par les extrémités de ces perpendiculaires, représentera la valeur de jj j^ ; et

ce volume multiplié par ii'ds' exprimera l'action cherchée.

Il est bon d'observer que la question étant ramenée à la cubature d'un solide, on pourra adopter le système de coordonnées, et la division de l'aire du circuit en éléments qui conduiront aux calculs les plus simples.

Passons à l'action mutuelle de deux circuits très petits 0 et 0' (flg. 18) situés dans un même plan. Soit MN un élément d^' quelconque du second. L'action du circuit 0 sur dsf est, d'après ce qui précède,

n — 1 tï'ds'Xd^ ~ ?^^^~'

Nommant dy l'angle MNO, et décrivant l'arc MP entre les côtés de cet angle, on pourra remplacer le petit courant MN par les deux courants MP, NP dont les longueurs sont respectivement rdy et dr ; l'action du circuit 0 sur l'élément MP, qui est normale à sa direction, s'obtiendra en remplaçant dans l'expression précédente ds' par MP, et sera

n — 1 tï'Xdç

l'action sur NP, perpendiculaire à sa direction, sera de même

n — 1 tï'Xdr ""^ ^^^'

Cette dernière intégrée dans toute l'étendue du circuit fermé 0' est nulle, il suffit de considérer la première qui est dirigée vers le point 0, d'où il résulte déjà que l'action des deux petits circuits est dirigée suivant la droite qui les joint.

Prolongeons les rayons OM, ON jusqu'à ce qu'ils rencontrent la courbe en M' et N' ; l'action de M'N' devra être retranchée de celle de

DES PHÉNOMiNES ELECTRO-DTNAMIQUES 43

BiN, et l'action résultante s'obtiendra en prenant conune précédemment la variation de celle de MN en signe contraire» ce qui donne

nln — i) lï'Xdftr n(n — i) n'ïràwtr . — ou •—- — .

Or, rdf 8r est la mesure du segment infiniment petit MNN'M'. Faisant la somme de toutes les expressions analogues relatives aux différents éléments du circuit (y, et considérant r comme constant et égal à la distance des centres de gravité des aires \ et V des deux circuits, on aura pour Taction qu'ils exercent l'un sur l'autre

n(n— i) Wï!'

et cette action sera dirigée suivant la droite 00". Il résulte de là que Ton obtiendra l'action mutuelle de deux circuits finis situés dans un même plan, en considérant leurs aires comme partagées en éléments infiniment petits dans tous les sens, et supposant que ces éléments agissent l'un sur l'autre suivant la droite qui les joint, en raison directe de leurs surfaces et en raison inverse de la puissance n + 9 de leur distance.

L'action mutuelle des courants fermés n'étant plus alors fonction que de la distance, on en tire cette conséquence importante, qu'il ne peut jamais résulter de cette action un mouvement de rotation continue.

La formule que nous venons de trouver pour ramener l'action mutuelle de deux circuits fermés et plans à celles des éléments des aires de ces circuits, conduit à la détermination de la valeur de n. En effet, si l'on considère deux systèmes semblables composés de deux circuits fermés et plans, les éléments semblables de leurs aires seront proportionnels aux carrés des lignes homologues, et les distances de ces éléments seront proportionnelles aux premières puissances de ces mêmes lignes. Appelant m le rapport des lignes homologues des deux systèmes, les actions de deux éléments du premier système et de leurs correspondants du second seront respectivement

nfn — i) inV n(it— i) uïXm'

9 r^« % r^«in^«'

leur rapport, et par suite celui des actions totales, sera donc nù Or, nous avons décrit précédemment une expérience par laquelle on peut prouver directement que ces deux actions sont égales ; il faut donc que n = «, et, en vertu de l'équation i — n — a A = o, que

A = . Ces valeurs de n et de A réduisent à une forme très simple

l'expression

II' dsds'

de l'action mutuelle de d5 et de ds'; cette expression devient

j^ d«dr

Il suit aussi de ce que n = 2 , que dans le cas où les directions des deux éléments restent les mêmes, cette action est en raison inverse du carré de leur distance. On sait que M. de La Place a établi la même loi, d'après une expérience de M. Biot, lorsqu'il s'agit de l'action mutuelle d'un élément de conducteur voltaïque et d'une molécule magnétique : mais ce résultat ne pouvait être étendu à l'action de deux éléments de conducteurs, qu'en admettant que l'action des aimants est due à des courants électriques ; tandis que la démonstration expérimentale que je viens d'en donner est indépendante de toutes les hypothèses que l'on pourrait faire sur la constitution des aimants.

Soit MON (fig. 17) un circuit formant un secteur dont les côtés comprennent un angle infiniment petit, et cherchons l'action qu'il exerce sur un conducteur rectiligne OS' passant par le centre 0 du secteur, et calculons d'abord celle d'un élément MNQP de l'aire de ce secteur sur un élément M'N' du conducteur OS'. Faisons OM = «, MF = dtt, OM' = 5', MM' = r, S'ON = e, NOM = d e. Le moment de MNQP pour faire tourner M' autour de 0 sera, en observant que l'aire MNQP a pour expression t/dtide,

-tiVds — r— , a r*

DES PHÉN0MÊNB8 ÉLXCTB0*DTNAMIQUB8 45

et le moment du secteur sur le conducteur J s'obtiendra en intégrant cette expression par rapport kueiJ. On a

r* 2= «'• + ti* — lia' C08 »,

d'où

dr , dr ,

et, en différenciant une seconde fois,

d*r , dr dr difds Ai Au

ou, en substituant ^ T7 ^^^ x* leavs valeurs,

, (m — l'eus »)(#' — tfCOSs) } H jî = — C08t,

dtidf' ce qui devient, en effectuant les calculs et réduisant,

d*r tff'sin*»

''dïïd7+-H- = ^'

d'où l'on tire

itf' i dV

r* sin't dtidf"

substituant cette valeur dans le moment élémentaire, on a pour l'ex* pression du moment total

\ ... rrusAuAi i .., dt /•/• dV

-lîd»// -— = = " -:-T W â'Tj^^^^'

^ JJ r* 3 8m'» jj diidi*

En considérant la portion L'L' du courant y, et la portion L^Li du secteur, et en faisant L'L^ = ri, L^'L, = r/, L'L, = ri, L^L, = rÇ, la valeur de cette intégrale est évidemment

Lorsque c'est à partir du centre 0 que commencent le secteur et le

conducteur s\ la distance r', = o ; et si l'on fait OL, = a, OL*' = A, LTj, = r, on trouve que leur action mutuelle est exprimée par