de
a sm*8 ^ ' '
Quand le conducteur VU (flg. 19) a pour milieu le centre Lj du secteur, et que sa longdeur est double du rayon a de ce secteur, on a a= ô, et enfaisantLlijL, = «8=ir — e,
r\ = r\=ia, r^, = QasinO, r^ = aacos6, d6 = — adO,
en sorte que la valeur du moment de rotation devient
... de , . ^ ^, 1 att'd0(cos6 — sinO)
an' -T-T-(sme — cose) = r^— — — ^,
sm*6^ ' a sm*6cos"6
On peut déduire de ce résultat une manière de vérifier ma formule au moyen d'un instrument dont je vais donner la description.
Aux deux points a a' (flg. 20) de la table mn s'élèvent deux supports ab, dV dont les parties supérieures ci, db sont isolantes; ils soutiennent une lame de cuivre HdeE'de' pliée en deux suivant la droite HH', et qui est terminée par deux coupes H et H' où l'on met du mercure. Aux points A, G, A', G', de la table sont quatre cavités remplies de même de mercure. De A part un conducteur en cuivre AEFGSRQ, soutenu par HH' et terminé par une coupe Q ; de A' il en part un second A'EFG'S'R'Q' symétrique au premier ; ils sont tous les deux entourés de soie, pour être isolés l'un de l'autre et du conducteur HH'. Dans la coupe Q plonge la pointe d'un conducteur mobile QPONMLKIH revenant sur lui-même de K en I, et ayant dans cette partie ses deux branches PO, Kl entourées de soie; il est terminé par une seconde pointe plongée dans la coupe H ; NML forme une demi-circonférence dont LN est le diamètre, et K le centre ; la tige PKj9 est verticale, et terminée en jo par une pointe retenue par trois cercles horizontaux B,D,T qui peuvent tourner autour de leurs centres et sont destinés à diminuer le frottement.
XY est une tablette flxe qui reçoit dans une rainure un conducteur VJJi/khgoZC revenant sur lui-môme de ^ en o et doublé de soie dans cette partie ; ifkhg est un secteur de cercle qui a pour centre le point
DBS PHÉNOMiNXS tfLXCTR0-DTNAMIQ|uX8 47
Ar;les parties Ut et go sont rectilignes ; elles traversent en x le support ab^ dans le^el on a pratiqué une ouverture à cet effet, et se séparent en 0 pour aller se plonger respectivement dans les cavités A et G. A droite de FG se trouve un assemblage de conducteurs fixes et mobiles parfaitement semblable à celui que nous venons de décrire, et lorsqu'on plonge le rhéophore positif de la pile en G, et le négatif en G', le courant électrique parcourt les conducteurs GZo^AA/tUY, AEFGSRQ ; de là il passe dans le conducteur mobile QPONMLKIH, et se rend en H' par HH'; il parcourt ensuite le conducteur mobile symétrique H'I'K'L'M'N'O'P'Q', arrive en Q', suit le conducteur Q'R'S'GTE'A' qui le conduit dans la cavité A', d'où il se rend en G par le conducteur YU'i'f^kh'^o'TlCÎ ^ et de là dans le rhéophore négatif.
Le courant allant dans la direction LN dans le diamètre LN, et de h en A:, puis de k en /, dans les rayons hk^ kf^ il y a répulsion entre ces rayons et le diamètre ; de plus, le circuit fermé ghkfi ne produisant aucune action sur le demi-cercle LMN dont le centre se trouve dans l'axe fixe ;>H, le conducteur mobile ne peut être mis en mouvement que par l'action du secteur ghkfi sur le diamètre LN, vu que dans toutes les autres parties de l'appareil passent deux courants opposés dont les actions se détruisent. L'équilibre aura lieu quand le diamètre LN fera des angles égaux avec les rayons A/, kh ; et si on Técarte de cette position, il oscillera par l'action seule du secteur ghkfi sur ce diamètre.
Soit % i[ l'angle au centre du secteur, on aura dans la position d'équilibre
«•=- + 11 ou dcs^+il, 9 4
d'où Ton conclut
cosd — sinOscosd^cosf ttj = 98in j sinf j — •] =5 — ^tin-i|.
et
8indcostt = -sin9d=- cosi);
Mais il est aisé de voir que quand on dépUce, de sa position d'équilibre, le conducteur L'L' d'une quantité égale à sd9, le moment des forces qui tendent à l'y ramener se compose de ceux que produisent
deux petits secteurs dont l'angle est égal à ce déplacement, et dont les actions sont égales, moment dont la valeur, d'après ce que nous avons vu tout à l'heure, est
1 aiï'(cos6 — sinO) aatTySsinln
a sin"6cos*6 cos*i)
D'où il suit que les durées des oscillations seront, pour le môme diamètre, proportionnelles à
^sin^i)
COSïl
Faisant donc simultanément osciller les conducteurs mobiles dans les deux parties symétriques de l'appareil, en supposant les angles des secteurs différents, on aura des courants de môme int^isité, et on observera si les nombres d'oscillations faites dans un môme temps, sont proportionnels aux deux expressions
C0S1) cosV '
en appelant 97) et aV les angles au centre des deux secteurs.
Nous allons maintenant examiner l'action mutuelle de deux conducteurs rectilignes; et rappelons -nous d'abord qu'en nommant^ l'angle compris entre la direction de l'élément d^ et celle de la droite r, la valeur de l'action que les deux éléments de courants électriques ds et d/ exercent l'un sur l'autre a déjà été mise sous la forme
irds'r»d(r»cosp),
en la multipliant et la divisant par cos^, et en faisant attention que k= donne r" = -, nous verrons qu'on peut l'écrire ainsi :
jr*co8pd(r*co8P) = 5. d( ^U
cosp 'a cosp \ r I
d'où il nous sera facile de conclure que la composante de cette action suivant la tangente à l'élément d^ , est égale à
DBS PHÉNOMàNBS ÉLBGTRO-DTNAMIQUKS 49
et que la composante normale au môme élément, l'est à
iu'd.'t.ngpd(^).
expression qui peut se mettre sous la forme
i,rd.[d(5îH^)-^]
Ces valeurs des deux composantes se trouvent à la page 331 de mon Recueil cP observations électro-dynamiques ^ publié en 1822.
Appliquons la dernière au cas de deux courants rectilignes parddlèles, situés à ime distance a l'un de l'autre.
On a alors
^ a et la composante normale devient
«La a J*
Soit M' (flg.21) un point quelconque du courant qui parcourt la droite L, L/, et fUjP" les angles UM'L,, L'M'L, formés avec L,L, par les rayons vecteurs extrêmes M'U, M'L'; on aura l'action de ds' sur L' L' en intégrant l'expression précédente entre les limites p', P"^ ce qui donne
— iï'd«'(8in*p'co8p*+co8p*— sin^P'cosp'— cosp*);
mais on a à chaque limite, en y représentant les valeurs de s par If et*",
1'=*^— acotfl*=*'— acota*. d^ = ^^ = '^^: en substituant ces valeurs et intégrant de nouveau entre les limites
Pii ^ 6t p"„ Pi\ on a pour la valeur de la force cherchéei
- itYsinK — sinK - sinp; + 8inp; — -r^ + -r^ + -r^ r-^^ ,
a \ ^* * ^*^ ^^ sin p, sm K sm p; sinp;/'
ou
^"VîT"ïT""^'^ïT + â j-
Si les deux conducteurs sont de même longueur et perpendiculaires aux droites qui en joignent les deux extrémités d'un môme côté, on a
r\ =zr\ = a, et r', =t^^=c,
en nommant c la diagonale du rectangle formé par ces deux droites et les deux directions des courants, l'expression précédente devient alors
u'P ac
en nommant / la longueur des conducteurs, et quand ee rectangle
ti
devient un carré, on a -7= pour la valeur de la force ; enfin, si Ton
suppose Tun des conducteurs indéfini dans les deux sens, et que / soit la longueur de l'autre, les termes où ri, ri, rj, rj se trouvent au dénominateur disparaîtront; on aura
et l'expression de la force deviendra
IÏ7
qui se réduit à ii' quand la longueur / est égale à la distance a.
Quant à l'action de deux courants parallèlement à la direction de y, elle peut s'obtenir quelle que soit la forme du courant s. En effet la composante suivant à d s' étant
1^'d.df-^).
DES PHÉNOMÈNKS ÉLECTRO-DTN AMIQUES 51
l'action totale qu'exerce d*' dans celte direction sur le courant L'L" (fig. 21) a pour valeur
et il est remarfuable qu'elle ne dépend que de la situation des extrémîté3 L', L" du conducteur s; elle est donc la même, quelle que soit la forme de ce conducteur, qui peut être plié suivant une ligne quelconque.
Si l'on nomme a' et a" les perpendiculaires abaissées des deux extrémités de la portion de conducteur L'K" que l'on considère comme mobile, sur le conducteur rectiligne dont il s'agit de calculer l'action parallèlement à sa direction, on aura
et par conséquent
cosp' sin' p°'
" sin p"'
"ain'fl"
" sin p"
d'où il est aisé de conclure que l'intégrale cherchée est
a J\ einP'
cos* p"dp' coa*p'd9'\ sinp' /
Ungip'
Il faudra prendre cette intégrale entre les limilos déterminées par les deux extrémités du conducteur rectiligne, en nommant p,', pj et p", ^"^ les valeurs de P' et de jî" relatives à ces limites, on a sur-le-champ celle de la force exercée par le conducteur rectiligne, et cette dernière valeur ne dépend évidemment que des quatre angles pj , 3',', pj , Pj', Lorsqu'on veut la valeur de cette force pour le cas où le conducteur rectiligne s'étend indéHniment dans les deux sens, il faut &ire p;=PÏ = o, et Pi =Pi' =«: il semble, au premier coup d'œil, qu'elle devient nulle, ce qui serait contraire it l'expérience; mais on
voit aisément que la partie de Tintégrale où entrent les cosinus de ces quatre angles est la seule qui s'évanouisse dans ce cas, et que le reste de l'intégrale
tangiK ^tangip;\ i .„ tengip-.cot|p;
tengip'.cotip;
devient à cause qu'on a Pî = « — p" et Pi ^ « — p| ,
' .Y' T *»^°8*iP« .:■■ T ^"gj^ • « T o"
Cette valeur montre que la force cherchée ne dépend alors que du rapport des deux perpendiculaires a' et a', abaissées sur le conducteur rectiligne indéfini des deux extrémités de la portion de conducteur sur lequel il agit ; qu'elle est encore indépendante de la forme de cette portion, et ne devient nulle, comme cela doit être, que quand les deux perpendiculaires sont égales entre elles.
Pour avoir la distance de cette force au conducteur rectiligne, dont la direction est parallèle à la sienne, il faut multiplier chacune des forces élémentaires dont elle se compose par sa distance au conducteur, et intégrer le résultat par rapport aux mêmes limites; on aura ainsi le moment qu'il faudra diviser par la force pour avoir la distance cherchée.
On trouve aisément, d'après les valeurs ci-dessus, que le moment élémentaire a pour valeur
-it'dsrsmpd
Cette valeur ne peut s'intégrer que quand on y a substitué à l'une des variables r ou ^ sa valeur en fonction de l'autre, tirée des équations qui déterminent la forme de la portion mobile de conducteur; elle devient très simple quand cette portion se trouve sur une droite élevée par un point quelconque du conducteur rectiligne que Ton considère comme fixe, perpendiculairement à sa direction, parce qu'en prenant ce point pour l'origine des s\ on a
cosp'
DBS PUÉNOMÈNES ÉLECTRO-DTNAMIQUES 53
et que s' est uoe constante relativement à la différentielle , cos' p
- «""di' à (cos' f
La valeur du moment élémentaire devient donc
- lï'ds'siD'pcospd^,
dont l'intégrale entre les limites p" etp' est
— - «'d»" (sin' p' — sin* y).
En remplaçant ds' par les valeurs de cette différentielle trouvées plus haut, et en intégrant de nouveau, on a, entre les limites déterminées du conducteur rectiligne,
- ir[a"(coB p; — cos P^} — a' (coa p", — cos P', }].
Si l'on suppose que le conducteur s'étende indéQnîmenl dans les deux sens, il faudra donnera^;, p", P",, P'^, les valeurs que nous leur avons déjà assignées dans ce cas, et un aura
pour la valeur du moment cherché, qui sera, par conséquent, proportionnel à la longueur a" — a' du conducteur mobile, et ne changera point tant que cette longueur restera la même, quelles que soient d'ailleurs les dislances des extrémités de ce dernier conducteur à celui qui est considéré comme Qxe.
Calculons maintenant l'action exercée par un arc de courbe quelconque NM pour faire tourner un arc de cercle L,L, autour de son centre.
Soit M' (fig. 23) le milieu d'un élément quelconque d/ de l'arc L,L,, et a le rayon du cercle. Le moment d'un élément ds de NM pour faire tourner d«' autour du centre 0 s'obtient en multipliant la compo-
sanl6 tangente en M' par sa distance a au point fixe ; ce. qui donne
- airds d .
Nommant P', p" et r', Z' les valeurs de p et r relatives aux limites M et N, on a pour le moment de rotation de ds'
résultat qui ne dépend que de la situation des extrémités M etN.
Nous achèverons le calcul en supposant que la ligne MN soit un diamètre L'L" du même cercle.
Nommons a 6 l'angle M'OL'; MT étant la tangente en M' les angles L'MT, L"MT seront respectivement p' et P", et Ton aura évidemment
C08P'= — C086, cosp^ssinO, ^''avaasinO, r^ = aacos6.
L'action du diamètre L'L'' pour faire tourner l'élément situé en M sera donc
4 \cos6 sin6/
Lorsqu'on prend un point quelconque A de la circonférence pour origine des arcs, et qu'on fait AL' = G, on a
s' = G+aae et ds' = 2ade, ce qui change l'expression précédente en
