sin*0d6 C05'6d
-airl r-r- ),
a \ cosO smO /
qu'il faut intégrer dans toute l'étendue de l'arc L^ L, pour avoir le moment de rotation de cet arc autour de son centre.
0E9 PHÉNOMÈNES ÉLECTUO-DTNA MIQUK3
/ — — - = Ltang -8 + C08 8+C :
si donc on appelle aB, et 29, les angles L'OL, et L'OL, le moment total de l'arc L, L, sera
t»ngU+-^e,j tangos,
■ sÎD e, — COI B, -|- >în B, + COI 4,
Cette expressioD, changée de signe, donne la valeur du moment de rotation du diamètre L'L" dû à l'action de L, L,.
Dans un appareil que j'ai décrit précédemment, un conducteur qui a ta forme d'un secteur circulaire, agit sur un autre conducteur composéd'un diamètre et d'une demi-circonférence qui est mobile autour d'un axe passant par le centre de cette demi-circonférence et perpendiculaire à son plan L'action qu'elle éprouve de la part du secteur est détruite par la résistance de l'axe, puisque le contour que forme le secteur est fermé; il ne reste donc que l'action sur le diamètre. Nous avons déjà calculé celle de l'arc, il ne nous reste donc plus qu'à obtenir celles des rayons de ce secteur sur le même diamètre.
Pour les déterminer, nous allons chercher le moment de rotation qui résulte de l'action mutuelle de deux courants recliligoes situés dans le même plan, et qui tend à les faire tourner en sens contraire autour du point de rencontre de leurs directions.
La composante normale à l'élément d;' situé en M' (Qg. 34), est, comme nous l'avons vu précédemment,
-lï'dCfd
siQ^cos^
Le moment de ds pour faire tourner ds* autour de 0, s'obtiendra en multipliant cette force par s' \ on aura donc, en nommant M le
moment total,
sd« a \ r r)
d'où, en intégrant par rapport à 5,
d.'=iùYd.'(!iîil^p-/l^).
Mais, d'après la manière dont les angles ont été pris dans le calcul de la formule qui représente l'action mutuelle de deux éléments de conducteurs voltsûques, l'angle MM'L, = P est extérieur au triangle OMM'; et, en nommant e l'angle MOM' compris entre les directions des deux courants, on trouve que le troisième angle OMM' est égal à P — e , ce qui donne
f'sint
sin(p-.)' on a donc
lîld«' = itï'4^[cos38inPsin(P — «) + cos(p — •)+€). d« a sms*^
En remplaçant dans cette valeur cos (p — c) par
cos* p cos (P — «) 4" «lï^* P <^os (P — *)i on voit aisément qu'elle se réduit à
lîidf' = -«t'4^[cos«co8P + 8in«pcos(p — 0 + C]
qu'il faut prendre entre les limites ^ et ^'\ on a ainsi la différence de deux fonctions de même forme, l'une de P", l'autre de p', qu'il s'agit d'intégrer de nouveau pour avoir le moment de rotation cherché : il suffit de faire cette seconde intégration sur une seule de ces deux quantités : soit donc d* la distance OL" qui répond à P'', on a, dans le triangle OMX",
9 = 7^ — •' = a*'co8t — a*'8m»cotB% As'= — . >^^ ;
sm p'' ^ ' sm» p'
DE3 PHÊNOMÈNKS ÈLECTRO-DYN A MIQUES 'l7
et la quantité que nous nous proposons d'abord d'iatégrer, devient .., rcos«cosp"dP"
' ...,rcos«ci
,s(r-.)dp-],
doQt l'intégrale prise entre les limites p" et ^^' est
En désignant par/^j^ot/i', les perpendiculaires abaissées du point 0, sur les distances L"L,^ri', L"L, = r;', on a évidemment
^'^' ' • ' ' ' ^' sinp; sin« BinPÎ sint
et l'intégrale précédente devient
~ii'{p', — p'; — (r; — r^jcolt].
Si l'on fait attention qu'en désignant la distance OL' par a' on a aussi, dans le triangle OM'L',
sic" p'
un voit aisément que l'intégrale de l'autre quantité se forme de celle que nous venons d'obtenir, en y changeant p'î^p'i, '"î,'"") en p',,p[, ''») '■'i ; ce qui donne pour la valeur du moment de rotation qui est la différence des deux intégrales,
.«Vi-
'P\ + P'i - {r; - r', - '', + r-J cot .].
Cette valeur se réduit à celle que nous avons trouvée plus haut, dans le cas où l'angle * est droit, parce qu'alors cot « = o.
Quand on suppose que les deux courants partent du point 0, et que leurs longueurs OL", OL, (fig. 22) sont représentées respectivement par a et b, la perpendiculaire 01' par p, et la distance L"L, par
r, on a/; =p,p" =p\ =p\, = o, r'; = r, r'/ .= a, r; = *, r; = o, et
- tï'lp + (« 4" * — ^) col •]»
pour la valeur que prend alors le moment de rotation.
La quantité a + b — r, excès de la somme de deux côtés d'un triangle sur le troisième, est toujours positive : d'où il suit que le moment
de rotation est plus grand que la valeur -ii'p qu'il prend quand l'an-
gle e des deux conducteurs est droit, tant que cot < est positif, c'est-àdire tant que cet angle est aigu ; mais il devient plus petit quaad le môme angle est obtus, parce qu'alors cote est négatif. Il est évident d'ailleurs que sa valeur est d'autant plus grande que l'angle e est plus petit, et qu'elle croit à l'in&ni comme cot e à mesure que e s'approche de zéro ; mais il est bon de montrer qu'il reste toujours positif, quelque voisin que cet angle soit de deux droits.
Il suffit pour cela de faire attention qu'en nommant a l'angle du triangle OL"L, compris entre les côtés a et r, et § celui qui l'est entre les côtés b et r, on a
cot t =: — cot (« + P) , p =r a sin « = 6 sin p, r = a cos a -{- 6 ces p,
et par conséquent
a-|-6 — r = a(i — cos«) + 6(i — cosP),
=ptang^« + ptang^p, 3 a
et
» -.r 1 / 1 i 4 4 1 » • / /j tang I « 4- tang i p \
valeur qui reste toujours positive, quelque petits que soient les angles a et p, puisque tang (a +^)i pour des angles inférieurs à j, est toujours plus grand que tang a -f tang^, et à plus forte raison plus que tang -a + tang- p. Cette valeur tend évidemment vers la limite
