VI
Détente ou compression des vapeurs j la masse restant constante.
Nous venons de voir qu'aux températures ordinaires de nos expériences la plupart des vapeurs se condensent partiellement, lorsque, en rendant le maximum de travail externe, elles se détendent sans addition de chaleur. Il résulte directement de là que, pour empêcher ces vapeurs de se troubler parla détente, il faudra continuellement y ajouter de la chaleur pendant que leur volume s'accroît, et en soustraire pendant la compression pour les empêcher de se surchauffer.
Voyons quelle sera la valeur de cette addition ou de cette soustraction de chaleur. Reprenons pour cela notre équation
générale
rfQ r^ Mcdt 4- d.mr - ^' rfT.
La condition que nous posons maintenant, c'est que la quantité m^ de vapeur présente dans le mélange M de liquide et de vapeur reste constante. Il résulte de là
Q = — ^^iÇf— 9i, -^ ^i[rr— ri) — niij
rdT
Pour intégrer, il nous suffit de remplacer c et r par les équations (empiriques) qui donnent ces quantités en fonction de / (ou T).
Voici, tous calculs faits, les résultats auxquels on arrive pour Veau, Téther sulfurique et le sulfure de carbone, en se servant des nombres de ISI. Regnault pour la chaleur totale d'é>'aporation, et des miens pour la valeur de c (concernant les deux derniers liquides) :
Eau :
Q = m J 800, 736 log ^
— o,oooii27825(Tf — T,^)
H- 0,0000002 (T,^ — Tf) — M (y; — q/j. Éther :
Q = in.[67,364log(^)
-+- 0,000000^51 4 (T? — T^} — M(y/ — q/). Sulfide carbonique :
Q = mi[63,493 1 4 log J^ -Ho,ooo3 1 476(1» -T/)] -M(y.-9y).
Dans ces équations, les logarithmes sont népériens et ffi—qf est la différence des quantités de chaleur qu'il faut pour porter I kilogramme de liquide de zéro à ti et de zéro à tf.
Si, comme exemple d'application de ces formules, nous supposons que i kilogramme de vapeur saturée, mais sèche, de chacun de ces corps se détende de loo degrés a zéro ou de T,- = 372,85 kTf= 272,85, nous trouvons, pour Teau,
Q = + i49"',o6; pour le sulfure de carbone,
pour Véther, approximativement,
c'est-à-dire qu'il faut ajouter 1/19*^*', 06 à la vapeur d'eau et I j^',9 à celle du sulfure de carbone pour les empêcher de se troubler par la détente, tandis qu'il faut au contraire retrancher i5 calories à la vapeur de l'éther pour l'empêcher de se surchauffer, de prendre une température supérieure à celle de la saturation. Il va sans dire que c'est précisément le contraire qui aurait lieu par la compression : il faudrait soustraire 149*^', 06 à la vapeur d'eau et i5*^**,9 à celle du sulfure pour les empêcher de se surchauffer, et ajouter 1 5 calories à celle de l'éther pour l'empêcher de se troubler, de se condenser en partie.
L'évaluation du travail externe rendu par la détente de ces vapeurs ne présente pas de difficultés. Remarquons, en effet, que, bien que nous ajoutions de la chaleur à la vapeur d'eau, par exemple, pendant sa détente, sa température s'abaisse pourtant, puisque la saturation est maintenue. Le travail externe s'opère donc non-seulement aux dépens de la chaleur ajoutée, mais aussi aux dépens de la somme (C -+- AH) = U, appelée en général chaleur interne.
Or on a, pour la vapeur sèche, mais saturée.
U. = M^Uh-..)
et
il \ient donc
U == Vf - Vi = - M \qi - qj, ~ p/- ?,).
Pour la vapeur d'eau, on a
U = — ioo,5 -f- 575,43 — 496,2-)' = — ai'^^ÎG. Le tra^-ail F est donc du à Q et à rabaissement U, et Ton a F=- 4^5 149,06 -î- 21,36 = 170,42.425 = 72339'^^°'.
On trouverait de même, pour Féther,
l'/— U,= 38,o3; |K>ur le sulfure,
et, par conséquent, pour Féther,
|>our le sulfure,
i5.o - v^,88 425 = F = io53a^-.
Examinons de beaucoup plus près encore, comme physiciens et comme analystes, les phénomènes si intéressants qui font Tobjot de ce paragraphe. Pour bien spécifier, arrêtonsnous à Texemple (particulier de la vapeur d*eau, et voyons
dans quel sens cette vapeur saturée diffère d'un gaz comme lair, comme Thydrogène.
Supposons que nous laissions détendre de 200 de^;rés ^T,=: 472,85) à 5o degrés (T^= 3^2,85; 1 kilogramme de cette vapeur, en ajoutant sans cesse juste ce qu'il faut de chaleur pour la tenir saturée. L'équation
Q = M [800,736 log(&î^)
— 0,0001 la^SaS (472,85* — 322,85*'^
-t- 0,0000002(472,85' — 33a, 85'; — [qi — y/
donne ici
Q = Mi53«',3987.
Le travail rendu par la détente a pour valeur, comme on
a vu,
A 200 degrés, on a
a 5o degrés,
Il en résulte
et, par suite,
Mais, pendant cette détente, le volume de la vapeur passe de o"'-,i267 à i2'"*^,o49; ses 'parties se séparent donc énormément. Voyons si le travail interne dû à cette séparation peut être négligé, comme il le pourrait si nous opérions sur de l'hydrogène.
J'ai dit que je démontrerai que la capacité réelle de l'eau
(solide, liquide ou gazeuse) est o,4- Comme la température s'abaisse de 200® — 5o® = 1 5o®, la quantité de chaleur que représente cette chute est
En ajoutant cette chaleur à nos i53*^*',4 fournies du dehors, il vient
ce qui répond à un travail de
Or nous n'avons que 79712 kilogrammètres de travail externe; l'excédant
répond donc au travail interne positif que représente le produit de l'attraction moléculaire par le chemin total parcouru par les molécules. Ce travail est, comme on voit, fort considérable ; il s'élève aux —^ du travail total ! Le petit tableau suivant donne une idée de la manière dont croissent le travail externe et le travail interne avec la détente :
Température.
Volume, mo
Pression.
Travail externe.
Travail in
io333
4,io3
Il va sans dire que les nombres de la colonne du travail interne ne peuvent être qu'approximatifs ; pour qu'ils pussent être calculés rigoureusement, il faudrait que les divers élé-
ments qui entrent dans les calculs fussent déterminés euxmêmes avec plus d'exactitude expérimentale qu'il ne nous sera peut-être jamais possible de le faire ; mais, en les prenant tels quels, ils montrent suffisamment combien la vapeur satiurée de l'eau est différente d'un gaz (ou vapeur fortement surdiauffée). Le fait deviendrait plus frappant encore pour d'autres vapeurs, telles que celles du sulfure de carbone, de Véther, etc.; toutefois ici les éléments de calcul sont encore plus défectueux; c'est pourquoi j'ai préféré ne citer comme exemple que la vapeur d'eau.
Les deux problèmes que nous venons d'examiner, à savoir la détente ou la compression d'un liquide et d'une vapeur saturés, sans addition ou soustraction de chaleur, et puis la même détente, avec addition ou soustraction telles, que le poids de vapeur reste invariable, ces deux problèmes, dis-je, donnent lieu à une comparaison intéressante, au point de vue physique comme au point de vue mathématique. Lorsque, dans Téquation
nous faisons m^ = /tiq,. la valeur
We =
Jr 'T
trouvée pour /Wo, ou, pour mieux dire, le rapport — est celui
qui doit exister entre le poids de vapeur et le poids total (M — /Wo) -i- iWo de liquide et de vapeur pour que la masse finale de vapeur soit égale à la masse initiale ; peu importent les variations que subit m pendant le cours de la détente.
L'équation
Q = m. (r. - ro - £"-^) - ^^fJ'cdT
nous donne la quantité Q de chaleur qu'il faut ajouter ou retrancher à un mélange (M — nio) et /n© pour que la masse m^ reste invariable pendant le cours même de la détente. Il est visible que Q devient d'autant plus petit que m^ est plus petit par rapport à M — iWo. Si nous posons Q = o, il vient
'"• - ''^ ~ Jt. "r
Cette valeur de m^, quoique exprimée sous une forme trèsdifférente, devrait être la même absolument que celle qav donne l'équation
Elle ne l'est cependant qu'à peu près : ainsi, pour l'eau et sa vapeur, qu'on laisse se détendre de 5x2,85 à 272,85, ou de 2^0 degrés à zéro, cette dernière équation donne
/Wo =:
tandis que la première (Q = o) donne
/Wo =
On pourrait être porté, au premier abord, à croire que cette divergence indique un vice dans la construction des
équations fondamentales ; il n'en est rien cependant : elle nous montre simplement que les diverses formules empiriques, à l'aide desquelles on est obligé jusqu'ici de calculer r, y, c, ne répondent pas suffisamment à la réalité des phénomènes. Ces formules ont pour forme
q =z at -h bt'-h ct^... .
et, lorsque nous les introduisons dans nos équations fondamentales, les réductions ne lais'sent pas toujours subsister sous la même forme les divers facteurs empiriques A, B, C,...; a, 6, c, — Si ces facteurs sont légèrement inexacts, ou si les séries dont ils font partie ne répondent point à la vérité physique, il est évident que les diverses équations fondamentales ne peuvent pas concorder rigoureusement dans leurs résultats numériques.
La divergence que je signale a donc un caractère pratique utile, en ce qu'elle nous montre que les résultats de nos expériences les mieux faites ne sont pas encore à la hauteur des exigences de la théorie.
La comparaison des résultats obtenus, en posant m^ = m^ et Q = o dans nos deux équations, semble impliquer ime autre contradiction, sinon une erreur. J'ai dit que Téquation
ne suppose que l'égalité des quantités de vapeur initiale et finale. Le résultat que nous obtenons, en posant Q = o dans réquation qui répond à une masse invariable de vapeur.
semble prouver que m est invariable, même pendant la détente, lorsque nous avons adopté un rapport convenable entre M et /Wq. Tl n'en est rien pourtant, et Terreur ou la contradiction que je signale n'est qu'apparente. Remarquons que Q est la somme de toutes les quantités successives de chaleur qu'il a fallu ajouter pour maintenir m constant; mais ces quantités ne sont pas nécessairement toutes et toujours positives; en posant Q = o, nous forçons simplement les quantités positives à devenir égales aux quantités négatives. Ceci peut répondre à la vérité, lorsque nous arrivons à un certain rapport entre ; M — m^ et /Wo tel, qu'il faille tantôt ajouter, tantôt retrancher de la chaleur pendant la détente. On a alors, en un mot,
(Kjo + cKji 4- JQo-4-...-(Kj3 — ÔQi =o.
Il est, en effet, facile de s'assurer qu'en adoptant le rapport — ~ 2,0667 pour la détente totale (T© — T,} = 240**, l'équation
5Q = Wo \r^ ~ ^« — J . "Y" ) "" ^V • ^^'
donne, pour cKj, des valeurs non-seulement inégales, mais tantôt positives, tantôt négatives lorsqu'on opère par détentes successives, de 10 en 10 degrés par exemple.
Ainsi, en posant To — 5i2,85, To — $T = 5o2,85 dans l'équation
cfQ = TWo I 800,736 log Y^o
-0,0001127825 [1^2 -(To - 5T)*J -h 0,0000002 [TJ— (To — ÎT)»J
- 2,0667 mo{yo — y i)j»
propre à Teau, on trouve
En y posant ensuite To = 282,86 et T© — îT = 272,85, on
trouve
c'est-à-dire qu'au commencement de la détente il faut retrancher 5^, 72 pendant la chute de 10 degrés, tandis qu'à la fin de la détente il faut ajouter 18^,67 pendant la même chute pour maintenir
Voyons maintenant s'il existe une différence quant au travail de la vapeur, selon que nous maintenons la masse m constante pendant tout le cours de la détente ou que nous n'avons l'égalité qu*à la fin et au début.
Un kilogramme de vapeur d'eau, que nous laissons se détendre de 240 degrés à zéro ou de 5i2,85 à 272,85, coûte, pour rester saturé,
Q = 506,92 — (yo — ^i); et, conune on a
I/o = 245,2992 et q^ = o, il vient
La somme U ou (C -f- AH) est 63o^*',729 pour la vapeur à 240 dej^rés, et 575*^,43 pour la vapeur à zéro. La différence (630,729 — 575,43) = 55*^,3, ajoutée à 26i"**,G82, nous donne donc ce qu'a coûté le travail ; on a ainsi
AF = 3i6^*',98, d'où F = i347i7^«'°. Prenons maintenant encore i kilogramme de vapeur d'eau ;
mais, au lieu de lui fournir directement de la chaleur pendant la détente, mêlons-y (2^*, 0667 — i''*) = i'*, 0667 d'eau à 240 degrés, et laissons le mélange tomber de 240 degrés à zéro (5i2,85 à 272,86), en donnant le maximum de travail externe.
Pour porter de zéro à 240 degrés le poids i ,0667, qui nous sert à obtenir l'égalité initiale et finale de la vapeur, il nous faut 245***, 299 . 1 ,0667 = 26 1 "*, 69 . Cette dépense est la même que celle que nous avions faite pour tenir la vapeur continuellement saturée. Ck)mme ici nous n'ajoutons rien pendant la détente, le travail rendu est directement proportionnel à la différence des deux sommes, initiale et finale, Uq et U| ou U, — Uo. Nous avons
U, — Uo=M/ crfT-f-mo(pi — po) = M(y,-9o)-»-'Wo(p< — Pc)
OU, en nombres,
U, - Uo = - {i^^'h i''«,o668)(245"»,3 - o^*«)
-hi''»(575~«,43~385<«S43),
d'où
AF = 3x6^^98.
Cette quantité de chaleur employée en travail externe et, par suite, le travail lui-même sont, comme on voit, identiques à ce que nous avions trouvé en fournissant de la chaleur à la vapeur. Toutefois, si ici encore nous décomposons la détente en fractions, si nous divisons l'intervalle complet 5 12,85 — 272,85 en intervalles successifs et égaux beaucoup plus petits, nous trouverons que le travail externe rendu ne procède pas par parties égales entre elles.
Le résultat saillant et intéressant de cette discussion^ c'est que l'eau que nous melons en une certaine proportion con-
venable à sa vapeur se comporte par rapport à celle-ci, et pendant sa détente, comme un réservoir de chaleur qui fournit ce qui est nécessaire pour rétablir à la fin le poids de vapeur initial, mais qui, pendant le cours même de la détente, fournit tantôt trop, tantôt trop peu de chaleur, de telle sorte que le poids de vapeur présente subit des variations.
