Tbavail d£s forces iNnâRiEURES. — Soient M {ie^y^z) et

M' (^',y , z') deux points situés à une distance MM' = r. Soit fnm'p(f)

la force qu'ils exercent mutuellement l'un sur l'autre; supposons-la

attractive, c'est-à-dire dirigée de l'un des points vers l'autre. La droite

MM' fait avec les axes de coordonnés rectangulaires OX, OY, OZ, des

*c'-— ^ y'— y if'— ;?

angles dont les cosinus sont respectivement , -^

Conséquemmentlescomposantes, suivant les trois axes, de l'attraction du point M' sur le point M sont

mm! 9 (r) , mm'? (r) ^ ^ , mm'? (r) ^ ^.

Le travail d'une force est égal i la somme des travaux de ses comités. Si donc dxy dy^ dz sont les projections sur les axes rectanires du déplacement du point M le travail de la force p (r) est

^. Le travail de la force d'attraction du point M sur le point M' sera, l en tenant compte du sens de cette force,

La somme de ces deux travaux est

, i^^ {x' — x){dx'—dœ) + {:/—y)[dy'—dy) + [z'—z)[dr'—dr) — mmff\f) — .

Or

r = ylix' — a;f + (j^ — y)2 + (/ — zY,

.etdr est égal à la fraction qui multiplie mm' p (r); on a donc, pour le travail des forces mutuelles s'exerçant entre deux points,

-mm',{r)dr = -mm'^dr,

OÙ 4* {r) représente la fonction qui a pour dérivée p (r) dr.

49. Pour un système de points matériels, le travail des forces intérieures est égal à

— 2 171711 j dr'=. — dSi mm^ (r).

Posons — S mm' ^ (r) =: /. Cette fonction est appelée fonction des forces ; sa différentielle est égale au travail des forces intérieures pour un déplacement infiniment petit.

Supposons qu'un système déterminé ne soit soumis à aucune force extérieiure. Appliquons-lui le théorème des forces vives ; l'accroissement de forces vives est

y mvi^ «n*» 2

Cette expression doit être égale au travail des forces intérieures. Le travail des forces intérieures pour un déplacement infiniment petit du système est df. Ce travail pour un déplacement fini sera donc/i — /„, en représentant par /» et /i les valeurs de la fonction des forces, au

commencement et i la On du déplacement considéré. On a donc :

ce qui peut s'écrire

Cela étant vrai pour deux états quelconques du systèoMS on peut dire : Dana tout système qui rCest soumis à aucuns force extérieure^ la d^ rence entre la force vive et la valeur correspondante de la fonction des forçai est constante.

Représentons par C cette constante et écrivons

pour un état quelconque du système.

50. — On démontre que la fonction /passe par un maximum pour un état d'équilibre stable du système. Supposons qu'elle a plusieurs maxima; on pourra toujours supposer que le grand maxima est zéro; en effet, ç (r) renferme une constante arbitraire, et, par conséquent, / en renferme une aussi ; si on la détermine par la condition que nous venons d'énoncer, la constante C sera changée, mais l'équation (i) sera toujours vraie.. La fonction — / représente alors le travail positif que les forces moléculaires devraient effectuer si le système passait de l'état actuel à l'état d'équilibre stable défini par le plus grand maximum.

Les deux parties de l'équation ayant une somme constante, si l'une d'elle augmente, l'autre diminue. C'est pour cela que M. Rankine a proposé pour — /le nom d'énergie potentielle; c'est en effet le travail moléculaire maximum en puissance dans le système.

51. Evaluation des forces vives. — Supposons qu'un système possède en même temps un mouvement sensible et un mouvement vibratoire périodique. Soient a?, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point géométrique qui aurait le même mouvement sensible qu'un point matériel m du système et dont ce dernier ne s'écarterait que de très-petites quantités, par suite du mouvement vibratoire. Les coordonnées du point m peuvent être représentées par ar+Ç,y + t),;8f+C) en désignant Ç, t), 2^ des quantités très-petites.

La vitesse du point m a pour composantes

dt '^ dt' dt'^ dt' dt'^ dt'

La force vive de ce point est

2 Lvrf* ^ dtj ^\dt^ dti ^ \dt ^ dt) y

Elle est variable avec le temps. Nous allons en chercher la valeur

moyenne pendant un temps infiniment petit.

Définissons d'abord cette moyenne. La force vive à une époque donnée est^mr^. Prenons deux axes de coordonnées rectangulaires;

portons le temps en abscisse et la puissance vive correspondante en ordonnée. On obtiendra une courbe dont l'aire, pour un temps égal

à 0, sera I - mtP^di. L'ordonnée moyenne, c'est-à-dire celle qui, multipliée par le temps 0, reproduirait l'aire de la courbe, est

1 pi Ijo 2

mv^dt.

Supposons que le temps est infiniment petit du premier ordre, de telle sorte que l'on puisse négliger les variations de x et de ses dérivées; supposons, en outre, que le temps est très-grand par rapport à la durée d'une période du mouvement vibratoire, ce qui revient à supposer que celle-ci est du second ordre. En d'autres termes, la position et la vitesse du point géométrique ne changent pas pendant la durée d'un très-grand nombre de vibrations, et celles-ci ont une vitesse finie et une amplitude du même ordre que leur durée, c'est-àdire infiniment petite par rapport à 6. Remplaçons t;^ par sa valeur et développons :

1 fe /dz dl dy dii dz (^\ , Jo \dt dt dt dt dt dt}

dsj Or, — étant considéré comme constant, dt

-SÀ-^l^-W^

1 /•O <icd5, 1 dx r^dl ^ i da!r~\(^ - I m—-r-dt=--m-— I --d< = -mr- Ç .

Ojo dt dt dtjo dt d< L J"

I ; égale au plus Tamplitude d'une vibration, et cela quand est un

multiple de la durée de celle-ci ; c'est donc un infiniment petit relativement à 0. Il reste donc, après les calculs :

ce qui donne lieu à Ténoncé suivant : La forcé vive à une époque donnée e$t égale à la somme de la forcé vive seneibley celle du mouvement sensible j et de la moyenne de la forcé vive du mouvement vibratoire.

52 . Influence du mouvement vibbatoibe sur la roNoriON des forces. — La fonction/ est fonction des distances mutuelles et, par conséquent, des coordonnées des points du système. Le mouvement vibratoire modifie la valeur de la fonction des forces aune époque donnée, sans qu'il y ait pour cela de modification apparente dans les positions relatives que doivent avoir les points du système en vertu du mouvement sensible. Soient «, y, Zy a\ y\ /. . . les coordonnées des positions moyennes des points du système, c'est-à-dire des positions que ces points occuperaient dans le mouvement sensible s'il n'y avait pas de mouvement vibratoire. La fonction des forces a pour expression :

Si on prend la valeur moyenne de la fonction des forces pendant le temps 0, comme au numéro précédent, on voit que les termes du premier degré en Ç, t), ï disparaissent, tandis que les autres termes donnent, en général, une variation de la fonction des forces.

53. Application du THéoRÈMB des forces vives a un système MAT1ÊRIEL PLAC]6 DANS l'jîther. — Appliquons le théorème des forces vives à un système composé de points matériels pesants soumis à l'action de réther. Supposons d'abord que la transformation considérée n'est accompagnée d'aucune communication de chaleur avec l'extérieur.

L'accroissement des forces vives est égal à l'accroissement de la force vive sensible 11 \mv^^ — S^mVj^, augmenté de l'accroissement de la force vive du mouvement vibratoire, que nous représenterons par V,— Vj.

Le travail des forces se compose du travail des forces extérieures, S T F, et du travail des forces intérieures représenté par/, — f^. On a donc, en réunissant les termes,

M. Ilankine a donné les noms suivants à diiîérents termes de cette équation :

— / est V énergie potentielle,

2^7111?'^ + V est Véiergie actuelle^ qui se compose do Téncrgic sensible et de l'énergie vibratoire.

2^mr^+ V — /est V énergie totale.

V — / est V énergie intérieure^ c'est-à-dire Téncrgie d'un système s il n'avait pas de mouvement sensible et paraissait être au repos.

Par la lettre U, nous désignerons l'énergie totale ou l'énergie intérieure, suivant le cas, en ayant soin d'indiquer laquelle des deux.

54. — Supposons que le système matériel pesant soit isolé dans l'éther, c'est-à-dire qu'il n'ait aucune communication de chaleur avec les corps extérieurs et qu'il ne subisse l'action d'aucune force provenant de ces mêmes corps. L'énergie totale du système ne reçoit évidemment aucune variation. On a :

Simi;,2 + V,-/,=:2>V + V,-/,=U.

Supposons maintenant qu'en passant do l'état de 1 à l'état 2 le corps ait été soumis à l'action de forces extérieures, dont le travail est STF, mais qu'il n'ait eu aucune communication de chaleur. Pendant ce passage, l'énergie totale se sera accrue do S TF, car, d'après l'équation du n** 53,

S>t»,2 + V,— /.nSjmV + V,— /+STP.

Suivant quelles lois le travail extérieur se transforme-t-il en force vive sensible, en force vive du mouvement vibratoire, en variation de la fonction des forces? C'est ce qu'on ignore à peu près. — Dans les machines industrielles, les variations de la fonction des forces et les mou* yements vibratoires ont une faible importance; on les néglige, en s' efforçant de rester dans les conditions où les pièces ne se déforment pas notablement.

Supposons ensuite que le système ne soit soumis à l'action d'aucune force extérieure, mais qu'il reçoive une quantité Q de chaleur. On ignore suivant quelles lois cette quantité de chaleur se transforme en force vive sensible, en force vive du mouvement vibratoire, en variation de la fonction des forces; mais, ce que l'on sait positivement.