Les équations (15) et (16) donnent
d'où l'on déduit
dY dCvdt p dH dv ^ dv dp * ^^ dpdv^
dX __ dCp dt cfit dp "^ dp dv ' ^^ dpdv*
Formons l'équation (il) en remarquant que pour les gaz Cv et Cp sont indépendants de ^, p, v] on a
^^^ ~ ^^'^ dj^rfi. - ^' Or,, d'après l'équation (a) ,
dh 1
dpdv^^apoVo^
donc l'équivalent mécanique de la chaleur est
71. Prouvons que l'énergie intérieure d'un gaz n'est fonction que de la température d'une manière explicite. Il suffit pour cela de considérer U comme une fonction de t et d'une autre variable r, par
exemple, et de prouver que --r^ = pour les gaz.
De l'équation (13) on déduit
en remplaçant -j- par sa valeur tirée de l'équation (a). Si Ton remplace l dans réquation (2), en tenant compte de l'équation (6), on a
dv
En intégrant l'équation différentielle (1), on voit que U est une fonction du premier degré en <, car la constante no doit pas contenir r, d'après ce qui précède. On peut donc écrire
Cette équation signifie que Vénergie intérieure d'un gaz ne dépend explicitement que de sa température^ et que son accroiêsement est proportionnel . à V accroissement de la température»
Cette loi a été vérifiée par les expériences de Gay-Lussac et de M. Joule (n® 30); M. Person s'est basé sur ces expériences pour calculer l'équivalent mécanique de la chaleur (n® 31).
72. De la valeur de Z, déduite au numéro précédent, il résulte la loi suivante :
La chaleur latente de dilatation des gaz est proportionnelle à la pression,
73. Connaissant la fonction U et la fonction Z, il est facile d'exprimer dQ au moyen des variables t^p^ v.
On trouve par l'équation (3)
{e) dQ = C^dt + 9£IZ^ pdv,
OLpoVo
ou bien, en remplaçant le coefficient de pdv par sa valeur A,
dQ, = Cvdt + Apdv.
74. Dans cette dernière équation, supposons que dQ = 0, et remplaçons p par sa valeur tirée de l'équation (a), il vient
(Cp— C.)-%C, j-j-^=0.
Ce qui donne par l'intégration (n** 45)
(/) lOg pCr^Qp = [JL.
Cette équation exprime la loi de Poisson sur la détente des gaz qui ne reçoivent ni ne dégagent de chaleur.
75. Pour letude des propriétés eommones le point de départ le plus naturel foomi par I
Lte coefficient de dilatation ett le w^ime fom
Le rapport entre la eapaeiié eaUmiqme mina fr9man. volume spécifique est une même ecmttamU p^mr fimj ^ jn:^
L'équation (6) peut se mettre sûqs la i'^nie
Cp — C.
Ce qui prouve que la d^éremee adrt U» ^aspnotàe a V unité de volume^ est une mime condêode f'sisr %h9
Il résulte de cette loi et de la deccE^èine iocxusht, }c^.i::Utmxaent vut
— est aussi une même constante w:^ zrjist 'ja
Hydrogène. .
POU» Sri-
1,293 18 ' 0J27 -5Î 0,089 57 : ZMf^ f/i
JLS^f!^
ri
on a identiquement
A désignant une fonction de^ et r. On aura donc
et par conséquent
Il y a donc un facteur qui rend dQ, différentielle exacte. On doit ajouter qu'il y en a une infinité. Il est évident en effet que
est une différentielle exacte, car le second membre peut toujours s'intégrer, soit exactement, soit par approximation. Les facteurs propres à rendre dQ, différentielle exacte sont donc de la forme X<f{[Cj* Quand on aura trouvé l'un do ces facteurs, on en obtiendra un autre en multipliant le facteur connu par une fonction quelconque de l'intégrale du second membre de l'équation (6) égalé à zéro.
79. Cherchons le facteur pour les gaz parfaits. Les équations (15) et (16) donnent
dv dp
Portons ces valeurs dans l'équation (6), elle devient
dQ^ Gp -T- dv + Cv-y- dp.
Or l'équation (a) donne
dt p dt V
dv (xpoVo dp ixpoVo
On a donc
dQ = '■ ^ pdv + — î^ vdp.
Divisons le second membre de cette équation par pv et le premier par otpoVo (a + ^), qui est égal kpv^ on a
dQ ^ dv , ^^ dp
— -— - — yjp h <^» -^ .
— /il)
Le second membre est une dinercntielle exacte. Le facteur x est donc égal ka-^-t pour les gaz, en ne tenant pas compte d*un facteur constant.
On pourrait partir de Féquation [e] du n*^ 73, remplacer p par sa valeur tirée de (a) ; le second membre exprimerait encore une dilTérentielle exacte si on le divisait par a + ^ Cela doit être ; il suffit de le faire remarquer. De même on pourrait prendre pour variables indépendantes t et p.
80. LlQNES DE TRANSFORMATION PRINCIPALES POUR DES CORPS QUEL- CONQUES. Propriétés de ces lignes. — Les lignes isothermes sont données par l'équation F (f, py r) = o {n^ 1 9) pour des valeurs particulières de t.
Les lignes adiabatiques seront données par la fonction {a égalée à une constante arbitraire. En effet, on doit avoir rfQ =: o, c'est-à-dire d\L = o (n® 78) ; d'où on déduit pour la fonction ;x une valeur constante.
Les lignes d'égale énergie s'obtiendraient en égalant à une constante arbitraire la fonction U (n** 54).
81. Le travail des pressions extérieures égale j jkIv. Il est représenté géométriquement par Taire comprise entre un arc de la courbe qui représente une transformation quelconque et les ordonnées extrêmes. Par exemple, pour la transformation M| M2 (^o- 1)) 1® travail des pressions est représenté par MiMjM'jMV
Par les points Mj et Mg, menons les lignes adiabatiques correspondantes jAj et iJUj. Par le point M| faisons passer la ligne d'égale énergie correspondante Uj. Pour la transformation M| Mj, on a
EQ
z=\].^ — Uj 4- j pdvei / ^ dt == aire M| M, M '2 M'^
La ligne U| et la ligne \f.^ se coupent en B. Supposons que le corps passe de l'état M, à l'état B, en suivant la ligne adiabatique jji^. Il n'y a pas dans cette transformation communication de chaleur avec les corps extérieurs ; l'énergie, qui est U2 en M„ devient U| en B, comme en Mj, et U| — U, est transformé en travail des pressions qui est représenté par l'aire M2 BB'M 2. On a donc
U, — U2 + aire MaBB'M'a =
— su —
Remplaçons Uj — U, par sa valeur, on voit que la quantité de chaleur Q communiquée au corps pendant la transformation MfM^, finie ou non, est représentée en unités mécaniques par la somme des aires M,M,M',M', + M,BB'M'j.
82. Si un corps êoumis à une pression constante se dilate, quand sa température augmente, il absorbe de la chaleur dans toute transformation infiniment petite représentée par une ligne qui est au-dessus de la ligne adiahatique passant par Vétat initial ; il dégage de la chaleur dans le cas contraire.
Considérons une transformation infiniment petite quelconque représentée, je suppose, par M^Ms, située au-dessus de la ligne adiabatiquo [A|, je dis que le corps absorbe de la chaleur pendant cette transformation, dans le premier cas. Menons l'abscisse du point M-i; elle rencontre la ligne adiabatique iX| au point A. On peut remplacer la transformation M|Mj par la transformation MjAMj. En effet, dans ces deux transformations, rétat final du corps est M2, et par conséquent U2 — U| est le même dans les deux transformations. Ensuite l'aire M|AM-i est un infiniment petit du second ordre; donc Taire, qui représente le travail des pressions et qui est du premier ordre, est la même, à la limite, dans les deux transformations.
De l'état Mj à l'état A le corps n'a aucune communication de chaleur, puisque la transformation a lieu suivant une ligne adiabatique; mais de A en M2, il absorbe de la chaleur pour se dilater, d'après l'hypothèse. E dQ ou AU + pdv est donc positif, c'est-à-dire répond à une absorption de chaleur dans le cas considéré.
83. Deux lignes adiabatiques ne peuvent se rencontrer. Supposons que MjMj et MjA soient deux lignes adiabatiques se coupant au point M|. Pour passer de l'état Mj à l'état M2, il ne faut ni absorption ni dégagement de chaleur, si le point se déplace sur la ligne MjM? que nous supposons être une ligne adiabatique. Or la transformation M|M2 peut être remplacée par la transformation MjAM2 ; de Mj à A il n'y a pas de communication de chaleur, puisque nous supposons que M^A est une ligne adiabatique ; mais de A à M2 il y aurait absorption de chaleur par le corps en supposant, comme précédemment, qu'il se dilate quand sa température augmente. Ce résultat est en contradiction avec le premier. Il est donc impossible que deux lignes adiabatiques partent du même point.
84. Toute transformation figurée par une courbe qui va d*une ligne adia* batique à une autre est nécessairement accompagnée d^une coinmunication de chaleur avee V extérieur. Il suffit de remarquer qu'il en est ainsi pour une transformation infiniment petite figurée par une courbe telle que MjM2, qui unit deux lignes adiabatiques jxj et 1x2 très-voisines.
