Transformations réversibles. Cycles. Cycle de Carnot
— ol —
Les transformations que nous considérerons sont celles dites r^ivrtiblêê; cela veut dire qu'elles peuvent s eflectuer dans les deux sens. La réversibilité des transformations thermiques exige le concours de trois circonstances.
1® Le corps considéré doit avoir la même température que le corps avec lequel on le met en contact à une époque déterminée de la transformation. Dans la transformation M,Ms le corps al)sorbe de la chaleur; si la transformation est réversible, il de%Ta 1 abandonner de Mj en M|. Si le corps considéré avait été, de M, en Mj, en contact avec des corps extérieurs dont la température eût été sujKTicurc à la sienne, il en eût bien reçu la chaleur nécessaire à la transformation MjM) ; mais, dans le passage inverse de Ms en M,, il ne pourrait leur donner la chaleur qu'il doit dégager, car c'est un principe expérimental que doM une transformation purement thermique^ il ne peut passer de chaleur éTun corps plus froid sur un corps plus chaud.
2® Les corps extérieurs doivent exercer continuellement une pression igale à la force élastique du corps considéré.
Dans l'expérience de Joule [n** 30, 71), de l'air comprimé s'échappe dans un récipient où l'on a fait le vide ; cette transformation n'est pas réversible. Il en est de même de la transformation de la vapeur qui sort de la chaudière d'une machine.
3* Les pressions extérieures doivent être normaleSj c'est-à-dire qu'il ne doit pas y avoir de frottement entre le corps considéré et les corps eirtérieurs. D'après la nature du frottement, d'après ce qu'on observe journellement dans les machines, on sait que les forces de frottement s'exercent en sens contraire du déplacement relatif d'un corps par rapport à un autre sur lequel il frotte ; que le frottement absorbe, dans le sens direct aussi bien que dans le sens inverse de la transformation, une partie du travail des forces extérieures, ou bien qu'il occasionne dans les deux cas un dégagement de chaleur. Il ne peut donc y avoir réversibilité dans une transformation où il y aurait frottement entre le corps considéré et les corps extérieurs.
4® C'est encore un principe expérimental admis que V énergie sensible tend à se transformer en éiergie calorifique. D'après cela, de nombreuses transformations ne sont pas réversibles. Ainsi, deux corps en mouvement et qui frottent l'un contre l'autre s'échauffent, mais on sait que si on les chauffe on ne les mettra pas en mouvement.
A l'aide d'une machine de Clarke, on peut faire rougir un fîl do platine; mais en faisant rougir le fil de platine, on ne met pas en mouvement la machine de Clarke.
86. On appelle cycle une transformation représentée par une coui'be fermée, de telle sorte que l'état initial et l^état final sont identiques:
Tour réaliser une telle transfonnation, tantôt le ooips est en contact avec des corps extérieurs qui lui donnent de la chaleur, tantôt il est en contact avec d autres corps auxquels il en cède. La différence Q entre ces quantités de chaleur est celle qui entre dans le théorème des forces vives^ appliqué aux cycles; le travail des forces extérieures est mesuré par Taire enveloppée par la courbe C^rmée qui représente le cycle: réner^e totale ne subit aucune variation, puisque le corps revient i son état initial; on peut donc écrire
EQ =: jpdv.
Si Ton parcourt la ligne de transformation de telle sorte que Taire soit positive, on dit que la transformation s'opère dans le êens dired. Le corps considéré transporte de la chaleur de certaiiis corps, parmi lesquels se trouve le corps le plus chaud, sur certains auties où se trouve le plus froid ; la quantité de chaleur Q est transformée en travail sur les corps extérieurs ; c'est le cas d'une nuMchine motrice. Si Ton parcourt la ligne de transformation de telle sorte que Taire soit néf^ative, la transformation s'opère dans le sens inverse du précédent. Le corps considéré opère un transport de chaleur inverse du précédent, et la quantité de chaleur Q est créée par le travail des forces extérieures. C'est la machine précédente renversée; elle crée de la dktleur par le travail (voir au n* 98).
Le cycle de Camot est le plus important. Il se compose de deux lignes isothermes AB, E>C, définies par les températures /. et /, et de
deux lignes adiabatiques AD, BC, définies par les valeurs particulières ^4 ^ ji^ de la fonction ;*. Le corps qui se tranforme dans le $au directj suivant un cycle de Camot, ne prend de chaleur qu'à la source à la tempéra • ture supérieure <,, et n'en cède qu'à la source à la température inférieure «,. Le travail des forces extérieures, quand la transformation s'opère dans le sens direct ABCD, est représenté par Taire ABCDA • cette aire se compose de Taire positive A'ABCC diminuée de Taire I C'CDAA', de telle sorte qu'elle est positive. La transformation suivant j un cycle de Camot est réversible, en tenant compte des restrictior
ri^2.
que nous avons faites dans les numéros précédents (n" 70 et suivants) et d'où il résulte que le cycle de Carnot ne peut être réalisé exixTimentalement.
Deuxième tliéorème fondamental de la thermodynamique
ou théorème de Carnot.
87. Thïorèhx de Carnot. — Nous avons établi réciuivalcncc entre une quantité de chaleur et le travail correspondant, ot nous avons remarqué que la science sait pou de choses sur la transformation de la chaleur ou du travail en énergie ; cela fait Tobjet des deux précédents chapitres. Enfin, nous venons de voir qu'il y a transport de chaleur quand un corps se transforme suivant un cycle. Le théorème de Camot n'est autre qu'une des lois qui gouvernent ce transport ; il peut s'énoncer ainsi :
Pour tous les corps qui se transforment suivant des cycles de Carnot^ dans le sens direct et entre les mêmes températures extrêmesj il y a un rapport tonstant entre la quantité de clialeur transportée de la source la 2>lus cliaude h la source la plus froide et la quantité de chaleur transformée en travail.
Les lignes isothermes sont définies pour chaque corps par les températures extrêmes t^ et ^s, mais elles ne sont pas identiques, car une ligne isotherme dépend non-seulement do la température, mais encore de la nature du corps. Remarquons encore que le théorème de Camot est vrai quand on parcourt les cycles dans le sens contraire à celui qui est indiqué dans l'énoncé, seulement le transport de chaleur a lieu de la source la plus froide à la source la plus chaude.
Pour démontrer le théorème de Carnot, démontrons qu'il est vrai
pour deux corps quelconques. Soient, pour l'un, Q, la quantité de chaleur
qu'il prend à la source à la température f„ Q| celle qu'il abandonne
à la source à la température t^ ; pour l'autre, Q', la quantité de chaleur
qu'il prend à la source à la température f„ Q'| celle qu'il abandonne à
la source à la température t^, La quantité de chaleur transformée en
travail est, pour le premier corps, Q^ — Qj, et pour le second, Q'g — Q\.
vn Si TU et n désignent des nombres entiers, soit — le rapport des qu'an-
tités de chaleur transformées en travail ou bien un rapport qui en diffère très-peu dans le cas où ces quantités de chaleur seraient incommensurables. Ecrivons
m Qt — Qi
Il faut démontrer que Ton a aussi 7;!- = —.
Supposons d'abord que Ton ait mQ\ — wQi > 0. Associons les deux corps pour n'en faire qu'un système, mais de telle manière que le premier parcoure n fois son cycle dans le sens direct, et que le second parcoure le sien m fois dans le sens inverse. Le premier corps transportera une quantité de chaleur nQi de la source à la températiœe ^ à la source à la température ti ; le second transportera une quantité de chaleur inQ\ de la source à la température f^ à la source à la température ^,.
A la fin de cette opération, chaque corps est revenu à son état primitif, puisqu'il a parcoiu'u son cycle un nombre entier de fois. De plus, d'après l'hypothèse, n(Q, — Q,) — m(Q', — Q'|)=:0; ce qui veut dire que le travail des forces extérieures sur les deux corps considérés ensemble est nul. Il y aurait donc transport d'une quantité de chaleur mQ\ — nQi de la source la plus froide sur la source la plus chaude, sans qu'il y ait de changement dans le système intermédiaire, sans qu'il y ait de travail dépensé.
On arriverait à la même conclusion, en supposant nQi — mQ'^ > et en parcourant le cycle du second corps dans le sens direct et le cycle du premier corps en sens contraire.
Une telle conclusion est inadmissible, parce qu't/ né peut pasêer de chaleur (Tun corps plus froid sur un corps plus chaud sans qu\l se produise quelque phénomène mécanique équivalent. On a donc démontré que
88. Remarque sur cette démonstration. — Cette démonstration, due à M. Clausîus, n'est pas exempte de difficultés. Elle s'appuie en réalité sur les lois mécaniques de l'équilibre de température, qui ne sont pas connues. De plus la considération de sources infinies et parfaitement conductrices ne se prête à aucune vérification expérimentale.
Il est préférable d'admettre, comme un principe qui sera vérifié par ses applications indirectes, ce théorème que Camot a deviné en assimilant la quantité de chaleur Q2 à un poids qui tombe d'une hauteur figurée par ti — t^ on passant du corps le plus chaud sur le corps le plus froid. Son idée était d'ailleurs incomplète en ce qu'il ne tient pas compte de ce fait que Q2 ne passe pas intégralement d'une des sources sur l'autre, mais qu'une partie de cette chaleur est transforméeen travail.
Remarquons encore que dans cette démonstration et dans celle (n** 31) où nous établissons que l'équivalent mécanique de la chaleur est constant, nous nous appuyons en définitive sur l'axiome célèbre formulé par Lavoisier : Rien ne se perd^ rien ne se crée dans la nature.
Application du deuxième théorème fondamental.
89. DAtrrminàtion de la fonction d'intiégrabilité. — Nous avons vu, au n** 78, qu'on peut toujours poser dQ=:Xrf|jL, où la différentielle d\k est exacte et x est une fonction des variables indépendantes. Soient jjLjZr jx et |A, = jA + dix deux lignes adiabatiques voisines; x^ la valeur de X au point A, x^ sa valeur au point D (fig. 2, n® 86); Xi variera infiniment peu de A à B, et X| variera infiniment peu do D à C, puisque les lignes adiabatiques sont infiniment voisines par hypothèse. Pour la transformation AB, on aura Qg^zx^d'/.. Pour la transformation DC, on aura Q^=:\^d\fs, La valeur de d[j. est la même dans ces deux transformations, puisqu'elles ont lieu entre les mêmes lignes adiabatiques. On a donc
lim^« = ^.
Or, d'après l'équation (21) ^ est le même pour tous les corps, il
ne dépend pas des fonctions [a et dix qui déterminent les lignes adiabatiques; il ne dépend que des températures extrêmes t^ et t^,
La valeiu» du rapport - aux points tels que A et D de deux lignes
isothermes, qui se trouvent sur une même ligne adiabatique, ne dépend que des températures t^ et ^g des lignes isothermes.
La forme générale de x, pour un corps donné, est donc celle d'une fonction de la température, qui est la même pour tous les corps, multipliée par 9([x), particulière et arbitraire pour chaque corps. La fonction de la température est connue pour les gaz, c'est a + ^; comme elle est la même pour tous les corps, on a
La première conséquence que nous tirons du théorème de Carnot est celle-ci :
Parmi Ua fonctions d'intégrahiUté il y en a uncj fonction de la température seuhy qui est la même pour tous les corps,
90. TEMpfeATUBB ABSOLUE. — La fouction a + t=: 273 + 1, que l'on représente par T, s'appelle la température absolue. Le zéro absolu serait à — 273 degrés du thermomètre à air, si l'air était un gaz parfait ; en réalité il en diffère fort peu, et bien que l'expression T soit une fonction compliquée de la température indiquée par le thermomètre à air, les deux échelles différent très-peu.
La considération de la température absolue simplifie les énoncés de la thermodynamique.
Le zéro absolu indique une température telle que, si la plus basse, qui se réalise dans un cycle fini, est précisément ce zéro absolu, il devient impossible de transformer intégralement en chaleur une quantité de travail donnée. Dans cette opération il y a, en efîet, transport de chaleur des corps les plus froids sur les corps les plus chauds, et les corps à la température du zéro absolu ne pourraient abandonner de chaleur. Pour T =: on aurait r/Q = ; il n'y aurait donc pas communication de chaleur suivant la ligne isotherme T = 0, ce qui est le contraire de ce qui doit avoir lieu (n® 76, 82).
A plus forte raison ne peut-on faire descendre la température audessous du zéro absolu.
Le théorème de Carnot donne donc
(23) dQ = Tdi/.,
T étant le facteur d'intégrabilité commun à tous les corps.
91. Équations de William Thomson. — M. Thomson a déduit de l'équation (23) plusieurs relations importantes.
Prenons T et r pour variables indépendantes, l'équation (3) (n** 68) devient
ou
Cette expression étant une difTérentielle exacte, on a
«Y ^T ou
dv dT
Tirons la valeur de l et tenons compte de l'équation (10)
92. Prenons v et p pour variables indépendantes; l'équation (6)
donne
d'où
En développant et en intervertissant les termes, on a
(ij^ (h \(/y> (hj'
En vertu de l'équation (11)
^25) xÇ — Y^ = AT.
dp dv
93. Prenons enfin T et /> pour variables indépendantes ; Téquation (9)
donne
d'où
jCp A
dp d'ï ou
m dCp __^rrdh
et en tenant compte de l'équation (12)
