Equation de W. Thomson. L'équation («) donne
Or -7^ = d[ji. est une différentielle exacte des deux variables indé-
pendantes T et d;; il en résulte la relation
dT T '
ou bien
De l'équation (jy) et de la précédente, on tire
110. De la première équation du numéro précédent etdeTéquation (8), on déduit
f = <f, = ÇdT+d(î^),
m étant une^ fonction de la température seule, le second nombre est une différence exacte; en intégrant, on aura
Vapeurs saturées et sèches.
111. Volume spiciFiQui des vapeurs saturées. — La chaleur latente L et la tension maximum de la vapeur p sont des fonctions de la température seule qui, pour quelques liquides, ont été déterminées empiriquement par M. Regnault. L'équation (e) permet donc de déterminer w' — u pour toutes les températures. Le volume spécifique w variant peu, on le considérera comme constant, et l'on aura approximativement pour le volume spécifique de la vapeur saturée
, EL dT
VOLDUB SPÉCIFIQUE DE 1 GIl. DE VAPEUn d'eAU SATURÉE ET SÈCHE
Aux températures
u' calcul de
M. Clausius, par
la formule
précédente
u observé par
MM. Fairbairn
etTaite
u' calculé
d'après la loi de
Biariotta
et celle de
Gay-Lutsac
litres
litret
litret
On voit que u' décroît quand la température augmente.
p et v! étant des fonctions de la température seule, on peut les con» sidérer comme étant fonctions l'un de l'autre. M. Zeuner donne entre ces deux grandeurs la relation
où, pour la vapeur d'eau, n=l,0646 et 6=1,704.
Si l'on construit géométriquement l'équation ^m'*=&, on obtient une sorte de courbe hyperpolique qui partage le plan en deux parties telles que pour les points compris entre la courbe et les axes, il y a condensation partielle de vapeur, et que les points de l'autre partie correspondent à un état de vapeur surchauffée. Prenons, en effet, un point sur cette courbe ; il répond à un état de vapeur saturée et sèche à une pression^. Si on chauffe cette vapeur sans changer la pression, elle sedilate et tend vers l'état de gaz parfait. Cette transformation peut se représenter par une ligne parallèle à Taxe des volumes et qui conduit aux points de la seconde région. Si, au contraire, on diminue la température sans changer la pression, il y aura condensation partielle, et l'on sera conduit vers des points de la première région.
112. Chaleur spjécifique des vapeurs saturiêes. — En supposant h très-petit pour les liquides, puisque leur compressibilité est très-faible, on peut poser m=:Cp. Il en résulte que la connaissance de la chaleur latente suffît pour calculer m! chaleur spécifique de la vapeur saturée. En effet, d'après l'équation (S), on a
m'zzT
dT
On peut donner une autre expression de m'. Nous avons posé (n» 107)
mais, en vertu do l'équation (14), on a pour les vapeurs saturées car u' et j? sont des fonctions de la température seule, et, par suite,
On a donc
du ' dp du '
'dr''di~1r'
du'
D'après ce qui a été dit au n® 1 1 1 , on voit que --^^ est négativepour
Teau; le second membre se présente donc comme pouvant être, suivant les cas, positif ou négatif. Voici , d'ailleurs , un tableau de résultats calculés par M. Clausius :
Vapeur d'eau
Sulfure de carbone.
Vapeur d'éther
Pour la vapeur d'eau et la vapeur de sulfure de carbone, la chaleur spécifique de la vapeur saturée est négative ; pour la vapeur d'éther, elle est positive. Dans ces exemples , elle va en croissant avec la température. Il est permis de penser que tous les liquides se comportent de la même manière ; que la chaleur spécifique, négative au-des-
sous d'une certaine tompcraturo, devient ensuite positive et croit indéfiniment.
113. Condensation de la vapeur d'eau pendant la détente. — La valeur de dQ pour les vapeurs saturées et sèches s'obtient en faisant x^o^dxzzo dans l'équation du n** 107
dQ=:mVft=m'-r-; </««'= -r—.du,
an' du
du'
— et m' sont négatifs pour la vapeur d'eau; donc, dQ et du' ont le
(JfV
même signe pour ce corps.
Si l'on comprime de la vapeur d'eau, du' est négatif. Par suite dQ est négatif, c'est-à-dire que la vapeur dégage de la chaleur ; mais si l'on suppose que la compression est assez rapide pour que cette quantité de chaleur n'ait pas le temps de se répandre sur les corps extérieurs, elle échauffe la vapeur elle-même et la porte, par conséquent, audessus de son point de saturation. La vapeur d'eau est donc surchauffée par une compression brusque.
Si, au contraire, on dilate la vapeur saturée, dQ est positif, ce qui indique une absorption de chaleur. Si donc on veut maintenir la vapeur saturée et sèche, elle devra prendre une certaine quantité de chaleur aux corps extérieurs pendant sa détente. Quand les conditions du phénomène sont telles que les corps extérieurs ne fournissent pas cette quantité de chaleur, le volume sera bien m' -{- du\ par le fait de la détente; mais la quantité de chaleur contenue dans la vapeur sera trop faible de la quantité dQ qui la maintiendrait saturée et sèche au volume m' + du\ Il y aura condensation partielle. La vapeur d^eau se condense partiellement pendaiit la détente.
Ces phénomènes ont été démontrés, à peu près à la même époque, au moyen du calcul, par M. Clausius et par M. Rankine. M. Hirn en a fait la démonstration expérimentale. Dans un cylindre garni de plaques de verres il introduit de la vapeur d'eau saturée et sèche ; en ouvrant un robinet la vapeur sort dans l'atmosphère, se détend dans le cylindre, et l'on voit se former dans le cylindre un nuage opaque de gouttelettes liquides provenant de la condensation partielle.
Si l'on remplace la vapeur d'eau par de la vapeur d'éther, on produira la condensation partielle en comprimant la vapeur d'éther à l'aide d'un piston. C'est ce qu'indiquent les valeurs négatives de m' pour l'éther.
Mélange de vapeur et de liquide.
114. Éksbgis intérieurs d'un mélange de vapeur et de liquide. — Supposons un liquide enfermé dans un cylindre dont le piston se déplace précisément d'une quantité égale à la dilatation du liquide, c'es^à-dire de telle sorte que la pression soit toujours la tension maximum pour la température du liquide. Soit, pour un kilogramme du liquide, Uo Ténergie intérieure correspondante à la tension initiale jpo ; soit U rénergie intérieure à la température T et à la tension maximum correspondante, quand on a laissé se produire une fraction x de vapeur. Pour calculer U — Uo on peut se servir de la formule (g) en y faisant « = et en intégrant entre les limites qui donnent Uo et U, on a
mdt — A I pdu-^-hx — Ap{u — u)a;,
To t,'Po
Cherchons d'ailleurs directement cette formule. Faisons passer le liquide de l'état (To, po) à l'état (T|, p,). Ces deux états ont été définis précédemment. La chaleur nécessaire à cette transformation est
mdt, 'T.
Cette quantité de chaleur, d'après l'équation fondamentale, est égale à
on a donc
rT rT rp
j dU = E i mdt — 1 pdu.
«yTo »/To *,'Po
Si l'on volatilise un poids a de liquide, en ne faisant pas varier la température, et par conséquent la tension maximum restant la même (pour cela il suffit d'augmenter convenablement le volume par le déplacement du piston), la quantité de chaleur nécessaire à cette transformation est ha. Si l'on emploie la première équation fondamentale en appelant A'U la variation d'énergie pour cette transformation, w' le volume spécifique de la vapeur, u celui du liquide à l'état (T, />), on aura
EL^ = A'U+;>(w' — w)^.
Si l'on représente par U — Uo la variation totale de l'énergie, savoir
dU + A'U, on aura
U— U, = EfL«+ r mdU—piu—ujx—j pdu.
En intégrant par parties, on a
/ pdu:=:pU'^pgUo — 1 udp\
déplus, le volume spécifique du mélange est v = u+ [u — u)x. On peut donc écrire
U— Uo=E L4? + / mdt — 7>i?+p«tio+ / udp.
Si on désigne maintenant par les indices 1 et 2 deux états du mélange, la variation d'énergie est
U2 — U|=:E| L2.r2 — Lj^, I — P'Z^^2'^P\^\'^^ I f>^dt+ 1 udp.
Pour les liquides, le coefficient m varie peu, et on peut le prendre égal à Cj,, parce que la compressibilité est très-faible. Le volume spécifique u du liquide varie peu aussi. On peut donc poser, avec une approximation suffisante,
(60 U — Uo = EL^+ ECp(T— To)— ;>(t; — u),
et
M Uj — U^ = E[L2a?2 — L,^,] + ECp(Ta — T,)
—p^v^ ^PkV^-^ iPi—Pi)u.
115. TbAKSFOBIUTIOK d'un idLANGB DE LIQUIDE ET DE VAPEUB SUI- VANT UNE LIGNE ADiABATiQUB. — L'équatiou dcs lignes adiabatiques est d\x = 0, on a donc (n^* 1 10)
-^crr=d(^);
et si 1 et 2 sont les indices de deux états du mélange, on a pour l'équation d'une ligne adiabatique
Étant donnés Xf , T, pour le premier état du mélange, on en déduira
la quantité de vapeur saturée a^j Tj . Quant au volume du mélange, on le déduira de la formule v = tt + {u' — m)^, dans laquelle w' est une fonction de T.
Il n'y a aucune communication de chaleur dans cette transformation, puisqu'elle a lieu suivant une ligne adiabatique ; le travail extérieur, dû à la détente de la vapeur suivant une courbe adiabatique, est donc équivalent à la perte d'énergie intérieure. On a donc, d'après l'équation (0) et en représentant par S ce travail extérieur,
{p) S = U^ — Uj = E (L| a?| — La^a) + i^a^a — Pi ^U
— El wdT — / udp.
GUAPITRË III
