TKBfP^RATUBB DK FUSION. ChALKUB LATENTE DE FUSION. — La
température de l'état solide sous une pression p, ou la température de fusion sous la pression p^ est fonction de la pression.
La chaleur latente de la solidification retardée est plus faible^ en général, que la chaleur latente de la solidification normale. La démonstration est analogue à celle du n" 106 et est basée sur ce que la chaleur spécifique d'un liquide est plus grande que la chaleur spécifique du même corps à l'état liquide.
125. Transformation d'un mélange de liquide et de solide. — Soient v le volume de 1 kilogramme du mélange à la température f , et respectivement u et u' les volumes spécifiques du liquide et du solide au point de liquéfaction. Supposons que le mélange contienne un poids a du solide.
Prenons pour variables indépendantes ^ et a? et supposons que le mélange passe de l'état (^, a) à l'état {t+dt^ x+dx). Donnons un accent aux quantités qui se rapportent à l'état solide; on trouvera, en raisonnant conime au n^ 107, que la quantité de chaleur nécessaire à la transformation est
dQ = (l— ^)(Cp + A^)d^ + ^fc+A'^)d^ — Lc/;r.
Posons
on a
c/Q = [m+ (m' — 7n) œ\ dt — Lrf.r .
Comme au n** 107, on déduirait encore la variation de Ténergie intérieure
AdU = m + [m' — m)x — kp kpx ■ — - dt
+ [L — A/) (m' — xùî\dx.
126. L'équation de M. Clausius, déduite comme au n** 108, est
dfL , , . . , .dp
dt ' dt
L'équation de M. W. Thomson est
dLi L , ,
^ = fp + m — m ,
De ces deux équations on déduit :
127. Tempiérature de fusion de la glace. Regel. — La chaleur latente L étant toujours positive, u — w' et -^ sont toujours de même
signe.
En général, les corps se dilatent pendant la liquéfaction. La différence u — u' et, par conséquent, la dérivée -^ sont positives. Cela signifie que pour les corps en question la température de la fusion normale croît avec la pression. Pour le blanc de baleine, la paraffine, voir au n** 12 les chiffres qui résultent des expériences de M. Bunsen sur ces deux corps.
D'autres corps éprouvent une dilatation pendant la solidification.
ti — w' et -^ sont négatifs dans ce cas ; donc la température de la fusion
normale s'abaisse quand la pression augmente. L'eau offre un exemple
de ce phénomène. Dg,ns l'équation (1) faisons T = 273, L= 79,25,
« = 0,001, u=j^. Nous aurons
g =-0,007, qui est la valeur de la dérivée — pour la pression 760 millimètres et la
Il y a donc un rapport fini entre raccroissement d'une fonction et les accroissements correspondants des variables, quelque petits que soient ces accroissements.
On appelle dérivée la limite vers laquelle tend le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement d'une variable arbitraire dont elle dépend, quand ce dernier accroissement tend vers zéro.
129. Infiniment petits. — Les infiniment petits sont des quantités employées subsidiairement dans la solution d'une question, qui tendent vers zéro devant les quantités finies proposées, de telle sorte que la solution est indépendante de ces quantités.
Deux infiniment petits sont du même ordre quand leur rapport est fini. Ainsi, en vertu de la continuité, l'accroissement d'une fonction est, en général, un infiniment petit du même ordre que l'accroissement de la variable indépendante considérée.
Quelle que soit la forme géométrique ou analytique que l'on donne aux infiniment petits, on doit toujours les considérer comme dépendant les uns des autres , comme on le fait pour les fonctions et les variables dentelles dépendent. Pour cela, si c'était nécessaire, on pourrait les considérer respectivement comme des fonctions d'une même variable indépendante. Ainsi, supposons qu'un point se déplace sur une courbe pendant un temps dt\ l'arc parcouru, en vertu de la continuité des fonctions, est du même ordre que dt. Les variations des coordonnées sont également du même ordre que dt^ et par conséquent que l'arc parcouru ; et l'on aurait la variation de l'une des coordonnées en fonction de la variation de l'autre, en éliminant le temps.
Pour évaluer les aires planes, on les divise en tranches parallèles à l'un des axes, celui des y, par exemple, et on fait la somme de ces éléments. Le dernier peut être considéré comme la variation de l'aire quand œ varie de dœ. Cet élément est du même ordre que l'accroissement dœ.
L'angle formé par une tangente en un point variable sur une courbe avec la tangente en un point fixe, est une fonction de la distance des deux points sur la courbe. Quelle qu'elle soit, cette fonction, quand la distance des deux points est infiniment petite, cette distance est du même ordre que l'angle des deux tangentes en ces points, qu'on appelle alors l'angle de contingence.
130. Deux quantités infiniment petites peuvent être dans un rapport qui ne soit pas fini, et cependant on peut avoir besoin de considérer tantôt l'une, tantôt l'autre. On est donc amené à considérer les infiniment petits de différents ordres. Nous dirons que le rapport d'un infiniment petit a»+i, d'ordre n -f 1, à un infiniment petit a», d'ordre w, est un infiniment petit du premier ordre. Soit a un infiniment petit du
premier ordre; si k désigne un coefficient fini, kx représente, d'une manière générale, un infiniment petit du premier ordre.
De — — = kx^ on déduit a, 4., = kx.x^. Ce qui veut dire, en don-
nant à n des valeurs depuis 1 , qu'un infiniment petit du second ordre est égal au produit de deux infiniment petits du premier ordre, ce que Ton peut représenter par kx'^y k ayant une valeur convenable; qu'un infiniment petit du troisième ordre est égal au produit d'un infiniment petit du second ordre par un infiniment petit du premier ordre, ce qu'on peut représenter par yfca^, et ainsi de suite.
131. Sur l'emploi des infiniment petits. — Avant de donner des exemples d'infiniment petits de différents ordres, donnons les trois théorèmes suivants.
Si on y regarde de près, on reconnaît que les opérations à faire sur les infiniment petits ont pour éléments soit la recherche du rapport de deux infiniment petits, soit celle d'une somme d'infiniment petits.
Théorème I, — Lorsque deux inûniment petits ont un rapport qui tend
vers Vunité^ ils ne diffèrent que d^un infiniment petit d^ ordre supérieur,
Si lim. — , = 1, on a j7 = 1 + s. e tendant vers zéro, quand on
cherche la limite du rapport, est un infiniment petit; donc eA', qui est la différence entre A et A', est d'ordre supérieur à celui de A et de A' (130).
Ce théorème revient à celui-ci : On peut toujours remplcLcer un infini' m£nt petit par un autre {du même ordre) qui rCen diffère que d^un infiniment petit d^ ordre supérieur. Et en effet, quand on fera tendre vers zéro A et A', considérés précédemment, la limite de leur rapport étant l'unité, ces quantités seront égales.
Les deux théorèmes suivants sont des conséquences de celui-là.
132. Théorème II. — La limite du rapport de deux infiniment petits ne varie pas quand on les remplace par d'autres qui n^en diffèrent respec* tivement que d'infiniment petits tordre supérieur.
Soient A et B les infiniment petits proposés, et A', B' ne différant respectivement de A et B que d'infiniment petits d'ordre supérieur. 11 faut démontrer que
um. g = lim. -^ .
Or, on a identiquement
d'où
lim . rr = lim . -r; . lim ^^7 . lim -rr- zz lim -rr-. ;
car, d'après le théorème précédent, lîm -p = 1 , et lim kj = 1 •
133. Théorème IIL — Une somme de qiuintUéê in/inwient petites ne change pas quand on les remplace par d* autres qui rCen diffèrent respective^ ment que d*infiniment petits d^ ordre supérieur.
Soit A| + A2 + An une somme d'infiniment petits dont le nombre
n augmente indéfiniment quand ils tendent vers zéro, de telle sorte que la somme converge vers une limite finie. Remplaçons-les respectivement par les infiniment petits A'|, A'j, , A'„ tels qu'on ait
On aura
A', + A'2 4- A n = Aj + A2 + A„ + £,A| + 62AJ + enA,i.
Soit £ la plus grande en valeur absolue des quantités e^ tn\ on
aura
(A'4 + A'2+.....An)-(A4 + A2+ An)<£(A, + A2+ An).
Or, par hypothèse, quand n croît indéfiniment, A| + Aj + ^ ^^^
vers une limite finie, et e tend vers zéro; donc e(A| + A3+ An)
tend également vers zéro, et par suite la différence des deux sommes est nulle à la limite.
134. Les théorèmes que nous venons d'établir servent à Vélimina" tion des infiniment petits quand, dans une question, ayant trouvé une relation entre des quantités finies et des quantités infiniment petites, on cherche à passer à une relation entre des quantités finies seulement ou entre des quantités infiniment petites d'un ordre déterminé. Leur usage peut être ainsi résumé d'une manière générale : quand on passe à la limite, les infiniment petits disparaissent devant les quantités d'ordre inférieur. Ainsi les infiniment petits du second ordre disparaîtront devant les infiniment petits du premier ordre ou, en d'autres termes, quand on traitera une question en se servant d'infiniment petits du premier ordre, on n'aura pas à tenir compte des infiniment petits des ordres supérieurs, et ainsi de suite. Toute la difficulté consiste à bien établir les ordres des grandeurs que l'on considère et aussi à bien établir les rapports finis des infiniment petits qui sont de même ordre.
Pour l'évaluation de Fairo d'une courbe plane, considérons des tranches élémentaires comprises entre des ordonnées consécutives. L'aire de la courbe est égale à une somme de parallélogrammes dont la surface est de la forme y dx sinô (6 étant l'angle des axes). On néglige une somme de petits triangles dont les côtés sont les variations dy, dx des coordonnées et un petit arc de la courbe. Ces triangles sont plus petits en valeur absolue que les parallélogrammes correspondants dont la surface est de la forme dx dy sinô. Or cette surface est de second ordre (130); elle disparaît devant y do? sinô.
Il resterait encore à faire voir que les résultats obtenus, en faisant usage des infiniment petits, sont rigoureusement exacts. On procède, en apparence, comme pour un calcul d'approximation; les résultats n'en sont pas moins indépendants de la grandeur arbitraire attribuée d'abord aux infiniment petits et de la forme qu'on leur a donnée. Nous ne pouvons nous arrêter sur ce sujet; d'ailleurs ce que nous venons de dire sur les infiniment petits ne peut donner lieu à aucun doute à cet égard.
135. Exemples d'infiniment petits. — Lorsqu'on cherche la dérivée d'une fonction, on établit le rapport entre l'accroissement de la fonction et l'accroissement arbitraire d'une variable indépendante dont dépend le premier. Si Ay et A^ sont ces accroissements, le rapport se présente sous la forme -r^ = /(a? + Aa;). D'après
ce que nous avons dit aux n®" 128, 129, /[x + Ê^x] ne diffère de/ (a?) que
Ay d'un infiniment petit; représentons-le par s. On aura ■— =f (x) + e
ou ^y=f {x) Ax+tàx. On peut donc, à un infiniment petit du second ordre près, eAo?, représenter l'accroissement de la fonction par f{x) àx. L'égalité Ay =: / {x) àx exprime que, à partir éCune valeur déterminée de œ^ r accroissement Ay â^ une fonction est proportionnel h celui de la varidhle indépendante^ si Von néglige les injiniment petits supérieurs à celui de Ay et de àx.
Si l'on passe à la limite, c'est-à-dire si l'on suppose que Ay tend avec A^ vers zéro, et si l'on représente ces variations respectivement par df/y dx, qu'on appelle les différentielles de la fonction et de la variable, on aura rigoureusement pour expression de la dérivée
136i On apprend en trigonométrie à développer le sinus et le cosinus d'un arc plus petit que -^, en série ordonnée suivant les puis-
— ye —
sances croissantes de Tare. Soit a un arc infiniment petit du premier ordre; si, pour le sinus, on s'arrête aux infiniment petits du troisième ordre, et si, pour le cosinus, on s'arête aux infiniment petits du second ordre, on aura
Sin a = 1 — -n-,
Cosa =1 — -^,
c'est-à-dire :
La différence etitre un arc infiniment petit du premier ordre et son sinus est un infiniment petit du troisième ordre.
La différence entre V unité et le cosinus d^un arc infiniment petit du premier ordre est un infiniment petit du deuxième ordre.
Ajoutons :
Une droite Anie ne diffère de sa projection que d^un infiniment petit du second ordre^ quand V angle qu^elle fait avec Vaœe de projection est un infiniment petit du premier ordre.
En effet, soient l la longueur de cette droite et V celle de sa projection, on a
ï zzlcos (xzzlll — ^ j d'où
en négligeant, bien entendu, les infiniment petits d'ordre supérieur au deuxième. Dans toute question où l'on pourra négliger les infiniment petits du deuxième ordre, on considérera la projection d'une droite comme étant égale à la droite elle-même, si l'angle de cette droite et de l'axe de projection est infiniment petit du premier ordre.
137. Le volume qui aurait pour dimensions dœ^ dy, dz est du troisième ordre.
Nous voudrions multiplier ces exemples et puis ensuite montrer l'utilité des infiniment petits pour l'étude de la forme et de la mesure des grandeurs, quand celles-ci ne se ramènent pas directement aux notions premières; définir la courbure, etc., la pression en un point d'une surface, la vitesse d'un mobile en un point de sa trajectoire, les accélérations, etc. ; mais nous nous écarterions trop de notre but.
Difiérentielles partielles, différentielle totale d'une fonction de
plusieurs variables indépendantes.
138. Cas d'une fonction de deux variables indépendantes. — z:^/{x,7/) représente une surface. Soit M le point dont les coordonnées sont a?, y, et M' celui dont les coordonnés sont x + dœ^ y-^-ày.
Supposons que y ne varie pas d'abord ; z est alors fonction d'or seul.
Pour un accroissement dx donné à ^, le point M se transporte en N sur une droite MN située dans un plan parallèle à ZOX.
On peut dire sur une droite parce que l'accroissement de la fonction est proportionnel à celui de la variable, quand celui-ci est infiniment petit (135). Si fl,dx représente la dérivée de / (a?, y) par rapport à x seul, l'accroissement de la fonction est wN = fxdx. C'est ce qu'on appelle la différentielle partielle de z par rapport h, x\ on la représente
dz encore par — dx.
Si l'on avait fait varier y seul, on aurait eu la différentielle partielle
dz par rapport ^ç»y. Elle est égale à n'N' = -r- dyrzf^dy.
Si l'on fait varier à la fois x Gty,f{v + dx^y + dy) — fi^^y) est la différentielle totale de z. Je dis que cette différentielle totale est égale à la somme des différentielles partielles. Dans la figure, elle est représentée par m"M* et je dis que m"M' = nN + n'N'.
Dans fy ou /J (^, y) remplaçons x par x-^-dxet appliquons le théorème du n° 135, on aura
Fig. 4.
ou
fi{x + dx,y)=fi{x,y) + t
fi {x + dx^ y) dy =fidy + e dy.
Mais le premier membre est la différentielle partielle par rapport à y de la {onctionf{x + dx,y), dans laquelle x + dx est constant; c'està-dire c'est la différentielle delà fonction, quand, partant du point N on fait varier y seul. D'après le second membre, cette différentielle ne
diffère def^dy ou n'N' que d'un infiniment petit du second ordre; donc, si par le point N on mène une parallèle à l'axe des ^, on aura n''M' = n'N'.
D'après cette même construction, on a m"n" = nN; par conséquent m 'M' = n'N' + wN, ce qu'il fallait démontrer.
139. Cas d'une fonction d'un nombre quelconque de variables. —
La différentielle totale d^ une fonction de plusieurs variables indépendantes
est égale à la somme des différentielles partielles de la fonction,
dz dz dz Si dz représente la différentielle totale et si -^dx^-^dy^ T ^^
représentent les différentielles partielles, on a
dz , dz . dz -
dz = 'z-dx+ -rdy + T^dt
dx dy dt
Nous ne supposerons que deux variables indépendantes, car la démonstration que nous allons donner est facile à généraliser. La démonstration que nous avons donnée précédemment avait pour but de donner une représentation géométrique aux différentielles et de faire mieux comprendre la portée du théorème.
Par définition
dz = /[x + rf.r , 7/ + dy) — /(.r , y) .
On a identiquement
j^ /(>r + rf^, y + dy) —fix, y + dy) ^^^
dx ^ f{^yy+df/)—f{x,y) dy
la première fraction représente la différentielle def{xjy+dy) quand on suppose y + dy constant et qu'on fait varier x. On peut donc la remplacer par /i {x^ y + dy) dx. Mais fi {x^y + dy) ne diffère défi (^, y) que d'un infiniment petit du premier ordre, et par conséquent on peut dire que la première fraction est égale kfi dx.
La seconde n'est évidemment que fydy. On a donc
dzzzfxdx-^-fydy^ ou
, dz , dz ,
Les coefficients des différentielles des variables s'appellent les coçÇÇ-
cients différentiels ; on les représente souvent par les lettres X, Y,i ,
et on écrit
dz = Xdx + Ydy.
De la différentielle exacte d'une fonction de plusieurs variables
indépendantes.
