ATTRACTION AU CONTACT

Nous avons vu dans le chapitre V comment la théorie mécanique de la chaleur conduit à des formules qui fournissent les valeurs des dérivées du travail interne lorsqu'aucune dea données expérimentales nécessaires ne fait défaut. Avant la découverte des principes nouveaux, de telles questions étaient véritablement inabordables. Leur importance en mécanique, en physique et en chimie est si grande qu'on ne doit pas craindre d*en faire une étude détaillée ; nous allons nous y livrer dans ce chapitre et dans le suivant. Nous ferons servir les relations obtenues, en les associant avec d'autres quand le besoin s'en fera sentir, à la démonstration de théorèmes et de lois qui ont rapport aux propriétés les plus intimes de la matière. Mais, avant de commencer, il est utile de faire une remarque mise en avant par la plupart des auteurs qui ont écrit sur cette matière : le travail interne dépend surtout du volume qui ne peut s'accroître sans que les attractions moléculaires soient surmontées; il doit arriver cependant que, dans la plupart des cas, une variation de température à volume maintenu constant entraine des changements de position des molécules et par suite la production d'un travail interne. Toutefois, nous admettrons avec presque tous les savants^ et cela semble être une conséquence des faits connus, qu'en l'absence de tout travail chimique appréciable, cette dernière

ACTIONS MOLECULAIRES. 145

►ortion du travail interne est généralement beaucoup plus aible que celle qui dépend du volume et qu'elle peut être légligée au moins dans une première approximation. Au reste, a relation (65) et la loi qui en découle caractérisent les corps lans lesquels le travail dépend exclusivement du volume; 71) et (78) fournissent des relations équivalentes plus commodes dans certaines applications:

fdpV

(186) ECc'— c)=io333T^.

Lorsque les données physiques relatives à un corps vérifient Tune des équations (65), (i85), (186), on peut calculer le travail interne au moyen de la formule (64) ou de la formule (77); m^is là ne se borne point leur utilité. Le nombre obtenu par dies fait connaître en même temps deux autres quantités d'une jrande importance au sujet desquelles il est nécessaire d'établir de nouveaux théorèmes : l'attraction au contact et le travail le désagrégation totale.

Attraction au contact. — Concevons dans un corps une section plane qui le partage en deux parties. Si Ton veut séparer ces parties, on devra vaincre une force d'attraction totale qui, rapportée au mètre carré, sera indépendante de l'étendue de la surface de séparation et aussi des dimensions de chaque partie perpendiculairement à cette surface pourvu qu'elles dépassent le rayon e de la sphère d'attraction sensible. Soit A cette force que nous nommerons attraction au contact; pour chaque élément de la surface de séparation, elle est la somme des composantes normales des attractions des molécules situées ïur des droites qui traversent cet élément. Pour démontrer

l'égalité numérique de la dérivée » ^ ' du travail interne

146 CHAPlTBfi Viii.

et de l'atiractioa au contact A^sapposcmsiinaccroisBaiKstde Tolume du pendant lecpiel une distance qudeoaque prise dans le corps croîtra d'une fraction ^ de sa Taleor, et su^il x, y, z les coordonnées d'un point rapporté à trois axes reetangulaîres. Con^dérons un cube très-petit ayant pour dinoenaoïis iniliaks ixj ^2f, $2 et évaluons le trayail qui accompagne la dlalatÙMi du corps supposé homogène. Pendant que ^ derieot ix (I + A)? ^6 ^^^^ snmuHite les attractions des mcdécnks situées de part et diantre et dont la résultante A^^yèz tend yers A^yèz à mesure que 8x diminue ; A^ est oHmidre que A qui doit en prendre la place lorsqu^on passe à la limite : cda résulte des définitions. Le trayail correspondant à l'accroissement de ^x est donc

\^y ^yxk^x.

Pendant Faccroissemaat deèy^ la force est A^ èz}ix{i+k) et te diemin parcouru ^^9; on a donc pour expression du trayail

A^èxiyèzk{i+k).

Enfin l'accroissement de iz est accompagné d*un trayail

et le trayail complet produit par le cube pendant sa dilatatioD a pour yaleur

A,*x*»Jz(3ii:+3if + *^).

Rien ne s'oppose à ce qu'on imagine le yolume total u décomposé en cubes égaux à celui dont il yient d'êlre question et alors on a pour la somme des trayaux analogues

AiW(3t+3A*+*') ou A,du.

Cette quantité est plus faible que )e travail interne^ puisqu'il s'accomplit aussi du travail dans Tintérieur des cubes ; mais l'erreur commise est d'autant moindre que èx est lui-même plus faible^ et elle disparait totalement lorsqu'on passe à la

ACTIONS HOLÉGULAIRGS. 147

limite, ce qui exige qu'on remplace Aj par A. On a donc en supprimant le facteur commun du,

et Ton arrive à ce théorème :

La dérivée partielle du travail mécanique interne prise par rapport au volume égale l'attraction par mètre carré qu'exercent l'une sur Vautre les deux parties du corps situées des deux côtés d'une section plane.

Quand il s'agit des solides et des liquides, le second termede la valeur (77) trouvée précédemment est négligeable, et l'on a

quand t est nul ou négligeable en présence de 274, comme cela arrive aux températures ordinaires, il vient

(189) A = io333 X 274,4 g-.

Si un corps a pour densité par rapport à l'eau A = 5, on peut concevoir chaque cinquième de ses molécules distribué uniformément dans l'espace que ce corps occupe et nommer a l'attraction au contact due à Tun de ces cinquièmes seulement ; alors A vaudra évidemment vingt-cinq fois a et, en général, on aura la relation

{190) A = aA«.

Il résulte de (188) et (190) que, dans les solides et les liquides^ le quotient obtenu en divisant le coefficient de dilatation à pres&ion constante par le coefficient de compressibilité est profortionnel au carré de la demité et en raison inverse du binôme i^ dilatation.

La valeur de ^ est encore inconnue pour la plupart des corps ; remplaçons dans (189) cette quantité par son expression au moyen du coefficient d'élasticité Q et substituons en même

148 CHAPITRE Vin.

temps pour Â sa valeur (190); il vient, en rapportant désormais les attractions au contact au millimètre carré.

k désigne un nombre que Poisson croyait égal à -9 tandis que

Cagnard lui attribuait lavaleur2et M.Wertheimle faisait égala l'unité seulement. Les théoriciens ont basé leurs calculs relatifs à rélaslicité sur des hypothèses incertaines, et les observateurs n'ont soumis à leurs expériences que des corps trop peu variés pour qu'on puisse, dans Tétat actuel de la science, affirmer même que k est constant pour tous les corps solides. Voici les résultats obtenus pour cinq métaux :

Fer

Cuivre. . . .

Palladium.

Platine.. . .

Afc

II044 8i3i

69*4^ ii5,o

o,63ii 0,7121 0,2728 0,1874 0,2376 0,2626

ae»K

MOTBMNBS.

Ces métaux sont rangés ici dans Tordre que leur assignenlles équivalents chimiques, et cela rend facile à apercevoir la loi qui régit les attractions au contact ramenées à Tunité de poids spécifique. A Tinspection de la septième colonne, on reconnaît de suite qu'elles décroissent plus vite que les inverses des équivalents : par exemple, l'équivalent de l'or est à peu près triple de celui du cuivre, et la valeur de a pour ce dernier métal est environ neuf fois plus grande. S'il en était ainsi pour les autres corps simples, on serait conduit à la loi suivante :

ACTIONS HOLÉCCLAIRES. OQ

Les attractions au contact des corps simples ramenées à Vunité de densité sont en raison inverse des carrés de leurs équivalents chimiques, ou, ce qui équivaut, le produit de l'attraction au contact d'un corps simple ramenée à l'unité de poids spécifique par le carré de son équivalent est une quantité constante.

La neuvième colonne du tableau renferme ces produits dont

la moyenne est ^^- Les écarts pour ces cinq métaux sont

moindres que ceux que l'on remarque pour un même métal quand on tient compte de l'incertitude des données ; il y a donc lieu à admettre cette loi, car il par^t impossible d'attribuer au hasard les quatre vérifications dont il s'agit : elle sera d'ailleurs plus loin amplement confirmée.

Voici maintenant tes résultats obtenus en appliquant la for* mule (189) à quelques liquides:

Faui

6(i,3 73,î ^4.0 54,li

Éllier

7afi3 8i5i

Sgfi

kl,

ooooèï oooo;3

Esprit dBboiî

Sulfure de carbone

Remarque. — 11 ne faut pas perdre de vue que, dans ce qui précède, l'attraction au contact est obtenue en supposant que le travail interne dépend du volume seul. Dans les cas où il en est autrement, lorsque, par exemple, une élévation de température à volume constant suffit pour changer le groupe* ment moléculaire ou rendre moins intime la combinaison des éléments d'un corps qu'on étudie, les valeurs de ca' et de ^ peuvent être altérées par cette circonstance qui n'influe pas

150 CHAPITRE YIII.

d'ailleurs sur ratlraction au contact^ force qui, comme on le verra plus loin, ne dépend que de la densité et de la nature chimique. 11 est donc à craindre que les valeurs qui viennent d'ôtreobtenuesnesoient pas toujours suffisamment approchées. Nous verrons plus loin une formule avec laquelle ce genre d'erreurs est beaucoup moins à craindre ; quand les données fournies par l'observation seront plus nombreuses^ on pourra d'alieurs faire servir la loi précédemment obtenue et celles que nous y joindrons^ à distinguer et à mettre à part un petit nombre de résultats peu dignes de confiance.

Seconde remarque. — L'attraction au contact étant la force à vaincre pour produire la rupture^ d'un fil métallique par exemple^ on peut être surpris de voir qu'elle l'emporte en général sur la résistance à la rupture mesurée par des observateurs habiles; mais cela tient à ce qu'il est impossible^ dans les expériences^ d'égaliser la tension. On peut légitimement comparer le fil à un faisceau de fils plus fins qui^ tendus inégalement, se rompraient les uns après les autres. La différence est considérable pour les liquides^ même après les expériences intéressantes de M. Donny^ qui montrent que la cohésion est beaucoup plus grande dans Peau qu'on ne le croit généralement ; mais il ne faut pas perdre de vue que ce qui vient d'être dit pour les solides s'applique mieux encore aux liquides.

Travail de désagrégation totale. — Soit u le volume d'un kilogramme d'un corps quelconque à la température t maintenue constante et sous la pression j). Supposons pour fixer les idées que ce corps ait la forme cubique et partageons -le au moyen de plans parallèles en n tranches d'épaisseur très-petite 8œ et de base s ; on a alors

(192) u = ns8x.

Lorsqu'on veut séparer Tune de l'autre deux parties du cube dont répaisseur surpasse la dislance e au-delà de laquelle les

attractions cessent d'être sensibles^ il faut vaincre d'abord l'attraction au contact sA ; mais la résistance à surmonter décroit très-Tite à mesure que les deux tranches s'éloignent parallèlement Tune de l'autre^ nommons-la sy lorsqu'elles sont séparées par une distance x<it. A la distance x + 8x, elle sera sy + s8y, et si Ton suppose fixe la première partie du cube^ il suffit évidemment de soustraire ces deux quantités Tune de l'autre pour avoir l'attraction de cette partie fixe, d^épaisseur plus grande que &, sur la couche d'épaisseur 8œ comprise entre les distances x et x-i-Sx; cela donne

Pendant un éloignement 8x, cette tranche est attirée de moins en moins ; par conséquent le travail dépensé est inférieur à

-^sèx 8y, La séparation complète exige un travail moindre que

— b8x f ^y = sX8x.

Si^ pendant le parcours ^x, on attribue au contraire à la force la valeur qu'elle possède à la fin^ on obtient un résultat trop faible ; ainsi le travail nécessaire pour séparer une tranche

surpasse

Pour isoler les n tranches dont le corps entier se compose, on

voit, en tenant compte de (192), qu'il faut un travail compris

entre

Au et (A + ^A)u.

Si Ton fait décroître 8x de plus en plus, ^A devient néghgeable, et il reste pour valeur

{193) Au.

n est évidemment permis de ne pas tenir compte de ce que les parties voisines de la surface ont d'incomplet, de ce que

152 CHAPITRE Vin.

Ton effectue réellement n — i séparations et non n ; enfin de ce que la surface primitive peut différer de celle d'un cube : tout cela est négligeable.

Le partage ultérieur d'une tranche en filets n'exige qu'un travail infiniment petit du premier ordre^ et le partage des filets en cubes n'occasionne même plus qu'une dépense de travail infiniment petite du second ordre ; en d'autres termes, dans une tranche d'épaisseur infiniment petite^ la ténacité ou l'attraction au contact a disparu. Ainsi, on arrive à ce nou« veau théorème :

Le travail de désagrégation totale d'un kilogramme d'tin corps quelconque égale le produit de l'attraction au contact par le volume, ou^ ce qui équivaut, le travail de désagrégation totale de l'unité de volume égale F attraction au contact.

M. Massieu^ ingénieur des mines et mon collègue à la Faculté de Rennes, m'a proposé une démonstration différente^ que je vais donner ici avant d'exposer une partie des conséquences de mon théorème.

a Désignons par f{f) l'attraction de deux points matériels du poids d'un kilogramme^ à la distance p; /*(p) étant une fonction qui décroît vite et qui s'annuUe dès que p atteint une certaine valeur limite e toujours très-petite.

i*" Valeur de V attraction au contact, — » Soit maintenant un point matériel M de un kilogramme et cherchons son attrac-

Fig. 10.

tiou sur un corps indéfini RSTU {fig. lo) limité du côté du

)oint M par une surface plane RS. Prenons dans ce corps^ lont le poids spéciflque est représenté par A^ une couche inûliment mince PQ, dont la distance MV au point M sera désignée )ar r, \ représentant ia distance MPf du point M à la surface limite RS. Nous allons chercher Tattraclion sur le point M de la couche PQ indéfinie et d'épaisseur infiniment petite dr.

x> Considérons un petit cylindre découpé normalement dans cette couche PQ et ayant pour base l'espace annulaire cLotl compris entre deux cercles de centre V et de rayons Va et Va'. L'attraction de ce petit cylindre sur le point M sera dirigée suivant MV et sera égale^ en désignant Va par R, aa' par dR et l'angle VM a par 6, à

2'7rRdRdrA/*(p)cos6,

p étant la distance Ma ; or on a

R« + r«=û«, cos6 = ~.

Comme r est constant pour toute la couche PQ^ on aura RdR=pdp et RdRcos6 = rdp.

La force attractive du petit cylindre annulaire aa' sera donc

2irArdr/'(p)dp

et l'attraction dE de la couche totale PQ sera

f(p)dp.

^(p]dp est une fonction de r qui s'annuUe dès qu'on a

*" > e puisque alors /"( p ) est nul. » Posons

/oo ^f(p)dp = <p(r);

f (0 s'annuUera aussi dès que r sera > i ; nous aurons donc

dE = 27rA<p(r)dr.

Ea intégrant cette expression depui8r=MN ou X jusqu'à r=oo ,

154 CHAPITRE vni.

ou simplement jusqu'à r=:8, j'aurai la valeur de rattraction E exercée par tout le corps RSTU sur le point M ; c'est-à-dire

E = 27vA / o(r)dr.

Ceci posé, nous allons facilement trouver Texpression de Tattraction au contact par unité de surface, par mètre carré par exemple.

» Soit un corps indéfini divisé idéalement en deux parties X et Y {fig, 1 1) par «i |ilan RS.

Fig. H.

» Supposons que nous prenions dans le plan PQ une surface de I mètre carré ; l'attraction au contact des deux parties X et Y l'une sur Tautre sera la résultante des attractions de la partie X, et toutes ses attractions seront normales à RS ; on n'aura donc qu'à les ajouter pour avoir leur résultante.

» L'attraction d A exercée par la partie X sur la couche pi de la partie Y située à la distance 1 de la surface de séparation RS et d'épaisseur dl sera, par mètre carré, d'après ce qu* précède,

dA=2^ç^X^d'k j <p(r)dri=27rA*d)i / (f{r)dr.

» Si nous intégrons Fexpression précédente depuis 1=^ ^ jusqu'à > = e, nous aurons, pour Tattraction au contact pa^ unité de ^urfacej

A = 27rAM dl 1 9(r)dr,

OU bien, en remarquant que — 1 <p(r) dr = — <p(>.) et en intégrant par parties

Or la première partie de la valeur de A est nulle ; on a donc

A = 27rA« I r<p(r)dr.

20 Travail de désagrégation totale. -— » Une molécule M est soumise à Tattraction de toutes les molécules qui Fentourent jusqu'à la distance limite e; la désagrégation sera complète, par définition, quand chaque molécule H du corps aura été amenée à une distance de toutes les autres plus grande que e.

B Le travail total de désagrégation s'obtiendra en prenant la somme des travaux de toutes les forces réciproques exercées par les molécules les unes sur les autres, depuis les positions que ces molécules occupent, jusqu'à celles où elles doivent être amenées pour que la désagrégation soit complète. Cher-

choQS d'abord le travai 1 opéré dans la désagrégation par les forces

qui agissent sur une molécule M du corps; nous désignerons

par ]L le poids de cette molécule.

'Imaginons autour du point M (/i^. 12) une couche matérielle

Fig.13.

lo&niment mince, comprise entre deux sphères de centre H

456 CHAPITRE YlII.

et de rayons reir+dr;\e poids de cette couche sera

4iïr*drx A,

et le travail opéré par les forces attractives que les divers éléments de cette couche exercent sur la molécule M, dans la désagrégation complète^ sera

4irr*A(jL(ir / /'(p)dp.

Si nous intégrons maintenant cette expression depuis r=o jusqu'à r = 6^ nous aurons le travail dT de toutes les forces attractives exercées sur la molécule M par toutes les autres ; nous aurons donc

dT=47rA[jLp r^dr rV(p)dr=47rA(iL P<p(r) rdr.

Soit n le nombre des molécules de poids [i comprises dans Tunité de volume du corps : en multipliant Texpression précédente par n, on aurait la valeur non pas du travail total T de désagrégation, mais du double du travail, puisque les forces attractives exercées par les molécules les unes sur les autres sont réciproques et qu'en faisant ce qui vient d'être dit on aura compté deux fois le travail de chacune de ces forces ; on aura donc

T = 2irn(jLA/ (p(r)rdr;

mais n[iL n*est autre chose que le poids de toutes les molécules comprises dans Tunité de volume, on a donc

n(jL = A;

d'où

= 2'jrA* I (p(r)rdr,

T = A et a = 2ir| cp(r)rdr.

A est Fattraction au contact par unité de surface, T est le tra-

vail de désagrégation totale de Tunité de volume ; le travail de désagrégation totale pour le volume u sera donc Au, et, si u représente le volume d'un kilogramme de la substance^ Au sera le travail de désagrégation totale de ce kilogramme. »

Etudions maintenant les conséquences du théorème relatif au travail de désagrégation totale. Dans Fexpression Au on

peut d'abord remplacer les deux facteurs par a A* et ;

il en résulte

(194) Au = aA'u = =

1000 lOOOOOOU

et l'on arrive à la loi suivante :

Pour un même corps prenant des volumes variés^ le travail de désagrégation restant à accomplir est proportionnel à la densité ou en raison inverse du volume,

Celaposé^ considérons un kilogramme d'un liquide à saturation, c'est-à-dire sous la pression de la vapeur saturée qu'il peut produire à la température à laquelle il se trouve^ et conservons les notations précédemment employées. Pour passer à l'état de vapeur, ce corps exige une quantité de chaleur équivalente au travail EL; si Ton retranche le travail externe P(t?— u) et si Ton ajoute le travail A^v de désagrégation totale, en parlant de l'état gazeux, on obtient évidemment le travail total de désagrégation à partir de l'état liquide; on a donc, en continuant à rapporter A et a au millimètre carré pour éviter les trop grands nombres,

(igS) iooooooAu=EL + iooooooAjV — p{v — u).

Dans cette relation le signe < doit remplacer le signe = quand le passage à l'état de vapeur est accompagné d'un travail chimique non négligeable.

La loi qui précède donne d'ailleurs

A/o = Au -; ' V

i58 CHAPITRE YlII.

on peut donc mettre (igS) sous la forme

(196) 1000000 Au =1000 a A == pv.

Toutes les fois que - est négligeable par rapport à un et pv par rapport à EL^ il reste seulement

(197) iooooooAw= ioooaA=ELj

mais il vaut mieux employer la relation

(198) ioooaA=0;9EL,

afin de tenir compte à peu près du second terme qui est généralement compris entre ^ et -^ de la valeur du premier.

Quoique dans la formule (195) on puisse presque toujours négliger --, j'en ai tenu compte au moyen de la relation

/ \ ti i,3Dp

V io333oooA(i+aO' p V a été obtenu par la formule

io333(i+a<)

(200) pv =

dans laquelle D désigne^ comme précédemment^ la densité par rapport à l'air. Pour Tacide carbonique, afin d'éviter les erreurs dues à la loi de Mariotte, je me suis servi de Téquation

-^ pv = 0,507149(1 + o,oo3688 0 — ^'^^'^'^'f P^

déjà donnée dans le Chapitre VI.

AU lieu des chaleurs latentes qu'on ne connaît pas toujours^ il est quelquefois fort utile de pouvoir employer les tensions maximum ; on en rend l'usage facile en substituant la valeur

ACTIONS MOLEGOLAIRES.

v — u donne

tirée de la formule de Clapeyron (120) dans (196)^06

aA = pvj^(274-4-0~iJ

même substitution faite dans (198} conduit à

a^=:o,gpv{2'J4 + t)

lemarque. — Dans les gazéif actions, il s'opère un travail sique considérable, en présence duquel le travail dû aux iations de groupement moléculaire est sans doute généraient faible. Les formules qui viennent d'être obtenues paraist à cause de cela plus digneiq^de confiance. Appliquons-les )ord à des substances formées exclusivement de carbone^ [ygène et d'hydrogène.

»ow. — Dans l'eau, le groupement moléculaire change conirablement comme on le sait ; il est donc naturel de s'ai* Ire à ne point trouver pour a exactement la même valeur 'àioodegrésau moyen des données, très-exactes cependant^ )n possède pour ce liquide. Le tableau suivant montre en t des dififérences assez notables :

DIFFÉ«

calculé par la formule (196).

calculé par la formule (201).

- observé.

calculé.