CAPILLARITÉ

Dans ce chapitre on va lire une théorie des phénomènes capillaires en grande partie nouvelle et qui conduit à des explications plus faciles et plus complètes des faits connus. Cette théorie m'a fait découvrir des lois que des expériences nombreuses ont ensuite confirmées; de plus, jointe à la théorie des attractions au contact, elle m'a permis de donner à la mécanique moléculaire une base encore très-incomplète mais solide. Afin d'exprimer plus commodément les quantités fort petites dont il sera question, je prendrai pour unité le millimètre et le milligramme, à moins que je n'avertisse du contraire; l'unité de travail sera donc le millionième de miUidyne.

Considérons en premier lieu un corps quelconque ayant la forme dUin parallélipipède rectangle dont la section plane MN (fig. 16) est un carré d'un millimètre de côté et dont l'épaisseur

Mg. 16.

à partir de cette section surpasse là distance e au-delà de laquelle l'attraction devient négligeable. Si nous devons opérer perpendiculairement à MN la séparation en deux parties G,H; dont Tune sera supposée fixe, il faut employer une force d'abord égale à Tattraction au contact À mais qui diminue très-

ACTIONS MOLÉCULAIRES (sUITE). 207

vite, devient js à la distance x eio ix toute dislance supérieure à e. Négligeons ce qu'il y a d'incomplet dans les attractions près des bords et nommons F le travail dépensé par unité de

surface produite ; on aurait la relation 2F = / zdx, si les

couches contiguës au plan MN avaient, en devenant surfaces, conservé la même densité. Mais ces couches se sont dilatées ; 3lles ont facilité la séparation, et le travail effectif 2F est

«oindre que le travail / zdx cafcu/e dans l'hypothèse dumain-

ien de la densité primitive. Ce dernier travail est évidemment ►roportionnelpour une même substance au carré de la densité A, t nous pouvons le représenter par /*A*; si nous désignons en ulre par 2h la diflerence entre le travail calculé et le travail ffectif, nous aurons l'équation

23o) - f^zdx=f^'=¥'hh.

Séparation par glissement. — Concevons maintenant que *on sépare les deux parties G,H en les faisant glisser Tune sur 'autre. Après qu'elles ont pris les positions relatives indiquées lansia figui^e 17, les portions G^,H' ne tendent en aucune ma-

Fig. i7.

^ière, par leurs attractions, à produire ou à empêcher le glissement. Au contraire, la résultante des atlractions de H" sur G/ isi une force bissectrice de l'angle droit, qu'on peut remplacer ^ar «ne composante normale inefficace et une composante pa- 'allèle aux faces de glissement, seule efficace, et que nous appellerons force de réunion. L'action de H^ sur G" donne une econde force semblable. Le chemin parcouru pendant la se-

paration par glissement est i ; le travail et la double force de réunion possèdent donc la même valeur numérique. D'ailleurS; quand on néglige les frottements et les changements de densité, il ne se produit aucun phénomène de chaleur ou d'électricité dont il faille tenir compte, et il résulte du principe de l'équivalence que le travail 2 /"A* dépensé dans la séparation perpendiculaire égale le travail de réunion par voie de glissement : 2/^1* est donc aussi la valeur de ce dernier travail et de la double force de réunion quand on néglige les frottements et les changements de densité. Si les corps sont différents, A* doit être remplacé par AA^ Il est évident d'ailleurs qu'on peut, dans les raisonnements qui précèdent, remplacer les angles droits par des angles quelconques et qu'il n'est pas même nécessaire que le côté hors de la face de glissement soit une ligne droite.

Si, maintenant, nous rentrons dans la réalité, la force de réunion effective est moindre que la force de réunion calculée /"A*. Sa valeur est F ou /*A* -^ h. Cela résulte de ce que,le chemin étant I dans la réunion par glissement, pour le cas considéré, le travail et la force ont une fnême expression, et de ce que le travail de réunion par glissement ne [)eut différer du travail de séparation perpendiculaire. Pour justifier cette dernière affirmation, il suffit de remarquer que, si la différence n'était pas nulle, on obtiendrait un travail disponible indéfiniment croissant au moyen de réunions et de séparations successives opérées les premières par la voie qui donne le plus de travail et les dernières par la voie qui en donne le moins; on arriverait donc au mouvement perpétuel, ce qui a été démontré impossible avec de la chaleur à une seule température.

Théorème fondamental. — On peut toujours faire passer un corps d'une forme quelconque à une autre en séparant perpendiculairement ou par voie de glissement des parties qu'on réunit ensuite entre elles et avec les portions du corps qui doivent être renfiées. Or, d'après ce qui précède, les séparations ne

peuvent être opérées qu'à l'aide d'un travail total ayant pour valeur le produit de la force de réunion F par la somme des surfaces créées et, d'autre part, les réunions produisent un Ira- Tail total dont ou obtient la mesure en multipliant aussi par F la somme des surfaces réunies; nous en concluons que

U travail dépensé ou produit quand la sur face d*un. corps croît ou décroît de As égale le produit de la force de réunion par la variation de surface.

(23i) FA5.

Ce théorème, que je nomme fondamental parce qu'il conduit à des conséquences nombreuses et très-utiles, est applicable quelle que soit la manière dont la surface varie; car, ainsi qu'on Ta TU à propos de la comparaison des séparations perpendiculaires et par glissement, les circonstances n'influent point sur le résultat final. Il est bon de remarquer aussi que la démonstration légèrement modifiée est encore valable quand on néglige les variations de densité près de la surface. Il m'arrivera souvent de me placer dans ce dernier cas, et le lecteur s'en apercevra sans peine, alors même que j'oublierais de l'en prévenir. Force de contraction des couches superficielles, — L'ordre de fails dont il s'agit doit être étudié expérimentalement dans les liquides, parce que, dans les solides, un frottement considéi^ble s'oppose à la production des phénomènes. Si nous concevons, par exemple, une lame plane d'une épaisseur beaucoup plus grande que e et formée au moyen d'un liquide glycérique que M. Plateau a fréquemment employé dans ses travaux remarquables, une diminution ou un accroissement d'étendue A5 entraîne la production ou la perte, à cause de l'existence de deux 8urfaces,d'un travail 2FA5 proportionnel à cette diminution ou à cet accroissement et indépendant de la vitesse avec laquelle le changement s'opère. Comme il ne peut exister de travail sans force , il faut en conclure l'existence d'une force tendant à diminuer la surface, et la valeur du travail montre qu'elle a

pour expression 2F par unité de longueur dans une seclioD normale. Puisque cette force demeure la même pour toute yitesse^ elle subsiste pendant le repos ; mais il importe d'en rechercher la cause.

Cause de la force de contraction; lieu où elle réside. — Soil AB (fig. r6), un élément de la surface d'un liquide et A'B' un

Mg. 18.

plan parallèle mené dans le corps à la distance e. Si Ton considère un point situé dans ce plan ou plus éloigné de la surface, et qu'on envisage une tranche infiniment mince et de surface infiniment petite co qui y passe^ les résultantes des attractions des molécules situées départ et d'autre sur des droites qui traversent (ù compriment la tranche avec une force qui n'est autre chose que Tattraction au contact définie précédemment. La direction de w ninflue point sur sa valeur. Si Ton considère^ au contraire^ un point situé entre les deux plans et qu'on y envisage deux tranches infiniment minces ayant leurs bases (0 dirigées Tune parallèlement et Tautre normalement à la surface, les résultantes perpendiculaires à ces deux éléments ne seront plus égales ; la petite masse M^', par exemple, sera soumise à des pressions produites par des attractions au contact incomplètes et qui seront évidemment plus grandes parallèlement au plan tangent que dans le sens normal. A défaut d'obs* tacle, la différence produit son effet ; en tout cas, elle constitue une tettëion. Cette force, dont j'ai d'abord démontré l'existence et la valeur totaUy varie depuis le point M^ où elle est nulle ju8« qu'au point M où elle redevient nulle. Elle réside donc exclu'» sivement dans la couche superficielle d'épaisseur e et sa valeur totale est F pour un rectangle normal de dimensions i et e ; cela résulte comme il a été dit déjà de l'expression du travail fournie par le théorème fondamental. Ainsi, avec les unités

ACTIONS MOLÉCULAIRES (sUITE). 211

choisies, un même nombre F servira de mesure pour trois quantités différentes :

i°L6 travail effectif de séparation par unité de surface mise

à DU,

2» La force de réunion par unité de longueur de Tarète,

3® Laforce contractile des couches superficielles des liquides.

Avant de faire connaître les vérifications expérimentales du théorème fondamental et de Texistence de la tension dans la couche superficielle des liquides, je vais démontrer quelques autres théorèmes qui en dépendent.

i« Tout corps tend à prendre une surface minimum. — Tout changement de forme avec diminution de surface entraîne la production d'un travail indépendant de la vitesse ; ce changement tend donc à se produire, et il se produit de fait, si les frottements sont négligeables, comme dans les liquides presque dépourvus de viscosité. La surface devient alors minimum et le corps prend la forme sphérique s'il est libre. Dans le cas de liaisons avec des solides, la surface prend la forme correspondante à la valeur minimum parmi toutes celles qui sont compatibles avec les liaisons *.

2o La valeur Au que nous ayons trouvée pour expression du travail de désagrégation totale d'un kilogramme d'un corps a été obtenue en supposant négligeable l'influence de la surface ; elle l'est en effet ; mais, au point de vue théorique, il est plus satisfaisant d'avoir une valeur rigoureuse. Soit Au — w l'expression exacte; co dépend de retendues de la surface. Augmentons cette étendue de dSy ce qui exige (23 1) une dépense de travail Fd5; le travail de désagrégation totale ultérieure sera moindre de cette quantité, qui égale, par conséquent, la variation de Au — cû ; on a donc

— . ^ i- — ■ Il

I. J^eDgage beaucoup les jeunes gens qui ont besoin demodèles,à lire les Mémoires remarquables de M. Plateau et de M. Lamarle sur ce sujet, dont M.Van der Mensbrugghe s'est aussi occupé avec succès à diverses reprises.

r d<ù=:¥ds,

et on en conclut^ en remarquant que a> deviendrait nul s'il était possible d'annuler s :

o)=Fs.

Âinsi^ le travail de désagrégation totale de i kilogramme d'un corps quelconque égale le produit de l'attraction au contact par le volume, moins le produit de la force de réunion par la surface, ou, ce qui équivaut, le travail de désagrégation totale de l'unité de volume égale Vattraction au contact moins le produit de la force de réunion par la surface.

3^ Dans la séparation perpendiculaire à laquelle est relative l'équation (23o), z varie de A à o, et, sa valeur moyenne étant désignée par 6 A, on peut affirmer que le coefficient 6 est compris entre o et i ; on a donc

F=i6Ae

ou

c'est-à-dire que

Dans la couche superficielle d'épaisseur s, la force de con-

traction moyenne - ou, ce qui équivaut, l'excès de Vattraction

au contact moyenne parallèlement au plan tangent sur Vattraction au contact moyenne dans le sens normal égale la moilié de Vattraction au contact moyenne deoà e, dans la séparation perpendiculaire.

4® Parallèlement au plan tangent, ^attraction au contact varie de o à A; elle a une valeur moyenne que nous pouvons

désigner par 6' A, 6^ étant un second coefficient compris encore

ôA entre o et i. Elle surpasse, comme on vient de le voir, de -^

l'attraction au contact moyenne dans le sens normal ; la valeur de cette dernière quantité est donc

1 Dans ce qui suit^ nous bornant à une première approximab'oD^ nous négligerons (23o) la quantité A^ c'est-à-dire que nous négligerons les variations de densité près de la surface. On obtient alors facilement une autre expression de (233) en remarquant que, si on nomme œ la distance MM^ (fig. i8) et si on conserve les mêmes notations que dans Téquation (23o), l'attraction au contact normale en M' égale la valeur complète A, qu'on obtient en ajoutant au-dessus de AB une tranche plus épaisse que e^ moins Fattraction z due à cette tranche. Ainsi, en M^ et pour une épaisseur dx infiniment petite comptée sur la normale, la valeur de Fattraction au contact est A ^2; on aura donc la valeur moyenne en faisant la somme des produits (k-~z)dx et la divisant par MM^= c, ce qui donne

{A—z)dx ou A-

e ou

Les deux dernières formes sont obtenues au moyen des relations (23o) et (232). De la comparaison avec (232) on tire

et, après substitution dans ô^ A et d9.ns (233), on en conclut les théorèmes qui suivent :

Parallèlement au plan tangent, Vattraction au contact moyenne de o à t égale l'excès de l'attraction au contact sur k force de contraction moyenne.

Dans le sens normal l'attraction au contact moyenne de o à s égale l'excès de Vattraction au contact sur Vattraction moyenne (ie 0 e dans la séparation perpendiculaire.

Pour compléter Tétude théorique de cette importante question Je vais donner, des théorèmes qui précèdent, pour le cas oùonnégligp les variations de densité près de la surface, des démonstrations basées sur le calcul direct des attractions; elles ^Qtdues à mon jeune et savant collègue^ M. Massieu^ que j'ai

prié d'entreprendre ce travail; il s'y est prêté avec u plaisance dont je suis heureux de pouvoir le remerciei

a Lorsqu'on approche des limites d'un corps, Tattrî contact n'est plus tout à fait aussi grande qu'en pleine elle n'est d'ailleurs plus normale à la section plane f; le corps et à laquelle on la rapporte ; mais quand il s'î pression produite sur une tranche infiniment mince, composante normale qu'il faut considérer. Cherchor compte, du moins par une première approximation, circonstance.

» Pour y arriver, conservant les notations de la page i allons d'abord établir un théorème qui est très-utile dai les considérations de forces moléculaires.

» Considérons deux cylindres infiniment déliés mn parallèles entre eux et normaux à un même plan mm^; pose ces deux cylindres terminés sur ce plan en m et r tendant indéfiniment à partir de là, mais en sens coi Cherchons {fig. 19) la composante X, parallèle aux dei dres, de l'attraction exercée par l'un d'eui, mn par e sur le second m^nL Prenons pour cela un élément inl

Fig. 19.

fn'

petit a p du premier cylindre et un élément a' P' du

posons

màL=Xy nnld-zr-x';

apz=da;, (x!^f = dx'.

p désignant la distance de ces deux éléments et A le po

cifique commun aux deux cylindres, on aura, pour Tattraction de ap sur cd^'y en appelant dey et de- les aires des sections droites des deux cylindres,

^^dad(s^dxdx' f(çt);

la composante de cette force parallèle aux deux cylindres sera donc

A* d(T dis' dx doc/ f(p) *

La somme dX de ces composantes, pour tous les éléments du premier cylindre/et pour le même élément ol^^ du second, sera

dX=^'dad<T^dx^ r f{ç) ^^^^dx.

Mais en désignant par p la distance mm/ des bases des deux cylindres, on a

d*où

pdpz=:(ar4"^)da?,

dX= AM(yd</ dx' f^ fip) dp,

r représentant ici la distance de l'élément a'P^ à la base m du premier cylindre; on peut prendre d'aiUeurs e pour limite supérieure de ^intégrale précédente, puisque f(p) est nul pour des valeurs de p plus grandes que s.

D Posant donc

FW=/;r(p)dp,

il Tient

dX=A*d(yd(J/F(r)Ar^

Si nous intégrons maintenant cette expression par rapport à x' depuis x^=o jusqu'à a?':=oo, nous aurons la composante X de Tattraction du cylindre entier mn sur le cylindre entier *»»V. Or, on a

d^où

rfr-- ^^"

On aura donc, puisque x^=:o correspond à r=:p et que F(r)

s'annule dès que r surpasse e.

ou, en posant

» Ceci posé, considérons (fig. 20) deux corps indéfinis U et V

Fig. 20.

ri'

terminés aux faces de deux angles dièdres ÂOB et À' OB' tangents par leur arête 0 et formés par deux plans rectangulaires AA^ et BB^ ; rattraction du corps U sur le corps V pourra se décomposer en deux composantes égales et respectivement perpendiculaires aux plans BB' et AA^ ; nommons F leur valeur rapportée à Tunité de longueur de Tarête commune 0 des deux dièdres.

» Pour trouver F, nous allons considérer d'abord dans le corps V un petit cylindre m'n^ infiniment délié et de base cl(/ et chercher la composante normale au plan BB^ de l'attractioD du corps U sur ce petit cylindre. Pour cela décomposons le corps U en tranches infiniment minces telles que MN parallèles au plan AO; nommons q la distance m^M de la base du pelil cylindre à la tranche MN et dg Tépaisseur de cette tranche. La tranche MN peut elle-même être découpée, par des plans nor-

ACTIONS MOLÉCULAIRES (sUITE). 217

maux à Tarêle 0, en parallélipipèdes infiniment déliés et perpendiculaires au plan BB^ ; nommons y la distance de la base de l'un de ces parallélipipèdes au point M, qu'on suppose être le pied de la perpendiculaire abaissée de ml sur la tranche MN et soit p la distd.nce de cette base au point m', La composante perpendiculaire au plan BB^ de l'attraction du parallélipipède considéré sur le cylindre min' sera égale à

Pour étendre cette expression à toute la tranche MN, nous remarquerons que Ton a

VP'— t ce qui donne^ pour l'expression considérée,

et il ne restera plus qu'à intégrer depuis p=q jusqu'à p=:ao et à doubler le résultat, ce qui donne

^^d^'dqÇ'I^.

Enfin, pour avoir la composante de l'attraction exercée par le corps U tout entier sur le cylindre mV, il suffira d'intégrer l'expression précédente depuis qzizt jusqu'à q = oo , ou simplement q=ieyt représentant la distance de la base m' du cylindre à Tarête 0, ce qui donne

Maintenant découpons le second corps Yen couches infiniment minces parallèles au plan AÀ^; t sera la distance de l'une de ces tranches à T^rête 0 et dt son épaisseur. Considérons la portion de cette tranche comprise entre deux plans perpendiculaires à l'arête 0 et interceptant sur elle une longueur égale

d¥=a^^dt^dq^p4MÈ.

à l'unité; la corpposante dF de rattraclion du corps Usur cette portion de la tranche considérée sera égale à

et, si nous voulons étendre cette expression à toute la portion du corps V comprise entre les deux plans normaux à Tarête 0 que nous avons définis tout à Theure , il faudra l'intégrer depuis <=o jusqu'à t=co ou simplement jusqu'à <=£, ce qui. donnera

F représentera ainsi la composante normale au plan BB' de l'attraction du corps U sur le corps V rapportée à l'unité de longueur de leur arête terminale commune 0.

» Pour simplifier la valeur de F, considérons d'abord l'intégrale

îVp' — P* ' qui est égale, en remplaçant ^ (p) par sa valeur, à

/^ ^# A F(r)rdr /•(» pdp A» F(r)rdr q ^P' — q' J p sff'^'' J q s/p'—q' J p &-f' Désignons cette expression par 12 et posons

p ne variant pas dans la seconde intégrale, on a

rdr = x (te, d'où

rdr ,

VT«*— p*

n vient alors

Si nous posons en outre

ACTIONS MOLÉGDLAIREÇ (SUITE). 219

d'où, puisque q est une constante,

pdp ,

VP — «* on aura

Û= f'dy r°°F(Vî*+y'+a;*)<te

= r* r* F (Vg' +»'+«;*) <te dy.

Si nous considérons l'espace superficiel indéfini compris entre les côtés Ox et Oy d'un angle droit, l'intégrale double qui donne la valeur de ù équivaudra évidemment à l'intégrale de

Texpression d<yF{\/q^ + r*) étendue à tout cet espace et où d<r représente un élément de l'espace superficiel yOx, etr sa distance au point 0.

» On pourra alors prendre pour d(T Taire comprise entre deux cercles infiniment voisins décrits du point 0 comme centre et faire par conséquent

da=- rdr,

ce qui donnera

Û = ^ r* rF (v/q* + r') dr; eiy si l'on pose

on aura, puisque rdr = r^ dr' ,

ou, en supprimant les accents désormais inutiles et remarquant que r F (r) n'est autre chose que la fonction <p (r) précédemment définie.

Portant cette valeur de Û dans celle de F, il vient

F = 7uA* C^dt C^dq C^ (f{r)dr.

En intégrant par parties successivement par rapport à t et à g, on obtient facilement

» Imaginons maintenant un corps terminé par un plan AA' (/îj.2i)et divisons ce corps en deux parties VetT par un planBCy

Fig. «1.

perpendiculaire à la face limite AA^ Nous avons trouvé pour l'attraction au contact dans cette section B^O par unité de surface et à une distance des limites du corps plus grande que e, c'est-à-dire en pleine matière.

(lî)

A = 2'7rA / V 9 (r) dr = a A*;

or^ près de la limite AA^ du corps, Tattraction au contact n*a plus réellement une valeur aussi grande.

» Si nous menons dans Tintérieur du corps un plan aOa^ parallèle au plan limite AA'' et à une dislance de ce plan égale à e, la partie du corps comprise entre les plans olo! et AA'' sera la zone limite de ce corps. Un point K pris dans la partie V

du corps et en dehors de cette zone sera attiré de tous les côlés également par la partie T ; la résultante de ces attractions sera en outre perpendiculaire au plan de la section B^O; mais un point K' de la zone limite ne sera plus attiré également dans tous les sens, parce que la partie attirante T n'est pas assez étendue du côté du point 0.

» L'attraction au contact dans la zone limite serait encore égale à A par unité de surface si la partie attirante T, au lieu d'être terminée par le plan OA, était prolongée indéfiniment à droite de ce plan ; or, nous connaissons l'attraction de la partie AOB, ainsi ajoutée, sur la portion V du corps donné et celle de A^OB sur T ; nous savons qu'elle consiste, outre les composantes normales à ÀA'', en deux forces égales et contraires tendant à presser l'une contre Tautre les parties A/GOV €t AOO^a de la zone limite. Ces forces ont pour valeur F par unité de longueur de l'arête d'intersection 0 des plans AA^ et BB^

?) Ainsi, lorsque la partie AA^B est ajoutée au corps, l'attraction au contact dans la zone limite, pour une longueur de Tarête 0 égale à l'unité , et par conséquent pour le rectangle €X I, est égale à Ae; il faut retrancher la pression produite par les deux forces dont il s'agit et l'attraction au contact pour le rectangle eXi devient A e — F; elle a donc pour valeur

moyenne

ti

Ceci s'applique sans erreur appréciable à un élément d'une surface courbe coupé par un plan normal à cette surface.

» Soit maintenant AA' {fig. 22) la surface limile d'un corps, oLo! une surface menée dans l'intérieur du corps et dont la distance à la première est en chaque point égale à e j l'intervalle de ces deux surfaces sera la zone limite. Prenons dans l'intérieur de cette zone une couche CO parallèle à nos deux

surfaces et située partout à la distance h de ÂA', l'attraction au contact sur cette surface sera, d'après ce qu'on a vu,

rc4M dk j f{r)dr.

Si on multiplie cette expression par dk, qu'on intègre de A= Fig. ti.

à A^ e et qu'on divise le résultat par s, on aura la moyenne A' de l'attraction au contact normale à la surface du corps dans l'épaisseur de la zone limite ; donc

ou bien

et, en ayant égard aux relations précédement trouTées, A' = A-^* f'r'f{r)dr.

Ainsi donc, dans la zone limite d'uu corps, l'attraction au contact moyenne, par unité de surface, est égale, tangentiel' lement au corps, à

et, normalement à la surtace du corps, à

excès de la première sur la seconde

eprésente la force qui produit la contraction tangentieiie. » Imaginons que Ton coupe un corps solide en deux parties »ar un plan et qu'on sépare ces deux parties en éloignant Tune i^elles suivant la normale au plan de séparation; lorsque 'écartement des deux parties sera égal à x^ leur attraction Qutuelle aura pour valeur

A/=27uA«S C'dk fl(f(r)dr,

> étant Taire de la section faite dans le corps. Le travail nécesaire pour la séparation complète sera

T= rA^da? = 2xA«S f' dx f'd'k f\{r)dr.

)r, en intégrant par parties et successivement par rapport à x 1 1, on trouve facilement

r = S7rA» Pr*9(r)dr=2FS.

» Si, au lieu d'éloigner les deux parties du corps Tune de autre par sépararton normale, comme vous venons de le sup- )oser^nous les éloignons par séparation tangentieiie^ en faisant lisser une de ces parties sur l'autre, le travail nécessaire pour réduire la séparation de cette nouvelle manière sera encore écessairement égal à T^, puisque les attractions mutuelles ne épendent que des grandeurs des distances des molécules qui attirent; il est intéressant toutefois d'établir ce fait par un ilcul direct. Soit donc un corps coupé en deux parties X et Y Ig. 23) et supposons, pour bien préciser nos raisonnements^ l'on laisse la partie X fixe et qu'on enlève l'autre partie Y en

faisant glisser sur la première.

aupma iz.

»8oppoioii8bUcare<(ueL«Eil«i deaépnstiiiii AlSlIfiitbth '" /ontal et ttgunnu le corps en t^Tatùm. ei.aa pioarfumit ^'

SRparatir»! eaten partie effectuée. Lesftnresqni ^'uppci^ït \n iiépnratmn sont lea composantes borizoatab» (Ehs itiratt:!» exercée» par X sur les diffiirentséléiDeiitede T; ar. ces liïnctioTM Miït normales an plan de sépardtûia ASC, éa.ai pour ti élémeote de Y (loi se troanent à nne distanee moinite ^ ■ d« la limite dn corps X et par eooséqoent de la pof tioQ à an périmètre de ce corps.

* Remarqoons d'abord qae, snivant cette ptwticii >i6f de sd périmètre, noua ponTong supposer, sans rien ehniigs siilt»t, nue le corpsX est terminé par nn cylindre verticulda^ 1 B1>et AF figurent desarèt^; en effet, noas ajoatoDS&tDsttl non» retranchons à ce corps nne certaine quantité de malien; I mais prenons an point matériel, G par exemple, âitué yàsii périmètre abc, son altraclion sur le corps T est nonnale à AC; donc, en rectifiant en quelque sorte le corps infériear X s»- Tant le cylindre AFCD, on ne modifie en rien la force qui ^off>ose à la séparation.

» Ceci posé et le corps X étant supposé terminé latéralement pnr le cylindre indiqué, si nous prenons dans le corps suptrieur Y un point matériel K dont la dislance à ia portion ok du (Wirimètre du corps inférieur X soit plus grande que t, l'ai traction exercée par \ sur ce point sera nulle ou normale i AltC \ elle ne s'opposera donc pas à la séparation, mais il n'ci

sera plus de même pour des points matériels tels que K^, K,, dont la distance à la même ^mite abc sera plus petite que e. «Soit DB la trace verticale du plan tangent en un point B ou 6 au cylindre vertical circonscrit au corps X et supposons que les points K„ K^ soient placés symétriquement par rapport à ce plan tangent ; joignons K^ et K, à B et menons K,B' parallèle à KsB ; il est clair que le point K^ étant placé à égale distance du plan tangent BD et d'un plan B'IV qui lui serait parallèle, la portion du corps X située entre ces deux plans exercera sur le point Kj une attraction normale à AB ; donc la force qui agit sur le point K^ pour s'opposer à la séparation ne provient que de la partie AB^IV du corps X, et elle doit être égale à la force qui provient de Tattraclion de ce corps entier sur le point Kg. Donc, enfin, nous pouvons, pour calculer Ja fcrce qui s'oppose à la séparation, ne pas tenir compte des points du corps Y situés dans Tintérieur du cylindre BDAF, et ne considérer par conséquent que la portion du corps Y extérieur à ce cvlindre, sauf à doubler le résultat obtenu. Or la composante horizontale de l'attraction du corps X sur cette partie extérieure du corps Y est à chaque point normale au périmètre abc et égale à F par unité de longueur de ce périniètre.

«Considérons un élément 66^ de ce périmètre ; lorsque le corps Y se déplace très-peu en glissant, les points de ce corps q^i étaient primitivement en b eW viennent enc ci&; la force ^XW qui s'oppose à la séparation sur l'élément 66^ du périmètre a produit un travail résistant précisément égal au produit de F par Taire du parallélogramme infinitésimal bVc& ; Or, la somme de tous les parallélogrammes semblables répartis tout le long du périmètre abc représente précisément la surface mise à nu à chaque instant sur chacun des deux corps X et Y ; donc, à chaque instant, le travail des forces résistantes ^nsidérées est égal au produit de cette surface par F, et, quand

la séparation est complète, le travail effectué par ces forces est égal à FS, S étant la surface totale de la section AB du corps ; enfin, comme il faut doubler ce résultat, d'après ce que nous avons dit, on aura pour le travail total de la séparation

2FS ou

S TU A* j r<f(r)dr,

comme on Favait trouvé. Ajoutons qu'au début de la séparation la force qui s'oppose à cette séparation n'est pas égale à ce qu'elle devient plus tard quand la saillie Bc du corps Y sur le corps X surpasse e ; mais la difiérence qui en résulte est négligeable dans le travail total. »