ACTIONS

perpendicn-

det deux ac-

obliques cal»

lUFFÉiKUCCS;

laires.

tions obliques.

culées.

ExpérU

nc0S du 24 jutn 4863.

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Exp&iences du S2 jtHn 4863.

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lO

Expériences du 5 septembre 4863 {armature de 27 mUUinètres

de diamètre).

loo

ao 3o 5o

4ao,5

ai

Expériences du 6 septembre 4863.

Expériences du 7 septetribre 4863.

4ao,5

ai

ËCOULBHBNT ET RÉSISTANCB DBS FLUIDES. 431

Après la relaUoD de ces expériences préalables^ reveDons aux expériences doot nous aTons posé le principe et qui doivent servir à con&roier l'exactitude de l'équation (19} applicable aa cas où la température est constante^ cas que l'artifice indiqué réalise.

Un arbre AÂ (fig. 80) est placé sur un support sts et peut re-

p:te'

jia

ceroir au mojen d'une corde passant nir la poulie P un moinement de rotation rapide produit par un moteur et un communieateur couTenables. Un disque DD, qui hit corps arec l'arbre, tourne en mâme temps que lui, et sa partie centrale qui pré-

sente une cavité tronc-conique, frotte contre un tronc dé cône plein immobile C sur le contour duquel a été creusée unermnure circulaire (VO^ Un premier manomètre relié an tubeBV communique par le tube rayon OF^ dans certaines expériences avec Touverlure G^, dans d'autres avec Touverture K'; oh a soin de fermer Touverture inutile. Un second manomètre relié aa tube BO^ communique par le tube-rayon (VF avec TouvertureG. Pendant la rotation, te désignant la vitesse tangentieiie à la distance ri = o",i59 du centre; en G ou G', la vitesse à une

dislance quelconque r a pour expression — » et raccélération

due à la force centrifuge — • La pression exercée suivant le

rayon prolongé, par un élément de la masse gazeuse de tension p, occupant à cette distance une longueur dr, est en posant, pour abréger,

\,ôO) '^"-2Xio333ff (274-4-6)

(3i) dp= — ^^-5 »

et Ton en conclut^ en désignant par p» la constante arbitrair e

(32) log^ = — Ï-.

Lorsque le liquide du manomètre demeure immobile pendant Texpérience, l'hypothèse r=o montre que p, est la pression atmosphérique ; alors la pression Pi en G' est donnée par les tableaux pages 420 et 42i> puisque (19) et (32) sont identiques. Or, cette immobilité est comptète à toutes vitesses quand on fait tourner Tappareil après avoir vissé en G' un ajutage ss terminé par une armature plane passant par Taxe de rotation ; cétiya-' tage représente le vase mobile dans l'air en repos^ et, puisque

l'air comprimé qui le remplit est en équilibre sous la pression due au courant relatif et sous celle que produit la force centrifuge^ on est en droit d'affirmer Tégalité de ces deux forces ; l'expression de la dernière n'est ni contestable ni contestée ; donc la première a la même valeur, et la formule (19) se trouve démontrée expérimentalement.

Pendant que le tube rayon OF^G^ sert pour Texpérience qui vient d'être décrite, le manomètre correspondant au canal BjCK F6^ qui ne se termine par aucun ajutage^ sert de compteur à force centrifuge et fait connaître, à l'aide du tableau^ page 420^ la vitesse taugentielle tant qu'on peut négliger la différence

qui existe entre --. et • S'il indique par exemple

^ ioooo-f-6 loooo ^ ' ^

pour b, en dix-millièmes d'atmosphère^ la valeur i3o, on en conclut tout de suite que le plateau fait 4^ tours par seconde et que l'ajutage parcourt 4^ mètres dans le même temps, car le rayon a été choisi pour donner une circonférence de I mètre. Si pour cette vitesse on applique la formule de Bemouilli^ on trouve que la pression due à Faction perpendiculaire du courant sur l'ajutage^ au lieu d'égaler rigoureusement la pression produite par la force centrifuge^ la surpasse de 83 dix-millièmes d'atmosphère, ce qui doit occasionner^ dans un manomètre au dixième contenant de Talcool^ une variation de niveau de 10 millimètres certainement très-appréciable. L'expérience a été faite de la sorte avec tous les soins nécessaires pour éviter les erreurs, et l'équilibre a eu lieu comme avec le manomètre vertical, les vibrations du plancher occasionnant seulement des oscillations d'environ 2 millimètres de part et d'autre du point d'équilibre. Ainsi^ l'on peut montrer expérimentalement [ce qui a déjà été établi théoriquement) que la formule de Bernouilli doit être abandonnée pour les grandes vitesses, et qu'il ne faut en faire usage comme plus commode pour les calculs que pour des vitesses ordinaires ou

bien jusqo'à 5o mètres quand line exactitode éxtirétne n^^ pas nécessaire.

Tout cela s'appuie, comme il a été dit déjà, stur Tactioii perpendiculaire d'un courant gazeux sur dés igûtagéâ tstléê, làquelle résulte d'expériences connues répétées pa^ iiotts. Où peut encore conclure cette actioïl d'dn ïalsd^ûlieitlètit à prkH qui n^est petit-être pa$ à Tabri de toute objection, fliais ^ offre l'avantage de faire connaître aussi ractioii dû (56tittet dirigé en sens contraire ; comme ce derniet résultât est, ailtti que le premier, d'accord atec l'expérieùee, céUt même qui n^accepteraient pas le raisonnement autrement que ôoihme mojen d'exploration, ne pourraient craindre d'adopter p<mr les déductions subséquentes une base inexacte.

Concevons un cylindre divisé en deux compartiments A etfi (fig. 8i) par une cloison perpendiculaire à ses génératrices et

Fig. 81.

mis en mouvement dans une atmosphère tratiqoille sotlinise à la pression p^, dans le sens indiqué par la flècbey avec ufle vitesse u/ exactement perpendicul»re aux plans dos liriâdeil. En avant Tahr se comprimera ju^u'à ce que le régime mi

complètement établi ; alors le gaz A de tension -^^ tendra à

° io333

sortir avec une vitesse w déterminée par p^ et|>t} le gaz exié'

rieur tendra à entrer^ en vertu du mouvement relatif, avec

une vitesse w^, et puisqu'il y a équilibre» on aura

(33) fé/ =± îD.

En arrière lé même raisonnement moûtre que le régime ne sera établi que quand le rapport de la pression extérieure pt à

la pression p, dans le compartiment B, con*espondra aussi à là vitesse w, de sorte que^ étant donnés pi et w, pi et pa devront (32] être calculés au ihoyèlî des équations

(34) logei=Btt;«,

(35) logg==Bt(?*j

et Ton a ce théorème^ qu*ito peut appliquer à un disque puisquil a lieu (quelle que soit la profondeur des compartiments A et B et qui servira plus loin pour calculer la irésistance des gaz:

Lorsqu'un disque se meut dans un fluide indéfini^ d'un mouvement uniforme perpendiculaire à son plûn^ les relations qui existent entre la force élastique du milieu et les forces élastiques des couches qui touchent les bases sont celles qui^ dans f écoulement^ correspondraient à la vitesse imprimée à ee disque.

La comparaison des équations (34) et (35) donne

(38) PÎ = PiPa»

et cette formule renferme une loi simple qui s'énonce ainsi :

Quand un disque se meut dans un milieu indéfini ^ d'un mouvement uniforme perpendiculaire à son plan, la force élastique du milieu est moyenne proportionnelle entre les tensions en avant et en arriére de ce disque.

Prenons pour unité la tension du milieu quij dans les ex^ périences de vérification^ était l'atmosphère. Soit^ en dii-millièmes d'atmosphère^ comme précédemment^ b Texcès de pressioii en A et 6' la diminutioii 6n B ; (36) donne

10Û00 (loooo)*

436 CHAPITIE X.

Pour fc = 25, on a

6 = 40 el = 0,16:

usque-là on peut donc sans grande erreur supposer V=bA est facile de ircrifier ce résultat théorique avec Tappareil décrit page 43 1, que Ton fait tourner en sens contraire; le manomètre compteur donne 6, et celui qui correspond à Tajatage doit donner, à fort peu près, le double, puisque de ce cAlé Taclion de la force centrifuge et la succion résultant du recol s'ajoutent.

Pour de^ grandes \itesses, il faudrait non-seulement tenir compte de ce que 6' différerait sensiblement de 6, mais aussi de ce que l'action de la force centrifuge serait amoindrie par suite de la diminution de densité de l'air.

L'expérience a d'abord donné 6^ notablement moindre que 6, même en ne dépassant point 25 mètres de vitesse. Il a été facile de constater avec de la fumée d'amadou que le frottement du plateau contre l'air produisait presque dans le sens des rayons un courant assez rapide dû à la force centrifuge, et parallèlement à Taxe de rotation un second courant qui alimentait le premier; cet afflux continuel diminuait la raréfaction que le mouvement tendait à produire. Un petit paravent, formé par une mince lame métallique qui piésente une surface plane parallèle au plateau, reliant deux portions de cylindres de révolution autour de Taxe de l'appareil, a suffi pour diminuer beaucoup Tinfluence de cette cause d'erreur et amener le manomètre compteur à indiquer 41 lorsqne le manomètre de

l'ajutage donnait 80. L'erreur relative j-, qui subsiste, peut

être regardée comme négligeable, surtout si Ton remarque qu'elle a lieu dans le sens indiqué par la cause qui la produit évidemment. On voit bien d'ailleurs pourquoi ces courants ac-

cessoires n'ont pas nui au succès complet de Texpérience faite en sens contraire.

Autre apparett.— Avant Tappareil décrit page 43 1^ nous avons employé une roue creuse (fig. 82) montée sur un arbre A et qui.

mue entre deux pointes par un poids^ pouvait faire au moins 60 tours par seconde. Cette roue était divisée, au moyen d'une cloison ce passant par Taxe^ en deux compartiments D^E qui ne communiquaient avec l'extérieur que par les robinets R et R^ Des ressorts disposés convenablement tendaient sans cesse à fermer ces robinets, que Ton pouvait cependant maintenir ouverts au moyen de fils attachés d'une part à leurs manivelles^ et d'autre part à deux petits anneaux fixés sur Tarbre. En R se trouvait vissé un ajutage JJ présentant une ouverture pratiquée dans une plaque mince dont le plan passait par Taxe de rotation de TappareiL Les robinets étant tenus ouverts, on laissait agir le poids ; au bout d'un certain temps le mouvement devenait unifornie^ puis le régime définitif s'établissait ; on poussai alors un petit couteau dans ses glissières, et la section des deux

438 GHAPiTlS X.

filg aroeiiait la fermeture des rolmiets. n ne restait plus qu'à mesurer la raréfaction produite en E par la farce eentrifoge et la raréfaction plus grande ou la compression en D snrmnt le sens dans lequel le mouvement aiFait eu lien. Mais, factioD de la force centrifuge et la forme de Finstrument Tenant compliquer les résultats^ les vérifications expérimentales ont dû être précédées d'une application de Tanalyse.

Action de la force centrifuge seule. — Soient AF=r^j AC=ri et «7 la vitesse à la circonférence ; Téquation (32), évidemment applicable ici et dans laquelle^ après le remplacement de r' parr* — rî, p, désigne la pression à l'orifice, c'est-à-dire la pression atmosphérique dans les expériences qui ont été faites, donne la pression p à une distance r du centre pendant le mouvement :

Après le retour au repos, une pression uniforme s'établit dans tout le compartiment E ; sa valeur s'obtient avec facilité, en exprimant que le poids de la masse gazeuse n^a pas changé en même temps que sa distribution. Cela donne, en supprimant les facteurs communs^

(39) P'(rî-rî)=j'*2prdr,

ou , en remplaçant (3|) 2 p r dr par ^— ^

P, a Im valeur fournie p^r Téquation (39)i modifiée comme il

ÉCOULEMENT ET RÉ$f8TAr)qE DES FLUIDES. 439

a été dit pfécédgmrpent :

(4l) lOgn Po = lOgn P, ^-^ ^' »

et si, pour simplifier, nous supposons l'appareil plongé dans

une atmosphère où règne la pression normale — ^00 = i, on a

ilc^ton en avant. — La pression sur la surface antérieure de Tajutage étant désignée par p^ comme dans la méthode précédente, l'équation (34) donne

(43) log„-^ = Bw;«.

Après la détermination de la constante pour le cas actuel, (32) fournit d'ailleurs la pression à la distance r du centre

W) •^^8»,-^333=-Fr'

et le moyen employé dans le cas précédent donne ensuite la pression f/^ après le retour au repos :

p// r] p. -Pi ^ r\—rl Bw*

avec

La comparaison des formules (38), (42) et (43) prouve que, pendant le mouvement, la pression en atmosphères en un

point quelconque dans le compartiment D peut être obtenue en multipliant la pression à la même distance du centre dans

le compartiment E par la pression —^05 à Touverture J de

Tajutage dont la longueur dans le sens du rayon est supposée négligeable ; en particulier on a

et alors (44) et (89) donnent

Action en arrière. — En conservant — ^57. < i pour dé-

signer la pression sur la surface qui fuit^ le théorème de la

page 434 donne

et la comparaison avec (4^) prouve qu'on a la relation

PjPj= io333' déjà obtenue. L'équation (32), quand on y détermine la constante de manière à avoir p = p» pour r = n, devient

(49) log^p- Ff 0" *^^'»I^333- Fî

Au repos la pression uniforme a pour valeur

(50) P'''=V^-^7r^"' avec

(5l) lOgnPo = ^-^1 i^= lOgnPi 4- 2 logn Pa,

OU bien

(52) p; = p j PÎ = p, p, pj = p, p,.

La comparaison des équations (89)^ (5o) et (5i) donne encore un théorème fort simple analogue à ceux des cas précédents :

Enfin de (47) et (53) on tire la relation

qui montre que, après le retour au repos, la pression produite par la force centrifuge seule est moyenne proportionelle entre les pressions produites par le mouvement en arrière et par le mouvement en avant.

Les résultats qui précèdent ont été soumis à des vérifications expérimentales que je ne rapporterai pas ici en détail, parce que je n'y vois aucune utilité après ce que j'ai dit de la méthode exposée en premier lieu ; je répéterai seulement que les nombres, sans s'écarter trop de la vérité, sont en général beaucoup moins approchés, même après les corrections aux indications manométriques et les corrections rendues nécessaires par la longueur de l'ajutage, qui n'était réellement pas négligeable.

Expériences sur la force centrifuge. — Quoique les lois relatives à la force centrifuge soient depuis longtemps admises par tous les savants, l'appareil (fig. 80) offrait uu moyen si facile de les soumettre à des vérifications expérimentales, que nous avons cru devoir en profiter. La corde sans fin a été tendue assez pour éviter tout glissement, puis on a laissé le poids, dont la course était considérable, produire un mouvement

142 CHAPITRK X.

uniforme^ ce que le manomètre au dixième à alcool, précédemment désigné sous le nom de manomètre compteur à force centrifuge^ indiquait très-biep ; alors un observateur a compté pendant une minute les tours de la corde sans fin^ tandis qu'un autre observateur marquait l'indication du manomètre devenue constante ; la comparaison aux diverses vitesses avec les nombres fournis par la formule n'a jamais

donné de différences surpassant 4 millimètres ( t- de millimètre de mercure d'après la manière ordinaire de compter les pressions). Pour déterminer le rapport entre le nombre de tours de la corde et celui du platçau, un mouvement lent et prolongé a été produit^ pendant lequel deux personnes comptaient directement les deux nombres dont on avait besoin.

Pour des faibles vitesses, les valeurs de • — 7. se ré-

lOGOO+Ô

duisent à = B tt* : b est proportionnel au carré de la

vitesse. Il en résulte que si en G on remplace Tajutage par le bouton qui fermait l'ouverture kf dans les expériences précédentes, les deux manomètres de l'appareil fourniront pour b des valeurs doubles Tune de l'autre si les distances de K' et de

Q au centre sont entre elles comme i et y^. Cette loi s'est encprç trè^-exactement vérifiée.

EXPÉRIENCES SUR LA VITESSE d'ÉCOULENENT DES LIQUIDES PAR DES ORIFICES EN MINCES PAROIS.

Quoique dans l'état actuel de la science elles soient bei^ucoup niQips utiles, nons avpqs tepui à fairei pour les liquides, en prenstpt l'eau comipe exemple^ ^es expérienceis analQgu^ à celles qui viennent d'être décrites pour les gaz,. Apr^s avoir opii^tf^té de nouvciau^ au oioyen d'vin appareil construit d^ms ce but^ l'ei^çlltud^ des lois çonniues depuis loqglen^pti §f relatives

à ractjon perpendiculaire et à Taction oblique d'un couraul li* quide sur une surface plane , nous avons encore comparé l'action normale avec la force centrifuge dans un mouvement de rotation. Un calcul tout semblable à celui qui a été fait pour les gaz montre que ces deux actions se font équilibre et cela permet remploi d^un appareil analogue à celui de la fig. 8q, p. 43i.

Un tube CDEFN60(/l9f. 83) est assujetti à tourner autour d'un

Fig. 83.

ûi

KiTf

\Qf

axe vertical aa auquel une manivelle est adaptée. Ouvert par les deux bouts^ ce tube se termine en C par une armature verticale percée d^une petite ouverture en son centre et qui tourne dans un espace annulaire BB rempli de liquide jusqu'en M. Le tube lui-même est plein de C en N. Pendant la marche^ le courant exerce en G une pression ayant pour mesure (théorème de la p. 434) la hauteur H due à la vitesse w ; la force centrifuge tend au contraire à faire sortir le liquide^ et la près-

sion qui en provient a pour mesure — . Or l'équilibre a lieu

à toutes vitesses; ces deux quantités sont dope égales^ et laforiqule usq^flle

2ff

M troiiTe oenfirmée par une expérieqce 4(Mit 1^ sucoès est

444 CHArtTftE X.

omiplei quand oa empêche la rolalîoa da fluide an moyen d'ane doisoo qui ne présente qne roorertnre indispensable pour le passage du tube et de son annatore.

Dans la rotation en sens contraire, la dépression en C, pour les fûbles Tîtesses essayées, égale Tadion due à la tarte œntrifoge, et reflet total a pour mesure 2H. Ponr démontrer expérimentalement cette seconde partie da théorème (p. 4^> on a raiployé en même temps qne le tube CDENO, le tube rayon opposé JIHO terminé en J par une armature horizontale plongeant dans le liquide d'un second compartiment annulaire AA qui communique avec BB par l'ouTerture (V. Les distances à Faxe des points C et J sont entre elles comme i et V^-

On élève le liquide par aspiration jusqu'en N^N^, on ferme le robinet R qui supprime toute conmiunication extérieure directe, et on procède à Texpérience. Pendant le mouvement, les deux niveaux en N^ et N^ éprouvent des abaissements égaux très-faibles provenant d'une légère dilatation de l'air qa remplit le siphon au moyen duquel les deux tubes communiquent ensemble ; puis l'équilibre se maintient. L'action de la force centrifuge en HI a pour mesure 2 H ; en ED sa mesure est H; la dépression en C a donc bien pour mesure 2H — H=H.

En i Tarmature horizontale est nécessaire pour empêcher une succion «maiogne à celle que j'ai décrite pour les gaz(p;428) . ce qui altérerait profondément les résultats. L'emploi de ces disques minces, dont j'ai remarqué la grande utilité en étudiant la loi du cosinus carré, peut être utile dans d'autre cas. Par exemple^ l'appareil de Pitot perfectionné par H. Darcy renferme un tube ABC (fig. 84) dans lequel on peut, par une aspiration,

faire monter Teau jusqu'en NN où elle se maintient ensuite à cause de la fermeture du robinet R. Si le liquide dans lequel plonge rinstrument est en repos, on observe égalité de niveau dans les deux branches ; s'il existe, au contraire, un courant dans le sens indiqué par la flèche, l'eau monte en N^ descend

en N^^ et la différence de niveau H donne pour valeur de la

vitesse cherchée

du moins c'est ce que la théorie indique. En réalité^ on est obligé de se servir d'un coefficient de correction particulier pour chaque appareil, sans parvenir encore à obtenir des indications bien exactes. J'ai pensé que l'emploi des armatures ferait disparaître les anomalies, et c'est ce qui a eu lieu : après leur efficacité complète dans l'appareil {fig. 84), on n'en pouvait déjà plus douter. Le tube de Darcy^ modifié de la sorte^ rendra certainement désormais de bons services pour la me-* sure de la vitesse des cours d'eau, sans qu'on ait besoin d'em** ployer un coefficient de correction déterminé par des expériences préalables. Quand on veut mesurer une compo-

44G GHAPlTftB X.

santé de la vitesse^ Tarmature G est aussi indispensable que l'armature A.