RÉSISTANCE QUE LES GAZ OPPOSENT AU MOUYEMENT
Lorsqu'un solide se meut ddns un gaz^ la résistance qu'il doit Taincre est évidemment égale à la pression qu'il éprouverait au repos s'il recevait Tactioti du fluide se mouvant avec la même vitesse et dans la même direction mais en sens contraire ; de sorte qu'il est impossible d'étudier théoriquement ou par expérience Tune de ces questions sans Pautre. L'importance de ce sujet est si grande que les hommes les plus éniments s'en sont occupés: Newtoq, Daniel Bernouilli, d'Âlembert, Euler^ SmeatoD^ Coulomb et beaucoup d'autres se sont efforcés d'y appliquer le calcul ou bien d'arriver par l'observation à des résultais dignes de conRàilce. Toutefois le peu d'accord qu'on trouve entre eux semble indiquer qu'il est nécessaire de soumettre cette partie de la mécanique à un nouvel examen^ et de lui donner^ s'il se peut, des bases plus soUdes.
Le théorème démontré précédemment p. 434 et confirmé par expérience dans les pages suivantes fournit la valeur théorique de la résistance dans le cas d'un disque qui se meut perpendiculairement à la surface. Pour maintenir le mouvement uniforme^ il faut vaincre à chaque instant l'excès de la pression en avant sur la pression en arrière^ c'est-à-dire qu'il faut employer une force ayant pour expression
(57) (Pi~P.)S,
S étant la surface d'une' des bases du disque exprimée en mètres carrés -, pi et pt sont donnés par les équations (34) et (35). Pour les vitesses fsdbles^ on peut remplacer
^"«'['Hi^-')]
par
et Texpression (57) deyient^ en prenant pour unité la tension
^^ du milieu et çn tenant compte de (36)
Là l^siStaiice ëél donc :
ï^ j[m)tïortiotfnelle à la stirface;
è» proiJortîônnelle au cftrré de la tltésëe;
d^ protK>rtionnelIe à la densité du fluide ;
4<^ en rdisoti interse du bitiôitie de dilatatiod ^74+ 0. Potif le cûê partictilier où lé liidutêraent s'efifefclue dans Falmosphère à 10 degrés sous la pression normale, on a
Si Ton suppose S = i et te; = 6> on obtient pour valeur de la résistance 4^^58. Borda et Hutton ont trouvé par expérience 4101^87 } maiSj avec les moyens employés par ces savants^ une
erreur relatii^e de ^ a bien pu être commise danë la ti-
tesse, et elle suffit pour expliquer cette différence.
Mariette a donné o^^, 179 pour la pression exercée sur o^q, io5 par un vent de S^SgS; la théorie conduit au nombre 0^,20294,
et la différence de sens opposé à la précédente s^expliquerait
pat uiie erreur dé -^ dans la mesure de la vitesse. Au
lieu de 0^,20294 remploi des équations rigoureuses (34) et (35) conduit à 0^^20299^ ce qui prouve que le calcui simplifié fournit une approximation plus que suffisante. Quand la vitesse
atteint 20 mètres. Terreur n'est encore que de — ^ de b
valeur trouvée 5o ^',88 par mètre carré ; mais^ pour une tîtesse de 4^ mètres, le résultat obtenu en remplaçant le logarithme par le premier terme de son développement est plus de 9 fois trop petit. H faut alors conserver Texpression exacte
(60) 10 333S («»«>•— «-Bit»).
Un officier de la marine française^ H. Thibault, a fiflit aussi un grand nombre d'expériences sur Faction de Tair en mouvement ; la disposition ingénieuse de ses appareils et ses précautions délicates pour éviter les erreurs l'ont conduit à rejeter quelques conclusions fausses admises par ses devanciers. A l'époque où il a entrepris son travail, on n'avait point encore tous les moyens d'observation en usage aujourd'hui^ aussi trouve-t-il pour la valeur de B^ le nombre 0^1 i5i trop faible
de — L'emploi du mouvement de rotation a pu causer celte 10 '^ '^
différence, beaucoup moindre du reste que certaines erreurs
commises précédemment par ceux qui n'ont pas eu, comme
H. Thibault; l'attention de tenir compte de ce que les variations
de distance à l'axe^ des diverses parties de la surface choquée
par l'air, influent beaucoup sur les résultats.
Remarqw. — Plusieurs auteurs ont avancé que la pression
due à l'action perpendiculaire du vent sur une plaque n'est
pas égale à celle qu'on observe quand cette plaque se meut
perpendiculairement dans l'air en repos avec la même vitesse.
Les différences observées tiennent sans doute à ce qu'ils nW
pas employé un véritable courant indéfini. La quantité qu'il
s'agit de mesurer est la somme d'un accroissement de pression
en avant et d'une diminution en arrière; si le courant peut être
considéré comme indéfini^ la colonne d'air située derrière la
plaque ne pourra être en repos : le frottement s'y opposerait à défaut d'autre cause. Une dépression derrière la plaque en est la conséquence évidente ; il en résulte que les filets de vent se replient de manière à y reformer le courant complet à une distance smffisante, Si^ au lieu d'un courant indéfini^ on emploie un jet de gaz débouchant dans l'atmosphère, la plaque produit la divergence des filets dont la vitesse décroit d'ailleurs rapidement à mesure qu'ils s'avancent ; le courant ne peut se reformer derrière l'obstacle ; on observe un phénomène différent ef plus compliqué.
Quand il s'agit d'une surface plane oblique^ on se borne à considérer la composante normale de la vitesse, ce qui conduit à changer dans les expressions (58) et (Sg) w?* eu w?* cos* a ; la valeur de la résistance devient pour les faibles vitesses
(61) BiS!^*cos*a,
et^ pour les grandes vitesses^
(62) Ï0333S (eB«^* cos* a e-Bu>« co8« a)^
Mais il n'est pas certain, surtout pour les grandes vitesses, que la composante de la vitesse parallèle à la plaque n'altère au* cunement les effets de la composante normale.
Smeaton dans ses recherches expérimentales sur l'eau et le vent^ donne^ aux no« i^ 2, 3, 4^ p. 4^9 dans la huitième colonne du tableau^ pour valeurs de la résistance de l'air agissant sur les quatre ailes de son petit moulin à vent quand la roue ne tourne pas^ les nojnbres
En tenant compte de l'obliquité indiquée dans la troisième
MO CHAFITBE X.
colonne et exprimant les kil^ammes en livres anglaises, l'expression (61) donne
Les différences sont les unes en plus, tes autres en moins ; les erreurs relatives
sont peu considérables, et on doit regarder ces résultats, ainsi que les précédents, comme confirmant la théorie autant qu'elle peut l'être par des expériences faites à des époques oîi les appareils laissaient beaucoup à désirer. Cet accord est d'ailleurs beaucoup plus satisfaisant que si l'on avait seulement montré à priori la proportionnalité entre la résistance et le carré de la vitesse: car ici la valeur même de
' ff {274 -1-6)
est établie en dehors de toute expérience relative à la résistance
de l'air. 11 est très-utile au
progrès de la science de détermiDÉf
ainsi, toutes les fois que a
^ajMyiDssible, non pas seulement
la forme des expressions a
U^^BU des quanlités qu'on étu-
die, mais aussi les valeuri
^^^Bfeàtrra. En les calculant à
l'aide de quelques-uns àm
^^^^Re te formule doit donner,
on se prive de la meilleJ
^^^^^oti, c(, si les cxpêrienoS
n'embrassent pas une gm
^^^Ktiie, t'âipr«ssioa Uiéorique,
traitée ainsi comme la}
^^Bt umplnquosj peut, «^BH
lorsqu'elle renferuie |dur
licîenls, ftmndrdtt i^H
lats approchés sans qn)
'.' A r voir uiio r,onlR^^|
des raisomicmenis et A«â
Application au mouvement des projectiles. — Supposons qu'un cylindre ayant pour longueur l et Q pour poids du mètre cube se meuve parallèlement à ses génératrices à peu près horizontalement dans l'atmosphère sous la pression ordinaire—~t:t = i. La résistance à vaincre (57), (36) est
S (Pi — Pa) ou S ( Pi j : la masse du mobile est — •
et on. en conclut pour valeur de Taccélération
(a/A dw^\P'^p)
D'ailleurs, si Ton appelle z l'espace parcouru, on a
(65) dz = w dty
et Ton peut, en y joignant la différentielle de (34)
éliminer w et dic^ ce qui donne
La pression initiale et la pression finale en avant étant désignées par p' et p", on en conclut
M3 qui a pour logarithme 0,362 2157, est le module au moyen
452 CHAPITVE X.
duquel oo remplace les logarithmes uépérimis par les logarithmes ordinaires.
Ainsi le passage de la tension en avant p^ à la temon f a heu dans un parcours dont la longueur est :
I* proportionnelle à la densité du projectile par rapport ao gaz;
2* proportionnelle à sa longueur;
> proportionnelle au binôme de dilatation 274 + d.
Comme exemple, soient 8, = o; /=o,i; Q = 7200 (fonte) et p^ = 600. On a pour Ic^arithme du coefficient
et pour valeur du second terme de z le nombre 0,9230. Si on attribue ensuite àp' les valeurs
on trouve pour les valeurs de z correspondantes 8,36 54^94 H12 192 3o5 447-
Quand le projectile a parcouru ces nombres de mètres, la vitesse initiale iooi,3 est réduite à
Au début le mobile perd 200 mètres de vitesse dans un espace de 8",36, tandis qu'à la fin il ne perd plus que 77»,5dans un parcours de 142 mètres.
Considérons maintenant un projectile cylindrique terminé en avant par un cône ayant pour demi-angle au sommet (^0 — a), et calculons la valeur de z en appliquant aux élé-
ments triangulaires de la surface conique la loi du cosinus carré. La tension de la couche d'air en contact avec la surface du cône est donnée (p. 435) par Téquation
d'où Ton déduit
(70) w dw = p ^ , -^ • ' ' 2Bcos*a p
Dans le sens de Taxe du cylindre^ on a en avant pour près* sion résultante, S étant toujours la section droite,
(71) Sp.
En arrièi^e rien n'est changé; la tension est e-^«'* ou [ ^...;j ***** et la pression en kilogrammes
(72) Sp cos«a;
de sorte que la résistance à vaincre pour le projectile a pour expression
(73) S (p — p^cosîaj.
Si on nomme l la hauteur du cylindre augmentée du tiers de la hauteur du cône, le poids sera encore Q 2 S, et l'accélération due à la résistance de Tair^
multipliée et divisée part^;, donnera très-facilement la valeur de z en fonction de p par la simple substitution de w di et wdw
tirés de (65) et (70) ; on trouve
H74X i,^.COS'a p'-
Pour readre plus facile une application numérique, supposons a ^45 degrés et conservons d'ailleurs les données de la page 452. L'intégration conduit à la formule
^^ ' 3X274xi,3\ ° p— I ^ *3p+i/p=|/
t Pour une vitesse de 849" ,6 l'équation (6g) et le tableau de la page 421 prouvent qu'on a p= Vioo = 10; ta substitution dans le second membre de (76) donne alors pour résultat 164. Voici le tableau de résultais analogues trouvés de la même mauière :
io333
r ai 1
ooS
om
iiS^
oiS
i,4So
