MOUVEMENT QUELCONQUE D UN POINT MATÉRIEL

Composition et décomposition des vitesses. — Nous représenterons, suivant l'usage, les vitesses d'un point matériel par

des longueurs égales ou proportionnelles portées sur leurs directions et dans le sens où elles ont lieu. Soient AB et AC (/!$. i) deux vitesses dont le point A est animé simultanément;

la vitesse AB seule le porterait en B à la fin de la première seconde^ et d'après le principe de Tindépendance des mouvements simultanés^ si on mène la ligne BD égale et parallèle à AC, on aura pour lieu du point à celte époque l'extrémité D de cette droite. D'ailleurs les espaces parcourus pendant un temps quelconque, en vertu des deux vitesses simultanées^ étant toujours proportionnels à ces vitesses, on voit que le point se mouvra sans cesse sur la diagonale comme s'il était animé de la vitesse AD seule. De là on conclut que la résultante de deux vitesses, c'est-à-dire la vitesse unique par laquelle on peut les remplacer, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vitesses, laquelle devient la somme quand l'angle BAC s'annule. Dans le cas d'un nombre quelconque de vitesses, on mène par le point D une droite DE égale et parallèle à la troisième vitesse, et Ton a pour résultante la diagonale AE du parallélipipède construit sur les trois premières vitesses. En continuant ainsi, on obtient un polygone plan ou gauche, et la ligne qui le ferme représente, comme pour les cas de deux ou de trois vitesses, la résultante définitive. Réciproquement, il est permis de rem*'

8 CriAPITRK PREMIER.

placer une vitesse par celles que représentent les côtés de tout polygone qu'elle ferme.

D'après cela, si nous menons trois axes rectangulaires faisant avec la vitesse v du point matériel A des angles a, p, y, on pourra remplacer cette vitesse par les trois vitesses simultanées rcosa, vcosp, vcosy, et si Ton décompose de la même manière les vitesses v^, v'^, . . .dont le point A est animé en même temps, on arrivera à les remplacer par trois groupes de vitesses parallèles aux axes pour chacun desquels la résultante sera la somme algébrique *. En nommant V la résultante définitive et A, B, C les angles qu'elle fait avec les axes, on aura donc

(9) Vcos A = 2vcosa, VcosB=:]2v cos p, VcosC=:2vcosy,

(10) T = Vv cos' a + l*v cos* jî + 1 v* cos» y .

Remarque. — Il faut se garder de croire que la force vive correspondante à la résultante égale toujours la somme des forces vives correspondant aux composantes, comme cela arrive par exemple dans le cas particulier d'une seule vitesse décomposée parallèlement à trois axes rectangulaires ; on verra plus loin l'importance de cette remarque.

Composition et décomposition des /'orces.— Lorsqu'un point A est sollicité par deux forces constantes P, P^ il est commode de les représenter par deux longueurs proportionnelles AB, AC ifig, 2) prises sur les directions dans lesquelles elles tirent; ces droites peuvent représenter en même temps les accélérations gf, gf dont le rapport est le même. A la fin d*un temps quelconque t, les espaces parcourus kE = -gt\ M!i = -gU^ étant proportionnels aux accélérations, le point viendra, par suite des deux mouvements sitnullanés, à l'extrémité F de la diagonale du parallélogramme AEFK, laquelle coïncide en direction avec

* Pour iibrégor, l<'s tiiscussiojis relatives aux s"i;,mu's ont élé pjrloiil omises dans ces notions prclinfiinaite-; le lecteur y snppléera facileroenf.

NOTIONS PRÉLimNAIIIES. 9

celle du parallélogramme ABCD, puisque les espaces sont pro- |K)rtionnels aux accéléralions. On aura d'ailleurs, en app(3lant R et G la force et raccélératton représentées par AD,

AF=-Gi', à cause de la similitude des triangles ACD, AKF ;

le point matériel se meut donc comme si les forces P, P' étaient

remplacées par la force unique R. Ainsi, la résultante de deux forces est représentée en grandeur et en direction par la dia gonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.

Quand le point matériel est sollicité par un nombre quelconque de forces, on compose la première avec la seconde, leur résultante avec la troisième, et ainsi de suite, ce qui donne, comme dans le cas des vitesses, pour résultante déflnilive, le dernier côlé d'un polygone. Si Ton mène par le point A trois axes rectangulaires suivant lesquels on décompose chacune des forces données aûn de faciliter la recherche de leur résultante flnale, on obtient des équations entièrement analogues à (9) et (10).

[ RcosA— 2Pcosa=X,

(11) RcosB=:SPcosft=Y,

[ RcosC=2:Pcosy=Z;

(12) R'==X*-hY*4-Z*.

A un inslant quelconque, |>renons poiu* origine le lieu du

point et pour axe des x la tangente à la trajectoire. Soit A Tes-^ pace parcouru pendant un temps infiniment petit dty et par con — séquent AcosA^ Acosa, Acosa^... les projections de cet espace sur la résultante et sur les forces données, on aura, en multipliant par A la première des équations (ii)^

(i3) RAcosA = 2PAcosa, .

et il en résulte ce théorème relatif aux forces qui sollicitent un point matériel :

Le travail de la résultante égale la somme des travaux des composantes.

Tout mouvement peut être remplacé par trois mouvements rectilignes simultanés parallèles aux trois axes rectangulaires ou projetés sur ces axes et produits par les forces X, Y, Z. Appliquant donc ce qui a été dit pour le cas du mouvement rectiligne, on arrive aux équations générales du mouvement d*un point matériel

<'4) »'W=^' *^J='^^ *"dïï=^-

On trouve aussi pour expressions générales des composantes

de la vitesse

/ vx dx dy dz

^' ^ d7' dï' Tt

Dans chacun de ces trois mouvements le travail dépensé pendant le temps dt égale Taccroissement de force vive. Ce théorème s'applique aussi au mouvement résultant, car, d'une part, le travail de la résultante égale la somme des travaux des composantes, et, d'autre part, dans ce cas particulier, la force vive correspondante à la vitesse est, au temps t et au temps t-^dt, égale à la somme des forces vives correspondantes aux composantes de la vitesse ; de sorte que la variation de force vive dans le mouvement résultant égale la somme des variations des forces vives dans les trois mouvements composants.

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. il

MOUVEMENT d'un SYSTÈME DE POINTS IfATBRIELS.

Théorème des forces vives. — D'après ce qui vient d'être dit, Véquation (6) est applicable au mouvement quelconque d'un point matériel^ et Ton a : .

(i6) XdX'^Ydy-+'Zdz=mvdv,

ou bien, si Ton considère un mouvement uni,

(,7) lmv^—-mvl=f [XdX'\-Ydy-hZdz).

Concevons écrites toutes les équations analogues relatives aux âJTers points matériels d'un système et faisons leur somme^ il vient

(18) s'mt'— 2-mvî=2/(Xd^+Ydy4-Zdz),

• et Ton peut énoncer le théorème suivant:

Dans le mouvement d'un système de points matériels quelconque, la somme des variations des forces vives des divers pointSy c'est-à-dire la variation de force vive du système, égale h somme des travaux des forces pendant le même temps.

Ce théorème s'applique avec toutes ses conséquences au cas où les travaux des résistances passives (chocs, frottements, etc.) sont négligeables. Les points peuvent être soumis à des liaisons quelconques qu'on peut remplacer par des forces dont on tient compte lorsque la somme de leurs travaux pendant le temps considéré prend une valeur appréciable.

Théorème de d'Alembert. — En différenciant l'équation (18)

, r , ds* dx^-hdy^+dz^ après avoir remplace v* par ^ ou — -^ » on

trouve

(19) 2(Xdar+Ydy+Z dz)=l (m^dx+m ^dy+m^d^s) ,

Si Ton remarque que les quantités m ^» m -r^» m ^ sont

les expressions des forces qui produiraient les inouvements réels des points supposés libres, on arrive, pour les cas nombreux et presque toujours faciles à reconnaître de suite où il y a lieu de négliger la somme des travaux des forces qui remplacent les liaisons du système, à renoncé qui suit :

La somme des travaux élémentaires des forces données égale à chaque instant celle des travaux élémentaires des forces capables de produire les mouvements réels des points supposés libres.

Dans chaque cas particulier cette relation générale fournit les équations du mouvement en joignant aux forces données, lorsque cela est nécessaire, celles qui remplacent les liaisons.

Condition d'équilibre ou théorème des vitesses virtuelles, — Appliquant le principe de l'indépendance des mouvements simultanés, faisons abstraction des vitesses à un moment quelconque pris pour point de départ; Téquation (i8) après le temps dt se réduit à

(20) :S,-mdv'=l{Xdx+\dy-hZdz).

Pour qu'on ait o = di? = d»/ = ..., c'est-à-dire pour que le mouvement caractérisé par les valeurs de dx, dy, dz, da/,.,. n'ait pas lieu, il est nécessaire et suffisant que

(21) :S(Xda?-^Ydy^-Z(/s)=o.

Pour qu'aucun mouvement n'ait lien, c'est-à-dire pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que là somme des travaux élémentaires ou moments virtuels des forces soit nulle pour tout déplacement possible. Dans un système à liaisons, on voit en général facilement que la somme des travaux des forces intérieures est négligeable, alors on considère exclusivement les forces données et les déplacements compatibles avec les liaisons.

Théorème dumouvement ducentre de gravifé.— Désignons par ^liVi^ J8i, les coordonnées d'un point choisi à chaque instant, (le lelle sorle (pi'on ait, en appelant M la somme des masses des

NOTIONS PRÈLIMINAIUES. 13

points matériels d'un système^

(22) Mx^=:lmXy My^-=^my, !Az^z=zlmz; il en résultera

(23) M^' = 2m^. Mj=2m^, M-^=2m^.

Substituant ces valeurs dans les sommes des équations (19) appliquées à tous les points^ cela donne

et la comparaison avec les équations (19) elles-mêmes montre de suite que le point déterminé de la sorte^ qui n'est autre que Ic-centre de gravité, se meut comme si toute la matière y était concentrée et comme si toutes les forces y étaient appliquées. Quand il n'exisle que des forces intérieures, deux à deux, égales et de sens contraires, telles par exemple que les attractions mutuelles des parties, les seconds membres des équations (24) deviennent identiquement nuls, et le centre de gravité demeure invariable ou se meut d'un mouvement uniforme, quels que soient les mouvements respectifs des divers points.

Théorème des aires. — Cionsidérons d'abord des points matériels se mouvant tous dans un même plan, et nommons moment d'une force par rapport à un point 0, que nous prendrons pour origine, le produit de celte force R ou AD {fiy, 3)

Fli;. 3.

agissant sur le point À, multipliée par la perpendiculaire 0N= r abaissée du point 0 sur sa direction. Convenons de

regarder les moments comme positifs lorsque la force tend à produire dans un certain sens la rotation autour du point 0^ et comme négatifs lorsqu'elle tend à faire tourner en sens contraire. Le moment de la force R est représenté par le double du triangle OÂD, et Ton a

(25) OAD=OAC-|-ACD.

Si Ton remplace cette force par ses deux composantes parallèles aux axes X ou AB, — Y ou AC, dont les moments sont représentés par les doubles des triangles OAC^ OAB, et si^ de plus, on remarque Féquivalence des triangles OAB, DAC qui ont bases égales AB=CD et hauteurs égales, on voit quel'équation (25) signifie que le moment de la résultante égale la somme des moments des composantes :

(26) Rr=:yX — ojY.

Cette équation subsiste évidemment lorsqu'on représente la force R par une grandeur difTérente AD^ et une simple remarque ou Faddition de deux forces qui se détruisent fait voir qu^elle a lieu aussi quand on remplace par leur résultante R deux forces non rectangulaires ou deux forces parallèles.

Cela posé, examinons ce qui arrive quand la somme des moments des forces d'un système est constamment nulle, c'està-^dire lorsqu'on a sans cesse

(27) l{yX^x\)^o

ou, en remplaçant X et Y par leurs valeurs m -7-^, m-^,

(28) lm(y--^~œJj=o.

Une première intégration donne

(29) ïm (ydx—xdy)z=:dti

Après le temps dt, le point A (fig. 4) est venu eti A', le fayôn vecteur OA a décrit Taire OAA' = d'ky qui, en négligeant les infiniment petits du second ordre ^ est évidemment la difTérence

entre OAK=ydx et OA/Kz= xdy ; on a donc

dk=zydX'-'Xdy,

et par suite

lmdX=zCdL

Fie- 4.

Une secondé intégration donne, en faisant commencer les aires

avec le temps,

c'est-à-dire que

La somme des aires décrites par tes rayons vecteurs menés aux divers points matériels du système multipliées respectivement par les masses est proportionnelle au temps.

La somme des moments des forces intérieures est toujours nulle, et il suffit dans l'équation (27] de considérer les forces extérieures. ^

Un mouvement quelconque peut, d'après le principe de Tindépendance des mouvements simultanés, toujours être considéré comme résultant d'un mouvement parallèle à un plan ou projeté sur ce plan, et d'un mouvement parallèle à une perpendiculaire à ce plan ou projeté sur cette perpendiculaire; il est permis de les étudier séparément. On peut donc appliquer le théorème des aires à un mouvement quelconque projeté sur un plan.

Si la quantité 2m>. est nulle pendant un temps quelconque, ce qui entraîne C = o, on en conclut qu'elle est constamment nulle.

D'après les deux théorèmes précédents, un bonfimc, isolé dans l'espace et non sollicité par des forces extérieures^ serait incapable, sll était d'abord en repos, de mouvoir son centre de gravité, puisqu'en faisant agir ses muscles il ne développerait que des forces intérieures. H lui serait impossible également de se donner un mouvement de rotation autour de ce point, puisque la sonnne des aires décrites par les éléments matériels qui constituent son corps, éléments qu'on peut prendre de telle sorte que leurs masses soient égales, est constamment nulle.

Remarque. —En toute rigueur, on ne peut composer et décomposer que des forces appliquées à un même point ; ce n'est qu^en supposant une rigidité complète, irréalisable d'une manière absolue, qu'on est conduit pour les corps solides à remplacer un système de force donné par un autre plus simple qui se déduit toujours avec facilité des notions qui précèdent. Celle manière de procéder est souvent fort commode et en même temps légitime si Ton ne perd pas de vue la supposition faite et si on ne l'emploie que dan^les cas où la rigidité est au moins très-grande. Lorsque le corps est notablement flexible, il faut conserver sans modification le système de force réel; on ne pourrait, par exemple, dans le cas d'un fil .métallique flexible et élastique, remplacer deux forces constantes et égales appliquées à ses extrémités perpendiculairement à sa longueur, par une force égale à leur somme et appliquée en son milieu. Après l'établissement du régime le fil serait^ du côté où les forces tirent, concave dans le premier cas et convexe dans le second; le changement de forme aurait d'ailleurs fait naître en chaque point des forces élastiques convenables pour que chaque molécule soit sollicitée, dans le sens du mouvement devenu uniformément accéléré, par une force proportionnelle

à sa masse.

Principe de l'équivalence.

Nous avons vu, en Fabsence de toutes résistances passives (telles que chocs, frottements, etc.), qu'un travail acconipli est toujours remplacé par une force vive, et réciproquement. Ces deux quantités sont hétérogènes, et leur égalité numérique, sur laquelle s'appuient souvent les calculs, dépend du choix des unités; elles peuvent se remplacer l'une l'autre, elles sont équivalentes. L'usage s'est établi de dire que le travail qui disparaît se transforme en force vive ; nous conserverons ce mot inexact dont l'emploi n'offre pas d'inconvénient grave, parce qu'il s'applique, à plus juste titre, au cas de la transformation delà force vive en chaleur, électricité, etc., et qu'unlangage uniforme présente des avantages réels. Si i kilogramme de plomb est à une hauteur de o",2, nous dirons que le travail disponible a pour valeur 0,2 dyne et qu'il se transforme pendant la chute en une force vive ayant aussi pour valeur 0,2 dyne. Si le corps est attaché à l'extrémité inférieure B {fig. 5) d'un

long fil oblique AB dont la seconde extrémité est fixe, en IV bandonnant on le verra osciller sur l'arc BB" symétrique par

rapport à la Terticale ; pendant la chute de B en B^, le travail se transforme en force vive; la force vive se transforme au contraire en travail pendant l'ascension de B^ en B'"^ puis les mêmes phénomènes se reproduisent dans le mouvement inverse, et ainsi de suite. Si pendant la descente de B en B^^on plaa; un obstacle fixe^ en C par exemple, le corps remontera suivant un arcB'B'^^ de rayon différent^ mais la hauteur finale sera la même puisque le travail est régénéré intégralement.

Le principe de Téquivalence du travail et de la force vive facilite souvent la recherche ou la démonstration des principes secondaires ou des formules de physique et de mécanique ; on obtient alors des résultats dont Texactitude est certaine sans entrer dans le détail des causes^ qu'il serait fort difficile, dans certaines questions^ d'analyser d'une manière complète. Avant d'aller plus loin, il sera bon de citer quelques exemples :

i"" Quand un liquide très-peu visqueuxsort^par un orifice en mince paroi, d'un vase dans lequel il s'élève à une hauteur h au-dessus de cet orifice, la sortie d'une gouttelette de poids P correspond à une dépense de travail PA, et la force vive engen-

drée — égale ce travail, car la somme des travaux dus aux

liaisons et aux résistances passives est ici néghgeable. On a donc, en supprimant le facteur commun, la formule bien connue

(33) \^ = 2gh,

qui devient certaine sans qu'on ait besoin de connaître les courbes suivies dans la masse liquide par les molécules qui affluent vers l'orifice. A mesure que nous avancerons, les avantages de cette manière de procéder deviendront plus saisissants, et il ne serait pas jusle de reprocher à cette méthode, sans cesse employée dans la théorie mécanique de la chaleur, l'ignorance où elle nous laisse souvent des causes immédiates des phénomènes, car rien ne s'oppose à ce qu'on emploie concurremment les méthodes qui peuvent les faire découvrir.

PRINCIPE DE l'Équivalence. 19

2* Un corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe horizontal A {fig. 6); son centre de gravité G est d'abord dans

Fig. 6.

-V-yM

le vertical de Taxe ; P désigne le poids du corps et a la distance AG du centre de gravité à Taxe. On fait tourner d'une quantité angulaire GM = dXo, puis on abandonne. Lorsque, après le temps i, la distance est réduite à la valeur GW=:ax, la vi-

tesse angulaire a pour expression -^ » et le travail accompli

h(coBœ — cosa^o). D'autre part, une molécule quelconque du corps ayant pour masse m, et située à la distance r de Taxe, pos-

sede au temps t une vitesse absolue ^ -jt et , par conséquent,

I /dx\ * une force vive -mr* (-77) • L'application du principe de l'équivalence conduit immédiatement à la formule usitée

(34) Pa (cos a? — cos a;,) = - f -^ j 2 mr*^

sans qu'on ait besoin de considérer les forces centrifuges.

3« Un corps de poids P, environné d'un fluide homogène, descend et parcourt un chemin A; le travail dépensé est PA. Mais ce mouvement n'a pu se produire sans qu'un égal volume de fluide> de poids P'', monte et occupe la place laissée vacante; il y a donc eu un travail produit P'A ; de sorte que la dépense finale est seulement (35) (P — F)A.

Sans examiner si ee travail est transformé en force vive du

corps ou des molécules fluides^ il suffit dans la question actuelle que nous connaissions sa valeur, c'est-à-dire Teffet^ pour que nous en déduisions, en divisant par A, l'expression delà force, c'est-à-dire de la cause. Ainsi, tout corps plongé dans un fluide supporte des pressions dont la résultante est une force verticale de bas en haut égale au poids du fluide déplacé. Si la force est variable, sa valeur se déduit de la même manière de celle du travail en employant un chemin infiniment petit. Plus nous avancerons et mieux on appréciera le service rendu aux sciences par Coriolis et Poncelet, lorsqu'ils ont introduit le travail dans la plupart des discussions de mécanique.

Extension du principe de l'équivalence. — Quand deux corps dépourvus d'élasticité se choquent, de la force vive semble perdue. Lorsque, par exemple , dans l'appareil représenté par la figure 5, on abandonne à la fois deux pendules semblables AB, AB" également écartés de la verticale, les boules de plomb arrivent en B' animées de forces vives équivalentes aux travaux accomplis, se choquent, puis rentrent dans l'état de repos. La force vive perceptible a disparu, et ceux qui nous ont précédé la déclaraient détruite ; aujourd'hui nous savons qu'elle est seulement transformée en chaleur ou force vive moléculaire imperceptible directement; sa valeur totale n'a point été altérée. Il en est ainsi toutes les fois que du travail ou de la force vive disparaît : il se produit du travail moléculaire ou de la f jrce vive moléculaire qui se manifeste indirectement sous forme de chaleur, de magnétisme, d'électricité, de lumière, etc. Il y a longtemps déjà que Taltentionaété appelée sur ces transformations remarquables par Montgolfier et Séguin, en France, ensuite d'une manière plus précise et plus hardie encore par Meyer, en Allemagne ; cependant une idée si féconde ne pouvait servir de base à toute une science qu'autant que son exactitude deviendrait incontestable^ et c'est pi in • dpalement à M. Joule que revient le mérite de sa démonstra-

PRINCIPE DE l'Équivalence. 2i

tion. On savait anciennement que les actions mécaniques dcYeloppent de la chaleur; mais ce n'est point assez qu'un corps s'échauffe par le frottement ou le choc pour qu'on soit autorisé à admettre l'équivalence de la force vive qui disparaît et de la chaleur qui apparaît ; il faut s'assurer, en outre, qu'il existe sans cesse une proportionnalité exacte entre ces deux quantités. M. Joule a fait plusieurs séries d'expériences pour déterminer leur rapport et prouver sa constance ; le talent et la ténacité dont il a fait preuve dans l'accomplissement de cette tâche sont bien dignes d'éloges. Nous citerons seulement quelques-uns des procédés mis en œuvre par ce savant distingué.

Compression de l'air, — Un récipient et une pompe foulante plongent dans l'eau d'un calorimètre; en donnant 3oo coups de piston, on comprime de Tair à 22 atmosphères dans le récipient et Ton calcule, au moyen de la loi de Mariotte, le travail total après avoir pris les mesures nécessaires. La variation de température fait connaître^ par un calcul dans lequel entrent les capacités et les poids des diverses parties de l'appareil, la chaleur produite dont il faut retrancher celle qui est due au frottement du piston et qu'on évalue à la suite d'expé- Tiences faites en évitant la compression de Tair. En opérant ainsi et faisant avec soin les corrections convenables^ M. Joule a trouvé que 444 dynes engendrent i calorie; ce nombre porte le nom d'équivalent mécanique de la chaleur.

Le phénomène inverse^ la dilatation de l'air sous Teau, a causé un abaissement de température et, dans trois expériences de ce genre^ M. Joule a trouvé pour équivalent d'une calorie 45i, 447, 418 dynes.

Choc et frottement des liquides. — Une roue à palettes contenue dans un vase en partie plein d'eau ayant été mise en mouvement par des poids connus descendant de hauteurs oonnueS) un certain travail total employé à produire des chocs et frottements fut évalué, ainsi que le nombre de calories cor-

respondant à ce travail ; après les corrections utiles et des expériences répétées^ M. Joule trouva pour moyenne 43o. En remplaçant l'eau par le mercure^ il obtint 432.

Le frottement des solides lui a donné aussi 432 ; mais, après des recherches variées et après discussion du degré de confiance dû à chacune d'elles y M. Joule a admis pour valeur la plus probable de l'équivalent

Depuis, plusieurs savants se sont appliqués soit à reproduire les mêmes expériences, soit à étudier des transformations autres afin de constater que les circonstances n'influent pas sur la valeur de ce nombre fondamental. M. Favre a trouvé par le frottement, et avec l'emploi d'un calorimètre à mercure perfectionné, le nombre 41 3 ; Tétude d'une machine électro*magnétique, rendue plus facile à Taide de dispositions ingénieuses, lui a donné 443, el l'étude de certaines actions chimiques 432,

M. Hirn a obtenu 432 comme moyenne d'expériences variées, etMM. Tresca et Laboulaye 433 par la compression de Tair.

Un savant suédois, M. Edlund, après des expériences dans lesquelles il mesurait très-soigneusement les variations de température d'un fil métalli(iue tendu par un poids, puis déten* du avec ou sans travail , est arrivé au nombre 434* Sa grande habileté comme expérimentateur et la discussion détaillée à laquelle il se livre dans ses Hémoires suffiraient pour donner confiance dans ce chiffre ; mais ce qui me paraît rendre tout doute impossible, c'est qu'il résulte, ainsi que je l'ai prouvé il y a longtemps et comme on le verra plus loin, de l'ensemble si remarquable des expériences de M. Regnault sur les chaleurs latentes, que l'équivalent mécanique do la chaleur est nécessairement très- voisin de

C'est ce dernier nombre que nous emploierons comme le plus probable ; il diffère pei; d's^Uleurs des nombres proposé» jus^

PRINCIPE DE L ÉÔUIVALENCE. 23

qu'ici par les observateurs les plus estimés, et il y a lieu évidemment à ranger les écarts parmi les erreurs inévitables dans de telles expériences et à considérer comme bien établie la proportionnalité entre les travaux ou forces vives qui disparaissent et les quantités de chaleur qui les remplacent.

Principe de l'égalité de Vaction et de la réaction. — Le principe de l'équivalence étant maintenant admis dans toute sa généralité, on peut s'en servir pour prouver les principes secondaires qui s'y rattachent et pour fixer Textension qu'il convient de leur donner. Sans lui, par exemple, il serait difficile de préciser les cas où s'applique le principe de l'égalité de raction et de la réaction au sujet duquel Laplace dit, en parlant des attractions et répulsions capillaires apparentes de deux plans verticaux parallèles:

a Quoique les deux plans n'agissent l'un sur l'autre que par l'action capillaire d'un fluide intermédiaire, cependant cette action réciproque est telle, que l'action est égale à la réaction. » Ce principe a lieu aussi bien pour les attractions apparentes que pour les attractions réelles; il s'applique aux faits secon- ;daires comme aux faits irréductibles ; cela devient évident lorsqu'on le déduit du principe de l'équivalence. Supposons fixe l'un desdeux plans considérés par Laplace et laissons mouvoir l'autre en l'obligeant à faire tout le travail possible et à prendre par conséquent une force vive négligeable. Gela fait, fixons-le à son tour et rétablissons la distance primitive par un mouvement du plan qui était d'abord immobile; le travail dépensé égalera, d'après le principe de l'équivalence, le travail produit en premier lieu, et, pourvu qu'on envisage des mouvements infiniment petits, il en résulte l'égalité des deux forces dont l'une est l'action et lautre la réaction. Ce raisonnement est général quoique présenté ici pour un cas particulier, et il ne souffre aucune objection si l'on ne considère que des attractions ou répulsions réelles ; pour les actions apparentes il est encore admissible^ h

moins que les résistances passives qui influent sur leurs valeurs observées soient inégales dans les deux sens : les deux plans de Laplace fixés successivement ne donneraient point à l'expérimentateur des résultats égaux si le frottement au départ était plus grand pour l'un que pour l'autre.

Remarque sur le principe des vitesses virtuelles. — On a vu, page 12, une démonstration simple et depuis longtemps connue du principe des vitesses virtuelles ; mais on a fait sur sa complète généralité des objections qui disparaissent quand on le tire du principe de Téquivalence. Lorsqu'un système matériel soumis à des liaisons quelconques et à des forces P, P^ . . est en équilibre, on peut toujours concevoir des forces infiniment petites TT, tu' . . . appliquées à tous les points matériels qui le composent ou à une partie d'entre eux; elles produiront un mouvement compatible aveclesliaisons du système, et le travail total dépensé égalera la force vive produite. Les déplacements p, p^ . . étant supposés infiniment petits, le travail Sirp et la force vive totale due aux forces ajoutées seront infiniment petits du second ordre, et les forces données ne produiront point de force vive puisqu'elles se font équilibre par hypothèse; on aura donc

(37) I.Pp = o.

Réciproquement, si l'on a 2Pp=o, les forces se font équilibre à Paide des liaisons, car, appliquant le principe de l'indépen*dance des mouvements simultanés, on peut faire abstraction du mouvement préexistant, et il ne peut survenir un mouvement infiniment petit nouveau créé par les forces, puisque la force vive totale à la fin de ce mouvement doit égaler la somme des travaux élémentaires, c'est-à-dire être nulle. Ce même mode de raisonnement fait voir aussi que, les forces étant en équilibre par hypothèse, on a 2Pp = o non -seulement, comme on Ta vu plus haut, quand le système est en repos, mais aussi alors que le mouvement existe.

Chaleurs ■péclfiqnea.

Pour rendre plus faciles les applications du principe de Téquivalence avec l'exlension qui vient de lui être donnée, quelques éclaircissements relatifs aux températures et aux chaleurs spécifiques sont nécessaires. Afin de prévenir toute difficulté, nous éviterons de nous servir d'^s températures absolues, comme on Ta souvent fait dans la théorie mécanique de la chaleur, sans les préciser suffisamment. Nous conserverons les degrés o et loo généralement en usage , et nous emploierons pour la définition des autres températures les forces élastiques que prend un gaz parfait, par exemple Thydrogène très-dilaté, lorsque son volume est assujetti à rester constant.

Quand un corps reçoit de la chaleur, elle se partage généralement en trois parties qui produisent trois effets différents :

1° L'élévation de température ;

2° Un travail externe qui est dû à ce que le corps en se dilatant surmonte les obstacles extérieurs ;

3o Un travail interne dû à Fécartement des atomes par la chaleur malgré les attractions qui s'y opposent.

Les deux dernières parties sont transformées en travail ; dles n'existent plus comme chaleur. La première seule subsiste et^ à cause de cela, nous nommerons, comme Ta fait M. fiankine, chaleur spécifique vraie c, la quantité de chaleur nécessaire pour élever de ^ à < + i degrés la température d'un kilogramme d'un corps, abstraction faite de la chaleur convertie en travail. Les physiciens appellent chaleur spécifique à pression constante &, la quantité de chaleur qu'il faut fournir

à un kilogramme d'un corps pour qu'il passe de t à ( -f- 1 degrés sans que la pression change. Le même corps peut être pris à Fétat gazeux ou à l'état liquide^ par exemple ; dans le premier cas, le travail interne est souvent négligeable et le travail externe mérite d'être calculé ; dans le second cas, le travail externe est au contraire très- faible, tandis que le travail interne prend une grande valeur. D'après ces remarques on ne peut espérer obtenir des lois simples que dans la recherche des chaleurs spécifiques vraies ; mais Texpérience ne les donne point d'une manière immédiate.

Dans un corps en équilibre, la force expansive due à la chaleur égale la pression extérieure augmentée de la force de contraction due aux attractions mutuelles des molécules. A l'état gazeux, on considère généralement cette dernière force comme très-faible et presque toujours négligeable ; on doit à M. Gay- Lussac une expérience curieuse qui confirme cette manière de voir; reprise et confirmée en Angleterre par M. Joule, puis soumise en France à une étude attentive par M. Regnault, elle est devenue célèbre. Voici en quoi elle consiste : deux ballons de capacités très-inégales sont l'un plein d'air comprimé, et l'autre vide ; on établit la communication entre eux en faisant tourner un robinet à large ouverture, et l'on constate finalement que le calorimètre dans lequel ils se trouvent n'a ni perdu ni gagné de la chaleur. M. Regnault l'a constaté même dans le cas où le volume devient 20 fois plus considérable. L'écoulement est accompagné d'une diminution de température, puisque de la chaleur devient force vive ; mais pendant les chocs qui produisent le repos final, cette force vive redevient chaleur. Si l'attraction des molécules était encore notable aux distances moyennes où elles se trouvent d'abord, le travail d'écartement pendant la dilatation considérable qui s'opère entraînerait une disparition sensible de chaleur. Si, au contraire, comme quelques écrivain? l'ont avancé, la force expaqsive des

gaz était due à ce que les molécules^ aux distances où elles s'y trouvent^ se repoussent les unes les autres^ le travail de répulsion serait transtorraé en force vive pendant l'écoulement, puis en chaleur finale, de sorte que la température s'élèverait. Ainsi, cette expérience importante prouve que le travail interne est très- faible ou négligeable dans les gaz simples et dans les gaz composés dans lesquels le changement de pression ne rend pas la combinaison plus ou moins inlime^ Elle prouve aussi que leur force expansivc est due aux mouvements qui coDsliluent la chaleur et non à une force vraie, à une répulsion mutuelle des atomes. Lorsque le travail chimique est nul ou insensible, on peut donc, du moins dans une première approximation^ considérer la chaleur spécifique vraie c comme l'excès de la chaleur spécifique à pression constante kc sur la chaleur équivalente au travail externe qui a pour valeur très-

Me à calculer — ^^rrr* a désigne le coefficient de dilatation,

Dladensilé du gaz par rapport à l'air, et i^,3, ou plus exactement 1,29318, le poids d'un mètre cube d'air dans les circonstances normales. On est conduit à la formule

(38) c = ftc-— 3^

connue par Meyer, qui en a déduit le premier nombre 365 proposé pour l'équivalent mécanique de la chaleur ; il est beaucoup trop faible, et cela tient à ce que les chaleurs spécifiques adoptées alors en physique n'étaient point assez exactes. La chaleur spécifique à volume constant est difficile à mesurer directement, et le nombre E est aujourd'hui bien connu ; il est préférable de faire servir la relation (38) au calcul de c.

* On terni plus loin comment sa valeur, quoique très-faible, peut être

On trouve pour Thydrogène 2,448, et pour les autres corps simples

e désignant Téquivalent chimique ou la densité limite à Tétat de vapeur très -dilatée et prise relativement à Thydrogène, ou peut-être, dans quelques cas rares, un multiple ou un sousmultiple par un nombre très-simple de Tune de ces quantités qui sont d'ailleurs elles-mêmes en rapport simple.

Il ne faut pas perdre de vue que le dernier terme de Téquation (38) exprime le travail externe calculé au moyen des lois de Mariotte et de Gay-Lussac, qui, pour certains gaz et en particulier pour le chlore et la vapeur de brome, ne sont point assez approchées. On ne sera donc autorisé à dire que ces deux gaz et leurs analogues font exception à la loi de Petit et Dulong (39), que si Tanomalie qu'ils présentent, lorsqu'on calcule c au moyen des données expérimentales, persiste après qu'on aura étudié leurs véritables lois de compressibilité et de dilatation de manière à pouvoir en déduire la valeur exacte du travail externe. Il faudra aussi tenir compte du travail interne s'il n'est pas négligeable.

H. Regnault a prouvé que, pour plusieurs gaz simples, la chaleur spécifique à pression constante est indépendante du volume; il en résulte (38), dans le cas où les lois de Mariotte et de Gay-Lussac s'appliquent, qu'il en est ainsi de la chaleur spécifique vraie en supposant toujours le travail interne négli* geable dans une première approximation. On peut déduire cette vérité de Texpérience sur l'expansion des gaz sans travail; car si l'on considère i kilogramme de fluide à o degré et sous la pression de 20 atmosphères, qu'on l'échauffé de i degré, puis qu'on le laisse prendre sans travail externe un volume 20 fois plus grand, la dépense de chaleur devra être la même que si l'expansion précède l'élévation de température, puisque l'état

primitif et Tétat final sont les mêmes. Ainsi, deux gaz simples pris à o degré ont des chaleurs spécifiques vraies inversement proportionnelles à leurs équivalents, alors même qu'ils sont soumis à des pressions très-inégales. Il est fort probable que cette loi a lieu à toute température commune aux deux éléments comparés et non pas seulement pour les températures employées dans les expériences. Les équivalents chimiques ne dépendent ni du volume subissant des variations même très-grandes^ comme dànslesgazéifactions^ni de la température^ et il semble qu'on doit en conclure que la relation (39) devient générale lorsqu'on multiplie le second membre par une fonction inconnue F(t) de la température seule, la même pour tous les corps simples, (40) c=5.448FW.

pour/=:o, onaF(0 = i.

Corps composés. — Il est naturel, pour les corps composés, d'admettre que la chaleur qui élève de i degré la température égale la somme des quantités de chaleur nécessaires pour produire le même effet sur chacun des éléments. M. Regnault a prouvé l'inexactitude de cette hypothèse appliquée aux chaleurs spécifiques à pression constante, mais son examen ne s'est pas étendu aux chaleurs spécifiques vraies. Soient a, b, c les équivalents de trois corps simples, et concevons un corps composé de a équivalents du premier combinés avec p équivalents du second et y équivalents du troisième. Pour élever de I degré la température des éléments séparés, il faudra (89) pour

le premier aoc . -^51. ou 2,448 a ; pour les trois 2,448(aH-13-f-Y) .

Mais aa+tp-f-cy est le poids total du composé, i kilogramme exigera donc

2,448 (g +P -h y), • aa-t-ôp-hcy

D'ailleurs, le poids aa-t-ftp+cy contient a+p-f-y équivalents

de corps simples diyers, et, si Ton veut obtenir le poids d'un seul équivalent en prenant une sorte de moyenne^ on est amené à définir réquiyalent de tout corps composé en disant que c'est le quotient obtenu en divisant le poids du composé par le nombre des équivalents des divers corps simples qui y entrent :

Alors, si rhypothèse faite est vraie, la formule (4o) devient entièrement générale. a^=b = c redonne bien, comme cela doit être, la formule primitive.

Pour faire les vérifications, on peut construire un tableau contenant pour Tétat de vapeur :

1° La densité limite D^ qui se confond souvent avec l'équivalent chimique e ;

2° La chaleur spécifique vraie donnée par la formule (dg);

3° La somme C{ de la chaleur spécifique vraie et du travail externe sous pression constante;

4° La capacité C^ ou Kc trouvée expérimentalement par H. Regnault ;

5« La différence C^ — Ci.

D'après la définition, on voit sans peine que C^ est donné par la formule

m ci= Y '

dans laquelle (x/ désigne le coefficient de dilatation à pression

constante, et a=o,oo3644= — 7-7 'e coefficient limite à Tétat

de gaz parfait qui sera déterminé plus tard; du moins c^est ce qui a lieu toutes les fois que la valeur de c se confond avec la densité relative à Thydrogène. Le nombre 0,9477 est un

coefficient —^5 ^. ' — -r—p qui résulte de ce qui a été dit

I, «3^0,00920 X ^OOyO

sur le travail externe déjà calculé pour la formule (38).

CHALEURS SPECIFIQUES. 31

Pour la plupart des substances contenues dans le tableau suivant, la valeur de a' n'a pas été mesurée, aussi les valeurs de C\ contenues dans la 5^ colonne ont-elles été calculées en supposant ex/ == a. Les corrections qui restent à faire ne sont point toujours négligeables : pour Tacide carbonique par exemple, la valeur de Ci doit être augmentée de o,ooi6, ce qui la porte à 0,2122. M. Regnault a donné les chaleurs spéciflques expérimentales de ce gaz aux diverses températures, et c'est agi degrés environ qu'on a C^ — CJ = o. Le travail interne physique étant supposé négligeable, on doit en conclure qu'il en est de même à ce point pour le travail chimique. Aux températures supérieures à 91 degrés, on a C^ > Cj, ce qui fait voir qu'une partie de la chaleur donnée sert à produire un travail de décomposition chimique, et que la combinaison devient moins intime à mesure que la température s'élève. Au-dessous de 91 degrés, on a G <C[: une élévation de température rend la combinaison plus intime. Pour les autres corps on peut tirer des conséquences analogues.

Excepté pour les hydrogènes carbonés, les différences C/— Ci sont faibles et les corrections qui restent à faire amoindriraient encore certaines d'entre elles ; il y a donc lieu à considérer les lois qui précèdent comme bien vérifiées et comme pouvant être employées sans crainte désormais.

Quant aux corps simples, les valeurs de C — C'^ sont négligeables pour l'oxygène et l'azote , mais plus élevées qu'on nç doit s'y attendre pour le chlore et la vapeur de brome. L'anomalie que présentent ces deux corps est probablement due à ce que les coefficients de dilatation sont considérables; elle disparaîtrait complètement après la correction qu'il faut faire subir à Cl si l'on avait a'=o,oo5o, ce qui n'offre rien d'improbable. On peut même, à l'appui de cette conjecture, faire remarquer dès à présent que le chlore dans l'acide chlorhydrique paraît ne point s'écarter de la loi générale i

KOVS.

Hydrogène

Oxygène

Chlore

Brome

Azole

Acide carbonique. . . .

Oxyde de carbone. . . .

Proloxyde d'azole. . .

Bioxyde d'azote

Hydr. prolo-carbonc.

Hydrogène bi-carboné.

Acide sulfureux ....

Acide chlorbydrique .

Acide sulfbydriqiie . .

Ammoniaque

Vapeur d'eau

Elher chlorbydrique. .

Ether sulfuriquc . . . .

Alcool..

Sulfure de carbone. .

Chloroforme

Benzine

Ess. de térébenthine. .

Espril de bois

Ether sulfhydrique. . .

Ether brombydrique .

Liq. des Hollandais. .

Acétone

Eiher acélique

Chlor. phosphoreux..

Bi-chlorure de tilane.

FORMULES OU équifalenti

H G Br Az |CîO

|AzO^ Az'G^ fC^H»

iCH«

fsfo

CP H"' ÎS'H

lAz'ir

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