I. — Transformation des équations fondamentales

Les propositions fondamentales de la théorie mécanique de la chaleur n'ont pu trouver jusqu'à présent que très-peu d'applications quand il s'agit des phénomènes qui se passent dans les corps solides et liquides sous l'influence de la chaleur, parce que nous manquons encore des résultats d'expériences nécessaires.

Les recherches théoriques de M. J. Thomson ont conduit à de§ découvertes tellement remarquables, que nous ne pouvons pas nous dispenser d'exposer ces recherches dans un Appendice; elles peuvent d'ailleurs fournir de nouvelles preuves de l'exactitude des idées qu'on a aujourd'hui sur la chaleur, puisqu'une partie de ces recherches a déjà été confirmée complètement par l'expérience.

Dans les recherches à faire sur les corps solides et liquides, il faut distinguer, comme on l'a fait pour les gaz et les vapeurs, si l'état d'agrégation du corps considéré change ou ne change pas pendant l'opération.

Nous examinerons d'abord le deuxième cas, dans lequel le corps reste solide ou liquide pendant le changement quon lui fait subir,'

Les équations générales de la page 76 sont applicables ici, mais nous leur donnerons une autre forme. Soient v le volume de l'unité de poids du corps, /sa température et T = a-h ^ = 2^3 + / sa température absolue, et enfin p la pression spécifique, considérée sous le point de vue indiqué à la page 23. Pour les corps solides et liquides, il est convenable d'imaginer autour du corps une enveloppe qui exerce

une même pression p sur tous les points de sa surface; pour les gaz el les vapeurs que nous sommes habitués à voir occuper des espaces limites, il était inutile d'insister sur celle circonstance ; mais pour les corps solides cela est nécessaire, parce qu'il arrive souvent que les éléments de la surface subissent des pressions extérieures diverses. Quant aux liquides, lorsque nous négligeons l'influence de leur poids, nous sommes dans le même cas que pour les gaz et les vapeurs, puisqu'ils transmettent des pressions extérieures inlégralement et dans tous les sens, et qu'ils doivent être renfermés dans des vases. Il existe pour tous les corps une relation entre le volume, la pression et la température

qu'il faut connaître, pour que l'on puisse faire usage des théorèmes de la ihéorie mécanique de la chaleur. Pour les gaz et les vapeurs saturées, nous avions assez de données sur celle relation pour avoir pu faire précédemment des recherches approfondies sur ces sortes de corps; mais déjà, dans l'étude des vapeurs surchauffées, nous étions embarrassés, parce que nous ignorions cette relation. Noujs éprouvons ici le même embarras. Nous savons seulement que, sous la pression almosphérique, le volume v de l'unité de poids croît à peu près proportionnellement à l'élévation de température, c'est-à-dire que le coefficient de dilatation peut être considéré comme constant dans ces circonstances, entre certaines limites; les phénomènes que présente l'eau sont seuls connus un peu plus exactement, mais uniquement quand elle se trouve sous la pression atmosphérique.

La différentiation de l'équation écrite cî-dessus donne

'''={^yp-^{^y'

Pour éviter des confusions, nous donnerons dorénavant aux différentielles partielles une désignation plus précise en y mettant en indice la quantité qui doit rester constante dans la différentiation. Nous écrirons donc l'équation précédente

SOUS la forme

<45o) rf.= (|)./p+(|)^rf..

La différentiaiion de la relation écrite plus haut conduit, du reste, aux quotients différentiels suivants :

(dp\ (dt\ (di>\ (dt\ . {dp\ {di>\

[dij: [Tp): [dij; W; [du); [Tp);

•entre lesquels on a les relations connues

\dt), \dt)p \dplt

11 y a encore un autre lien entre ces trois couples de quotients différentiels.

Supposons, par exemple, que p soit fonction de t et de c, alors on a

*=fê)/'-©,*-

Si p est constant, dp = o, et Téquation (45o] donne alors

dt

En substituant cette valeur de dt dans Téquation précédente, il vient, puisque dp = o,

Divisons cette expression par ( -y ) ' et tenons compte de la troisième des relations (45i), nous aurons

<4=») fê).(S),(l).= -

OU bien encore en renversant

Ces formules nous serviront très-utilement dans la suite. Les équations fondamentales (p. 76) peuvent s'écrire maintenant sous la forme suivante :

dQ = A[Xdp + Ydi>), III. ^dQ = A[^)^iXdt + Td.U

dQ = ^[^^^{^dt-Tdp).

Les deux fonctions X et Y peuvent se déterminer, quand nous introduisons, comme cela a été fait pour les gaz permanents (p. 112), la chaleur spécifîque du corps à pression constante, désignée par Cp, et la chaleur spécifique à volume constant, représentée par c,; il faut seulement ne pas oublier que ces chaleurs spécifiques ne doivent plus être, comme pour les gaz, considérées comme des constantes, mais qu'elles sont des fonctions de p et de v, de t et de c, ou enfin de p et de t.

Lorsqu'on élève de dt la température de l'unité de poids d'un corps sous une pression constante, la quantité de chaleur nécessaire dQp est, d'après les notations ordinaires,

dQp = Cpdt.

( *) Voyez le Bulletin trimestriel de la Société des naturalistes de Zurich, i865 r Des différentes formes commodes pour l'application que l'on peut donner omix équations fondamentales de la théorie mécanique de la chaleur , par M. Clausius. Les équations fondamentales ne se trouvent d'ailleurs pas dans cet écrit sous la forme dont j'ai fait usage.

Quand, au contraire, on échauffe le corps sous un volume constant, on a

dQ, = Cpdt.

Dans le premier cas, la troisième des équations III devient, puisque dp = o.

dQ, = AY

et la seconde des équations III donne, dans le second cas, où di^ = o,

dQ, = AX

En mettant à la place de dQp et rfQr leurs valeurs écrites cidessus, et en nous servant des relations (45i), nous trouvons

Utilisons maintenant ces valeurs de X et Y pour transformer les cinq équations fondamentales précédentes, nous aurons

(II') AT=(c,-c,)(g)^(|)^;

( Iir ) ]dQ = c,dt-hk'ï(^\ dv, dQ = c,dl-kT{^\ dp.

Ces équations sont généralement applicables lorsque le corps change d'état d'agrégation, et quand la modification

qu'il subît est réversible. II faut considérer comme variables les capacités calorifiques Cp et c La quantité Cp est seule connue assez exactement quand il s'agit des corps solides et liquides, surtout grâce aux expériences de M. Regnault : c'est pour cela que l'usage de ces formules est encore très-restreint. En outre, la quantité c^ n'est déterminée que sous la pression atmosphérique, et dans ce cas particulier, la seule chose que nous sachions, c'est que Cp augmente lentemenl avec la température»

Lorsque nous rapprochons les notions que nous avons sur ces deux quantités des résultats qu'ont fournis les expériences sur la dilatation des corps par la chaleur et sur leurs changements de volume par compression, nous pouvons résoudre quelques problèmes à l'aide des équations précédentes.

IL — De la capacité calorifique des corps solides et

liquides.

Nous possédons une série de données sur la chaleur spéciOque à pression constante des corps solides et liquides ; il n'en est pas de même pour leur chaleur spécifique à volume constant; mais on peut, comme je le ferai voir, déterminer cette quantité au moins approximativement, en suivant une marche analogue à celle qui a été employée dans l'étude des gaz permanents.

Les expériences connues déterminent deux des coefûcients différentiels qui entrent dans les équations générales écrites plus haut.

Occupons-nous d'abord d'un liquide très-fluide; soient c» le volume de l'unité de poids à la température zéro, v le volume à la température /; on écrit habituellement

(455) i; = v^[\-^at).

a désigne le coefûcient de dilatation, et on suppose expressément que réchauffement et la dilatation aient lieu sous une pression constante. Les déterminations ordinaires du coeffi-

CAPACITÉS CALORIFIQUES. 54g

oient de dilatation ont été faites, il est vrai, à la pression atmosphérique, et il paraît convenable de dire, quand on emploie la relation (455), qu'elle suppose la pression constante et égale à celle de Tatmosphère. Nous regardons aussi le coefficient de dilatation a. comme une fonction de la température ; nous savons cependant par expérience que, dans beaucoup de cas, a est à peu près constant.

La différentiation de Téqualion précédente donne, lorsque nous indiquons, à Taide de l'indice /i, que cette quantité.reste constante,

-7- ) î un des coefficients différentiels de nos formules, est

donc calculable dans les conditions adoptées*

Une autre série d'expériences nous permet de déterminer la variation de volume dvy qui correspond à l'accroissement dp de la pression extérieure, lorsque la température t reste constante ou possède au moins la même valeur au commencement et à la fin de l'opération. Pour un liquide^ une augmentation de la pression est généralement accompagnée d'une diminution de volume. On peut écrire, d'après les expériences

connues,

rfi' = — ^vdpy

dans laquelle (3 est le coefficient de compression. C'est le rapport de la variation du volume au volume total, rapport qui correspond à un certain accroissement de la pression, et qui est connu dans quelques cas particuliers. Comme nous supposons expressément que la température t reste constante, il vaut mieux écrire

En admettant encore que la pression initiale soit celle de Tatmosphère, nous pouvons nous servir de l'équation (455) et écrire

55o IPPBNDICB. — DES CORPB SOLIDES ET LIQUIDES.

La quantité a est^ il est vrai^ ordinairement si petite, que nous pouvons négliger le terme at dans Téquation précédente.

Portons maintenant dans Téquation (452) les deux quotients différentiels des équations (4^6) et (457), nous obtiendrons

doc