III. — Du traitait extérieur

La quantité dh, qui se trouve dans le second membre de réquation (a), désigne le travail qui correspond à l'action de la pression extérieure p quand le corps change de volume. Si Ton admet que le corps subisse une augmentation de volume pendant qu'il reçoit de la chaleur, comme cela a lieu ordinairement, du travail est dépensé pour vaincre la pression extérieure, et il est cédé aux corps extérieurs; ce travail dh a reçu de M. Clausius le nom très-juste de traitait extérieur. Quand le corps diminue de volume, sous l'influence de la pression extérieure, rfL est négatif; le travail extérieur peut être considéré comme un travail gagné par le corps, et l'accroissement du travail intérieur est dû à la fois à la chaleur reçue et au travail extérieur gagné.

On suppose qu'au commencement et à la fin de l'arrivée de la chaleur il y ait équilibre entre la pression extérieure p et la pression que le corps exerce sur son enveloppe. Lorsqu'il s'agit maintenant d'étudier le changement d'état que subit un corps quand on lui envoie de la chaleur, il faut savoir si cet équilibre persiste ou non pendant le changement. Les deux cas peuvent se présenter, et on doit les distinguer soigneusement dans toutes les recherches qui vont suivre.

Admettons d'abord, et c'est le cas le plus important, que, pendant l'introduction de la chaleur, on ait réglé par un moyen quelconque la pression extérieure p de telle sorte qu'elle soit égale à la force expansive du corps, ou mieux, puisqu'il y a en même temps changement de volume, que la différence entre la pression extérieure et la force expansive du corps soit à chaque instant infiniment petite; lorsqu'il y a dilatation,

TRAYAIL EXTÉRIEUR. 29

celle différence infinimenl petite est négative, tandis qu'elle est positive quand il y a contraction : mais dans les deux cas elle pourra être négligée. Dans cette hypothèse, que nous ferons du reste dans tout ce qui suit, on peut regarder la pression extérieure comme une propriété du corps même, et il y a, pendant toute la durée du changement, une relation déterminée entre le travail extérieur, le changement d'état luimême et le mode d'introduction de la chaleur. Nous ferons voir que l'on peut, dans ce cas, suivre pas à pas lés modifications du corps.

Les choses se passent tout autrement quand on suppose qu'il n'y ait plus égalité entre la pression extérieure et la force expansive du corps pendant le changement même, mais que cette égalité n'ait lieu qu'au commencement et à la fin de l'opération. Jusqu'ici il n'a pas été possible de poursuivre ces sortes de transformations; dans quelques cas spéciaux seulement, auxquels nous reviendrons plus tard, certaines hypothèses sur la loi des variations de la pression extérieure, laquelle est indépendante de la force expansive du corps, ont permis de trouver l'état final du corps.

Vu l'importance de cette question, nous allons montrer sur un exemple très-simple, emprunté à la Mécanique, que l'on trouve des valeurs différentes pour la quantité de chaleur émise ou reçue, suivant que l'on se place dans l'un ou dans l'autre cas.

Imaginons deux liges prismatiques A et B de même matière, de même section s et de même longueur /, fixées par une de leurs extrémités, et tendues par des forces appliquées à l'autre. Supposons que la force X, qui sollicite la tige A suivant son axe, ne surpasse la résistance de la tige que d'une quantité infiniment petite; si on appelle x l'allongement et E le coefficient d'élasticité de la substance, la valeur de X est, comme on sait, donnée par l'équation

X = -T iE.

Le travail correspondant à un allongement dx est, par

3o PREMIÈRE SECTION. — ÉQUATIONS FONDAMENTALES.

suite,

Xdx =: - sEdx.

Si l'on veut que rallongement soit X à la fin, on aura pour le travail total L, en intégrant Téquation précédente,

La force totale, à la fin de l'opération, est

Si l'on veut qu'il y ait équilibre, on peut imaginer un poids G suspendu à la tige tel, que l'on ait

L'équation (5) donne alors, quand on y introduit le poidsU,

Il est bien entendu qu'on suppose que la limite d'élasticité n'ait pas été dépassée; en d'autres termes, les formules précédentes ne sont applicables qu'autant qu'il y a proportionnalité entre l'allongement et la force de tension. Le travail extérieur donné par l'équation (7) a été gagné par la lige et converti en travail intérieur. Si maintenant on enlevait le poids et si on le remplaçait par une force variable agissant toujours suivant l'axe, et différant à chaque instant de la force de tension d'une quantité infiniment petite, la tige se raccourcirait et restituerait peu à peu aux corps extérieurs tout le travail qu'elle avaitgagné pendant l'allongement. L'opération est donc réversible.

Les circonstances sont tout autres quand, pendant l'allongement, il n'y a plus égalité entre la force qui agit sur la tige et la force élastique. On peut alors faire une infinité d'hypothèses sur les variations de la force extérieure; prenons le cas

TRAVAIL EXTÉRIEUR. 3l

irès-simple, où la force extérieure reste constante pendant l'opération, et faisons l'expérience suivante.

Supposons que la tige B soit munie à son extrémité inférieure d'un crochet, et qu'un poids G se trouve immédiatement au-dessus. Soutenons le poids de sorte qu'il touche le crochet sans s'appuyer sur lui, et abandonnons-le subitement, il agira alors pour allonger la tige; étudions celte action.

Au moment où l'allongement est devenu x, la force X, avec laquelle la tige tend à se raccourcir, sera comme tout à l'heure,

la force qui agit de haut en bas est donc G — X. Comme il s'agit ici seulement d'un problème particulier, nous négligerons la masse de la tige devant la masse M du poids G; on aura alors, pour l'accélération du mouvement du poids,

Si on désigne par v la vitesse du poids au même moment, l'équation connue

vd{^=i wdx

donnera, en vertu des deux dernières équations,

'i\vdv =z(j[dx j-xdx.

Comme t' = o pour x = o, c'est-à-dire au commencement de l'opération, et t' = o aussi au moment du plus grand allongement que nous désignons par X|, l'intégration donne

5EX^ o-GX.--^-,

on a, par suite, pour l'allongement maximum,

Cet allongement est double de celui que donne Téqua-

tion (6) dans le premier cas. Le travail dépensé au moment de l'allongement maximum est

Mais, dans ce moment aussi, la tension de la tige est le double du poids suspendu; il n'y a donc pas équilibre, la tige se raccourcit et le poids remonte jusqu'à sa position première.

En poursuivant le problème, on voit qu'il ne peut y avoir équilibre; le poids descend et remonte, il oscille, et l'étendue totale de cette oscillation est X, = 2X, et-on trouve, par des calculs faciles, que la durée d'une oscillation est celle d'un pendule de longueur X.

On voit donc, et c'était là le but de cette digression, qu'au moment où l'allongement est X, la tige se trouve dans des états bien différents, suivant qu'il s'agit de l'un ou de l'autre des cas que nous venons d'examiner.

Dans le premier cas, tout le travail extérieur a été gagné par la tige; dans le second, le travail est alternativement gagné et perdu; pendant l'allongement, le travail extérieur du poids est employé en travail intérieur, et pendant le raccourcissement ce travail intérieur redevient libre et est employé en travail extérieur pour faire monter le poids. L'expérience montre que ces oscillations ont bien réellement lieu, mais leurs amplitudes diminuent de plus en plus jusqu'à un moment où il y a enfin équilibre, et alors l'allongement permanent devient égal à celui qui correspond au premier cas. En apparence, l'état de la tige est le même dans les deux cas au moment où l'allongement est égal k x; en réalité, cela ne peut être. En effet, si l'on admet que la tige n'a pas fourni de travail aux corps extérieurs, le travail intérieur doit évidemment être plus grand dans le second cas que dans le premier ; et cela s'explique, d'après les principes de la théorie mécanique de la chaleur, par cette circonstance, que si la disposition des particules du corps peut bien être la même, néanmoins les mouvements moléculaires doivent être différents, ou, pour parler plus simplement, la chaleur sensible, la température

TBAYAIL B3LTÉRJEUR. 33

doit être différente à Tinslant que Ton considère. EnOn, quand Toscilialion ayant cessé, la seconde lige est parvenue à un état d'équilibre, elle a subi finalement la même variation de travail intérieur que la première, et cette variation se calcule à Taide de Féquation ( 7 ). Les deux cas se distinguent uniquement par la manière dont se fait le passage d'un état d'équilibre à l'autre.

Tout se passe dans le cas général absolument comme nous avons pu le constater sur -cet exemple particulier. Si pendant l'introduction de la chaleur et le changementd'étatil n'y a pas égalité entre la pression extérieure et la pression du corps, on ne peut suivre pas à pas la transformation; on peut seulement trouver l'état final du corps en supposant que l'équilibre soit alors établi, et que le travail extérieur soit connu.

Nous avons déjà dit que nous reviendrions plus tard sur quelques problèmes de ce genre. Pour établir les équations fondamentales de la théorie mécanique de la chaleur, nous supposerons que la pression extérieure p soit égale à la pression du corps ou n'en diffère que d'une quantité infiniment petite.

Dans cette hypothèse on peut exprimer plus explicitement le travail extérieur qui entre dans l'équation

dQ=:A{d\]-hdL).

La pression/? se rapporte à l'unité de surface, elle est normale et égale en tous les points. Désignons par 5,, «„ «3, . . . les éléments de la surface, et par e», £2, £3,. . . leurs déplacements suivant la normale pour un accroissement infîniment petit du volume : les pressions élémentaires seront 5,/?,, ^ajt^a, S3P39" '9 et les travaux nécessaires pour vaincre ces pressions auront pour valeurs /?fi Si, /?5j 62, ps^Si,..., attendu que ces pressions peuvent être considérées comme constantes pendant le changement de volume. D'après cela, le travail total rfL sera

rfL — (5,6, -h 5,6, -h 5363 -h '')p,

OU bien, puisque la parenthèse exprime simplement l'accrois- L 3

34 PBEMIBRE SECTtOK. ~ ËQUATIONS FOHDAHENTALBB.

sèment dv du volume total v de l'unité de poids du corps,

(8) dLc^pdi', et, par suite, à cause de l'équation (a),

(9) rfQ=A(rfU + ;>rf^).

Si on intègre cette équation, en considérant le travail intérieur comme une fonction connue de p et de c, à savoir U = F(^, v), et en désignant les valeurs initiales el Anales de p et de c par les données p„ v,, p„ Vj, on trouve la quantité lotale de chaleur Q qu'il faut fournir au corps pendant le passage d'un état à l'autre, à l'aide de l'équation

Q = AT(p„i',)-\F{p.,^,) + \J'''pdi'.

Le dernier terme du deuxième membre est indéterminé; unt qu'on ne sait pas comment la pression p varie avec le volume f, l'intégrale qu'il contient ne peut être obtenue; el, par suite, l'on ne peut pas non plus déterminer la quantité totale de chaleur Q. Si l'on admet une relation connue entre p et y, on peut représenter le volume spécifique v par l'abscisse Oc i^g- 1), et la pression correspondante p par l'or-

Fig. I.

donnée cP d'une courbe Pi PPi qui donnera une image fidèle de la relation admise. L'aire terminée par cette courbe { la parlie ombrée de la ligure] représentera l'intégrale contenue dans

TH.^VAIL EITâRlEtril. 35

l'équation (lo), c'esi-à-dire le travail extérieur effectué pendant le changement d'état.

Il résulte de ce qui précède le théorème suivant : Si en recevant ou perdant delà chaleur un corps passe d'un état à un autre, fa variation du travail intérieur sera complètement déterminée au moyen de l'étal initial et de l'état final.

Il n'en est pas de même de !a valeur du travail extérieur et de la quantité de chaleur reçue ou perdue pendant le changement d'état. Pour déterminer ces quantités il faut encore connaître la manière dont le passage s'est effectué, c'est-à-dire la loi suivant laquelle la pression a passé de sa valeur initiale à sa valeur finale. On peut dire encore que le second membre de l'équation (9) n'est pas une différentielle exacte, et est intégrable seulement dans le cas où l'on a une relation entre les variables p et v.

Le mérite d'avoir énoncé pour la première fois ce théorème avec précision revient incontestablement à M. Clausius.

La relation entre la pression p et le volume v peut être variée à l'infini; nous ne traiterons que les cas très-peu nombreux qui présentent un véritable intérêt.

On peut, par exemple, régler l'introduction de la chaleur de telle sorte que la pression reste consunte ; dans ce cas, la courbe des pressions est une parallèle P, P (fig. 3 ) à l'axe des

abscisses. L'intégration indiquée dans l'équation (10) est alors

possible^ et on obtient

pdu = p(Vi — (/,).

On en déduirait sans difficulté la quantité de chaleur fournie au corps au moyen de l'équation (lo), pourvu que Ton connût U = F(/>, v). On dit en ce cas que l'admission de chaleur s'est faite sous une pression constante.

On peut aussi supposer que le volume soit constant ; pour cela on suppose qu'une enveloppe solide entourant le corps^ s'oppose à une augmentation de volume. Ici encore la courbe des pressions est une ligne droite P, Q, mais elle est parallèle à Taxe des Y {Jig. 2). Dans ce cas, le travail extérieur est évidemment nul, et l'équation (10) montre que toute la chaleur admise est employée à accroître le travail intérieur.

On peut encore supposer que le corps passe d'un état à l'autre sans qu'il y ait ni gain ni perte de chaleur. On admet toujours que la différence entre la pression extérieure et la force expansive du corps reste infiniment petite.

Dans cette hypothèse, Q = o dans l'équation ( i o), et de même dQ = o dans l'équation (9); on a, par suite,

pdi^=i — dV et

Alors le travail extérieur est égal à la variation du travail intérieur. Si, pendant le passage de l'état /?, (/, à l'état p,c2, il y a eu du travail extérieur produit, un travail intérieur égal a été dépensé, et la surface ombrée de la^g*. 2 représente ce travail. Dans ce cas une certaine courbe Pi Pa A indique suivant quelle loi la pression spécifique p varie avec le volume c

Cette courbe joue un rôle tellement important dans la théorie de la chaleur, que nous l'appellerons avec M. Rankine courbe adiabatique.

Nous la décrirons plus tard avec plus de détails; pour une classe particulière de corps, on peut établir facilement son

TRÀYAIL EXTÉRIEUR. 3^

équation. Posons, comme plus haut,

d\] = Xdp-¥-Zdv;

la substitution de dV dans Téquation (9) donne de suite, pour le cas où rfQ = o,

Xdp = '-(Z-hp)di^.

Si on connaissait les valeurs de X et de Z en fonclion de p et de Vy ou, plus simplement, si on connaissait la fonction l] = ¥ (p, v), l'intégration de l'équation ci-dessus donnerait l'équation de la courbe adiabatique.

On aurait un cas analogue au précédent, si pendant le changement d'état du corps on réglait la pression extérieure et l'introduction de la chaleur de telle sorte que le travail intérieur restât constant; alors rfU = o et l'intégration de l'équation

o = Xdp -h Zdv

fournirait l'équation de la courbe des pressions, courbe que l'on peut appeler, d'après M. Cazin , courbe isodynamique. L'équation (9) donne du reste dans ce cas

rfQ =zApdç^,

d'où Ton doit conclure que toute la chaleur introduite a été transformée en travail extérieur.

Il est à remarquer que dans tous les cas où il y a égalité entre la pression extérieure et la force expansive du corps (ce que nous avons admis jusqu'à présent), le changement d'état du corps est réversible. Si en effet le corps, en recevant de la chaleur d'une certaine manière, s'était dilaté de telle sorte que Oc, fût devenu Oca {Jtg, 2), et que la pression /?, = c, P, eût pris la valeur finale i^j Ri (et alors la variation du volume et de la pression eût été représentée par la courbe P, R, R), le corps retournerait ensuite à l'état initial, en passant par les mêmes états intermédiaires, si on le comprimait d'après la loi indiquée par la courbe P, R|R, et si, en outre, on lui sousy*ayait de la chaleur, en opérant comme la première fois, mais en sens inverse.