V. — Établissement de la deuxième équation

fondamentale.

Nous venons de faire remarquer que l'équation (i?.), c'està-dire

(12) .rfQ = A(X<//?-f-Yrf(/),

n'est pas intégrable tant qu'on ne donne pas une deuxième équation entre les grandeurs qu'elle renferme.

4o PREMIÈRE SECTION. — ÉQUATIOKS FONDAMENTALES.

Désignons par S une nouvelle fonction de p et de v, dont la forme, il est vrai, n*est pas plus connue en ce moment que celle des fonctions X et Y, mais à laquelle nous donnerons une signification par les considérations suivantes.

Si on multiplie et si on divise par S le deuxième membre de réquation écrite ci-dessus, il vient

(i3) dQ=:As[|rf/i + |rfi'].

Il est évident que Ton peut choisir S de telle manière que l'expression entre parenthèses devienne une différentielle

exacte, ou, en d'autres termes, que la quantité ^ soit le facteur

qui rend intégrable la parenthèse de Téqualion (12).

La signiQcation de la nouvelle fonction S est par là complètement définie; sa valeur et sa forme peuvent se déterminer lorsqu'on donne les quantités X et Y en fonction de p et de v.

La relation qui lie ces trois fonctions est facile à trouver.

Si, d'après noire hypothèse, l'expression entre parenthèses de l'équation (i3) est une différentielle exacte, on a, comme on sait, la relation

rf/X\

'■àpis}

ou.

si on effectue la différentiation indiquée.

\f\Jl

Mais, d'après l'équation (F), la quantité entre parenthèses dans le premier membre de la dernière équation est égale à l'unité; on a donc

équation qui constitue la deuxième équation fondamentale de

DBUXifcHB ÉQUATION. 4'

la théorie mécanique de la chaleur. Tandis que la première équation fondamentale indique la relation qui lie les fonctions X et Y, cette seconde équation montre comment ces deux fonctions sont liées avec la fonction S, c'est-à-dire avec l'inverse du facteur qui rend intégrable la parenthèse de l'é* quation (12). •

Cette dernière équation a été donnée d'abord par Clapeyron (*), puis plus tard par M. Clausius, mais par une autre méthode. Ces deux auteurs, en faisant certaines hypothèses sur lesquelles nous reviendrons, ont attribué, dès le principe, à la fonction S une autre signification. Clapeyron et M. Clausius ont, dès l'abord, considéré S comme une fonction de la température seule. J'ai préféré démontrer, pour établir les deux équations fondamentales, qu'il suffit d'un seul principe, celui de l'équivalence de la chaleur et du travail, et je crois qu'il est avantageux d'éviter aussi longtemps que possible, dans ces développements mathématiques, la notion de la température, parce qu'il est très-difficile de la définir rigoureusement. Certainement, c'est parce qu'on a voulu considérer dès le commencement cette quantité comme une fonction de la température, que l'on a rendu longue et difficile, dans les ouvrages publiés jusqu'ici sur la théorie mécanique de la chaleur, la démonstration de la seconde équation fondamentale. £n suivant une telle marche, on doit aussi s'appuyer sur un principe qui a été posé en premier lieu par Carnot, modifié plus tard par M. Clausius, et auquel nous serons conduits naturellement.

( * ) Journal de V École Polytechnique, cah. XIV, p. 170, i834 ; Annales de Poggendorffy t. LIX, p. 44^» Sur la force motrice de la chaleur. Ce Mémoire admirablement écrit, qui est remarquable par une grande clarté et une élégance rare dans les développements mathématiques, est à vrai dire le premier travail ma< thématique sur la théorie mécanique de la chaleur, et s'appuie sur l'ouvrage de S. Carnot, devenu très-rare aujourd'hui : Réflexions sur la puissance motrice du feu; Paris, Bachelier, i824« Ces deux ouvrages sont restés longtemps presque inconnus, au moins ne les a-t-on point utilisés; c'est seulement plus tard, surtout après la publication des Mémoires de M. Clausius, que leur valeur a été appréciée.

4^ PREMIÈRE SECTION. — ÉQUATIONS FONDAMENtALES.

La foncUon S est suffisamment déOnie par ce qui précède pour quel'on puisse en tirer parti sans difficulté.

A l'aide des deux équations fondamentales déjà établies, on peut d'abord mettre sous d'autres formes l'équation (12), qui donne la chaleur que Ton doit fournir au corps. Puisque S est une fonction de p et de v, on peut écrire

Si maintenanl nous tirons de l'équation (II'), successivement, les valeurs de Y et de X, pour les substituer dans Téquatîon (12), nous avons, en simplifiant les résultats au moyen de l'équation [i^)QX en écrivant de nouveau Téquation (12),

(IIF) • / \d^)

dQ=j^iYdS-^Sdp).

Ces trois équations sont identiques; nous choisirons toujours pour résoudre différents problèmes celle qui conduit au but le plus rapidement. La relation mutuelle des trois quantités X, Y et S, qui sont des fonctions de p et de v^ est en gé néral donnée par les équations (!') et (H'); ces fonctions ont néanmoins besoin d'être déterminées plus complètement lorsqu'on veut se servir des équations (IIF) pour certaines recherches spéciales.

Si on savait comment le travail intérieur U est lié aux quantités p et Vy on connaîtrait immédiatement les quantités X, Y et S.

En effet, nous avons posé plus haut ( p. 27 )

pais

rfU dv

mais, comme d'après l'équation (m) on a Z -!-/> = Y, il en résulte

£nfin la substitution de ces valeurs de X et de Y dans Téquation(ir) donnerait finalement la valeur de S; mais comme, en général, on ne connaît pas la forme de la fonction U = F (p, v), il faut la déterminer autrement et la déduire des fonctions X, Y, S. Telle est la question que nous nous proposons de résoudre.