VI. — Des cycles d* opérations simples et réversibles

On communique à l'unité de poids d'un corps, dont Télat initial est déterminé par le volume Ofi = c, et la pression i^^a=pt (fig* 3), une quantité de chaleur Q de telle manière,

Fig. 3.

que la relation qui lie la pression et le volume pendant le changement d'état soit représentée par la courbe RR. Si Téquation de cette courbe est connue, on peut, d'après ce qui précède, déterminer la quantité de chaleur nécessaire pour

faire passer la pression de la valeur initiale /?i à la valeur finale /ij. Nous supposerons toujours que l'équation de cette courbe soit donnée sous la forme

R étant constant pendant le changement d'état. Lorsque la forme de la fonction est connue, on peut exprimer p en fonction de Vy et juger par là de la nature de cette courbe.

Pour indiquer de quelle manière la chaleur a été fournie ou soustraite et quelles modifications ont eu lieu, nous dirons dorénavant pour abréger : qu'il fallait fournir ou soustraire la quantité de chaleur Q pendant que le corps parcourait sur la courbe R le chemin ab. Cela signifie simplement que le changement de pression de p^h pi a eu lieu d'après la loi

R = F (/?, i' ) =:.const.

L'aire Ci v^ab, limitée par la portion de courbe ab, donne le travail extérieur.

S'il a fallu fournir de la chaleur pour faire parcourir au corps un chemin ab sur la courbe R, il est nécessaire de retirer du corps la même quantité de chaleur, s'il doit revenir à son état initial en suivant le chemin inverse ba. Si au contraire il avait fallu retirer du corps la quantité de chaleur Q, il faudrait lui fournir cette même quantité de chaleur pendant le trajet inverse suivant ba.

Si la forme delà fonction F (p, c) restait la même tandis que la constante R change et devient R, (Jlg. 3), ce serait une autre courbe Ri de même espèce qui indiquerait le changement d'état du corps.

Supposons le même corps placé d'abord dans l'état a (/^„ f,), puis dans l'état a, (p\y u\) {Jig, 3); si pendant le trajet* a& sur la courbe R, il a fallu fournir de la chaleur, il faudrait en fournir également pendant le trajet «i 6| sur la courbe Ri. Supposons que le même corps ait dû parcourir dans deux ex* périences les chemins ab dans un sens et ai 6i dans le sens inverse, la chaleur aurait été retirée dans l'un des trajets el fournie dans l'autre.

Quand les constantes R et Ri diffèrent infiniment peu Tune de l'autre, les courbes R et Ri se rapprochent indéfiniment; nous désignerons dans ce cas la quantité Ri parR + ^fR; la différentiation de Téquation R =: F (p, f ) donne d'ailleurs pour ce cas

Imaginons maintenant deux couples de courbes, chaque couple appartenant à la même espèce : le premier couple correspondra à R = F(/?, f ), le second àT = (^ip^v). Les courbes R et R, {Jif(. 4) sont de même espèce et ne diffèrent que par

dv.

la valeur de la constante ; il en est de même des courbes T et T..

Supposons que l'état initial du corps soit donné par les quantités OA = Vt et Au =pi, et admettons que nous fassions parcourir au corps sur la courbe R le chemin ab; il faudra alors fournir une certaine quantité de chaleur Q, (c'est pour fixer les idées que nous supposons la chaleur fournie), que l'on peut déterminera l'aide de l'équation (2),

dQ = A(dV-hdL).

Intégrons en effet cette équation, ce qui est possible parce

que nous supposons p connu en fonction de v. A l'aide de

l'équation

R = F (/^, v) = const.,

nous trouvons pour la quantité de chaleur fournie

(i5) Q,=A(U,~Ut-hL,).

La différence U, — U, indique raccroissemenl du travail intérieur, tandis que L, est le travail extérieur qui est représenté par Taire AB ba; U, est le travail intérieur dans Tétat initial a; Ua est la valeur de ce travail dans Tétat final 6. La^îgf. 4 montre que pendant ce changement d'état il y a eu une dilatation du corps, indiquée par le passage de OA à OB. Le travail extérieur a donc été employé au dehors, c'est-à-dire gagné. Un travail extérieur gagné sera dans la suite affecté du signe -h, tandis qu'un travail extérieur dépensé, lequel a lieu lorsque le corps diminue de volume, sera affecté du signe — .

Les quantités de chaleur seront de même affectées des signes -f- ou — , suivant qu'elles sont fournies ou retirées. Les quantités Qi et L, ont donc leurs véritables signes dans l'équation (i5).

Supposons maintenant que le corps considéré doive parcourir (Jig. 4) sur la courbe

T = (f{p, v)=zconsU '

le chemin bc; désignons par U3 le travail intérieur dans l'état c, et admettons que pendant ce passage il faille fournir au corps une quantité de chaleur Q,; alors on aura, comme tout à l'heure,

équation dans laquelle le travail extérieur L„ représenté par l'aire CB6e, doit être pris négativement, attendu que, d'après hjig. 4> une diminution du volume du corps a eu lieu dans le trajet bc.

Si ensuite le corps est ramené à son étal initial en suivant le chemin cd sur la courbe

R, = F(/i, (/)z= const., puis le chemin da sur la courbe

T, = 9(/i, i') = const..

et si on désigne par U4 le travail intérieur dans Tétat d^ on aura comme tout à l'heure les deux équations

(18) Q,:3rA(U.-U4-f-L«).

Les quantités de chaleur Q3 et Q4 doivent être prises négativement, parce que la chaleur a été retirée du corps sur les deux trajets cd et da; car nous avons supposé la chaleur fournie sur les trajets ab et bcy et les chemins ab et crfd'un côté, bc et da de l'autre ont été parcourus dans des sens différents sur des courbes de même espèce.

Le travail L3 de l'équation (17) et le travail L4 de l'équation (i8) sont représentés par les aires Y^Ccd etDAarf; L3 a été affecté du signe — et L4 !du signe H-, parce que sur le trajet crf il y a eu une diminution et sur le trajet da une augmentation de volume, et que dans le premier cas le travail L, a dû être dépensé, tandis que le travail L4 a été gagné. Il est à remarquer enfin que le travail U,, qui existait dans le corps au commencement de l'expérience, reparaît dans l'équation (18). Comme le corps se trouve à la fin de l'expérience dans le même état qu'au commencement, et que, par suite, la pression et le volume ont repris leurs valeurs initiales, il doil en être de même du travail intérieur, puisque nous avons considéré d'avance le travail comme une fonction de p et de v.

Si on ajoute membre à membre les équations (1 5), (16), (17) et (18), les valeurs de U disparaissent et on a

(19) Q. 4- Q, - Qa ~ Q4 = A (L, - L,- Ls -f- L4).

Les valeurs de L contenues dans la parenthèse du second membre sont eiitièrement déterminées, comme on Ta déjà fait remarquer, par les aires {fig. 4)

AB6a, CB6r, DCcrf et DAarf,

et il en résulte

Li -+- L4 = aireDB6«rf,

L, -h La = aire DE bcd, La différence de ces aires n'est évidemment autre chose que

48 PREMIÈRE SECTION. — ÉQUiLTIONS FONDAMENTALES.

l'aire abcd limitée par nos quatre courbes, aire qui est ombrée sur la Jlg. 4« Si nous supposons cette aire mesurée et représentée par la lettre F, l'équation (19) s'écrit plus simplement