TRANSFORMATION DE CBS ÉQUATIONS

Il reste à savoir mainienanl si les expériences conflrment compléienieni ou au moins partiellemenl ces propositions, et quelle est, par suite, la véritable signification de la fonction S.

On doit répondre affirmativement; le plus souvent on observe une transmission libre de la chaleur d'un corps K, à un autre K, c'est-à-dire sans gain de travail. C'est ce qui arrive dans la communication de la chaleur par rayonnement et par conductibilité; les deux corps entre lesquels se fait une pareille transmission donnent constamment des indications thermométriques différentes, et on dit que celui des corps qui fournit la chaleur est à une température supérieure k celle du corps qui la reçoit. La transmission de la chaleur peut, d'après cela, se concevoir comme une opération dans laquelle un poids thermique tombe d'une température à une température inférieure.

Mais jamais on n'a vu de la chaleur se transmettre d'ellemême d'un corps qui possède une certaine température à un autre qui se trouve à une température supérieure; une pareille transmission est toujours accompagnée d'une dépense de travail.

L'expérience montre en outre que Ton peut gagner du travail quand la transmission de la chaleur d'un corps qui est à

une certaine température, à un autre corps dont la température est supérieure, n'est pas directe, mais s'opère par l'intermédiaire d'un troisième corps.

Les machines à vapeur et les machines à air dilaté sont des appareils dans lesquels nous réalisons ce mode de transmission de la chaleur; le gaz du foyer est le corps qui fournil la chaleur, l'eau du réfrigérant est le corps qui la reçoit, l'eau de la chaudière (l'air atmosphérique, dans les machines à air chaud) est le corps intermédiaire.

Tout ce que nous avons exprimé dans les trois propositions énoncées ci-dessus, lorsque nous prenions la fonction S dans toute sa généralité, se confirme par l'expérience, quand nous remplaçons simplement cette fonction par la température.

Nous sommes autorisés par conséquent à admettre dans

nos recherches ultérieures que la fonction S représente véritablement la température.

Si tous les résultats que nous fournit celte hypothèse sont d'accord avec l'expérience, nous donnons, avec la définition rigoureuse de la fonction S, en même temps une définition précise de la mesure de la température.

Le changement d'état d'un corps qui a lieu dans une opération où S reste constant devient le changement d'état de ce corps, lorsqu'on suppose que sa pression et son volume changent, mais que sa températqre ne varie pas; la courbe S=f(p, v) = const. correspond à un tel changement d'état.

Le corps K à l'état S, que nous considérions tout à l'heure dans le cycle simple, devient maintenant un corps qui possède une température déterminée (*).

C^) Il est vrai qu'on devrait d'abord admettre seulement que S est une fonction de la température, et non pas supposer que S soit en même temps la mesure même de la température, celle-ci étant prise avec sa signification ordinaire. Clapeyron a, le premier, pris pour S une fonction de la température : c'est la fonction C de son Mémoire qui a été introduite dans la théorie de la chaleur sous le nom de fonction de Carnot ; elle ne diffère de notre fonction S que par un facteur constant.

M. Clausius a traité plus tard ces questions avec plus de rigueur, en déclarant qu'il était impossible de transporter de la chaleur d'un corps à un autre ayant une température supérieure, sans dépenser du travail, proposition que nous avons donnée plus haut dans le texte. M . Clausius démontre aussi, à l'aide de ce théorème, que la fonction de Carnot ne peut être qu'une fonction de la température. Clapeyron a déjà donné la valeur de cette fonction pour certaines valeurs de la température; plus tard M. Helmholtz a reconnu sa forme {Sur la conservation de la force, Berlin, 18/17, P* ^^) *** comparant l'équation de Clapeyron, notre seconde équation fondamentale, à la formule développée par M. Holtzmann {Sur la chaleur et la force élastique des gaz et des vapeurs^ Mannheim, 1845 ); mais ce dernier fait certaines hypothèses qui ne paraissent plus admissibles aujourd'hui sous tous les points de vue. Les travaux ultérieurs de M. Clausius ont montré que la forme donnée par M. Helmholtz à la fonction de Carnot est la plus probable.

Si je fais, dès le commencement, une hypothèse sur la fonction S, en supposant qu'elle soit la température même, c'est surtout pour arriver déjà dans les considérations générales à une définition rigoureuse de la température^ et pour faciliter l'intelligence des considérations qui suivent. On verra seulement dans les chapitres suivants que cette hypothèse a pour elle un grand degré de

TRANSFORMATION DE CES fiQUATIONS. 75

L*unité de température peut être prise arbitrairement; nous choisissons le degré centigrade du thermomètre à air. Nous désignerons, selon Tusage, par t la température comptée à partir du zéro centigrade.

En supposant que S représente aussi la mesure de la température, nous ne devons pas considérer à priori S et ^ comme des valeurs identiques, car le choix du point de la glace fondante comme zéro de l'échelle centigrade est arbitraire; si la différence Si — S figurait seule dans toutes les formules, nous pourrions sans doule, d'après Thypothèse, la remplacer par /, — t. Mais, comme la fonction S ne se présente pas seulement sous cette forme, nous devons poser

a représentant une constante, dont nous trouverons plus tard la valeur en appliquant les formules générales à des cas particuliers.

Si nous trouvons a différent de zéro, nous en conclurons que le zéro de la température mesurée par S ne coïncide pas avec le point de la glace fondante. On voit, d'après cela, que notre hypothèse nous conduit à un zéro déterminé rigoureusement par la nature.

Les recherches ultérieures sur les gaz donneront pour la quantité a le nombre 278; lorsque la température doit être mesurée par la quantité S, on doit placer par conséquent le zéro de l'échelle thermométrique à 278 degrés au-dessous du point de la glace fondante. Ce point de l'échelle est appelé le zéro absolu, et la température mesurée à partir de ce point se nomme la température absolue; on la trouve en ajoutant 278 à la température de l'échelle centigrade.

probabilité; disons dès à présent que toutes les observations confirment sa justesse.

n faut remarquer encore que M. Thomson {Philosophicaî Transactions of the Rojral Societjr of London^ i854 ) a déjà été conduit à définir ainsi la température par remploi des cycles d'opérations ( 'vojez aussi Jochmann, Considérations sur la théorie des gaz, iHSg).

Pour le moment, nous laissons la constante a indéterminée, mais nous pouvons mettre nos équations fondamentales (F), (IF), (lir)(p. 39 et suivantes) sous une autre forme, en remplaçant S par sa nouvelle valeur.

Puisqu'on a, d'après notre hypothèse,

on trouve

dpj-\dp) ^^ \dv)-\dv Nos équations fondamentales deviennent :

\ dQ = A{Xdp+Ydv); dQ=j^[\dt-h{a-hl)di-]; (1") { (^)

dQ = --^[Ydt-ia + t)dp].

C'est sous cette forme que nous appliquerons les équations fondamentales aux corps pour lesquels on connaît la relation qui existe entre la température, la pression et le volume; tels sont les gaz et les vapeurs. Il reste seulement à déterminer les valeurs de X et de Y en fonction de p et de v, et cette détermination n'offre pas de difficulté, au moins pour ces derniers corps, comme nous le montrerons dans la seconde et la troisième section.

Les recherches sur les cycles montrent qu'il y a deux espèces de courbes qui jouent un rôle important dans la théorie

de la chaleur; nous avons appelé, d'après M. Rankine, courbe adiahatique la première, dont on obtient Téquation en intégrant réquation

(comme on Ta fait voir page 87); elle indique comment varient dans un corps la pression p et le volume v quand le changement d'état du corps s'effectue sans addition et sans soustraction de chaleur.

La seconde a été définie par l'équation

S = /(p, v)=^ const.

Quand on adopte l'hypothèse énoncée plus haut sur la signification de S, cette équation indique les variations de la pression et du volume lorsque la température du corps est maintenue constante pendant son changement d'état. Nous appellerons cette courbe, également d'après M. Bankine, courbe isothermique.

A ces deux courbes, il faut encore ajouter une troisième qui donne le moyen de représenter graphiquement d'une manière très-saisissante les changements d'état d'un corps, lorsqu'il y a addition de chaleur.

C'est la courbe qui représente la variation de la pression et du voluitie lorsque le travail intérieur U reste constant. D'après M. Cazin, nous l'appellerons courbe isod/namique, et son équation résulterait de l'intégration de l'équation

Xrfp-f-(Y — /?)rf(/ = o,

comme cela a été dit p. 87 et 38.

Admettons que les trois équations de ces courbes soient connues pour le corps soumis à un changement d'état, qui s'effectue avec addition de chaleur dans le trajet ab if g. 16); le travail intérieur aura passé de la valeur U qui se rapporte à l'état a, à la valeur U, qui se rapporte à l'état 6, et un travail extérieur L aura été effectué. D'après l'équation (2), p. 26, on a

PRBKIbBB SECTION. — fiQU&TIONS FOHDANBnTALBS.

travail. Le travail extérieur L sera représenté par l'aire de la

surface abv,v, {fig. i6}. Si l'on trace par le point a la courbe adiabatique aA, elle indiquera les variations de pression qu'on observerait s'il n'y avait ni addition ni soustraction de chaleur; on aurait alors, d'après l'équation (46 )>

et si la dilatation se faisait jusqu'à ce que le travail intérieur fût U, =: o, il en résulterait

Si l'on admet avec M. Rankine, ce qui est très-vraisemblable, que les courbes adiabatiques se rapprochent toutes asymptotiquement de l'axe OX, on reconnaît que la surface aAXf, (couverte dans la /î^. 16 de hachures verticales) représente le travail intérieur U du corps dans l'état a, qui correspond au volume Oci^f,, età la pression fia^/?,, puisque L serait mesuré dans un tel changement d'état par cette même surface dAXci.

La surface iAiXfj représenterait de même le travail intérieur U, pour l'état initial b. En admettant maintenant que le corps ait été amené le long de la courbe acb de l'état a à l'état &, ou trouve la quantité de chaleur Q mesurée en unités de travail par l'équation (46) lorsqu'on y remplace les va-

leurs U, Ui, L par les ares de courbes désignées,

V = surf. (éAiXi'a) — surf. (aAXi',) 4- surf. (abv^Ui).

La valeur du second membre de celte équation est évidemment égale à Taire de la surface acbkiA. (couverte de hachures horizontales sur notre figure). On arrive ainsi à cette proposition, que la quantité de chaleur ajoutée ou soustraite, exprimée en unités de travail, est représentée par Taire limitée d'une part par la ligne acby et d'autre part par les deux lignes adiabaliques qui correspondent aux états initial et final.

Cette espèce de représentation graphique est due à M. Rankine(*); quoiqu'elle soit fort simple nous ne l'emploierons plus pour l'explication des cycles d'opérations, parce qu'elle ne peut pas servir pour mesurer réellement des quantités de chaleur au moyen de surfaces, et qu'il y aurait à chercher des aires de surfaces limitées en partie par deux courbes qui se rapprochent asymptotiquement.

Nous emploierons à cause de cela une autre représentation graphique, qui, lorsqu'il s'agit de la détermination de la quantité de chaleur introduite Q, a été indiquée pour la première foisparM. Cazin(**). Q

Supposons qu'un corps, dont l'état initial est donné par la pression/?, et le volume Vi (fig. 17), ait été amené à Tétat 6, caractérisé par la pression /I3 et l%volume (^3, en suivant le trajet acb et au moyen de la quantité de chaleur Q qui lui a été fournie. Soient U et U, les travaux intérieurs correspondant aux états a et b. Menons par le point a la courbe isodynamique aU qui correspond à l'équation U = const., et par le point b la courbe adiabalique hk\ ces courbes se couperont en un point d. Un travail extérieur L, représenté par la surface afti/ji'ij couverte de hachures horizontales), a été effectué

(*) Ranrine, a Manuel of the steam 4Êkgine and other prime mùvers^ London a&d Glasgow, iSSg.

(**) Cazin, Théorie élémentaire des machines à air chaud; Annales du Conservatoire des Arts et Métiers^ i865, Paris, Gauthier- ViUars.

8o PBGlIltlHE SECTION. — ËQUATIOKS F

pendant le passage de « à 6, et le travail intérieur passe de la

valeur U à la valeur U, ; un a alors

Si maintenant nous amenions le corps sur la courbe adiabatique (sans lui fournir ou lui enlever de la chaleur) jusqu'au point d'intersection d, le travail intérieur qui était U, devien- ^ drait U, et le nouveau travail extérieur effectué L' serait représenté par la surface bl^,v,. Pour ce changement d'étal on a l'équation

d'où 0

L' = U,— U = surf. Wi'.i',.

La surface Wiia l'a (couverte de hachures verticales) donne par conséquent la variation du travail intérieur U, — U, tandis que la surface afcfii'i (couverip de hachures horizontales) représente le travail e^lérieurX effectué pendant le passage du corps de l'état a à l'éiai b. La somme de ces deux surfaces

donne, d'après l'équation (4^), la quantité de chileur^ évaluée en unités de travail; c'e^celle qu'il faut fournir au corps pour l'amener, suivant le trajet donné, de l'état a à l'étal b.

11 faut remarquer que l'on ne doit pas nécessairement mener la ligne adiabatique par le point final b; on peut aussi

CYCLES INCOMPLETS ET RÉVERSIBLES. Si

tracer la courbe isodynamique U, relative à ce point, et mener alors une ligne adiabatique quelconque rf'A'; la surface b'd'v\v\ ijig. 17) représente aussi bien la variation Ui — U du travail intérieur que la surface bdv^v^ Cest là le mode de représentation graphique imaginé par M. Cazin ; on conçoit que cette méthode soit extrêmement propre à déterminer sans calculs, à Taide de simples mesures de surfaces par le planimètre, le travail extérieur, la variation du travail intérieur, et la quantité de chaleur qu'il faut fournir au corps lorsque le trajet ab des changements d'état est donné graphiquement, par exemple au moyen d'un diagramme indicateur. Cette méthode suppose, il est vrai, la connaissance de la loi qui détermine le tracé de la courbe adiabatique et celui de la courbe isodynamique à narlir des points b et a. Nous rechercherons plus tard pour certains corps les lois auxquelles doivent obéir c^s courbes.

La proposition précédente est générale; elle reste donc vraie quand la courbe ab (fig. 17) est une courbe fermée; la surface limitée par cette courbe représente dans ce cas à la fois le travail extérieur et la quantité de chaleur fournie au corps pendant les changements d'état, et mesurée en unités de travail ; la variation du travail intérieur est nulle, puisque le corps est revenu à l'état initial; nous avons alors un cycle cotnplet réversible.

Mais si la courbe acbd (fig- 18) qui indique les changements d'état du corps n'est pas fermée, le cycle est incomplet et réversible.

Menons encore par le point de départ a (fig, 18) la courbe isodynamique aU, et par le point final d la courbe adiabatique rfA; le travail extérieur sera toujours représenté par la surface couverte de hachures horizontales, et la variation du travail intérieur sera donnée par la surface à hachures verticales; l'ensemble de ces deux surfaces représente la quantité

c'est-à-dire la somme algébrique des quantités de

chaleur à fournir et à retirer, mesurées en uaités de travail, dans le trajet acbd.

ti PREMIERE SECTION. — fiQtlATIONS FONDA MENTALES.

Nous avons trouvé plus haul[p.63) encore une deuxième

équation pour un cycle complet, à savoir : *

elle indique que les poids thermiques à fournir et à retirer sont égaux et que leur somme algébrique est nulle.

Ces équations ne peuvent s'appliquer au cycle incomplet de la^g'. i8; l'intégrale qui se rapporte alors seulement att trajet abed a au contraire ici une valeur positive déterminée P; nous écrirons donc

On peut dire par conséquent que la quantité P représente l'excès de la somme des poids t/termiques fournis sur celle des poids thermiques retirés.

L'intégrale ne porte que sur le trajet acbd; prolongeons la courbe adiabalique rfA en arrière, jusqu'au point d'imerseclion c; nous pouvons alors partager l'intégrale en deux parties, dont l'une correspond au trajet ac, l'autre au trajet cbd; mais cette dernière partie est évidemment nulle, puisque la surface cbd correspond à un cycle complet. Nous avons, d'après cela, une proposition très-simple : la valeur P de Tinté-

CYCLES INCOMPLETS ET RÉYEftSIBLES. 83

grale de la formule (47 ) représente la somme des poids thermiques fournis dans le trajet ac,

La quantité P se détermine par un procédé graphique trèssimple :

Traçons par le point de départ a [fig^ 19) la courbe isody-

namique aU et par le point d'arrivée d la courbe adiabatique rfA, qui coupe la précédente au point /, et désignons par tx la température correspondant à l'état initial a (/;„ i^i ) ; la valeur correspondante de S sera

Si = a -H 'i.

Menons encore par le point a la courbe isothermique aS,, dont réquation est Si ==f{p, (/) = const., et qui rencontre la courbe adiabatique au point e.

A partjr du point d, nous faisons parcourir au corps d'abord la portion de de la courbe adiabatique (sans addition ni soustraction de chaleur), puis nous le ramenons sur la courbe isothermique aSi à son état initial. Dans le trajet ea, il faut lui retirer une certaine quantité de chaleur Q,,

Comme les changements du corps suivant acdea forment un cycle complet, on a l'équation

AS, ~ '

et on a, par suite, pour ta valeur l'intégrale de l'équation (4? ).

84 PREMiftRE SECTION. — ÉQUATIONS FONDAMENTALES.

la formule

AS

Mais nous savons que la quantité ~ est représentée par la

surface ombrée aefv^Vxy et S, indique la température absolue a -t- /i relative à Tétat initial a; pour avoir la somme des poids thermiques qu'il faut fournir, si le corps doit se trouver finalement à l'état initial, on n'a donc qu'à diviser l'aire de cette surface par la température absolue a-h tt.

Quand il s'agit de déterminer la quantité P, le chemin que le corps a suivi pour aller de a en c est indifférent; sa valeur ne changerait même pas si le corps passait du point a à quelque autre point quelconque Ci de la ligne adiabatique dA,

Le point de départ même n'est pas forcément le point a; st on trace par ce point une deuxième ligne adiabatique aA\ la valeur de P sera la même pour tout passage d'une ligne adiabatique à l'autre; ceci résulte immédiatement de l'équation (48) quand on tient compte en même temps de l'équation (28)^ p. 59.

L' intégrale P a donc toujours la même valeur quand le corps, en partant du même point initial a (Jig* 19), atteint la même ligne adiabatique.

La fonction P joue ainsi dans la théorie de la chaleur un rôle analogue à celui de la fonction potentielle en Mécctnique, et les courbes adiabatiques sont analogues aux surfaces de niveau.

Rien ne s'oppose à ce qu'on appelle la fonction P muq fonction potentielle, mais je préfère considérer la quantité P dans certains cas comme un poids; cela facilite, comme on le verra, des recherches très-importantes pour les applications de la Mécanique.

XL — Des cycles non réversibles.

Jusqu'ici nous avons supposé que, pendant les changements d'état que subit un corps, la pression extérieure était

CTCLBS NON RËTER3IBLES. 85

toujours égale à sa force expansive, ou mieux, que ces deux forces différaieni infiniment peu l'une de l'autre. Dans ce cas, on doit considérer la pression extérieure comme une propriété du corps; la quantité de chaleur à fournir au corps est, pendant tout le temps que dure le changement, complètement déterminée à chaque instant par le trajet déjà parcouru, ei le cycle est réversible; c'est-à-dire le corps retourne par le même Irajet à son étal initial, si la chaleur enlevée et la variation de pression suivent les mêmes lois dans un ordre inverse.

Les choses se passent autrement quand il n'y a plus égalité entre la pression extérieure et la force expansive; il se produit alors dans les corps des mouvements qui se manifestent ordinairement au dehors, et dont la force vive représente l'augmentation du travail intérieur, lorsqu'à la fin du changement le corps se retrouve à l'état d'équilibre. Nous allons montrer comment il faut étendre à ce cas les propositions relatives à la représentaaion graphique des phénomènes d'un Cycle incomplet, mais réversible.

Soit (zc&(^g. 2o)la courbe qui, pendantle passage du corps

Fia- ao.

de l'état initial a à l'état initial 6, règle la variation de la pression extérieure; on l'a ponctuée dans la figure pour indiquer qu'elle ne donne que la variation de la pression extérieure. Admettons que l'état final b soil pour le' corps un état d'équilibre, c'est-à-dire qu'à ce moment il y ait de nouveau égalité entre la pression extérieure et la force expansive du corps, les

surfaces abv^Vi elbdviVi représenteront respectivement le travail extérieur et Taccroissement du travail intérieur {vox^z p. 80); l'ensemble de ces deux surfaces donne la quantité de chaleur fournie Q, évaluée en unités de travail. Jusque-là il n'y a pas de différence entre le cas actuel et celui qui a été examiné sur la^g. 17; mais voici une différence essentielle.

Prenons sur la courbe ab un point quelconque c entre les extrémités a et b, menons l'ordonnée cv et la courbe adiabatique correspondante ec, qui coupe la courbe isodynamique du point a au point e; la surface acvi^x donnera encore le trai^ail extérieur effectué pendant le passage de a en c; mais les propositions relatives à Taccroissement du travail intérieur et à la chaleur fournie ne subsistent plus.

Comme nous supposons que le cycle n'est pas réversible dans la portion ac du trajet, parce que la pression extérieure n'est pas égale à la force expansive, mais qu'elle est moindre (c'est le seul cas possible), la portion de courbe ac nous renseignera uniquement sur la valeur du travail extérieur dans l'expansion du corps de t', à v, mais non pas sur l'accroissement de travail intérieur, ni, par suite, sur la quantité de chaleur fournie ou retirée au corps. La surface cefi^, qui donne l'accroissement du travail intérieur daus un cycle réversible, perd ici cette signification.

Désignons par p = cv {fig.20) la pression extérieure ^ et par V le volume à l'état c, puis par p,, v, la pression et le volume au commencement; la variation du travail intérieur dans le trajet ac n'est plus déterminée par les états initial et final (pi, v») ei{p, <^) seuls, comme cela a eu lieu dans les recherches précédentes, parce que la quantité

^''^{^h-ay

n'est pas une différentielle exacte. Dans l'équation fondamen*

taie

dQ = k{d\]-hpdv),

nous pourrons bien intégrer le Xeime pdv, si nous connaissons la loi de la variation de la pression extérieure, c'esl-à-

C¥€LBS JION RÉVERSIBLES. 8^

dire si la courbe ac est donnée; mais il n'en. est pas de même de rfU. Le problème reste donc indéterminé, tant qu* on ne possède pciSy avec le tracé de ta courbe acb, une autre donnée sur Vensemble du changements

Cette deuxième donnée est ordinairement la loi d'après laquelle est fournie la chaleur qui vient du dehors.

Imaginons qu'en suivant le chemin ab le corps soit arrivé au point e, et que le volume Vx ait augmenté et soit devenu v; arrêtons en ce moment l'expansion du corps, en donnant à la pression extérieure un accroissement égal à celui que prend la force expansive; ne fournissons plus de chaleur à partir de ce même instant; la pression cv=zp s'approchera lentement de la valeur vd qui doit correspondre à l'état d'équilibre.

Traçons par le point e, la courbe adiabatique c,e,, qui rencontre en e, la courbe isodynamique a U; la surface ce c,4?,/i (somme des deux surfaces ombrées, l'une verticalement et l'autre obliquement dans la^g-. 20) représentera évidemment l'accroissement du travail intérieur ohienn dans le trajet ac; la surface (^iac(^, ombrée horizontalement, donnera le travail extérieur, et la somme.de toutes les surfaces ombrées représentera en unités de travail la quantité de chaleur fournie dans le trajet ac par la source de chaleur.

Étant donnée celte quantité de chaleur, on pourrait donc, à chaque moment du passage du corps de l'état a à l'état 6, déterminer, outre le travail extérieur, l'accroissement du travail intérieur. Si l'on donnait la courbe que suit le point c, pour aller de a en 6, on pourrait, de même, connaître toutes les circonstances du changement. En rapprochant ces résultats des précédents, on verra clairement sur la figure dans quelles circonstances le cycle est réversible ou ne l'est pas; il est réversible quand le point c, est situé sur la courbe des pressions, et il ne l'est pas quand cela n'a pas lieu.

L'accroissement total du travail intérieur est donné, comme on vient de le voir, par la surface vcde^fr, mais cette surface peut se partager en deux parties : la partie couverte de hachures verticales vcef représente l'accroissement du travail intérieur quand on suppose que dans le trajet ac le corps ait

résisté à une pression égale à sa force expansive; l'autre partie eccieififik hachures obliques) représente le travail intérîear lorsque le changement d'état cesse subitement au moment où le corps esta Tétat c. C'est ce travail qui correspond probablement à la force vive du mouvement extérieur des particules, telle qu'elle résulte du dérangement de leur position d'équilibre. Appliquons ces considérations à un exemple. Supposons qu'un piston pouvant se mouvoir dans un cylindre ouvert à sa partie supérieure y retienne une certaine quantité de gaz ; ce gaz, occupant à peu près la moitié du volume du cylindre, exercera une certaine pression sur le piston, qui est fixé pour le moment. Aussitôt qu'on exercera sur la face extérieure du piston une pression inférieure à celle du gaz et qu'on lui rendra sa liberté, il sera vivement repoussé. Pour généraliser davantage la question, nous supposerons qu'on fournisse de la chaleur au gaz pendant le recul du piston, que nous admettrons sans poids, et nous l'arrêterons subitement; le gaz se trouvera alors tout à fait dans l'état qui, sur la fig, 20, a été désigné par la lettre c. Les particules du gaz auront des mouvements giratoires très-violents, et reviendront seulement peu à peu à l'état de repos; le changement du travail intérieur ne peut se mesurer à l'aide de la pression et du volume du gaz que dans ce nouvel état d'équilibre; la pression aura alors passé de la valeur vc à la valeur ce, (fig. 20).

Si, pendant cette expérience, on n'avait ni fourni ni enlevé de la chaleur au gaz, le travail intérieur serait moindre, dans le nouvel état d'équilibre qu'au commencement, d'une quantité égale au travail extérieur. Le travail intérieur reprendrait même à la fin exactement la valeur qu'il avait au commencement, dans le cas où le travail extérieur serait nul, ce qui arriverait s'il y avait devant le piston un espace, privé d'air; alors, sur la Jîg. 20, le point c» serait sur la ligne isodynamique aïJ.

Reprenons le cas général et supposons que le corps ait parcouru tout le trajet acb^ et ail repris en b l'état d'équilibre; \a quantité de chaleur totale fournie au corps pendant le changement d'état sera mesurée en unités de travail par la surface

que limitent la courbe des pressions acfr, la ligne adiabatique bd et les ordonnées avx et dv^; mais ici le gaz ne saurait être ramené à son état initial par le même trajet ^ parcouru en sens inverse, avec une soustraction de chaleur suivant la loi in^ verse de celle de l'introduction dans le trajet direct.

Lorsque le corps doit résister pendant son expansion à une pression extérieure moindre que sa force expansive, une partie de la chaleur fournie, et en général aussi une partie du travail intérieur, sont employées au commencement à produire des mouvements dans les particule^ du corps, qu'il ne faut pas confondre avec le mouvement calorifique proprement dit, avec le mouvement moléculaire, mais qui se transforment en mouvement moléculaire, et qui finalement se manifestent par un accroissement du travail intérieur. Pour ramener le corps à rétat initial, il faut néanmoins suivre un chemin qui aurait pu être pris pour un trajet direct. ^ Traçons par le point de départ a i/ig^^o) la ligne isothermique aSi, qui coupe la courbe adiabatique 6A au point i; on peut, par exemple, ramener le corps à son état initial de la manière suivante. On fera parcourir au corps d'abord la portion bi de la ligne adiabatique, sans addition ni soustraction de chaleur; puis la portion ia de la ligne isothermique, avec soustraction d'une quantité de chaleur Q, , qui est exprimée en travail par la surface aidv^Vx, Soit Q la quantité de chaleur fournie au corps dans le trajet non réversible acb\ le travail extérieur F gagné dans ce cycle est

puisque ce travail est représenté par la surface acftm. Le cycle simple, que nous considérons, n est pas réversible, car il s'y trouve une portion de trajet ach que le corps ne peut parcourir en sens inverse dans des circonstances identiques à ceUes du trajet direct. L'équation précédente est néanmoins la même que celle qui a été trouvée pour le cycle réversible, ei

il est facile de voir que la formule

-Kl).

trouvée pour le cycle composé réversible, peut s'appliquer également au cycle non réversible; on entend sous celte dernière dénomination un cycle dans lequel le corps revient à son étal initial en parcourant une suite quelconque de lignes dont quelques-unes seulement peuvent être parcourues en sens inverse.

Reste à savoir si la deuxième formule

AS- = °'

établie pour le cycle réversible (p. 63), reste applicable dans le cas actuel. Nous avons montré, en traitant du cycle incomplet, que Tintégrale

dQ

AS

conserve constamment la même valeur quand le corps passe, par un trajet réversible, de son état initial à un point quelconque d'une ligne adiabatique donnée.

Faisons d'abord voir que cette intégrale a toujours une valeur moindre, si le passage se fait par un trajet non réversible^ que s'il se fait par un trajet réversible.

Soit a{p, v) l'état initial d'un corps (Jlg. 21) qui doit se dilater de Oi' à Oci, en surmontant une pression extérieure qui varie suivant la courbe a, 6,; la surface couverte de hachures horizontales représente le travail extérieur produit pendant la dilatation de v en C|. Admettons que pendant cette dilatation on n'ait ni fourni ni enlevé de la chaleur au corps. Lorsque le volume a atteint la valeur i^,, la pression a passé de la valeur Vibi à la valeur Vib, et l'équilibre s'est établi sous cette dernière pression. Désignons le travail intérieur par U à l'état a, et par U, à l'état final b; le travail extérieur L, qui est donné par la surface ombrée, a pour valeur

Menons par le point b la ligne adiabatique AftA; le corps

passe alors du point a au point b de celle ligne, et la valeur

-r^ est nulle, puisqu'on n'a point fourni de

chaleur. Mais si, pendant ce passage et dans les mêmes circonstances, on avait fourni la quantité de chaleur Q, le corps se serait trouvé à la fin de l'opération à l'état 6' [fig.ii), auquel correspond la ligne adiabatique A'A'A'; l'intégrale

rfQ

AS

aurait alors sans doute une valeur déterminée, parce que le corps aurait passé de la ligne AA à la ligne A' A'; mais cette valeur serait évidemment plus petite que celle qu'on aurait trouvée en amenant le corps de Vétat a à l'état b' par un trajet réversible.

Pour le cas général, on trouve donc la loi suivante :

Lorsqu'un corps passe d'un état à un autre, la somme des poids thermiques fournis a la même valeur P, quel que soit le trajet, pourvu qu'il soit réversible; si cette dernière condition nest pas remplie, la valeur de cette somme change avec le tra-jet y et elle est toujours plus petite que celle qui correspond à un trajet réversible.

Quand on fait passer le corps de l'éiat b' à l'état initial par le

PaBHIÈRE SECTION. — ÉQUATIONS FONDAMENTALES.

rfQ

^^ des poids thermiques qu'il faut

fournir sera encore P, car ce passage inverse ne peut se faire que par un trajet réversible ; mais pour le passage direct de rétat initial à Tétat 6', cette sommé était plus petite que P. D'où il résulte que pour un cycle complet non réversible, la somme des poids thermiques doit être négative; en la désignant par N, on aura Téquation