V. — Lignes adiabatiques des gaz permanents
Nous avons appelé, d'après M. Rankine, adiabatique, la ligne qui indique comment la pression p varie avec le volume v, quand il n'y a ni introduction, ni soustraction de chaleur, el quand il y a égalité entre la pression extérieure el la force expansive du corps pendant tout le changement d'état.
Dans le cas d'un gaz, on avait, d'après la première des équations (65),
dQ = -^{vdp -h kpdv).
Comme il n'y a ni introduction, ni soustraction de chaleur
(") Regnault, Relations j etc^ t. II, p. 128.
LIGNES ÂDIÀBATIQUES. 12'
rfQ = o, et il vient
ou, en divisant par vp.
dp , dv
Intégrons et caractérisons Télat initial par les quantités p, et Vij nous aurons
(76) pi^ = p,ç^^.
Telle est Féquation de la courbe adiabatique d'un gaz permanent, relative au point (/?i Vi ). Lorsque la position de ce point est donnée par ses Coordonnées, le tracé de la courbe adiabatique est entièrement déterminé, la constante de Téquation
pv^ == const.
est simplement /?i ^î .
La nature de la courbe adiabatique se reconnaît de suite : les axes des coordonnées sont les asymptotes de la courbe, mais la courbe se rapproche davantage de Taxe des abscisses que les courbes isothermique et isodynamique, parce que pour l'air atmosphérique et pour les autres gaz permanents /f = 1 ,4io, c'est-à-dire A* > i .
C'est Poisson qui a trouvé le premier, par une autre méthode, il est vrai, que la pression d'un gaz varie d'après la loi exprimée par l'équation (76) lorsque le changement d'état a lieu sans qu'on lui fournisse ni qu'on lui enlève de la chaleur; depuis, d'autres auteurs ont démontré cette loi de différentes manières (*).
Dans le changement d'état d'un gaz dont il s'agit, il y a aussi des changements de température, que l'on peut suivre facilement. On tire d'abord de l'équation (76)
(*) JEssai sur la détente et la compression des gazy par M. Cazin [Annales de Chimie et de Physique , 3® série, t. LXVI).
Si la température initiale est /,, on aura, en tenant compte de réqUatlon (67),
et comme, d'après Téquation (76),
on en conclut
Les dernières équations donnent la température à chaque instant; on reconnaît qu'un»* au g^mentation de volume est accompagnée d'une diminution de température. On aurait pu déduire aussi les équations (77) et (78) directement des deux dernières des équations (65) en y faisant rfQ = o et en intégrant.
Cherchons le travail produit par un gaz qui, sans qu'on lui fournisse ni qu'on lui enlève de la chaleur, passe du volume Vt au volume plus grand Cj, et dont la pression et la température décroissent respectivement de px à /?, et de t^ à t^ : ce même travail serait dépensé, si inversement le gaz pris sous l'unité de poids était comprimé et ramené du volume v^ au volume plus petit Vx dans les mêmes circonslances.
Comme ici Q = o, on trouve, d'après l'équation (78),
pdv = o.
ou, si Ton désigne par L le travail représenté par l'intégrale, (79) L=.-^(/.-/,).
Le travail L se calcule facilement lorsque l'on donne les températures initiale et finale.
En comparant cette dernière équation et l'équation (70)
LIGNES aDIâBATIQUBS. I 29
(p. 119), on voit que le trai^ail gagné Lesiéga\k la diminution (U, — U,) du travail intérieur. Si Ton avait, au contraire, comprimé le gaz, il y aurait eu un accroissement de travail intérieur qui eût été rigoureusement égal à la valeur du travail extérieur dépensé. Puisque dans les gaz permanents Taugmentaiion du travail intérieur se manifeste en entier comme élévation de température (comme accroissement de chaleur), nous avons ici le cas le plus simple de la transformation directe du travail en chaleur; dans l'expansion, au contraire, toute la chaleur disparue se transforme en travail.
Lorsque, comme cela arrive ordinairement, on donne les quantités (/, et Vt, pi eipt, et non pas les températures initiale et finale, on peut calculer directement le travail L au moyen des formules suivantes : mettons Téquation (79) sous la forme
en nous servant des équations (67), (77) et (78), nous obtenons les équations
AR
L = -T-îT /;, (^1
dans lesquelles on peut encore remplacer -r-rr par sa valeur
tirée de Téquation (66)
AR — /r- I
Appliquons ces équations à un exemple. Supposons qu'on 'ait renfermé dans un cylindre l'unité de poids de Fair atmo- splîérique, à la température /==3o<» et sous la pression do I ^ atmosphère (/?i = 1 ,5 x io334).
Le volume se calcule d'après Téquaiion (67)
Pt p, ' '
l3o DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.
et la constante de la courbe adiabatique relative au point initial
est
Si le gaz doit se dilater, sans qu*on lui fournisse ni qu'on lui enlève de la chaleur, jusqu'à ce que la pression soit descendue à une atmosphère {p^ = io334 ), on trouve pour le rapport de la détente
La température finale se déduit de Téquation (78)
d'où Ton tire et, par suite,
a-\- ty \px
La température s'abaisse donc de -+- 3o*» à -— 3**, 7. Le travail effectué par le gaz dans ce changement d'état est, d'après l'équation (79), si 0 = 0,16847 (p. ii4)»
et la quantité de chaleur qui a disparu
AL r= 5*-», 6784.
(Comparez cet exemple à celui de la page 122).
Les recherches précédentes fixent les lois auxquelles doivent satisfaire, pour les gaz permanents, les trois courbes isother-, mique, isodynamique et adiabatique.
Les recherches faites (p. 82) sur les cycles incomplets et réversibles peuvent être appliquées maintenant aux gaz permanents.
Admettons que l'état initial a [Jig, 24) de l'unité de poids de l'air atmosphérique soit donné par le volume v^ et la près-
LIGNES IDIABATIOIIES. l3l
sioii p, ; que cet air surmonte une pr^sion églae à sa force
eitpansive, et que, en recevant de la chaleur et en produisantdu travail, il change de pression et de volume d'après la loi donnée par la courbe acbd; supposons de plus qu'il passe par ce trajet (qui est réversible) à l'état d caractérisé par le volume f, et par la pression p,, alors le travail produit par ce gaz est représenté par la surface couverte de hachures horizontales.
Pour rechercher le changement du travail intérieur, nous menons par le point final rf la ligne adiabatique d\, et par le point de départ a la courbe isodynamique aV, qui pour un gaz représente également la courbe isothermique; les coordonnées des points d'intersection de ces deux courbes sont désignées par Wj et p^. ( Rappelons que la surface à hachures verticales représente la variation du travail intérieur, et que l'ensemble des deux surfaces ombrées donne en unités de travail la quantité de chaleur qu'il a fallu fournir au gaz pendant le trajet acbd.) Les deux courbes en question se tracent trèsfacilement pour un gaz ; la courbe aU est une hyperbole équilatère quia pour équation
elle tracé delà courbe diabatique se fait d'après l'équation pv^ ^:p3v\.
Les coordonnées p^ et v, du point d'intersection /sont dé-
l32 DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.
terminées par les équations
Pz ^3 = PiVi, Pi ^\ = Pi v\ .
Les températures tx et /a, qui correspondent respectivemeni aux états initial et final a et d, se tirent des équations
p, (', = R(a H-/,) et /^ai'a^ R(« -h /^î
nous les trouvons facilement au moyen des équations suivantes :
Ç; — (; f et Pz =pi -
On a, pour la variation du travail intérieur ( surface à hachures verticales),
Mais nous avons trouvé, en nous appuyant sur Téquation (47 ) ( P- ^^ ) Que l'intégrale
AS
a une valeur constante, quel que soit le trajet par lequel le corps passe du point a d'une ligne adiahatique à un point quelconque (c, rf ou /, fig. 24 ) d'une deuxième ligne adiahatique. Voyons quelle est la forme de cette intégrale pour les gaz, et si la loi que nous venons d'énoncer est également vraie pour ces corps.
Mettons à la place de S sa valeur « 4- ^ il vient
) Mais on a pour les gaz l'équation (65)
dÇi, — ^[vdp-\-hpdv).
Divisons ses deux membres par kpv et tenons compte de la
relation
"^[a -\' t) = pv ,
LIGNES ADIABA TIQUES. l33
nous trouverons alors
rfQ c fdp L.^^^
ou
En intégrant on aura, pour le passage de Télal initial (/>,, v^) à rétat final (j[?a, c'a),
(8.) P = f.lognép^.
Les quantités /?, i'î et /?a c^ sont les constantes des courbes adiabatiques relatives aux points a et d; en les désignant par C, et Cî, on peut écrire
Pc . #1-^2
= -^lognep^.
La loi mentionnée plus haut est donc parfaitement vraie pour les gaz. La valeur P de Tinlégrale en question ne dépend que des constantes des deux courbes adiabatiques qui passent par les points a et d, et de la capacité en poids à volume constant du ga^ considéré; la courbe suivant laquelle le passage a lieu, et les positions qu'occupent respectivement les points initial et final sur la première et sur la seconde de ces courbes sont arbitraires. Lorsque le passage se fait suivant la courbe isodynamique ou suivant la courbe isoihermique, c'est-à-dire lorsque le gaz passe de l'état initial a {Jîg, ^4) à l'état final/ le long de la courbe aU en conservant la même température, on a
p^V2 = pi (/,=:R( a -+-/), et, par suite, l'équation (8i) donne
P = -î log nép (^)
-^— lognep-.
l34 DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.
OU à cause de Téqualion (66)
P = -T-T TT^ log nep —
Mais d'après l'équation (74) la quantité de chaleur Q, qu'il faut fournir pendant ce passage est
Q, =AR(a + ^,)lognép— • Delà nous conclurons enfin
équation qui confirme complètement le théorème exprimé par l'équation (48) (p. 84).
