Q = A(U,-U,)-+-AL
z= — c(t,— /,) + AR(/.— /,),
ou bien, eh tenant compte de l'équation (66),
Cette chaleur et le changement du travail intérieur sont des quantités négatives lorsqu'il y a dilatation, et positives quand il y a compression. On devait s'attendre à trouver de tels résultats, parce que la courbe des pressions donnée se rapproche plus rapidement de l'axe des abscisses que la courbe adiabatique.
Quand la pression change d'après la loi proposée, il faut enlever de la chaleur au gaz pendant son expansion; pour l'air atmosphérique, on a, d'après la dernière équation, avec 6* r=r 0,16847 et /r = 1,4 10,
Le travail intérieur diminue donc pour deux raisons : une
partie est directement soustraite au gaz à Tétat de chaleur, l'autre partie se transforme en travail extérieur.
EXEMPLE NUMÉRIQUE. — L'uttîté de poids de l'air à la température ti = 3o** doit se dilater, d'après la loi donnée, de c', à
v-2= ^vr, d'après les équations ci-dessus, la température finale est
/a=: — (a -^ tt) — a = — 4^>75-
Le travail extérieur devient alors
Le changement du travail intérieur est
Ua — U, == -^ ( /î— /, )= — 5410^8», 92.
Enfin, on a pour la quantité de chaleur,
Le signe — montre que dans le cas de la dilatation, il faut enlei^ersiU gaz une quantité de chaleur mesurée par 7"',58o; s'il y avait compression dans les mêmes circonstances, cette quantité de chaleur serait à/owr/i/r.
Les résultats des problèmes isolés que nous avons traités jusqu'ici peuvent être compris dans des formules générales.
Admettons que la courbe des changements de pression ail pour équation
p^{f^=z const.,
dans laquelle m et n sont des nombres quelconques entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs; on aura
(87) ff'v^=p'^v'\ = p^v''^.
Nous en déduisons
l4o DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.
OU bien, d'après l'équation (67),
Pour le travail effectué par le gaz, nous avons
Si nous remplaçons ( — | par sa valeur donnée par Téqua-
tion (88); si, de plus, nous tenons compte de la relation
p, (/, = R ( « -f- /, ), nous trouvons
Enfin nous pouvons remplacer encore R par sa valeur tirée de réqualion (66); il vient alors
Le changement du travail intérieur est, d'après l'équation (70),
et la quantité de chaleur Q qu'il faut fournir au gaz sera
En substituant les valeurs trouvées plus haut et en réduisanl, il vient
f \ r\ mk — n
On peut résoudre, à l'aide de ces formules, un grand nombre de problèmes; elles s'appliquent évidemment aux cas particuliers qui précèdent. ,
CHANGEMENTS RÉVERSIBLES. l^l
Prenons m = 1 ein=i; nous retrouvons alors toutes les formules du problème III.
Si /i = o, réquation (87) donne
c'est-à-dire le changement de volume a lieu sous une pression constante : nous retombons alors sur les formules du problème II. Lorsqu'on fait m = o, nous sommes dans le cas d'un gaz auquel on fournit de la chaleur en maintenant son volume constant : c'est celui du problème I.
SI l'on pose — =i k, on a, d'après l'équation (91), Q r=o;
fil'
cette hypothèse, introduite dans les autres formules, fait retomber sur les équations qui correspondent à la ligne adiabatique. '
Les formules précédentes ne peuvent servir dans le cas où n= m; mais alors l'équation (88) montre que, dans cette hypothèse, la température doit rester constante, car elle donne t^=: ti. Les formules (89) et (91) donnent les quantités indéterminées
L = 2 et Q = H.
Mais ce.cas exceptionnel est celui où la variation de la pression est exprimée par une courbe isothermique et isodynamîque, et les vraies valeurs de ces quantités ont été données déjà à la page i'2o.
Si, en général, nous admettons qu'il y ait dilatation du gaz, réquation (91) donne pour la quantité de chaleur Q une quantité positive; c'est-à-dire, il faut fournir delà chaleur quand
Lorsqu'on a, de plus, — <i, l'équation (88) fait voir qu'il
fjh
y a accroissement de température.
L'équation (91) montre encore que, dans tous les cas, la quantité de chaleur Q est directement proportionnelle à la
l42 DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.
variation de la température /i — t^. [Ce que nous disons ici deQ a lieu également, d'après les équations (89) et (90), pour le travail extérieur et pour le changement du travail intérieur.] D'après cela, la quantité
mk — n
de réquation (91) «doit être appelée la chaleur spécifique du gaz relative au changement d'état exprimé par la loi
pm çn —- const.
II est du reste facile de démontrer qu'il n'y a lieu de considérer cette chaleur spécifique, que si les variations de la pression obéissent à la loi indiquée : en d'autres termes, que la quantité de chaleur fournie est proportionnelle à l'élévation de la température uniquement dans le cas de la loi mentionnée.
En effet, si nous posons
dQ = Idt,
relation dans laquelle X représente une constante, nous au- . rons, en substituant dans la première des équations (65),
dQ = 'kdt=: ^{vdp-^kpdif).
Mais réquation (67 ) différenliée donne
dt= -^ [vdp 4- pdv)\
et avec l'équation précédente, il vient
vdpCk — c)=pdv{kc — X).
Divisons par pvy nous aurons
et l'intégration de cetie dernière équation, où X, c et k sont
CHANGEMENTS NON BÉYERSIBLES. 1^3
des conslanies, nous fait retomber sur Téquation
lorsqu'on pose m = X — c ein =r,X — kc.
Si, maintenant, on substitue ces valeurs dans l'expression (92), on trouve, comme cela devait être,
mh — n
Pour toute autre hypothèse relative à la loi qui régit la variation de pression, la quantité de chaleur Q n'est plus proportionnelle à la variation de température; en général, la quantité Q se présente alors comme une fonction de t et de c, ou de / et de/>.
VII. — Comment se comportent les gaz quand ils changent (Tétat suivant un trajet non réversible.
Nous avons admis précédemment que, dans sa dilatation, le gaz doit surmonter une résistance égale 9 chaque instant à sa force expansive. Cela arrive toujours quand la dilatation se fait avec une lenteur suffisante.
Lorsque la pression extérieure est plus petite que la force expansive du gaz, et c'est le seul cas que nous ayons à examiner, les résultats changent, comme nous l'aVons déjà dit dans la première Section, p. 85 et suivantes; alors les équations fondamentales ne sont plus applicables, et on ne peut pas, en général, suivre pas à pas le changement d'état; il est seulement possible de trouver, en faisant certaines hypothèses, l'état final du gaz, c'est-à-dire l'étal où il se trouve quand l'équilibre est rétabli.
Nous supposons que l'unité de poids du gaz soit renfermée dans un cylindre au moyen d'un piston sans poids, et qu'elle ail la pression/?,, le volume Vi. Nous admettons, en outre, que le gaz soit en repos, et que le piston soit d'abord chargé d'un poids /7| par unité de surface, pour que l'équilibre puisse être maintenu. On fait en sorte que la pression extérieure prenne
subitement une valeur p\ inférieure à px : alors le gaz se dilatera, le piston sera repoussé, et le gaz aura à vaincre la pression extérieure p' [Jlg* 25), qui peut être variable ou con-
'Fi{j. 25.
stante. Lorsque le volume du gaz est devenu v^^ qui correspond à la pression extérieure /?',, on arrête subitement le piston ; à ce moment, le gaz possède nécessairement un mouvement giratoire sensible; il ne rentrera que peu à peu au repos, et pendant ce temps, son mouvement se transformera en un mouvement .moléculaire, c'est à-dire en chaleur. Par suite, la pression que le gaz exerce sur le piston augmente rapidement en passant de la valeur p\ à la valeur /?a, et comme le piston doit rester stationnaire, il faudra augmenter la pression extérieure dans la même proportion. Si l'équilibre est rétabli au moment où le gaz possède la pression /?, et le volume Ca, le passage de l'état initial a à Tétat final b s'est effectué d'une tout autre manière que dans les cas traités jusqu'ici : la quantité de chaleur Q fournie au gaz pendant ce passage n'a aucune relation ni avec le changement de la pression extérieure, ni avec le travail extérieur. Dans les cas précédents, la connaissance de la loi suivant laquelle la pression variailavec le volume conduisait, au moyen des équations (65), à la loi qui réglait l'introduction de la chaleur. Ici la solution de la question exige une autre donnée.
Supposons que les étals initial et final soient déterminés respectivement par les quantités p,, i',, /„ et/72, Vi, /», et que, de plus, la loi d'après laquelle la pression extérieure p' varie
CHANGEMENTS NON RÉVERSIBLES. l/^S
avec le volume soil donnée : la varialion du travail intérieur est indépendante de la manière dont le passage s'est effectué, et il y a équilibre au commencement et à la fin de Topéralion. On a donc toujours
mais le travail extérieur est
par suite, on a, pour la quantité de chaleur Q fournie pendant le changement d'étal,
Q=:A(U,-U,)-+-AL, ou bien
(93) Q=:c(/,— /,)+A r 'p'rfç'.
Cette équation ne diffère de Téqualion (73) que par le changement de p en p'; mais les valeurs initiale et finale p\ et p\ de la pression extérieure sont indépendantes des valeurs /, et ti de la température : on conclut de là qu'on n'a pas à s'occuper de la manière dont la chaleur a été introduite, et qu'il s'agit uniquement de déterminer la valeur totale Q de la quantité de chaleur fburnie.
L'équation (93) suffit pour résoudre les problèmes relatifs au cas actuel. Étant donnés l'état final [t^^^p-ï) et la loi qui détermine le changement de la pression extérieure p' pendant la dilatation du gaz, on peut calculer la quantité de chaleur Q introduite pendant l'opération; au contraire, étant donnés Q
et le rapport de dilatation — ? si on peut calculer le travail extérieur, l'état final du gaz (quand l'équilibre est rétabli) se déterminera par l'équation (93); mais il faut toujours que les conditions p\<ip\ Gip\ = p2 soient remplies. Appliquons les résultats que nous venons d'obtenir à quelques cas particuliers.
l46 DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.
Problème I. — On suppose que Vétat a de Vunité de poids du gaz soit déterminé par les valeurs /?,, c',, /, [Jig, 25). Le gaz doit se dilater et acquérir le volume C'a en surmontant une pression constante p' <Cpit sans quil y ait ni introduction ni soustraction de chaleur ; on demande Vétat final du gaz.
Il faut faire Q =: o dans réqualion (98), et comme /; est constant, on a
(94) c[tj— t,)-h kp'{v2— Vx) = o.
Pour le travail extérieur du gaz, on a
La température finale t^ se détermine au moyen de l'équation (94 )> et comme Vi est supposé connu, la pression finale/?, se déduira de Téqualion
Si Ton donnait la pression finale p^ au lieu du volume ^2, on joindrait à la dernière équation la suivante :
et ces deux équations, combinées avec les équations (66) et (94), donneraient
/ a^ pr±{k--i)p'
Ensuite, la température finale ^2 se calculerait d'après l'équation
et, enftia, en S4J)siilfant la valeur de v^ dans Téquation (gS), on trouverait le^travail extérieur L :
Dans le cas limite où la pression finale /?2 est égale à la
CHANGEMENTS NON RÉVERSIBLES. l^']
pression extérieure /?', les équations précédentes donnent, pour le rapport de la détente,
(^ ^ />.-f-(/r-i)p, ^l(Pi^i.\^ Vi kp-t /r \/>2 * /
et le travail extérieur devient
Supposons que, dans ce cas, la pression initiale du gaz soit de i atmosphère, que la température initiale soit /, = 3o";on veut que le gaz, en surmontant une pression extérieure égale à une atmosphère, se dilate jusqu'à ce que sa force expansive finale soit aussi d'une atmosphère. On aura
^ =r — ^ (^ + o,4io^ = 1 ,3546.
V, i,4io\ I ^ I
La température finale se déduit de la formule
a-¥ U=i£^=i^ — {a-\-t,), d'où /,= h- 0,620. R /?, i', ^
Pour le travail extérieur, on aura
Cette dernière valeur donne en même temps la diminution du travail intérieur.
Problème II. — Étant donné l'état initial {pi, c',, /, ) de l'unité de poids du gaz, on suppose que le gaz se dilate et prenne le volume V2 sans que le gaz surmonte aucune pression extérieure^ et sans qu'il y ait ni introduction, ni soustraction de chaleur; on demande V état final du gaz'.
Dans ce cas, il faut faire /?' = o et Q = o dans l'équation (98); -«*
on a alors
c(/2— ^,) = o, oit bien
ti'^- *i ,
l48 DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.
et, par suite,
Pi fi »,zzr i- .
On conclut de là un résultat très-remarquable : dans les conditions indiquées, la tenipérature finale ( lorsque Téquilibre est rétabli) est égale à la température initiale.
Ce cas se réalise quand on réunit un vase rempli de gaz à un espace vide; après l'expansion du gaz, et lorsqu'il est rentré au repos, la température doit être celle du commencement. Les expériences de M. Joule (*) ont conûrmé ce théorème. On avait disposé, dans un calorimètre à eau, deux ballons de cuivre réunis par un tube qui pouvait être fermé au moyen d'un robinet; l'un des ballons contenait de l'air à la pression de 21 atmosphères, l'autre était vide. Ayant ouvert le robinet, on laissa l'équilibre se rétablir dans les ballons, et on ne constata dans le calorimètre aucun changement de la température.
Nous reviendrons plus lard sur cette expérience pour examiner aussi les changements qui se produisent dans chacun des ballons. Pour le moment il suffisait de vérifier qu'il n'y a pas eu de changement de température dans l'ensemble du système.
Les problèmes que nous venons de traiter expliquent sufGsamment l'usage de l'équation (93); reprenons maintenant, pour les appliquer au gaz, les propositions relatives aux cycles non réversibles, qui ont été établies (p. 89).
Nous avons déjà remarqué que généralement, dans les problèmes de ce genre, on n'a pas besoin de savoir de quelle manière se fait l'introduction de la chaleur pendant le passage du gaz d'un état d'équilibre à un autre. C'est l'équation (98) qui répond à la question que l'on se pose ordinairement, en faisant connaître l'étal final du gaz, lorsqu'on connaît la chaleur totale qui a été fournie ou enlevée au gaz pendant l'opération.
Mais il y a des cas où il faut indiquer de quelle manière la
C*) JocLE, Phil. Mag., t. XXVI, 1848.
CHANGEMENTS NON RÉVERSIBLES. l49
chaleur doit être fournie; il existe pour cela un n)oyen trèssimple. Soient /?,, c, et /, les valeurs qui déterminent l'état initial a d'un gaz qui doit passer à Tétai final b (/?2, c,, ^j) en surmontant une pression extérieure j[?' dont les variations sont réglées par la courbe a'V {fig, 26). Interrompons subitement
Fig. 26.
par la pensée l'introduction de la chaleur et la dilatation au moment où le volume c, est devenu c ; à partir de cet instant, la pression augmente de p' à p, tandis que le gaz rentre au repos. D'après les valeurs /? et (^ de la pression et du volume, on connaît la température t à l'état c, ainsi que l'accroissement du travail intérieur U — U,, et par suite la quantité de chaleur qui a été fournie au gaz dans le trajet a' c'. On reconnaît par là que la courbe acb indique comment la chaleur est introduite, et que, pour un cycle non réversible, il faut avoir deux courbes telles que acb et a'd b' pour pouvoir suivre complètement le changement d'état du corps. La courbe a'c'b' indique comnient varie la pression extérieure /?', et par suite elle donne le travail extérieur. Ces deux courbes coïncident lorsque le cycle est réversible.
Dans la suite nous désignerons par t la température d'un corps à un certain moment de son changement d'état; ce sera la température que le corps posséderait, si en ce moment on arrêtait subitement la dilatation et V introduction de la chaleur et si le corps rentrait au repos.
Admettons que l'équilibre soit rétabli au moment où le volume atteint la valeur v, et que le travail extérieur (aire
l5o DEUXIÈME SECTION. — ^ DES GAZ PERMANENTS.
i', a' c'v) soit désigné par L, on aurait alors l'équalion
Q:=A(U -U.)-hAL.
Si, au contraire, l'interruption avait lieu pour le volume V -4- dv, on aurait
Q + rfQ = A(U -+- rfU - U.) -h A(L -h rfL).
En reiranchant membre à membre, il vient
dQ=:A(rfU-+-rfL), ou bien, parce qu'on a dL =zp' dv,
dQ = A{d\]-hp'dv);
ou enfin
dQ = A(d\] -h pdv) -^ A{ p — p')dv.
Dans cette équation le terme A(d\] -\- p,dv) exprime la quantité de chaleur qu'il faudrait fournir au corps pendant la dilatation rfc^, si les changements d'état se faisaient suivant le trajet réversible acb; désignons cette quantité par dQ', il vient alors
98) dQ = dQ' — A{p — p')dv.
On pourrait appliquer ici à la quantité dQ' les équations générales (III) (p. 76) ou les équations (65) lorsqu'il s'agit des gaz; mais il faut interpréter les valeurs de la pression p et de la tempéralure / dans le sens indiqué ci-dessus.
Divisons les deux membres de l'équation précédente par AS = A(a -f- /)> ïiO'Jsaurons, pour la dilatation totale de c, à v,,
^^' J \(a+t} J A{a-ht) X^ a + t
Nous avons montré aux pages 82 et i3i, que l'iniégrale
r dQ'
J A(a-ht
) conserve la même valeur P de quelque manière que le corps
CHANGEMENTS NON RÉVERSIBLES. l5l
. passe de l'étal initial (/>,, Vi) à Fétat final donné (/?a, v^), lorsque le passage s'effectue suivant un trajet réversible; la n)ême chose a lieu ici, puisque cette intégrale est indépendante du n)ode d'introduction de la chaleur.
Mais cela n'a plus lieu pour la seconde intégrale du deuxième membre de l'équation (99),
Puisque d'après nos hypothèses on a />>/>', celte intégrale est toujours positive ; on en conclut que, dans un trajet non réversible, l'intégrale
dq
est toujours plus petite que P, résultai auquel nous sommes déjà arrivé (p. 90) par uiie tout autre voie.
Lorsqu'on ramène le corps à l'état initial suivant un trajet quelconque ( ce qui peut se faire seulement sur un trajet réversible, parce qu'il y a alors compression), on a pour toute la durée du cycle non réversible P =: o, et, par suite,
'(p—p^Ulv ^
J A(a-HO X «-^^
c'est cette valeur que nous avons désignée par N dans l'équalion (5o) de la page 92.
Les équations précédentes s'appliquent à tous les corps; si nous nous occupons spécialement des gaz, l'équation (99) peut s'écrire, à cause de la relation
de la manière suivante :
J A{a-ht) J,^ \ p ] V
= p — R log nep — h R / •
Pour ce cycle non réversible, il faudrait faire P = o, si l'on
l52 DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.
ramenait le gaz à son élat initial; on aurait alors
r^Q ^«Riognép^-f-Rrp:.^..
J A{a-ht) ^ "^ V, J^^ pv
Lorsque la dilatation se fait sans que le gaz ait à surmonter aucune pression extérieure, on a/?' = o, et
— ^^=-Rlognép^(*).
L'équation (loo) peut se mettre sous différentes formes. Pour les gaz en général on a trouvé, d'après Téquation (8i),
Si l'on lient encore compte de l'équation (16)
on trouve, toutes réductions faites,
(loï) I -n — ^^^ — r = -rloffnep H-r('t— i)/ - — •
Lorsqu'on ne fournit ou qu'on n'enlève pas de chaleur au gaz (cas qui se présente très-souvent), on a dQ==o; l'équation (loi) devient alors
/ - — =7 lognep — -— •
Il faut encore faire disparaître de l'intégrale le dénominateur pv. Pour cela, remarquons que, d'après l'équation (98 ), on a ici
c(/ — /,) + A / p'dv = Oj
(♦) Ce dernier résultat à été donné aussi par M. Clausius; Mémoire V, p. i6j.
CHANGEMENTS. NON RÉVERSIBLES. l53
^(/^t'— Pi^P + aJ p'(h=o.
On peut déduire de là la valeur de /?(^ et la substituer dans ^ réquation ci-dessus; on obtiendra alors, après quelques réductions Irès-simples, la valeur suivante du travail extérieur.
p'dv=--{t,^t,).
On aurait pu écrire ce résultat sans faire aucun calcul; car dans le cas actuel le travail extérieur doit être égal au changement du travail intérieur, puisque rfQ = o.
Pour donner encore un exemple, nous supposerons que la dilatation se fasse suivant un trajet non réversible, et que la lenipéralure reste constante pendant l'introduction de la chaleur : il s'agit de la température relative à Tétat d'équilibre. On a, dans le cas actuel,
pv a -f- /, = « -f- ^ = a -f- /2 = ~ :
réquation (loi) donne immédiatement
J A(a-f-/j~AR a-ht X^ P ''''' ou, d'après la valeur de AR donnée par l'équation (46),
= A r^p'dv,
résultat qui est d'ailleurs évident, puisque le travail intérieur ne change pas quand on suppose la température constante.
Ces exemples montrent suffisamment qu'il ne faut pas attribuer une trop grande valeur aux équations (99) et (loi) de la théorie mécanique de la chaleur. Pour résoudre les problèmes ordinaires relatifs à la dilatation d'un gaz suivant un trajet non réversible, l'équation
(102) dQ := cdt -h kp' dv
l54 DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.
suffil ^compléleménl. Dans celle équalion t désigne la lempéralure relalive à Télal d'équilibre ei p' la pression qui lui correspond. Lorsque la courbe acb de celle pression el la courbe a' c' b' {Jlg, 26) de la pression extérieure sonl données, on peut résoudre facilemenl, au moyen de réqualion( 102), un grand nombre de problèmes. En divisanl les deux membres de celle équalion par A(a h- /), on relombe sur Téqualion (ici); celle-ci n*esl donc qu'une forme un peu simplifiée de Téqualion générale (102).
Quand les corps ne sonl pas gazeux, on écrilTéqualion (102) de la manière suivanle :
Dans celle équalion U désigne le iravail lolal inlérieur, la varialion de ce Iravail rfU peul se décomposer en irois parlies : la première correspond à Taugmenialion du iravail d'oscillalion, la deuxième au changement de position relalive des molécules, la troisième au changement de la force vive, c'est-àdire du mouvement visible du corps.
