VIII. — De r écoulement des fluides

L'écoulement des gaz, et plus généralement des fluides, peul être considéré comme un cas particulier du passage d'un corps d'un étal à un autre par un trajet non réversible. Le fluide se dilate en surmontant une résistance égale à sa force expansive en même temps que de la chaleur lui eslfournieou soustraite, et une portion du iravail accompli pendant la dilatation est employée à produire le mouvement visible du fluide. Nous supposerons constantes la pression dans le réservoir d'où sort le fluide, la pression à l'orifice et la pression dans l'espace où le fluide s'écoule, el nous admettrons la continuité du mouvement. En outre, l'orifice est percé dans une simple paroi, el le fluide le traverse en filets parallèles ; enfin il n'y a pas de solution de continuité dans le fluide : celle hypothèse se fait généralement dans les problèmes d'hydraulique. On réaliserait ces conditions de la manière suivanle.

DE L* ÉCOULEMENT DES FLUIDES. l55

Le réservoir A {Jig. 27) d'où sort le fluide eslun cylindre de section F, dans lequel se meut un piston dont la face exie-

Fig. 27.

rieure supporte la pression p, par centimètre carré; ce piston est poussé en avant pendant l'écoulement par la force F./»,. L'écoulement se fait par un ajutage cylindrique B dont la seclion F, est égale à celle de l'orifice c, et dans lequel se meut (sans frottement) un piston, dont la face extérieure est pressée par la force p, pour chaque unité de surface. Ce piston se meul avec une vitesse w égale à celle que possède le fluide

à l*orificG 6*.

Admettons qu'au bout d'un certain temps le piston F, ait avancé de la quantité s, et que le piston F, ail rétrogradé de s„ alors le fluide a évidemment gagné dans le cylindre A le travail F, p,«. et a dépensé dans l'ajutage B le travail F, />,*,. Pendant ce temps, on a donc communiqué au fluide le travail

F, /)i«i — Fj^i^j.

F, *, représente le volume du fluide qui eslsorli du réservoir A, et F, s, le volume de la même quantité de fluide entrée dans le cylindre B. S'il s'est écoulé précisément l'unité de poids du fluide, le produit F, s, représentera le volume spécifique dans le cylindre A et F,s, le volume spécifique dans le cylindre B. En appelant v, et v, ces quantités, on aura

F, /), s, — f,p, s, = p. f . — />»■ V'- Cette différence représente alors le travail que l'unité de poids a gagné pendant l'écoulement.

A mesure que le fluide gagne l'orifice, la pression passe de la valeur p, à la valeur p„ et le volume spécifique de la valeur V, à la valeur f,; mais en même temps la vitesse passe de

l56 DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.

la valeur zéro à la valeur w, qui correspond à l'orifice. Ces changements ne se font pas brusquement; il se formée partir de l'orifice un entonnoir qui s'étend dans lecylindre A jusqu'à une certaine surface ab, sur laquelle le fluide commence à se mettre en mouvement et où la pression est encore pi ; dans le trajet depuis cette surface jusqu'à l'orifice, le mouvement s'accélère rapidement, et la diminution de la pression se fait d'après une loi particulière. En suivant un seul élément de fluide dans son trajet à travers l'entonnoir, on trouve qu'à cause de la diminution de pression, il doit se dilater en agissant toujours sur les éléments voisins par sa force expansîve, comme si cet élément entouré d'une enveloppe se dilatait à l'état de repos en surmontant une résistance égale à sa force expansive.

A chaque unité de poids du fluide correspond dans ce passage un travail

pdv.

Mais, comme les pressions /?, et /?, sont maintenues constantes, le fluide a gagné le travail

p, v, — pi{ft.

Le travail total qui a été gagné ou qui est devenu libre est donc

py Vy—p^Vi-^-ï pdv.

et c'est ce travail qui est employé pour créer la vitesse d'écou lement.

En désignant par w la vitesse avec laquelle les molécules du fluide traversent l'orifice, on a pour le travail gagné par unité de poids

g désignant l'accélération de la pesanteur; et on a en général, pour l'écoulement sous une pression constante, Té-

DE L ÉCOULEMENT DES FLUIDES. iS']

quation

(io3) — =/?ifi — />2^2 4- I pdv.

Lorsqu'on différenlie celle équalion, il vienl

(io3') d(^f^^ = --d{pi^).^pdv, ^

ou, en effecluanl la différenlialion indiquée dans le deuxième membre,

(>«3") d{^^'^ = -vdp.

Ces équalions monlrenl facilemenl que la queslion telle que nous l'avons posée esl indéterminée. L'intégration indiquée dans l'équation (io3) ne peut être effectuée que si l'on connaît la loi suivant laquelle la pression/? du fluide varie avec le volume V à mesure qu'il chemine vers l'orifice. Comme on peut faire un nombre infini d'hypothèses relativement à cette loi, il y a un nombre infini de formules dont chacune donne une valeur particulière pour la vitesse d'écoulement. Mais dans chaque cas particulier, cette hypothèse n'est nullement arbitraire, car elle dépend du mode d'introduction ou de soustraction de la chaleur. Il faut donc pour résoudre le problème actuel faire amssi usage de l'équation fondamentale (9)

dQ=:A{d\]-hpdv).

Dans cette équation dQ représente la quantité de chaleur fournie à l'unité de poids du fluide au point de son parcours vers l'orifice où il se dilate de dv sous la pression p, et dV est l'accroissement du travail intérieur relatif à ce même point, qui ne comprend pas le travail correspondant au mouvement visible. La quantité t/U a ici la signification que nous lui avons attribuée en établissant les équations fondamentales, lorsque nous supposions que les changements d'état du corps avaient lieu suivant un cycle non réversible.

La solution du problème de l'écoulement exige donc l'emploi de deux équations [(9) et (io3)] et en outre la connais-

(io4) d( — )=-d{pi')-dv + -^,

l58 DEUXIÈHE SECTION. -^ DES GAZ PERMANENTS.

sance de la loi suivant laquelle le fluide reçoit ou cède de la chaleur dans son trajet vers l'orifice (*).

On peut combiner ces équations en portant dans Téquation (io3') la valeur de /^rft' tirée de Téquation (9), il vient alors

et dans cette dernière équalion il faut employer pour les quantités dQ et d\] les valeurs données précédemment, qui sont applicables à tous les corps.

Les formules précédentes conviennent à tous les fluides; faisons encore quelques remarques avant de les appliquer aux gaz. En nous servant de la^g*. 27, nous avons supposé que la pression était /?» dans le plan de Torifice et que le fluide se répandait dans un tuyau Bdont la section était celle de TorifîCe, et dans lequel un piston reculait avec la vitesse (v devant le fluide. Dans la réalité les choses se passent un peu autrement; Tajutage s'ouvre généralement dans un réservoir plus grand que celui d'où sortie fluide, et Ton suppose qu'on y maintienne également la pression constante. Si le fluide est un gaz ou une vapeur, le jet s'étale à partir de l'oritice C en affectant aussi dans le second réservoir la forme d'un entonnoir, et les molécules du fluide passent peu à peu de la vitesse w à une vitesse nulle. La pression dans le second vase est ordinairement connue, mais elle n'est évidemment pas égale à la pression /?2 (c'est seulement pour les liquides que l'on peut supposer ces pressions égales); il suit de là que la pression pi et, par conséquent, le volume V2 dans le plan de l'orifice sont inconnus et ne sont pas déterminés par la connaissance seule de la pression dans le second vase. Cette cir-

(*) C'est dans un ouvrage intitulé : Dos Locomotivenblasrohr y Zurich, i863, que j'ai appelé, pour la première fois, l'attention sur la connexion des équations (io3), qui sont connues depuis longtemps, avec les équations auxquelles conduit la théorie mécanique de la chaleur. Les équations qui sont données ici sont développées autrement dans cet ouvrage, et leur application à l'écoiUement des fluides y est donnée dans plusieurs cas.

DE l'écoulement DES FLUIDES. 169

constance introduit une nouvelle indétermination dans les équations établies ci-dessus; en nous appuyant sur certaines expériences relatives à Técoulement des vapeurs, dont nous parlerons plus tard, nous pouvons admettre que la pression dans le second réservoir soit la même jusqu'à une très-petite distance de Torifice. Lorsqu'on désigne par p^ la pression dans ce réservoir et lorsqu'on emploie cette valeur p^ dans réqualion (io3), on ne trouve pas pour w rigoureusement la valeur de la vitesse d'écoulement, c'esl-à-dire de la vitesse dans le plan de l'orifice, mais on obtient la vitesse des molécules du fluide arrivées à une certaine section de l'entonnoir, en dehors de l'orifice, section à partir de laquelle la pression devient pa. Nous admettons que cette section soit située trèsprès de l'orifice; alors l'épanouissement du jet de gaz ou de vapeur se fait sous une pression constante p^; le volume spécifique et la température passent des valeurs Vi, U, relatives à cette section particulière, aux valeurs t^', et t\y qui correspondent à l'état de repos du fluide dans le second réservoir,

parce que le travail — contenu dans l'unité de poids du

fluide se transforme en chaleur dans le passage au repos.

Des expériences précises peuvent seules donner des éclaircissements complets sur ces questions; pour le moment nous nous bornerons à ces considérations.

Pour les gaz on peut mettre l'équation (io4) sous une forme plus simple; à cause des équations (67 jet (69), p. 117 et suiv... on trouve

A:rf(^) = -kKdt- cdt-\- dQ, ou bien, d'après la relation (66), (io5) \d(^\=^kcdt-hdQ,

dans laquelle dQ doit être déterminé d'après les équations (65).

On pourrait appliquer ces formules à un très-grand nombre

l6o DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.

de cas particuliers (*); nous ne traiterons ici que le plus important.

Lorsqu'un gaz se rend d'un premier réservoir où sa pression pi est constante dans un second réservoir où la pression/?2 reste aussi constante, il arrive très-rarement qu'on lui envoie ou qu'on lui enlève de la chaleur dans son trajet vers l'orifice; nous n'étudierons l'écoulement que dans le cas où il n'y a pendant l'écoulement, ni introduction, ni soustraction de chaleur.

L'équation (io5) devient, puisque dQ = o,

(106) • Ad(^\ = -kcdt,

et l'équation (65) donne, dans la même hypothèse,

vdp -^ kpdv =zo.

De cette formule nous avons déjà déduit (p. 127 ) l'équation

n-^t /g" a -\- tx \px

Désignons, comme on a l'habitude de le faire, par ï la température absolue «-+- / (cette quantité a été appelée S dans la première Section); alors nous pourrons remplacer dans toutes les formules dt par dT.

Si l'on désigne par T, la température absolue dans le premier réservoir et par Ta celle du plan de l'orifice (ou plutôt celle d'une section située très-près de cet orifice), on a

puisque dans cet endroit ondoilavoir une pression égale à/?,. En intégrant l'équ^jlion (106) et en supposant qu'à l'intérieur du premier réservoir la vitesse soit nulle et qu'elle soit w à

(*) Voyez Dos Locomotivenblasrohry p. 68-74.

DE L*ÉGOULEMENT DES FLUIDES. l6

Forifice, on trouve

(108) A — =iyic(T. ~T,).

Les deux dernières équations résolvent le problème proposé.

Substituons dans Téquation (108) la valeur de T2 Urée de réquation (107), on a pour la vitesse d'écoulement

Cette équation a été établie pour la première fois, mais par une marche différente, par M. Weisbach ( * ).

La diminution de température T, — T2 qui se fait depuis l'intérieur du premier réservoir jusqu'au plan de Torifice se détermine par Téquation (108), quand çv a été trouvé par la formule (109).

Le volume spécifique v^ du gaz dans le plan de Torifice se déduit de l'équation (67)

Enfin l'équation

(m) Gv,=:¥w

donne le poids G de la quantité de gaz qui arrive à l'orifice pendant une seconde, quand la section de l'orifice est égale à F. Hors de l'orifice, le jet d'air s'épanouit, d'après notre hypothèse, sous la pression constante 7^2; il n'y a pas de chaleur

introduite, mais le travail — qui correspond a la vitesse <r se

transforme en chaleur, et les choses se passent comme si le gaz recevait en rentrant au repos la quantité de chaleur A — 1

sous la pression constante pi, SoitT'2 la température du gaz

(*) Weisdach, Ingénieur -und Masc'ànenmechanik y 3* édit., t. I, p. 821; Brunswick, i855.

DEUXI&XB SECTION. — DES GAZ PERMANENTS,

: second réservoir lorsqu'il est rentré au repos; on a, l'équation (86),

A^ = frc(T',-T,;. *

paroison de cette équation avec l'équation (108) fournil liât très-simple

■dire la température est la même dans les deux réserlinsi, lorsqu'un gaz permanent s'écoule d'un réservoir 1 autre sans qu'on lui fournisse ni qu'on lui enlève de !ur et que la pression resle constante dans chaque ré- , il n'y a pas de changement de température; ou, plus nent> la température est à la sortie, après l'épanouissela même que la température initiale. Mais, d'après ion (107 ), la température du gaz dans le plan de l'oritoujours moindre. Le passage du gaz de la vitesse w jsse zéro est accompagné, non-seulemenid'un accrois- , de la température, mais encore d'une augmentation du ! spécifique; la valeur de f, [équation (m)] devieni, i on le voit facilement,

RT

expériences faîtes sur.récoulement des gaz ne confiras entièrement un certain nombre des résultats précépour faire coïncider les résultats donnés par nos foravec le résultat déduit des expériences, il faut faire es corrections que nous allons indiquer, ait qu'il y a toujours perte de vitesse dans l'écoulear des orifices en mince paroi; la véritable vitesse est ;tiie que celle que donne le calcul, et le rapport de ces itesses est appelé coefficient de vitesse. Désignons par <f lorl, par tv, la vitesse effective et par iv la vitesse théolonnée par l'équation (109}, on aura

DE L*ËCOULEMENT DES FLUIDES. l63

Pour récoulemeni de Tunilé de poids de fluide, il y a donc, comme on le démontre dans Thydraulique, une perte de travail dont l'expression est

w» — (vi , - . (V*

et, dans le cas simple que nous considérons (écoulement par un orifice en mince paroi ), *ce travail perdu est considéré comme le travail nécessaire pour vaincre les frottements dans Torifice. On peut conserver cette interprétation pour Tétude •des phénomènes d'écoulement dans la théorie mécanique de la chaleur; mais on peut expliquer plus clairement comment ce travail est employé. Quand les particules du gaz passent le long des parois de Torifice, il y a évidemment création de chaleur par suite du frottement.

Le gaz et les parois de l'orifice absorbent cette chaleur; mais à cause delà mobilité du fluide, on peut penser qu'il prend presque la totalité de cette chaleur, et qu'une quantité négligeable se porte sur les parois de l'orifice. La chaleur créée se manifeste dans le jet de gaz comme mouvement des molécules, dont l'accroissement produit une augmentation de la température; on peut dire que, dans l'écoulement d'un gaz, les résistances produisent non pas une perte de travail proprement dit, mais seulement une diminution de la force vive du mouvement visible. Le travail qui correspond à cette diminution se transforme en travail intérieur, et l'accroissement du travail intérieur se manifeste simplement dans le gaz comme augmentation de la température. Un gaz s'écoule don*c par suite des résistances avec une vitesse plus petite que celle que donne l'équation (109), tandis que la température Ta dans l'orifice est plus élevée que celle qu'on déduit de la formule (108). La somme du travail intérieur et du travail qui correspond au mouvement visible n*est point changée par les frottements. La même chose arrive évidemment quand l'écoulement d'un gaz se fait par des orifices quelconques (sans addition ni soustraction de chaleur), par exemple, par des tuyaux de conduite horizontaux, qui présentent des élargissements, desrétrécis-

l64 DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.

semeiils, des courbes, des coudes, etc.; chacune des résistances produit une diminution de la force vive du mouvement visible; mais pour les gaz il produit en même temps une augmentation de la température qui correspond à cette diminuiion, et pour les autres fluides un accroissement égal du travail intérieur.

Revenons à notre exemple; la vitesse effective avec laquelle le gaz quitte Torifice sera d'après l'équation (109)

La température absolue effective Ta du gaz dans Forifice est donnée d'après Téqualion (108) par la relation

(ll3) T,-T2=: 7^ -^.

ne ig

Le volume spécifique du gaz dansTorifice se calcule d'après l'équation (uo), clans laquelle on substitue la valeur de T2 Urée de l'équation (1 13); et enfin le poids G du gaz qui arrive pendant une seconde à l'orifice est donné par la formule

Gvi = a¥ iVe = «9 F w,

dans laquelle F est la section de l'orifice, qui a été multipliée ici par le coefficient a (coefficient de contraction), parce que la section du jet à l'endroit où la pression est devenue égale à la pression extérieure pj est en général différente de celle de l'orifice, et parce que, dans l'écoulement d'un gaz par un orifice en mince paroi, il se produit des contractions semblables à celles qu'on observe dans l'écoulement de l'eau.

Remplaçons dans l'équation précédente (v et t^j par leurs valeurs tirées des équations ( 1 09 ) et ( 1 1 o ), il viendra

,,,4, o = „,|fy,,'^T.[,(£;)''J.

11 faudrait mettre pour Ta dans cette formule sa valeur tirée de l'équation (ii3).

DE L*ÉGOULE»ENT DES FLUIDES. l65

Le produit a^ est appelé ordinairement le coefficient cVécoulement.

Les résistances ne modifient pas la température que possède le gaz hors de l'orifice, quand il est rentré au repos; celle température est finalement la même que la température initiale, et on a, à celte époque, pour le volume spécifique,

, RT

et pour le volume Vj de la quaniité de gaz qui s'écoule dans une seconde, volume mesuré sous la pression extérieurv^,

Les meilleures valeurs à adopter pour les coefficients o el «9 = /[x, quand il s'agit des gaz, sont les résultats fournis par les expériences de M. Weisbach (*). D'après les correciions introduites par M. Grashof ( **), ces expériences ont fourni les résultats suivants.

En prenant un ajutage ayant la forme du jet contracté et I G millimètres de largeur, on trouva pour un excès de pression /;, — pi mesuré par une colonne mercurielle variant de i8o à 85o millimètres, la valeur moyenne

Cp = 17- = O , f)8 1

( car ici a^i, parce qu'il n'y a pas de contraction ).

Avec des orifices circulaires en mince paroi de loà 24 millimètres de diamètre et avec une charge p^ —p, de 5o à 85o millimètres, on a, en posant 9 ===0,98,

j7. = 0,555 ài G,-; 95,

cette valeur augmentant avec la charge.

(*) Weisbach, Résultats d* expériences sur l'écoulement de l'air et de l'eau sous une forte pression : Civilingenieury t. V, p. i ; Ingenieur-und Maschincn^ mechaniky Brunswick, i863, !\^ édit., t. I, p. 911.

(**) Grasuof, Sur le mouvement permanent des gaz dans les conduites et dans les canaux {Zeitschrift des Vercines deutscher Ingenieure), t. VIT, p. 2/|3 et a?o.

vec des ajutages cj'lindriques Irès-courls de to à 24 ni'"ires de diamèlre, on a trouvé entre les mêmes limites (l<^

■ge

est a remarquer que ces valeurs s'écarleni peu de celles m a trouvées pour l'écoulement de l'eau ; ce fait est déjà iu d'ailleurs d'après les expériences plus anciennes de h, d'Aubuisson et Pequeur, et par les calculs de MM. Burr oncelei.

[BMPLE. — Admettons que de l'air atmosphérique contenu 1 un réservoir s'écoule dans l'air libre par un ajutage couible et sous une pression constante de t -J atmosphère; on srs p, =^ I -j atmosphère et ^, = 1 atmosphère. La tempère f| de l'air dans le réservoir est 3o degrés; donc

'équation {109) donne

Ur]-

3mmeg' = 9",8i, on a trouvé pour la vitesse théorique

I l'on déduit la vitesse effective, en faisant 9 ^ o^jgSi,

tv, = çii'=^a53"', i5, par suite,

n substituant cette dernière valeur dans l'cquaiion (ii3),

DE l'écoulement DES FLUIDES. 167

on a pour la température absolue de Tair dans l'orifuie

T, =1270,57, ei en centigrades

Si Ton faisait abstraction des résistances (c!esl-à-dire pour (p = i), on aurait /^ = — 3®, 7. Les résistances produisent ainsi une légère augmentation de température. Le poids de la quantité d*air qui passe à travers Torifice dans une seconde s'ob' tientau moyen de réquation( 114), qui donne, à cause de a=i, Rr= 29,272 et /?j=: 10334,

Grzr33o»^'',3lF.

F étant exprimé en mètres carrés. (Si on fait abstraction des frottements, on trouve G = 338, 3o F.j

Après l'épanouissement hors de Tajulage, Tair a repris la température initiale /, = 30"; le volume des G kilogrammes d'air mesuré sous la pression extérieure est

Ce volume mesuré sous la pression intérieure serait

Malgré l'importance que présentent dans la pratique les recherches sur l'écoulement et le mouvement des gaz, nous croyons devoir nous borner à ces détails et renvoyer le lecteur aux excellents Mémoires de M. Grashof, cités plus haut, dans lesquels le mouvement des ga? dans les conduites a été traité complètement, conformément aux principes de la théorie mécanique de la chaleur.

DEUXIÈME SICTIO.X.