DES GAZ P£RHANE>TS

IX. — Écoulement d'un gaz d'un réservoir dans un autre y lorsque les volumes de ces réservoirs sont invariables [*),

Soient deux réservoirs A et B (Jig. 28) réunis au moyen

Fig. a8.

d*un tuyau à robinet, et remplis d'un même gaz; dans le premier dont le volume est V,, il y a avant Técoulement Gi kilogrammes d airà la pression ;?, ayant un volume spécifique fi et une température T, ; le second, de volume Va, contient au commencementGj kilogrammes du même gaz, dont la tension, le volume spécifique et la température sont p^, Vi et Tj, et de plus on suppose p2<ipi.

L'orifice d'écoulement dont la section est F doit rester ouvert jusqu'à ce qu'un poids G de gaz ait passé de A en B, et il faut déterminer à ce moment l'état du gaz dans les deux réservoirs.

Le poids du gaz qui reste à cet instant dans le premier ré-

(*) Ce problème a été résolu pour la première fois par W. Baiischinger, dans un Mémoire intitulé : Théorie de l 'écoulement des gaz parJaitSy et publié dans le Journal de Mathématique et de Phjsique de M. Schlœmilch, t. Vlil, p. 8i.

ÉCOULEMENT D*UN RÉSERVOIR DANS UN AUTRE. l6ç)

servoir est G, — G; la tension, le volume spécifique et la température ant évidemment changé, et nous désignerons leurs valeurs actuelles par p„ v, et T,. 11 y a au même instant dans Taulre réservoir un poids de gaz Ga -i- G : soient /jy, i^^ et T^ la tension, le volume spécifique et la température qui lui correspondent.

Supposons que la quantité G soit donnée et que les deux réservoirs soient imperméables à la chaleur, le problème consiste à déterminer les six inconnues px, ^x, T, et /^y, i^^, 1 j.

D'après les lois de Mariolte et Gay-Lussac, on a

pt ^x = RT, et py Vy =z RTy,

on n'a donc plus que quatre équations à trouver entre quatre des inconnues, par exemple, entre /?,, /v> '^'x et T^.

Imaginons que Ton ferme le robinet au moment où le réservoir A a perdu le poids G de gaz et que les quatre quantités ci-dessus se rapportent à l'instant où l'équilibre est rétabli dans les deux réservoirs. Quand certaines conditions sont remplies, il n'est même pas nécessaire de fermer le robinet; en effet, pendant l'écoulement la veine gazeuse prend de part et d'autre de l'orifice des formes semblables à des entonnoirs dont les petites ouvertures se trouvent à l'orifice. En admettant que les capacités des réservoirs soient suffisamment grandes, on peut négliger le poids de la quantité de gaz qui se meut dans les espaces occupés par les entonnoirs par rapport au poids du gaz compris dans les réservoirs. On peut alors supposer que l'équilibre existe dans les deux vases même pendant l'écoulement, et les valeurs/?, et py donnent la loi des variations de la tension, et T^: et T^ celle des variations de la température pendant le passage du gaz.

Etudions d'abord les changements survenus dans le réservoir A. Au moment où le poids G est sorti, le poids G, — G de gaz resté occupe le volume V,; avant l'écoulement, ces G, — G kilogrammes occupaient le volume

(G, - G ji', zrr G.c/, - Gi^, = V. - G i^u

puisqu'on a V, = Gi t',.

170 DEUXlfeME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.

On peut donc dire que pendant récoulemeni le poids G, — G s*est dilaté en passant du volume Vi — Gi^, au volume V, et de la pression p, à la pression px et, comme celle dilatation s'effectue sans perle ni gain de chaleur, on a, d'après la loi de Poisson [équation (76)],

/>,__/V,-Gç^.V

p. \ V, Remplaçons V, par sa valeur G, v„ on a

La température absolue ïi est d'après l'équation (78)

En substituant la valeur de — tirée de Téquation ( 1 1 5 ), on a

Le volume spécifique Vx se détermine à Taide de la formule

Px Vx — RTx,

qui donne, quand on remplace p, et ïx par leurs valeurs,

RG.T. G.^.

résullat qu'on aurait pu d'ailleurs écrire immédiatement.

L'étal du gaz dans le réservoir A, au moment où G kilogrammes en sont sortis, est donc entièrement déterminé.

Le travail que le gaz a effectué dans ce réservoir pendant la sortie des G kilogrammes se trouve de la manière suivante.

Posons G, — G=:Gx; le volume et la tension de ce poids sont respectivement Gxt'x et px\ dans l'instant qui suit, le volume spécifique Vx change de dvx et le volume entier G^t'»

change de G^d^xi la différenlielle du travail est par conséquent

dU=Gj,psdvx* Mais on a

par conséquent

'^"■^ GT-

Or, réquation (ii5) devient ici

En substituant les valeurs de dv^, et de/?x dans la valeur de c^L, et en réduisant, on a

(ni) rfL. = ~£i^G*-'dG..

Intégrons cette équation et remarquons qu'au commencement de récoulement G:r = Gi et qu'à la fin la valeur de Gx peut se remplacer par Gi — G; on a alors

ou bien, si on suppose que px soit déjà déterminé par l'équalion (ii5),

(1.8) L. = G.i:ii^if^.

Cette expression de Lest excessivement simple [voyez le problème I de la page 147), mais elle se distingue essentiellement de celle qu'on a obtenue plus haut [équation (80)], dans le cas où un gaz se détend en produisant du travail sans addition ni soustraction de chaleur. Cette différence provient de ce que dans ce cas le poids de gaz qui produisait du travail restait constant, tandis qu'ici le poids de gaz contenu dans le réservoir A se réduit à G, — G à cause de la sortie du poids G.

Examinons l'état du gaz dans le réservoir B. Nous avons trouvé plus haut [équation (69)], pour l'accroissement du tra-