DES GAZ FEHHA.^E^'TS

ds du gaz qui correspond à i'ac-

intégrons, nous aurons pour le péraiure absolue T

anle C représente le travail inicdu zéro absolu. Appliquons ici nent de l'écoulement, le travail de gaz dans le réservoir A est

e gaz dans le réservoir It esl

>nlenu dans les deux quanliiés

re expression pour U. Lorsque oulés, il y a dans le premier renies à la température T,, etdan^ ammes à la température T^; le pour valeur

! CCS deux quantités de gaz esl

par suite

celle valeur de U esl égale à cçlle que nous avions précédemment, puisqu'il n*y a aucun travail extérieur effectué, aucune q uantité de chaleur perdue ni gagnée dans Tensemble des deux réservoirs. En égalant ces deux valeurs de U et en remarquant que le poids total du gaz n*a pas changé, c'est- à-diré que G, -I- G2 = G, -h G^, on trouve

Gi T| H- Gj Ta = Gx Tx -I- Gjr T^.

On a d'ailleurs

RT:=r/;r,

d'où l'on tire

Gi t', /?, -+- G2 i'2 Pi = G, VxPx -+■ G^ Vy Pj, Mais d'après les notations adoptées, on a aussi

V, = G, t», = G, Vx,

V2 = Gj C^, = G;. Vy,

el, par suite,

el si l'on introduit de nouveau la température

P2 . GîTîV px)

Dans cette dernière équation, on peut remplacer /?, par sa valeur tirée de l'équation (ii5), et on a pour la tension p^ du gaz dans le réservoir B

La température T^dans l'ajutage se détermine de la manière suivante.

D'après les lois de Mariotte et Gay-Lussac, on a

py{fuT=z^Ty,

Multiplions les deux membres de cette équation par

G^ ±= Gj -4- G, et tenons compte de la relation

G^ Vj = Gj t'a = Va.

nous aurons

Gj v^py

Remplaçons encore R par sa valeur tirée de l'équation p^ (/j = RT„ nous trouverons alors

G2T, py ^~G,-i-G /?/

Mais la tension joy est déjà déterminée par Téquation (119), nous substituerons sa valeur dans la formule précédente, el nous aurons finalement

(«-«) T^ = GrTG-^G7:rGr"-V"-G;)J-

C'est d'après cette formule qu'on calculera directement!^ quand on donne le poids G de gaz qui a passé de l'un des réservoirs dans l'autre.

Il faut déterminer maintenant le travail total que le gaz absorbe dans le réservoir B, puisqu'il y a compression. Au moment où G kilogrammes de gaz sont arrivés, il y a G, kilogrammes dans le réservoir A et G^ dans l'autre. Dans l'instant qui suit, le travail rfL, dans le premier réservoir est déterminé par l'équation (117'); ce travail est absorbé en premier lieu par le gaz du réservoir B; mais en même temps la quantité de gaz rfG s'y précipite, et passe en produisant du travail de la tension /;, à la tension joy. Ce changement de pression correspond d'après l'équation (80) à un travail exprimé par

^■'"'[-fër']-

Remplaçons T, par sa valeur donnée par l'équation (78) qui

ÉCOULEMENT D*UN RÉSERVOIR DAKS UN AUTRE. l']5

devient ici

nous aurons alors

|T.rfG

tA — I A— i-|

On déduit de là pour le travail total L„ absorbé dans le réservoir depuis le comnnçncement de l'écoulement,

(l2l) La^LiH-

wte)'-fâ1-'

formule dans laquelle L, est déterminé d'après une des équations (117) et (118).

On aurait à remplacer maintenant sous le signe / les quantités px et Px par leurs valeurs données par les équations (i i 5) et (119), et à effectuer ensuite Tintégration entre les limites o et G. En faisant ce calcul on trouve une série : il vaut donc mieux conserver la formule (121) et en faire l'intégration à part dans chaque cas particulier. 11 reste à chercher quel est l'état du gaz dans l'un et dans l'autre réservoir à la fin de Vécoulement. L'écoulement cesse évidemment aussitôt que/?x==/3y; admettons qu'à ce moment la quantité de gaz écoulé soit G«, on a, d'après les équations (ii5) et (119),

^-l)*-hll;[-(-l)']

Cette équation détermine la quantité G»; mais on a, comme

on sait,

Substituant cette valeur dans l'équation précédente, et la résolvant par rapporta Go, on trouve

Pour connaître l'élat final du gaz dans les deux réservoirs, il suffira de meure celte valeur de Ga à la place de G dans les formules écrites plus haut.

Remarquons que la vitesse d'écoulement iv est variable, el qu'elle diminue d'après une loi bien déterminée que l'on trouve aisément. La formule (109) appliquée au moment où G kilogrammes de gaz se sont écoulés, donne

ig A

o j, en remplaçant T, par sa valeur en fonction de px> tirée de l'équation (78),

En substituant dans celte équation les valeurs de px el p^j tirées des équations (ii5) el(ii9), on obtient une formule qui détermine la vitesse cv correspondant à chaque valeur de G ; cette formule générale est

-is[-(-^)']r)-

^ la fin de l'écoulement on a évidemment <jp 1= o.

Ces équations ont été établies pour la première fois par M. Bauschinger, bien qu'en partie sous une autre forme el par une autre méthode. Elles fournissent la solution d'un grand nombre de problèmes très-intéressants, dont nous allons examiner les deux plus importants.

Problème I. — On a, dans un réservoir, dont le volume e^f V„ Gi kilogrammes d'air comprimé à la pression p, et à la température T,; on laisse sortir de la chaudière G hilogrammes par un orifice, et on le ferme. Quel est l'état de Vair à rintérieur

du réservoir au moment de lafermeture pendant V écoulement ; il ny a ni introduction, ni soustraction de chaleur,

P2 représente ici la pression extérieure, la pression atmosphérique; en admettant qu*au commencement la température de Tair du réservoir soit égale à la température de Tair extérieur, on a T. = T,. Le poids Gj de Tair qui reçoit le jet gazeux estinfmiment grand : c*est celui de l'atmosphère.

En faisant Gs =00 et T,= T, dans les équations (ii5), (116), (119) et (120), on trouve les formules

Pr — P^y

Les deux dernières formules sont évidentes; la pression et la température de l'air extérieur ne changent pas.

Admettons que V, égale i mètre cube, que la pression de l'air intérieur soit égale à 5 atmosphères, et sa température /, 1=30°, par suite, T, — 3o3°; on a, pour le poids G, de cette quantité d'air,

G. = ~' = ^==5^",8256, v^ RT,

car/?i = 5Xio334, et R= 29,274.

Si l'on fait sortir la moitié de l'air du réservoir, on a

et, d'après l'équation (i24«)> »1 vient

La pression px mesurée en atmosphères qui a lieu au moment de la fermeture de l'orifice est donc

L'équation (124 (3) donne

d'où Ton déduit la valeur de Tx= 228,04; ou, en centigrades, /,= - 44S96.

Lorsqu'on suppose Torifice très-grand, Tair extérieur ne peut pas fournir de la chaleur à Tair intérieur à cause de l'extrême rapidité de Técoulement; un manomètre mis en communication avec le réservoir fera connaître les pressions pi et/?x.

Quand on observe de cette manière la valeur de //x, on peut déterminer inversement, d'après Véquation (124a), le poids d'air G qui s'est écoulé, et, par suite, la quantité d'air G, — G qui est restée dans le réservoir.

L'exemple précédent montre qu'il y a un refroidissement considérable de l'air intérieur; la température T,, au moment de la fermeture, ne peut être observée directement, mais on peut la déduire des indications du manomètre.

Mettons la valeur px= i°S88i dans l'équation (118), et faisons G, ^1=1, d'après notre hypothèse; on trouve alors, pour le travail effectué dans le réservoir pendant l'écouleraent,

Le travail opéré dans l'atmosphère se détermine au moyen de l'équation (121), dans laquelle on remplace /?^ par/?, et px par sa valeur donnée par l'équation (124a); il vient alors

LjzirL, -f-

/[(-ir-fâ1-

Remplaçons encore L, par sa valeur tirée de l'équation (117J. et effectuons l'intégration indiquée entre les limites o et G; nous trouverons, après avoir réduit.

ÉCOULEMENT d'uN RÉSERVOIR DANS UN ALTRE. 1 79

En mettant dans celte formule les nombres de notre exempie, on a, pour — -i=-»

L*équation (122) donne pour Vj = oo le poids d'air Go qui a passé par Torifice à la fin de Fécoulement. Ce poids est

et on a dans le cas actuel

Go = o,68o65.G, = 3'^",9652.

Faisons encore dans les formules précédentes

■pr = j^ =0,68065,

alors, à la fin de V écoulement y la pression /?, est à' une atmosphère et la température t, est de —83°, 25; on a, pour le travail total de Tair du réservoir, L= 29136 kiiogrammètres, et pour le travail absorbé par Tair extérieur

Enfin faisons Gj^oo , dans Téquation (i23), la vitesse d'écoulement w sera donnée par la formule

t(-r-fâ1-

Pour chaque valeur de G on peut trouver w; en multipliant w par le coefficient de vitesse 9, on a, pour la vitesse effective à l'instant considéré, We=(^w; la température absolue T' pour le même moment dahs le plan de l'orifice se déduira, d'après l'équation (i i3), de la formule

y ffc 7.g

l8o DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.

Le cas particulier que nous venons de traiter nous conduit à faire encore une autre étude.

Supposons toujours le réservoir rempli d'air à la pression/?, et à la température T,, et muni d'un orifice aussi grand que possible; si on ouvre cet orifice et si on le referme rapidement, une partie de Tair s'échappera dans l'atmosphère où la température est également T,. Au moment de la fermeture, la pression p, et la température T,, dans l'intérieur du réservoir, sont déterminées par les équations précédentes. Lorsqu'on a adapté un manomètre au réservoir, on peut lire facilement sur son échelle les pressions p, et /?x. La température de l'air baisse considérablement pendant la détente; si on observe le manomètre après la fermeture, on s'aperçoit que la pression ne conserve pas la valeur /?„ mais qu'elle s'accroît d'abord très-rapidement, puis de plus en plus lentement jusqu'à ce qu'elle atteigne une pression limite /^s. Ce phénomène vient de ce que la température de l'air resté dans le réservoir augmente peu à peu par l'effet des parois jusqu'à ce qu'elle soit redevenue égale à la température de l'atmosphère.

L'élévation de la température des G, ■— G kilogrammes d'air qui restent dans le réservoir se fait sous un volume constant; le volume spécifique v^ de l'air, au moment de la fermeture, et le volume spécifique v quelque temps après, sont donc égaux, et on a, en appelant /? et T la pression et la température qui correspondent au volume v, d'après les lois de Mariotle et de Gay-Lussac,

P' Mais, d'après ce qui précède, on a

et, par suitCj

Quand on connaît la température initiale T, et quand on a

ÉCOULEMENT D UN RÉSERVOIR DANS UN AUTRE. lOI

observé la pression iniiiale /?i, ainsi que la pression p„ on n'a plus qu'à lire sur le manomètre la pression p à des intervalles de temps égaux pour pouvoir calculer, au moyen de la dernière équation, les températures T de Tair du réservoir qui correspondent aux mêmes intervalles; d'après cela, on pourrait'déterminer la loi de l'introduction de la chaleur par les parois.

Après un certain temps, lorsque la température T est devenue égale à la température extérieure T,, le manomètre reste stationnaire; la pression relative à ce moment ayant été désignée par/?3, on a, en vertu de la dernière équation.

■-HÏ.

Les trois pressions p, px et p^ s'observent facilement au manomètre, et l'équation précédente fournit par suite un moyen de déterminer la constante k. On a, en effet,

k — i log/?x — log/?3

k log/?x -^ log/?.

d'où (,^5) ^^^logp.-logf>.^

' lOg/?, — l0g/?3

C'est de cette manière que MM. Hirn et Weisbach ont obtenu la valeur A* (vo/ez p. iio).

M. Weisbach (*) a trouvé, dans une première expérience, en millimètres de mercure,

y?, r= 1452,2, px = i323,2 et pi = i35ç),2;

avec ces valeurs, l'équation (i25) donne

fr = i,4o5.

Dans une deuxième expérience, il obtint

^,r=i332,8, /?, = 892,7 et /?3=ïoi8,2,

( * ) Civilingenîeur, t. V, p. 45.

l82' DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERMANENTS.

ce qui donna

Dans ces expériences, il est irès-imporlanl d'avoir un grand orifice, et de ne l'ouvrir que pendant un instant. A cause du grand abaissement de la température de Tair, les parois d^ la chaudière, qui sont relativement beaucoup plus chaudes, cèdent rapidement de la chaleur à Tair; voilà pourquoi on obtient pour px un nombre un peu trop fort, et la valeur de h devient, par suite, trop petite si la durée de l'ouverture n'est pas excessivement petite.

Ceci résulte très-clairement des deux expériences de M. Weisbach; d'après les pressions observées, on voit qu'il a dû tenir l'orifice plus longtemps ouvert dans la deuxième expérience que dans la première, et cette différence se retrouve sur les valeurs de k. Les deux valeurs de k sont d'ailleurs un peu trop petites : cela provient probablement de ce que l'orifice de la chaudière, dont la capacité était de 41 tï^ètres cubes, n'ayant qu'un diamètre de 4 centimètres, la durée de l'écoulement était relativement trop grande. L'erreur due à ce que l'écoulement dure trop longtemps se trouve, il est vrai, diminuée par une autre circonstance lorsqu'on se sert d'un manomètre à mercure : à cause de l'inertie du mercure et delà rapidité de la chute de pression, le niveau du mercure descend un peu plus bas que cela ne devrait être, pour qu'il correspondît exactement à la pression de l'air, et on lit par suite, pour p^y une valeur trop faible. Ces deux erreurs se compensent donc en partie.

Gay-Lussac et Welter (*) ont déjà employé cette méthode pour déterminer k\ seulement ils laissèrent continuer l'écoulement jusqu'au moment où la pression intérieure/?* était devenue égale à la pression de l'atmosphère.

D'après les raisons indiquées ce procédé devait donner pour k des valeurs notablement trop petites. Laplace trouva à l'aide de ces expériences, /r=i ,872; il est vrai que la for-

(*) Laplace, Mécanique céleste^ t. V.

mule qu'il employa n'était qu'approchée, et devait également contribuer à diminuer /r.

La formule de Laplace est

If =

Pi-p^

et elle se déduit de l'équation (i25) quand on y substitue,

pour

lognep^ et lognep— i

les valeurs approchées suivantes :

lognép^ = lognép(.-.^^) = 2^^, lognép^;= lognép (.+ ^i^j-^^C).

Prorlème il — On a dans un réversoir, dont le volume est Va, G2 kilogrammes d'air raréfié sous la pression p^ et à la température Tj; le réservoir est muni d'un orifice qui le fait communiquer avec l'atmosphère j dont la pression est p^ et la température T,. On ouvre l'orifice pendant un temps très-court, G kilogrammes d'air se précipitent alors dans le réservoir. Il s'agit de déterminer l'état de l'air intérieur au moment de la fermeture de l'orifice, en supposant qu'il ny ait eu ni introduction ni soustraction de chaleur.

Les formules générales données plus haut résolvent cette question quand on y fait V, — oo et G, = x .

(*) M. Cazin a donné une méthode qui permet de reconnaître si la fermeture de l'orifice s'effectue au moment précis où la pression intérieure commence à égaler celle de l'atmosphère. Il a aussi reconnu une difficulté d'un autre genre. Lorsque l'excès de pression initiale- est peu considérable, le gaz oscille de part et d'autre de l'orifice, et si l'on ferme pendant la période d'oscillation, on a des valeurs de ^, tantôt beaucoup trop petites, tantôt beaucoup trop grandes. L'emploi de sa méthode met à l'abri de ces causes d'erreur; il a trouvé pour l'air : A ?= i ,/| i . [Essai sur la détente et la compression des gaz : Annales de Chimie et de Physique^ 3® série, t. LWI.)

Les équations (1 15) el (1 16) donnent alors

Px = Pi et Tx~T,;

d'où nous concluons que la pression el la température de Tatmosphère ne changent pas dans cette opération, résultat qui devait être prévu.

Les autres formules qui donnent la pression p^, la température Tj et le travail effectué, subissent des changements d'une autre nature.

Les équations (i 17), (119) et (120) contiennent la quantité

"■[-{-in

qui prend la valeur indéterminée o X oo quand on y fait G,= 00 ; mais la vraie valeur de cette expression se trouve aisément si, avant de faire G^— oo , on développe en série le facteur

parla formule de Newton; on a

Faisons maintenant G,= 00 , nous trouvons simplement

G.T. [i-^-~yi=/rGT,; par suite, les équations (119) et (120) deviennent

ÉCOULEMENT d'uN RÉSERVOIR DANS UN AUTRE. l85

La première de ces équations donne la pression, la seconde la température du réservoir au moment de la fermeture de Torifice. Le travail de Vair extérieur se trouve facilement à l'aide de Féquation (117); on a

(127) L.^G/i.t'.zizRGT,.

Le travail absorbé par Tair intérieur est donné par Téquation (121), dans laquelle on remplace p* par/?,, /jy et L, par leurs valeurs tirées des équations (126) et (127); mais il vaut mieux transformer d'abord Féquation (126). Divisons membre à membre les équations ptVi—- RTi et pii^2 = KÏ2, nous aurons

T, Pi t^.

Mais on a aussi 0,(^2 =¥3. La substitution de ces valeurs dans réquation (126) donne

/ '^/\ . *G/?, i', (126') Pr=P^-^ f^'

En portant celte dernière valeur dans l'équation (121), on trouve pour le travail cherché

Intégrons entre les limites o et G et réduisons, il viendra , \,p, \kGv,

'llPi + 'l^] ' -(El] * .

:ilf — i[\p, ^ V, ; \pj J)

La vitesse théorique de l'air qui entre se déduit de l'équation (123), dans laquelle on fait Gi = « ; on trouve, de cette manière,

, , W kcT,[ (p, , A-Gf,\~ I

l86 DEUXIÈME SECTION. — DES GAZ PERIIANE.ITS.

L'air cesse d'entrer dès que /»^= />.= />,; en désignant pai G. le poids de la quantité d'air entrée à ce moment, on a, d'après la première des équations (126'},

d'où l'on tire

r y,tp.-p.)

En mettant cette valeur de Gg à la place de G, successivement dans les équations (126), (127J et (128), on obtient I: température dans le réservoir, le travail de l'air extérieur, ei le travail absorbé par l'air intérieur au moment où l'air cesst d'entrer.

Exemple nuiiërique. — Le volume V, de la chaudière esta r mètre cube, la pression p, de l'air dans ce vase est de \ a| mosphère, et la température est égale à 20 degrés, c'est-àJîn T, = 293' ; supposons la température de l'air extérieur égale ment de 20 degrés, et, par conséquent, T,= T,, sa pressioi évaluée en atmosphères étant égale à 1 .

Pour le poids G, de l'air contenu dans le réservoir, on a

Ci RTi 29,272 X ^93

Le volume spécifique de l'air extérieur est

Ouvrons l'orifice pendant le temps nécessaire pour quel pression intérieure atteigne la pression extérieure; la quantit d'air entrée se calculera d'après l'équation (i3o). Il vient alor

1,41x29,272x293 L'équation (136) donne, pour le même moment, la tempéra

lure de l'air intérieur

T^zzr 353,06, qui vaut -h 80,06 degrés centigrades,

tandis que la température initiale était de 20 degrés.

Si Ton n avait pas fermé l'orifice, il y aurait eu, à partir du moment où les pressions étaient égales, un refroidissement de l'air intérieur par les parois de la chaudière, par suite une diminution de pression, et, à cause de cela, il serait entré dans le réservoir une certaine quantité d'air.

Le travail extérieur L, effectué jusqu'au moment de la fermeture est, d'après l'équation (127),

L, = 366fe™;

et, pour le travail que l'air intérieur a absorbé, l'équation (128) donne

En portant successivement dans les formules précédentes un certain nombre de valeurs différentes de G, toutes comprises entre o et Go, on pourrait représenter facilement la loi des accroissements de la pression joy et de la température T^ dans le réservoir.

Admettons encore qu'après l'entrée de G kilogrammes d'air on ait fermé l'orifice, et qu'ensuite on ait attendu que la tem-, pérature de l'air intérieur fût redescendue à sa valeur initiale, par suite du refroidissement opéré par les parois; alors la pression de l'air intérieur sera descendue de p^ à/>4, et, comme l'abaissement de la température de T^ à T, s'est effectué sous un volume constant, on a, d'après les lois de Mariolte et de Gay-Lussac,

Pi T,

Mais on trouve d'un autre côté, en faisant T,= Ta dans les deux équations (126) et en éliminant G entre elles,

Ti /f/>,+ Pf — Pi'

égalons ces deux valeurs de —> H vient

On conclut de là qu'on peut déterminer la quantité k de la manière suivante. Raréfions Fair d'un ballon jusqu'à ce que sa pression soit devenue /?2, et attendons que la température de cet air ait atteint celle de l'air atmosphérique. Ouvrons un orifice pour laisser pénétrer dans le ballon une certaine quantité d'air extérieur, et observons au manomètre la pression /jy de l'air intérieur au moment de la fermeture du ballon; puis, attendons encore que la température soit redevenue celle de l'air extérieur, ce que Ton reconnaît au manomètre, qui reste stalionnairc à la pression p^. C'est de cette manière que Clément et Désormes ont déterminé pour la première fois la valeur de k; ils trouvèrent /;y— ^2= i3,8i et /?4 — /?2= ïo>î99 millimètres de mercure; ils en déduisirent A* =1 ,354, nombre trop petit, il est vrai. Cela vient sans doute de ce que l'orifice est resté trop longtemps ouvert dans cette expérience (ils laissaient entrer l'air jusqu'à ce que la pression fût égale à la pression atmosphérique), et de ce que déjà, pendant l'entrée de l'air, il y a eu un refroidissement, et, par suite, une diminution de la pression : la pression observée était par conséquent trop petite.

Lorsqu'on admet que le ballon dans lequel on fait entrer l'air extérieur est vide d*air au commencement de l'expérience, on arrive facilement à des résultats très-remarquables qui ont été signalés par M. Bauschinger. Il suffit de faire p^= o et 62=0 dans les formules précédentes.

Alors les équations ( 1 26' ) et ( 1 26 ) donnent

La dernière équation montre que la température de l'air entré dans le ballon acquiert subitement la valeur AT,, el reste