VIII. — Des changements réversibles d'un mélange de
vapeur et de liquide*
Un changement d'état est réversible quand la pression extérieure esta chaque instant égale à la force expansive du corps; c'est dans ce cas que nous venons d'étudier les courbes iso-thermique, adiabatique, ainsi que celles d'une quantité con-
CHANGEMENTS RÉYERSIBLES. 330
stante de vapeur, et les questions les plus importantes relatives à ce cas ont déjà été traitées. Il convient pourtant d'indiquer encore quelques problèmes du même genre, et nous commencerons par celui qui présente le plus d'intérêt pour la pratique.
Problème I. — Comment se comporte un mélange de vapeur et de liquide lorsqu'on introduit ou qu'on soustrait de la chaleur et que le volume reste constant ?
Imaginons que Punité de poids du mélange soit renfermée dans un vase clos, que la quantité spécifique de vapeur soit ^i, la température ^ et la pression />, ; le volume Vx de la masse sera, d'après Téquation (208),
(/, = Xx U, -h 0".
Lorsque la température devient t par suite d'une introduction ou d'une soustraction de chaleur, et que la quantité de vapeur devient x, le volume est alors
(^ = XU -f- 0".
Puisque nous supposons le volume constant {v = Vi) eX que nous regardons comme invariable la quantité o-, nous avons, en égalant les seconds membres des deux dernières équations,
(261) X=:^Xx.
' On peut donc trouver la quantité de vapeur x correspondant à une pression quelconque p, ou bien calculer la nouvelle valeur de p au rnoyen de celle de m, quand x est donné.
Comme le volume est constant, le travail extérieur rfL = o; les deux équations (220) et (221) donnent par conséquent
rfQ = ArfU = rfg + d{xp).
En intégrant et remplaçant o: par sa valeur donnée ci-dessus, on trouve pour la quantité de chaleur qu'il faut fournir
(262) Q = ç-^, + ^,tt, ^£- g-j.
34o TROISIÈME SECTION. — DES TAPEURS.
Enfin on obtient le poids thermique qui correspond à ce changement d'état à l'aide de Téquation (227 ); on a en effet
ou bien
Dans cette dernière formule, on peut éliminer x au moyen de réquation (261); le poids thermique se trouve donc facilement à Taide des températures initiale et finale, quand on connaît la quantité de vapeur initiale ^i.
Admettons qu'il y ait introduction de chaleur, et par suite élévation de température, augmentation de pression et vaporisation; à un certain moment tout le liquide se sera transformé en vapeur, c'est-à-dire x sera devenu égal à l'unité. Soient /s et pt la température et la pression relatives à ce moment, etc.y on aura, d'après l'équation (261),
(264) U2=Xillij
et la quantité de chaleur qu'il faut fournir jusqu'à ce moment sera, d'après l'équation (262),
(265) Q2=qi—qi-hXiii, f £î — £ij .
Si l'introduction de la chaleur continuait à partir de ce moment, la force élastique et la température augmenteraient encore davantage; mais le changement se ferait alors d'après d'autres lois, parce qu'on aurait de la vapeur surchauffée.
Les formules précédentes, que nous allons appliquer à quelques exemples numériques, peuvent se mettre sous une forme un peu différente.
L'équation (228), p. 290, qui est applicable à tout changement d'état du mélange, peut s'écrire comme il suit, la pression p étant une fonction de la température seule et l'équation (189), p. 254, servant à introduire la chaleur spécifique c
du liquide :
dt-\'^ dv.
Quand on suppose» comme nous le faisons ici, que le volume reste constant pendant l'introduction de la chaleur, on a //</ = o et v = «/, ; par suite.
Cette quantité -A^ représente simplement la chaleur spécifique à volume constant du mélange de vapeur et de liquide; elle est ici une fonction du volume et de la température, et non pas une constante, comme cela avait lieu pour les gaz permanents. La quantité c se détermine facilement à Taide des équations (190) à (196), p. 254*
Les valeurs ^^ ;n ( - ) relatives à la vapeur d'eau sont inscrites dans la colonne 10 du tableau auxiliaire, de 0,5 à 14 atmosphères. Pour les obtenir, il suffisait de multiplier par
A = 7—;. les produits des nombres des colonnes 2 et 8. 11 est
ainsi facile de déterminer la chaleur spécifique à volume constant d'un mélange d'eau et de vapeur pour une température et un volume donnés. On a, par exemple, pour l'eau
da ,
et à la pression de 5 atmosphères, c'est-à-dire pour t = i52®,!22,
D'après le tableau auxiliaire, on a
et puisque 0'==O9ooiy
dt
Quand cette vapeur saturée est sans mélange de liquide, la Table X (de l'Appendice ) donne
et, par suite,
Cette valeur est relative seulement à une soustraction de chaleur, puisque, pour l'obtenir, nous avons pris de la vapeur sèche et saturée ; une introduction de chaleur l'aurait changée en vapeur surchauffée à laquelle les formules ne sont plus applicables. La quantité que nous appelons chaleur spécifique à volume constant dans le langage ordinaire est toujours plus grande pour un mélange de vapeur et de liquide que pour le liquide seul; pour Teau et sa vapeur, elle est toujours plus grande que l'unité.
Il faut remarquer encore que, pour la vapeur d'eau, on peut regarder sans crainte la quantité
~''rf?(«)
comme égale à l'unité dans l'équation (267), parce que le calcul de celte expression donne toujours des nombres trèspeu différents de i.
Il est cependant plus avantageux de se servir dans les ap* plications des équations (261) et (262); ce que nous allons montrer par quelques exemples.
Prenons un réservoir contenant un mélange d'eau et de vapeur pesant M kilogrammes ; la vapeur pèse o , 763 M et l'eau o , 237 M. Supposons que la pression soit ramenée de i { à -py d'atmosphère avec une soustraction de chaleur sous un volume constant.
La Table X donne, pour une pression de I 1 atmosphère : Mi= i,i258, j, = 112,408, ^ = ^3iyS8;
Yj d'atmosphère: w = i4»55o8, q= 46,282, - = 37,03.
On trouve, d'après l'équation (261), puisque :f, = 0,763, la quantité spéciflque de vapeur finale
et, par suite, la quantité totale de vapeur contenue à la fin dans le mélange est
}Ax=z o,o59M,
et là quantité totale d'eau est
M (i — x) = o,g4iM.
La chaleur qu'il faut soustraire à la masse est, d'après l'équation (262), pour l'unité de poids du mélange,
et pour les M kilogrammes du mélange,
Supposons que la soustraction de chaleur se fasse au moyen d'eau froide qui entoure les parois extérieures du réservoir et dontla température soitportée de hz t'\ soit W le nombre dekilogrammes d'eau nécessaire pour condenser les M kilogrammes du mélange; la quantité de chaleur reçue par l'eau sera
la quantité d'eau froide nécessaire pour condenser en général I kilogramme du mélange sera donc
344 TROISIÈME SBGTIOIf. — DBS YÀPEURS.
Faisons ^ = i5*» et /'= 35*»; on a, d'après la Table I, deuxième partie, q^ = i5,oo5, ç'= 35,o37, et, par suite,
Chaque kilogramme de notre mélange exige donc 20^*^26 d'eau de condensation. Considérons toujours le même mélange avec Xx = o^", 763 de vapeur à la pression 1 7 atmosphères : quelle quantité de chaleur faut-il lui fournir sous un volume constant pour convertir toute l'eau en vapeur, et quelle pression possède cette vapeur en admettant qu'elle reste saturée?
L'équation (264) donne pour Tétat final
u^=zXi Ux ■=. 0,763 X 1,1258 = 0,8589;
la pression et la température correspondantes sont, d'après la Table X, /?, = 2 atmosphères et /a = 120,60. La même Table
donne 99 = 121,4179 ^t^ =558,94; la quantité de chaleur à
fournir à l'unité de poids du mélange est, d'après l'équa-
tion (265), quand on prend pour 9,, a, et ~ les valeurs don-
nées ci-dessus,
Q,= ii7<«»,53.
Pour M kilogrammes de mélange, il faudrait multiplier cette valeur par M. Nos formules ne seraient plus applicables si l'on continuait l'introduction de la chaleur, car la vapeur serait surchauffée.
Les formules auxquelles nous a conduit le problème précédent nous permettent de traiter encore une autre question très-importante dans la pratique (*).
Cherchons d'après quelle loi la force élastique de la vapeur augmente dans une chaudière avec le temps, quand on interrompt à un certain moment la sortie de la vapeur et qu'on continue à chauffer, les soupapes étant fermées.
(*) Voyez le Mémoire de T Auteur : Nouvelles Tables pour la vapeur d'etut saturée {Journal Polytechnique suisse, année i863, t. VIII).
CHANGEMENTS EÉYERSIBLES. 345
Supposons qu'au moment de la fermeture, le poids du mélange de vapeur et de liquide soit de M kilogrammes, contenant ^Ti M kilogrammes de vapeur; soient t^ elpt la température et la pression correspondantes, ^M, t ei p le poids de la va* peur, la température et la pression, quand on a continué à chauffer le mélange pendant le temps 0.
La quantité de chaleur Q fournie à la chaudière pendant ce temps sera, d'après l'équation ( 262 ),
On continue à chauffer après la fermeture de la prise de vapeur et des soupapes, de manière qu'il entre par minute la chaleur Qf-, alors le temps d, pendant lequel la température ti et la pression />, deviennent / et /?, est
Cette équation résout le problème proposé; on peut l'écrire plus simplement pour faciliter sa discussion. Dans les chaudières à vapeur ordinaires, le poids de la vapeur est tellement petit relativement à celui de l'eau, que nous pouvons, dans un premier calcul, négliger le terme multiplié par ^i. Prenons, en outre, pour la chaleur spécifique de l'eau c la valeur moyenne 1,0224» ^^ ^ alors pour 0 la valeur très-approchée
Cette équation prouve que le temps 6 pendant lequel la pression dans une chaudière monte de pi h p lorsqu'on l'a fermée est : i® proportionnel à l'élévation de température (/—/,); 2" proportionnel au poids total du mélange ou approximativement au poids de l'eau ; 3» inversement proportionnel à la quantité de chaleur Qc qu'on introduit dans la chaudière dans l'unité de temps.
On sait déjà par les expériences de M. Fairbairn (i853) (*) que, pour une même chaudière remplie de la même manière, des intervalles égaux de température correspondent à des temps égaux; mes formules expliquent complètement le phénomène, et montrent aussi l'influence considérable exercée par le poids de l'eau ainsi que celle (relativement à la valeur de Qc) de la surface de chauffe. On comprend par là comment dans les chaudières des locomotives qui ont une grande surface de chauffe et une petite capacité, la force élastique de la vapeur augmente plus rapidement que dans les chaudières des machines ûxe^ lorsqu'on interrompt la sortie de la vapeur; on peut, en effet, conclure des formules précédentes que le temps nécessaire pour une certaine augmentation de pression est à peu près proportionnel au volume de la chaudière, et qu'il est en raison inverse de la surface de chauffe ; les valeurs dep inscrites dansla colonne 3 de la Table I, première partie, donnent d'ailleurs pour une chaudière déterminée la loi approximative d'après laquelle la pression de la vapeur augmente dans des temps égaux.
Pour un accroissement de température dt il faut, d'après l'équation (270), un temps
(271) de = ^dt.
La quantité -^ peut évidemment être appelée la vitesse avec
laquelle la piression croît dans une chaudière à vapeur fermée pendant une introduction continue de chaleur; cette vitesse est donc
^^'^^ "^-dê-^Wcdî'
elle est proportionnelle à la dérivée de la pression par rapport à h température.
Les nombres de la colonne 4- de la Table I, première partie, et de la colonne 2 du tableau auxiliaire, p. 807, donnent donc
(*) yo^ez M. DE Bbrg : Sur l'efficacité des soupapes de, sûreté {Comptes rendus des séances de V Académie impériale des Sciences à Vienne, t. XLV, p. 3ia).
une mesure de cette vitesse et montrent qu'elle augmente rapidement avec la pression.
La formule plus exacte qui donnerait cette vitesse, serait
La quantité entre parenthèses est tellement peu différente de Tunité» que nous pouvons nous servir sans hésitation de réquation (272) pour calculer la vitesse de la diminution de pression dans les chaudières à vapeur.
Dans le chauffage normal d'une chaudière à vapeur, la vitesse iv du changement de pression doit être petite et les irrégularités de chauffage, c'est-à-dire les variations de la quantité de chaleur Q», qui pénètre dans la chaudière dans l'unité de temps, doivent avoir une influence minime sur la valeur de w; ceci aura lieu d'après l'équation (272), quand le poids de l'eau et de la vapeur est très-grand, tandis que le quotient
différentiel -^ est très-petit. II est donc plus facile de chauffer
une grande chaudière à basse pression, qu'une petite chaudière à haute pression, surtout quand cette dernière a une grande surface de chauffe comme dans les locomotives.
Prenons, pour donner encore un exemple numérique, une chaudière ordinaire cylindrique qui ait une surface de chauffe de 18 mètres carrés, et une capacité de 11 mètres cubes (elle correspond à peu près à une machine de i5 chevaux); supposons qu'elle produise dans sa marche normale 25 kilogrammes de vapeur à 5 atmosphères par heure et par mètre carré de surface de chauffe : la température de cette vapeur sera /i=i52,22. La chaudière contient une quantité d'eau égale aux 0,6 de sa capacité, et elle est alimentée par l'eau à i5 degrés. La quantité de vapeur qui est produite par minuleja.vecjyie .dépense régulière est • j^^X^^'^'^^ >
18 X 25 lî, ;. u r •-§
Quand la vapeur est produite sous une pression constante de 5 atmosphères par de l'eau à zéro degré, i kilogramme de cette vapeur exige la chaleur totale
'k = q -4- r=ç-f-p-f- A/?tt = 652,93 (Table X);
mais comme Teau d'alimentation se trouve déjà à i5 degrés, il faut retrancher de X la valeur de q^ = i5yOo5; on obtient alors A — Çi = 637 »93» et la quantité de chaleur Qt qui pénètre dans la chaudière par minute est Q, = 7 ,5 X 637,93 = ^^jS^^S calories. Le volume d'eau de la chaudière est 0,6x11, et le volume de vapeur 0,4x11 mètres cubes; comme i mètre cube d'eau pèse 1000 kilogrammes, et i mètre cube de vapeur sous la pression de 5 atmosphères 2^»', 75 (Table X), le poids de l'eau est de 06oo kilogrammes, et le poids de la vapeur 12^", 10; et, par suite, le poids total M = 66i2^*»',i. Enfin la quantité spécifique de vapeur est
Xi= 7^7; =0,00103.
Interrompons subitement la sortie de la vapeur en conii* nuant à introduire de la chaleur de la même manière ; en com* bien de temps la pression atteindra-t-elle 10 atmosphères?
A la pression initiale de 5 atmosphères correspondent d'après
la Table X les valeurs qt = i53,74, 1*1=0,3626, ^ = 1254,68, et à la pression finale de 10 atmosphères les valeurs ^=182,72, ^ = 2292,96; l'équation (270) donne, par suite,
6 =z^i ,00 minutes.
La formule approchée (271) donne, quand on se sert de la valeur moyenne 0 = 1,0224 et qu'on y introduit les valeurs correspondantes de la température,
0 = i,4i3 [t— tt) = 39,69 minutes;
ces deux valeurs coïncident donc à peu près. La vitesse de l'accroissement de pression se calcule d'après
réquation (27*2)
Nous trouvons pourles valeurs de w évaluées en atmosphères qui correspondent aux pressions initiale et finale » en nous servant des vateurs du coefficient différentiel inscrites dans le lableau auxiliaire, p. 807, et en divisant par io334>
(v = 0,094 pour 5 atmosphères, iv = o, 162 pour 10 atmosphères.
Ces nombres donnent Taccroissement que subirait la pression par minute à partir des forces élastiques données, si cet accroissement devenait proportionnel au temps.
Les expériences de M. Fairbairn citées plus haut confirment Texactitude des formules que nous donnons ici; elles ont été faites avec une chaudière de locomotive, et ont conduit H. Fairbairn à la relation
dans laquelle les températures sont évaluées en degrés Fahrenheit. En degrés centigrades on a, pour le temps,
et, pour la vitesse de l'accroissement de pression,
celte vitesse est donc beaucoup plus considérable que celle d*une chaudière fixe, ce qui s'explique facilement par ce qui vient d'être dit. M. Fairbairn n'a pas reconnu la signification du facteur
Ce facteur peut indiquer après quel temps il doit y avoir explosion, c'est-à-dire à quel moment la force élastique atteint une valeur maxima donnée; si l'on détermine ce moment en
35o TEOISIÈME SECTION. — DES VAPEURS.
donnant à ce facteur la valeur o,4o5, le résultai ne peut s'ap pliquer qu'à la chaudière qui a servi pour les expériences. Les formules indiquées plus haut résolvent, au contraire, ce problème pour une chaudière quelconque.
Problème II. — Comment se comporte un mélange de vapeur et de liquide, quand la quantité de chaleur fournie est proportionnelle à la variation de la température ?
En désignant par X une quantité constante quelconque [*), on peut écrire
rfQ = Xrf^ = XrfT.
J'ai montré à la page x^t, que pour les gaz cette supposition conduit à des th*éorèmes remarquables : X devient la chaleur spécifique qui correspond à un changement satisfaisant à la loi
pm^^n—. const.;
le travail intérieur et le travail extérieur sont alors proportionnels au changement de la température. Les équations données à cette occasion ont servi à résoudre les problèmes les plus importants qui sont relatifs aux propriétés des gaz. Les propositions établies nous ont ensuite servi à la théorie des machines à feu.
L'idée se présente naturellement d'étudier aussi les mélanges de liquide et de vapeur, en supposant que la quantité de chaleur fournie soit proportionnelle à l'accroissement de la température.
Dans cette hypothèse nous avons, d'après l'équation (227),
(274) XrfT = rf?-4-Trf^Ç).
Divisons les deux membres de cette équation par T, et inlé-
{^) Nous avons jusqu'à présent désigné par X la chaleur totale de la vapeur saturée telle qu'elle a été trouvée par M. KegnauU; mais, comme nous ne devons pas faire usage ici de cette quantité, nous pouvons sans inconvénient donner à la lettre A une autre signification.
CHANGEMENTS RÊYERSIBLES. 35l
grons, en affectant de l'indice i les quantités qui se rapportent à l'état initial, et en nous servant de l'expression plus simple que fournit l'équation (242); nous trouvons
(275) Xloghép;jr=fTH- y) ~ r'"*"^)'
et toute la chaleur nécessaire sera
Lorsque le mélange est donné par son état initial (Xi, pi, /,) et quand la constante X est connue, on peut calculer d'après l'équation (275) la quantité spécifique de vapeur x pour toute autre température, et le volume spécifique se trouve ensuite par.la relation
t^ = XU -h (7.
Comme on connaît aussi la pression p qui correspond à la température /, on peut représenter graphiquement la loi des variations de la pression en prenant les volumes v pour abscisses et les pressions p pour ordonnées. Mais il est impossible d'obtenir, aussi bien dans le cas actuel que dans les cas déjà examinés, l'équation de cette courbe sous la forme /? = F(c).
La quantité de chaleur qu'il faut fournir ou enlever pendant le changement se calcule d'après l'équation (276), et la variation du travail intérieur mesurée en unités de chaleur se trouve par l'intégration de l'équation (220); on a ainsi
équation dans laquelle il faut mettre à la place de x sa valeur tirée de l'équation (275). Enfin le travail extérieur L, que l'on dépense ou que l'on gagne, est donné, comme on le voit facilement, par la formule
Le poids thermique relatif au changement proposé est
P=:XlognépY-
On a répondu maintenant à toutes les questions que ron peut se poser ici. Lorsqu'on voudra faire parcourir au mélange un cycle comme celui de la page 200 (théorie des machines à feu), on trouvera que toutes les formules écrites depuis la page 201 jusqu'à la page 207 sont applicables au cas actuel. Nous laissons de côté cette question en ce moment, parce que nous y reviendrons plus loin dans la théorie des machines à vapeur.
Problème III. — ■ Comment se comporte un mélange de vapeur et de liquide^ quand on maintient constante la chaleur latente intérieure de la vapeur P
Nous avons désigné plus haut par p la chaleur latente intérieure de Tunité de poids de vapeur; elle peut être calculée pour diver^ses vapeurs et à diverses températures, à T^ide des formules de la page 273. Pour x kilogrammes de vapeur, la chaleur latente intérieure est ^p ; si Ton veut que cette quantité reste constante, on a les deux équations
(279) rf(:rp) = o
et
(280) :rp = ^, p,;
on peut donc, en partant d'un certain état initial (^Ti, p., /i), calculer la quantité de vapeur x pour toute autre pression /> età la température, correspondante /, et on déterminera le nouveau volume V de l'unité de poids du mélange à l'aide de la relation
le volume' initial est donné par l'équation
Ç^ =:XiUt -h (7.
En combinant les équations précédentes, on trouve d'ailleurs directement le volume f par la relation
El
u dans laquelle on peut négliger <t dans la plupart des cas.
La forme de la courbe qui indique comment la pression varie avec le volume est ainsi déterminée, et on peut la tracer graphiquement.
La quantité de chaleur qu'il faut fournir au mélange, quand le changement d'état suit celte courbe, se trouve au moyen de la formule générale (2^7), dans laquelle on substitua la valeur de x déduite deréquation(28o); on a alors
rfQ=:rfç4-^.p.Trf(-~\
La variation du travail intérieur mesurée en unités de chaleur est ici, en vertu de Téquation (220) et de la relation
rf(;rp) = o,
et le travail extérieur mesuré également en unités de chaleur, est
ArfL = dQ — ArfU, ou bien
ArfL = ^'.p.Trf(-^y
On pourrait représenter la quantité -7= pour différentes vapeurs comme une fonction de la température seule (formule empirique), et alors on intégrerait facilement Téquation précédente. Mais nous ne poursuivrons pas davantage le problème, et nous nous bornons à faire remarquer que pour la vapeur d'eau au moins, la courbe des pressions qui répond à la question posée coïncide presque avec la courbe adiabatique, quand la quantité spécifique de vapeur initiale x^ est très-peu différente de l'unité.
Prenons, par exemple, de la vapeur saturée et sèche (a;, =1 ) sous la pression de 8 atmosphères, et laissons -la se détendre suivant la courbe considérée; nous trouvons, d'après l'équation (280), pour les valeurs de x qui correspondent aux pressions finales j, 1,2, 4, atmosphères, les valeurs de pi et p étant IL 23
tirées de la Table X (de l'Appendice),
