II. —Du travail disponible dans les machines à vapeur

Pour établir la formule qui doit servir à calculer le travail disponible d'une machine à vapeur, on peut prendre trois points de départ différents, et on obtient trois formules différentes que je développerai successivement, afin de démontrer qu'une seule de ces formules peut être recommandée pour la mécanique appliquée, tandis que les deux autres doivent être rejetées par cette branche de la science pour des raisons que nous donnerons dans la suite ; une de ces deux dernières formules est nouvelle, tandis que l'autre a déjà été proposée pour la même objet par Clapeyron.

( * ) Clausius, Mémoire V : Sur V application de la théorie mécanique de la chaleur à la machine à sapeur.

Première expression du travail disponible. — L'établissement de cette première formule nous conduit en même temps

Fig. 48.

aux dispositions que doit avoir une machine à vapeur théoriquement parfaite; la comparaison faite entre cette machine et les machines à vapeur telles qu'on les construit en réalité, nous apprendra si nous avons réellement utilisé conformément aux principes le travail que la vapeur meta notre disposition.

Soit C le cylindre de la machine à vapeur dans lequel se meut un piston K; supposons qu'il y aU à gauche du piston au moment où il est à la fin de sa course M kilogrammes d'eau (*) à la température ti ou à la température absolue Tj,* pour empêcher la formation de la vapeur nous supposons que le piston supporte de l'autre côté une pression /?j par unité de surface, qui soit égale à la teasion maxima de la vapeur pour la température /j.

Imaginons le cycle suivant :

I® On envoie du dehors de la chaleur à l'eau, et le piston recule sous la pression constante p^. Dans cette opération, la

(*) Les équations que nous allons développer sont applicables à un liquide quelconque accompagne de sa vapeur, mais nous parlerons de Teau en général, comnae on fait dans l'hydrodynamique» Il faut, bien entendu, quand on s*oc • cupe d'un cas spécial, mettre daui les formules les nombres qui correspondent au liquide en question et à sa vapeur.

456 TROISlfeMB SECTION. — DES VAPEURS.

température T, reste constante comme on sait, parce que l'eau passe à l'état de vapeur sous une pression constante. Si le volume est devenu V,, la quantité spécifîque de la vapeur étant JTj, il s'est formé Mxj kilogrammes de vapeur et le reste delà masse M(i — x,)^" est à Tétat liquide. La quantité de chaleur qu'il a fallu fournir étant désignée par Q, on a d'après les formules déjà données

(365) Q = Mr,^,.

2® Faisons passer maintenant par les points o et x, {Jig. 48) deux courbes adiabaliques A, A, et faisons dilater le mélange sans addition ni soustraction de chaleur jusqu'à ce que le volume soit devenu V et que la pression ait diminué jusqu'à pt; la quantité spécifique de la vapeur x^ à la fin de la dilatation se tirera, d'après l'équation (243), p. 3i3, de la relation

3® Comprimons maintenant la masse sous une pression constante Pt jusqu'à ce que la courbe des pressions, qui est ici une ligne droite parallèle à l'axe des abscisses, coupe en j?4 la courbe adiabatique du point o. En désignant par Xa la quantité spécifique de la vapeur qui correspond à cette période, on a aussi pour cette courbe adiabatique la relation

(367) J^-^Zt^Zt,

puisque la quantité spécifique de la vapeur est nulle au point o. Pendant la compression la température T, est restée constante; la quantité de chaleur Qi qu'il a fallu soustraire dans cette opération est donc

0, =Mr,(^, — ^4),

et si l'on remplace dans le second membre de cette formule

r, ( r, — ^4 ) par sa valeur tirée des équations ( 366) et (367 ), il

DU TRÀYAIL DISPONIBLE. 4^7

vient

(368) 0. = Mr,:r,Ji.

4" Comprimons enfin le mélange suivant la courbe adiabalique X4 o A jusqu'à ce que nous soyons revenu à l'étal initial, c'est-à-dire jusqu'à ce que toute la vapeur se soit réduite en eau à la température T, sous la pression /?,; le cycle est alors achevé et peut être recommencé de la même manière.

Le travail L gagné dans cette opération est représenté par la surface 0x^x^X4 (Jig. 48), dont le contour est précisément la courbe tracée pour cette machine à vapeur par l'indicateur de Walt. Comme la quantité de chaleur Q a été introduite, tandis que la quantité de chaleur Q, a été scAigtraite, Q — - Qi est la chaleur disparue, et, d'après les principes de la théorie mécanique de la chaleur, on a entre cette dernière quantité et le travail gagné la relation

En vertu des équations (365) et (368), il vient

OU encore

cette dernière est identique à l'équation générale trouvée déjà page 223 pour le travail disponible des machines thermiques; les développements donnés pages 23 1 et suivantes s'appliquent donc à l'équation (370).

Supposons que la pression /?, à laquelle correspond la température T, soit la plus forte que comportent les dimensions de la machine et que la pression pi correspondant à la température Ti soit la plus faible qu'on puisse atteindre dans la troisième période pendant le refroidissement ; alors L représente, d'après Téquation (370), le maximum de travail quil est possible de gagner avec cette machine ^ puisque la vapori-

sa tien s'est effectuée sous la pression constante />j. En effet, si pt et px sont la plus forte et la plus faible pression qui puissent être atteintes dans le cycle que nous venons de décrire d'après les dispositions de la machine et d'après le mode de refroidissement, il faut que la vaporisation se fasse suivant le trajet ox^ {Jig. 48) sous la pression constante la plus élevée/>2 (à la température constante T,) et que la compression s'effectue suivant le trajet x^Xt sous la pression constante px (à la température constante T.). Si la pression était à un certain instant plus petite que/>2 pendant la vaporisation et plus grande que /?, pendant la compression, le travail serait moindre, comme on le reconnaît facilement. J'ai déjà démontré ce fait dans l'étude des machines thermiques; nous avons trouvé à cette occasion que les courbes oxt et XiXi [Jig. 48 J doivent être des courbes isothermiques, pour que le travail soit maximum : c'est ce qui a lieu ici, puisque, pour les mélanges de vapeur et de liquide, les courbes d'égale pression et celles d'égale température sont identiques.

Il résulte de ce qui précède que le système de machine que nous venons d'examiner réalise une machine /?«r/a//e, et qu'au point de vue théorique, il n'y aurait rien à critiquer dans nos machines à vapeur, si la vapeur parcourait réellement le cycle que nous avons décrit. Cela n'a cependant pas lieu : le cycle d'une machine à vapeur réelle est, comme on le verra plus tard, un peu différent du cycle précédent; ce n'est donc pas un cycle parfait, et il résulte de là que nous ne pouvons pas, même en faisant abstraction des résistances nuisibles, gagner le maximum de travail qu'une quantité de chaleur Q mise à notre disposition serait capable de fournir. Mais une machine à vapeur est d'autant meilleure que son travail se rapproche davantage de ce travail maximum; je considère donc le travail L donné par l'équation (370) comme le travail disponible d'une machine à vapeur, en comparant le travail de la machine réelle à celui de la machine parfaite, qui exige la même quantité de chaleur dans le même temps et qui accomplit son cycle entre les mêmes pressions limites /^t et />i, ou, ce qui est la même chose, entre les mêmes températures limites Tt et T|.

BU TBAYAIL DISPONIBLE. 4^

La différence de lempéraiure Ta — Ti est pour celte machine

"la chute (de température) disponible et —- est le poids ther-

mique qui est à notre disposition à la hauteur T3, et que Ton fait descendre en lui faisant produire du travail de la hauteur de chute T, — T,.

Le cycle d'une machine à vapeur réelle n'est pas parfait, parce que nous ne pouvons pas (et nous ne pourrons jamais y parvenir) exécuter dans le même espace, c'est-à-dire dans le cylindre à vapeur les quatre périodes du cycle décrit sur la Jig. 48. Dans l'opération que nous effectuons réellement, nous sommes obligés de faire passer le corps intermédiaire, c'est-à* dire le mélange de vapeur et de liquide, d'un espace' dans un autre. Dans l'un d'eux, la chaudière à vapeur, on introduit la chaleur; de là on conduit le mélange dans le cylindre où il se répand sous une pression constante et se dilate ensuite; la soustraction de chaleur a lieu dans le condenseur, si nous ne considérons d'abord que la machine à condensation, et la dernière période, celle de la compression suivant la courbe adiabatique jusqu'au moment 011 le mélange est réduit entièrement en eau, manque tout à fait dans nos machines; elle est remplacée par une autre opération. C'est en cela que consiste l'imperfection du cycle de nos machines à vapeur; nous donnerons plus tard de plus amples détails sur cette question.

Les machines à vapeur deviennent plus volumineuses qu'une machine parfaite, parce que nous ne pouvons pas effectuer toute l'opération dans le même espace (*). La machine à vapeur a ce défaut, comme les machines à air dilaté. Dans les machines à air chaud les diverses opérations du cycle ne peuvent pas avoir lieu dans le même espace; nous sommes obligés de chauffer et de refroidir, de dilater et comprimer l'air dans différents espaces ;yoï\k pourquoi ces machines occupent

( * ) La première machine à vapeur que construisit Papin était, chose singulière, une machine parfaite d'après son principe; car Papin avait l'intention d'effectuer les diverses opérations du cycle dans le même espace, le cylindre à vapeur.

46o TROISltalI SECTION. — DBS ▼APEURS.

un espace relativement considérable. Sous ce point de vue, elles ne sont cependant pas aussi inférieures aux machines à vapeur qu'on le pense généralement, parce que dans la comparaison avec la machine à vapeur on ne considère pas la chaudière; mais pour être exact, il faut considérer tout l'espace qu'occupe Tinstallatiofi de la chaudière.

C'est la formule (370) que j'emploierai désormais pour calculer le travail disponible d'une machine à vapeur; si l'on prend la seconde pour unité de temps, Q est la quantité de chaleur qu'il faut introduire dans la chaudière dans une seconde; T, est la plus haute température (absolue) qu'on rencontre dans l'opération, celle de la vapeur dans la chaudière; T, est la plus basse température, celle du condenseur, quand la machine est à condensation, sinon T, est la température de la vapeur saturée sous la pression d'une atmosphère ; pour la vapeur d'eau, on a ^j = loo® et T, = 373". Nous pouvons considérer une machine à vapeur sans condensation comme une machine à condensation pour laquelle la température est 100 degrés et la pression une atmosphère dans le condenseur. Bien que cela paraisse évident, nous l'expliquerons néanmoins plus tard. (Il est question de machines qui travaillent avec de la vapeur d'eau.)

Lorsque les quantités Q,' Tj et ïi sont données, on peut calculer facilement, d'après l'équation (370), le travail disponible L de la machine à vapeur en question. Les températures T, et T, sont données le plus souvent directement; il n'en est pas de même de la quantité de chaleur Q; il faut la déterminer à part pour là machine réelle. Sa valeur pour une machine parfaite est, d'après l'équation (365), Q^Mx^r^; pour une machine ordinaire, nous trouverons dans la suite pour Q une expression également très-simple. Nous aurons toujours une valeur plus grande que celle qui correspondrait dans les mêmes circonstances à une machine parfaite.

Supposons d'abord qu'il soit possible de construire une machine à vapeur paffaite, et demandons-nous quelles quantités de vapeur et de chaleur correspondraient àdes effets donnés.

Dans réquation (369) M^r^ représente le poids de la vapeur

DU TRAVAIL DISPONIBLE. ^6ï

pendant la première période du cycle; lorsque L donne le travail en kilogrammètres par seconde, Mjtj exprime aussi la quantité de vapeur qui doit être produite dans une seconde. En désignant cette quantité par D, on a

■L* ^== TjT ( A a — T|).

Désignons le travail en chevaux-vapeur par N, et par Da la quantité de vapeur produite dans une heure; on a alors en mesures françaises

N=i:^ et Da = 36ooD.

Portons les valeurs de L et de D tirées de ces équations dans réquation précédente, et faisons A = -p-y; nous aurons

g- = o,ooi57o^(ï, — T.), et en renversant le rapport (370 ^^^36,79£.

En posant encore Da= 100^** dans Tavant-dernière équation, on a

La formule (371) donne la quantité de vapeur, exprimée en kilogrammes, que dépense par heure et par cheval une machine parfaite qui emploie la vapeur d'eau saturée; dans la pratique, on estime souvent le degré de perfection d'une machine d'après cette quantité.

La formule (372) donne le travail d'une machine parfaite <]ul produit dans une heure 100 kilogrammes de vapeur.

On voit de suite avec quelle facilité on peut calculer ces deux quantités pour une machine parfaite : il suffit de connaître la température /» de la chaudière et la température tt

46a TBOISIÈME SECTION. — DES TAPEURS.

du condenseur, et ces cjuanlilés se trouvent dans la Table X, quand on donne les pressions p, et /?, qui leur correspondent. La même Table peut servir à calculer la chaleur de vaporisation r,, au moyen de la formule

C'est à l'aide de ces deux formules que j*ai calculé les deux tableaux qui suivent. Pour les machines à condensation, j'ai

pris la pression du condenseur p» = — d'atmosphère, et par

suite ti = ^6,2i; alors T, = 319,21 ; pour les machines sans «condensation pi= i atmosphère : par suite, /i = ioo*>, et T,= 373.

Quantité de vapeur exprimée en kilogrammes, que produit par heure et par cheval une machine à vapeur parfaite.

TENSION

de la Tapeur

en atmosphères.

aTec condensation.

sans condensation.

Ce tableau donne les valeurs minima des quantités de vapeur dont nous devons nous rapprocher le plus possible dans la réalité. Remarquons d'abord les différences qui existent entre la machine avec condensation et les machines sans condensation. Les nombres relatifs à ces deux systèmes diffèrent d'autant moins que la tension de la vapeur est plus élevée, et diminuent dans les deux systèmes quand la pression de la chaudière augmente.

DU TtÀyÀIL DISPONIBLE. 4^

On conclut aussi de ce tableau que la condensation est tout au plus à recommander pour les machines à pression moyenne, mais qu'elle ne Test pas pour les pressions de 6, 8 et lo atmosphères; la quantité de vapeur par cheval est, il est vrai , moindre pour les machines avec condensation que pour les autres, mais la différence est petite ; et comme on ne peut pas pousser la dilatation de la vapeur aussi loin qu'on Ta supposé ici (de 6, 8, lo atmosphères à yj), les nombres qui conviennent aux machines réelles se rapprochent beaucoup dans les deux systèmes.

Dans les machines sans condensation , les fortes pressions sont préférables d'après le tableau, et il paraît même qu'on aurait avantage à dépasser la limite de lo atmosphères; on l'a déjà fait pour des locomotives.

Les nombres des tableaux sont bien inférieurs à ceux que l'on adopte dans la pratique.

Pour des machines avec condensation, on compte ordinairement, pour une basse pression, 34 kilogrammes de vapeur par cheval ; pour une pression moyennne, 3o kilogrammes, et pour une haute pression sans condensation, 3o kilogrammes encore. La comparaison de ces nombres avec ceux du tableau indiquerait la grande infériorité des machines que l'on construit; aussi cette comparaison n'est-elle pas admissible. Les derniers nombres doivent représenter des valeurs maxima et supposent expressément que la machine travaille avec le minimum de dilatation; on ne les donne pas pour juger la machine, mais pour servir de base au calcul de la chaudière et des appareils d'alimentation et de condensation ; on construit ces appareils avec des dimensions telles que la machine puisse, dans certaines circonstances, produire un travail bien plus grand que celui qu'on exige d'elle dans des circonstances normales.

Les nombres qu'ont fait connaître les expériences faites sur des machines travaillant dans de bonnes conditions se rapprochent bien plus des nombre de notre tableau, et le rapport de ces nombres donne immédiatement le rendement.

Travail effectué par une machine à vapeur parfaite , exprimé en chevaux-vapeur pour une production de loo hilogrammes de vapeur par heure.

TENSION

de la vapenr en

atmofphères.

•Teo oondensatlon.

sans condensation. '

i4,ia7

ai, 414

llfl^X

Comme les nombres de ce tableau se tirent simplement de réquation (872), et que leurs rapports sont inverses de ceux du tableau précédent, ils ne donnent pas lieu à de nouvelles remarques.

Mais nous avons à examiner une seconde forme de l'équation (370). En effet, dans cette équation, rapportons Q et L à la seconde de temps, et appelons Qa la quantité de chaleur exprimée en calories qu'il faut fournir par heure à la machine; introduisons encore le travail disponible évalué en

chevaux-vapeur en posant L = 75N et Q= 5^-» nous aurons alors

Qii 636,79?.Ta

Cette équation donne la quantité de chaleur qu'il faut fournir par heure et par cheval de travail disponible. Le tableau qui suit a été calculé avec les mêmes hypothèses que le tableau précédeni.

Quantité de chaleur nécessaire par heure et par cheval de

travail disponible.

TENSION

de la Tapeur

atmosphères.

avec condensation.

sans condensation.

n^yi

Les nombres de ce tableau représentent encore des valeurs minima. Ils sont inférieurs à ceux qui mesurent la chaleur qu'exigent les machines réelles.

Si Ton considère une machine à vapeur parfaite, la quantité de chaleur qu'il faut soustraire par heure et par cheval se lire des équations (365) et (368), p. 456. En opérant la même transformation que précédemment, on trouve pour celle quantité

T, Qa Ta ' N *

Remarquons que les valeurs du dernier tableau ne dépendent pas de l'espèce de vapeur; on peut employer indifféremment des vapeurs d'eau ou d'élher, ou toutes les deux à la fois ; ces valeurs sont également applicables à des machines à air chaud. [Voyez p. 209.)

Les exemples précédents, ainsi que l'équation (370), montrent que le travail L, qui correspond à la quantité de chaleur Q, dans un cycle parfait, ne dépend que des températures limites; j'en conclus que, d'après la théorie, les machines à vapeur d'élher de M. Du Tremblay ne peuvent donner de U. 3o

meilleurs résultats que les machines ordinaires à vapeur d'eau. M. Du Tremblay réunit deux machines, dont Tune travaille avec de la vapeur d'eau, l'autre avec de la vapeur d'éther. Admettons que les deux machines exécutent des cycles parfaits, et qu'on enlève à la vapeur d'eau de la chaleur au moyen d'éiher liquide, qui s'évapore dans cette opération, et qui, à la fin, est condensé de nouveau à la température Ti ; rien n'est changé, par cette disposition, dans la formule (273). T2 est la température à laquelle la vapeur d'eau est produite , et T» est celle à laquelle la condensation de l'éther a lieu. La valeur deT, ne peut pas être plus élevée dans cette machiùe combinée que dans une machine ordinaire à vapeur d'eau, et la température T, ne peut pas non plus descendre plus bas. L'intervalle de température est le même, et le travail disponible correspondant à une quantité de chaleur déterminée Q ne peut être différent dans les deux machines. Mais la comparaison des dimensions de machines qui travaillent avec diverses vapeurs est une autre question à laquelle je reviendrai.

L'équation fondamentale (370) nous apprend que, dans une machine à vapeur parfaite, le travail correspondant à une certaine quantité de chaleur ne dépend que de l'intervalle des températures Ta — T,, c'est-à-dire de la chute de température,

et dans celte équation -pp- représente le poids thermique que

nous avons à utiliser avec la hauteur de chute T, — T,. Revenons un instant à la comparaison que j'ai donnée

p. i3i; on peut considérer -pr^ comme le poids d'un liquide

placé au niveau Tj, qu'on peut faire descendre au niveau T,, en lui faisant produire un travail. Lorsqu'on fait construire une turbine, on indique la quantité d'eau et la hauteur de chute dont on dispose. De même, si l'on veut une machine à vapeur, on indique la pression dans la cheudière, et par suite la position du niveau supérieur, c'esi-à-dire la température T„ en demandant une machine à vapeur à basse, à moyenne ou à haute pression ; on donne ensuite la position du niveau inférieur, c'est-à-dire la température T,, quand on demande une ma-

DU TRÀYÀIL DISPONIBLE. 4^

chine avec ou sans condensation ; enfin, en fixant la quantité de combustible qu*on doit consommer dans l'unité de temps^ on donne la quantité de chaleur Q qui doit entrer dans la chau^ dière, ce qui fait connaître indirectement le poids thermique.

Le problème que le constructeur doit résoudre consiste îr construire la machine, de telle sorte qu'elle utilise le plus complètement possible le lravr.il qui correspond au poids thermique et à la hauteur de chute de température qui sont donnés. Aien n'est changé dans notre comparaison, si la pression varie souvent dans nos chaudières entre des limites étendues, et sï la quantité de chaleur qui entre dans la chaudière est souroide à certaines variations, à cause de la conduite du feu. Seule la température Tt varie peu dans les différentes machines; elle est surtout déterminée par la condition que la macbine soie avec ou sans condensation.

Ce problème est donc analogue à celui que résout le constructeur d'une turbine, lorsqu'il a une quantité d'eau variable, un niveau d'eau supérieur variable, et enfin on niveau d'eau inférieur à peu près constant.

Deuxième expression du travail disponible. — La for- ' mule (370), qui donne le travail maximum correspondant à la quantité de chaleur Q, montre que l'on doit rendre la différence de température T2 — Ti aussi grande que possible , par suite augmenter la valeur de Ta et diminuer celle de T, le plus qu'on peut.

Pour ce qui concerne la température ï, , nous sommes astreints à des limites déterminées; il en est autrement deT,, qui représente la température de la vapeur dans la chaudière.

Il faudrait prendre pour cette quantité une valeur aussi élevée que possible, et par conséquent, comme Carnot et Qapeyron l'ont établi les preitiiers, avoir dans la chaudière une température aussi voisine que possible de celle du foyer. Appelons cette dernière température T", nous aurons alors, pour le travail maximum correspondant à la quantité de chaleur Q,

En prenant looo degrés pour la température du foyer, on aurait T" = 1273**. Celle formule donnera alors, pour la même quantité de chaleur Q, un plus grand travail disponible que la formule donnée plus haut, dans laquelle on avait, à la place de T", la température T, de la vapeur contenue dans la chaudière. Laquelle des deux formules faut-il adopter?

Quelques auteurs paraissent considérer la valeur que donne la formule précédente comme le maximum absolu du travail de la machine à vapeur, ou, pour me servir d'une expression pratique, comme le travail disponible. Ainsi M. Clausius {Mémoire Fy p. 187 ) compare! par exemple, la valeur qu'on obtient en prenant T'' = 1000 -f- 273, et T, = 50-4-273 aux valeurs qu'on obtient en prenant pour T" les températures usitées de la vapeur. Il conclut de là que les machines à vapeur ordinaires présentent une imperfection inhérente à leur nature même.

Je ne partage pas. cette manière de voir, si elle est fondée seulement sur les résultats auxquels conduit la formule précédente, et, à mon avis, cette formule ne peut pas servir pour juger les machines à vapeur, parce qu'en l'employant on fait tacitement une hypothèse irréalisable.

L'équation (374) suppose que la- température dans la chaudière soit la même que celle du foyer; avec la seule température moyenne de 1000 degrés, nous serions conduits à une pression énorme de la vapeur, à laquelle aucune chaudière ne résisterait : nous supposons, bien entendu, que la chaudière contienne un mélange de vapeur et de liquide; mais, en faisant même abstraction de ce fait, et en admettant la possibilité d'une pareille température dans la chaudière, il faut encore avoir égard à une autre circonstance. La formule suppose que la source de chaleur, c'est-à-dire le corps qui fournit la chaleur à la chaudière, possède la même température T'' tant qu'il est en contact avec le corps auquel il doit fournir la chaleur, c'est-à-dire avec la chaudière, ou, plus exactement, elle exige que la source de chaleur ait une température infiniment peu supérieure à T".

Mais cela n'a nullement lieu ici. Ce sont les gaz de la corn-

DU tràyàil disponible. 4%

bustion qui constituent le corps fournissant la chaleur à la chaudière, et les choses se passent en réalité de la manière suivante : Tair atmosphérique qui passe à travers la grille prend la chaleur qui devient libre dans la combustion ; une partie se combine avec le combustible, avec dégagement de chaleur, puis le mélange des gaz se refroidit en cédant la plus grande partie de leur chaleur à la chaudière; quand ils la quittent pour passer dans la cheminée, leur température est considérablement diminuée. Nous avons donc une source de chaleur qui subit de fortes variations de température; il faut tenir compte de cette circonstance. Si nous faisons usage de la formule (374), nous adoptons tacitement Thypothèse inadmissible que les gaz de la combustion ne subissent pas de changements de température tant qu'ils sont en contact avec les parois de la chaudière, et cela ne pourrait évidemment arriver que si le poids des gaz qui passent dans l'unité de temps à travers les carneaux, et, par suite aussi, la quantité de combustible qui brûle sur la grille étaient infiniment grands.

Je conclus de là que Téquation (874) n'a aucune valeur, au moins pour la question que nous traitons; elle doit être re* jetée pour l'appréciation technique des machines à vapeur.

Troisième expression du travail disponible. — Dans les recherches que nous avons faites jusqu'ici lorsqu'il était question de fournir ou de soustraire de la chaleur à un corps, nous ne considérions que les changements d'état de ce dernier; mais le phénomène de réchauffement ou du refroidissement consiste toujours dans Faction réciproque de deux corps au moins, dont l'un reçoit la chaleur et dont l'autre la cède. Pour étudier plus exactement ce phénomène, il faut donc, en général, observer aussi les changements d'état du deuxième corps, que nous ayons jusqu'ici considéré simplement comme source de chaleur, mais auquel nous avons néanmoins attribué tacitement certaines propriétés. En disant, par exemple, qu'un corps recevait de la chaleur et se dilatait à une K mpérature constante, nous nous faisions tacitement une certaine

idée de la nature de la source, c'esl-à-dire du corps qui four- Bissait cette chaleur; nous lui supposions la propriété de céder la chaleur au premier corps simplement par contact, et de mamtenir sa température constante, sans changer lui-même de température. Mais cela n'est possible que si le corps qui joue le rôle de source est infiniment grand par rapport à celui qui reçoit la chaleur. Dans la réalité, les choses se passent donc d'une autre manière, et la production de la vapeur dans les chaudières présente un cas particulier, que nous examinerons spécialement ici.

Considérons une chaudière à vapeur A {Jig. 49). Les gaz qui ont dans le foyer B la température la plus haute t'* passent

Fig. 49-

près des parois de la chaudière et lui cèdent dans leur trajet une grande partie de leur chaleur. Ils quittent les* parois avec une température /' bien inférieure à t'\ et se rendent dans la cheminée en traversant le conduit C. Dans la chaudière même, la température /, est plus basse encore, et elle peut être considérée comme constante dans toute retendue de la chaudière: c*est la température qui correspond à la pression /?, de la vapeur. Nous nous trouvons, par conséquent, dans le cas où le corps qui reçoit la chaleur se maintient à une température constante, tandis que la source de chaleur subit de grandes variations de température. La chaleur ou, mieux, le poids thermique tombe d'une température élevée à une température plus basse. Nous devons évidemment considérer cette espèce de transport de chaleur comme inutile, s'il s'agit de transformer la chaleur en travail. Si nous voulons attribuer cette

BC TEATAIL DISPONIBLE. 47'

imperfection à la machine elle-même, il faut calculer son travail disponible au moyen d'une autre formule, que je vais établir.

Les gaz ne peuvent céder de la chaleur qu'en subissant un refroidissement de t" k f ; pour qu'il y eut une utilisation complète de la chaleur, la température de l'eau de la chaudière devrait varier et être égale en chaque point à celle que possèdent les gaz qui passent au même point. Cela n'est pas possible avec les dispositions ordinaires, mais on peut partir du cas limite suivant : j'imagine toute l'étendue de la chaudière partagée en un nombre infiniment grand de compartiments a, 6, c, rf, . . . (Jig. 49), et je considère chaque compartiment comme une chaudière à vapeur indépendante alimentant une machine parfaite spéciale. La température est différente dans les divers compartiments; mais elle est toujours dans chacun d'eux égale à celle que possèdent les gaz en contact. Soient / la température du compartiment b, T la température' absolue, rfQ la quantité de chaleur qui y entre en une seconde; le travail maximum, pour un cycle complet, est donné par la formule

rfL = ^(T-T.),

pourvu que T, soit la température limite inférieure, laquelle est la même pour tous les compartiments. L'équation précédente peut encore s'écrire

rfQ dQ

Soient G le poids des gaz du foyer qui passent en une seconde auprès du compartiment b, et c leur chaleur spécifique à pression constante; la quantité de chaleur que les gaz cèdent aux compartiments sera

(375) rfQ=:~cGrfT.

Nous pouvons évidemment considérer la pression comme constante dans tout le foyer, et désigner par dt ou dT l'abais-

47^ TROISltME SECTION. — DES VAPEURS.

semenl de température des gaz occasionné par leur passage auprès du cooipartinient b. En portant cette valeur de rfQ dans la dernière expression de dL, on a

(376) dL=~-^-^~

On trouve, en intégrant Féquatiôn {375) et se servant des notations définies plus haut,

Telle est la quantité de chaleur que les gaz fournissent par seconde à l'ensemble des compartiments, abstraction faite des pertes de chaleur occasionnées par les parois du foyer. L'intégration de Téquation (376) donne, d'un autre côté,

L = - ^iognep-;pr'

et il vient par l'élimination de la quantité cG, entre celle dernière équation et l'équation (377),

(378) Lrr:^ |^, --. J lognép ^

Je donne cette formule comme une nouvelle équation pouvant servir à calculer le travail disponible des machines à vapeur; elle suppose expressément qu'on tienne compte de la perte de travail, qui tient au mode de production de la vapeur. D'un autre côté, cette perle ne peut pas non plus être considérée comme une perte proprement dite, puisqu'il est évidemment impossible de réaliser l'opération qui vient d'être imaginée, même en faisant abstraction des conditions de température et de pression.

Prenons, par exemple, la température dans le foyer /"= i ooo^ parsuiteT''=i273°, la température des gaz à la sortie /' = 3oo, et, par suite, T' ==573", et supposons, comme cela a été fait pour l'établissement de l'équalion (378), que la limite inférieure de la température soil égale pour tous les cycles qui correspondent aux différents compartiments; celte tempéra-

ture sera, pour une machine avec condensation, comme cidessous, fi=4^*,ai, el, pour une machine sans condensalion, tx = ICO®; alors Téquation (378) donnera, pour le travail disponible respectivem^fil,

L=: 253,0730 ou L = 224,2700.

La quantité de chaleur qu'il faut fournir à la machine» par heure et par cheval (de travail disponible), se déterminera de la même manière qu'à la page 461 ; i) sera

^=1066,9 ou ^ = 1203,9.

{Foyez le Tableau, p. 465.)

En développant le logarithme népérien de Téquation (378) en une série dans laquelle on fait ensuite T" = T', on retombe sur la formule (374); mais Téquation (377) donne bien une valeur inOnie pour le poids G des gaz qui passent en une seconde le long de la chaudière.

En comparant les résultats des trois formules que nous venons de donner, on voit que la première formule (370) est la seule admissible, et qu'elle doit être employée dans Tappréciation de la machine à vapeur.

Quoique je puisse considérer maintenant cette question comme achevée, je crois utile d'indiquer quelques théorèmes analogues de l'hydraulique, qui faciliteront l'intelligence des théorèmes relatifs au travail disponible de l'a machine à vapeur.

Supposonsquea6crf(^g'.5o) soit la section d'un canal d'eau, el que le niveau soit à une hauteur h" au-dessus d'un certain niveau 00, qui sera, pour plus de simplicité, le niveau de la mer. Soient A' la hauteur du fond du canal au-dessus de 00, X la largeur variable du canal dépendant de la hauteurs;. L'eau arrive dans ce canal avec une certaine vitesse moyenne tv, que nous supposerons assez petite pour qu'on puisse négliger la force vive du mouvement. Soient en outre BB et AA les niveaux de deux larges bassins dont les hauteurs au-dessus de 00 sont exprimées respectivement par Aj et /ii. Lorsque la forme de la section est connue, et quand toute la hauteur

474 TBOISIfiME StCTION. — DES TAPEtlBS.

de chute, depuis le niveau CC jusqu'au niveau AA, estréelle-

meni utilisable, nous pouvons calculer le travail mis à noire disposition par l'eau qui s'écoule.

L'eau sort de ta tranche horizontale yd-r avec la vitesse iv, et le^poids rfG de la quantité d'eau qui traverse cette tranche dans une seconde a pour expression

rfG ^ y tvydx,

y désignant le poids spécillque de l'eau.

Quand ce poids descend lentement de la hauteur a: jusqu'au niveau de la mer en effectuant du travail, on gagne un travail

dW = xdG.

Nous pouvons donc dire que rfWest le travail que celte tranche d'eau met à notre disposition par seconde. On tire de là

JG = '^,

et en égalant les deux expressions trouvées par dG, il vient

{37g) dyf ^=ywyxdx. ■

Mais en réalité nous n'avons à notre disposition que la hauteur [x — /ti) jusqu'au niveau AA; le maximum du travail dh que nous pouvons gagner réellement est donc

rfL = (x— A.)rfG.

BU TtÀVAIL DISPONIBLE. 4?^

En éliminant rfG entre cette dernière équation et Tune des précédentes, on a

et en combinant cette dernière avec Féquation (379), on trouve

{38o) rfL = rfW — ywh.ydx.

Si nous pouvions intégrer Féquation ( 879), nous trouverions le travail total W que le canal met à notre disposition par seconde, tandis que l'intégration de Féquation (38o) nous ferait connaître le travail maximum L, qu'il serait possible de réaliser par seconde dans les circonstances données. Pour pouvoir intégrer, il faut connaître la section du canal. Supposons que la largeur y du canal varie avec x, de manière que le produit jrxr=z a= consi. L'intégration des équations entre les limites x=:h' Qixz=h" donnera

èl

L = W — ywhi a log nép \-rr\

Si on élimine le produit y «va, ces deux équations donnent flnalement pour le travail disponible

(38.) L = w[i-^,lognép(^)].

[^Voyez Féquation (378), p. 47^]

Imaginons maintenant que le canal soit remplacé par un grand réservoir d'une profondeur très-petite, dans lequel G' kilogrammes d'eau arrivent par seconde; le travail disponible

serait alors W=: G' A", et le travail maximum qu'on pourrait utiliser serait L = G' ( A" — A, ).

L'élimination de G' entre ces deux expressions donne

Dans le cas où, par suite de certaines circonstances, il faudrait laisser non utilisée toute la hauteur, depuis le niveau CC du canal jusqu'au niveau du réservoir BB, c'est-à-dire oii il faudrait laisser tomber Teau qui vient du canal jusqu'au niveau BB sans remployer, le travail qui est disponible au niveau BB serait W= G'' A,, et Ton aurait, pour le travail que Ton peut utiliser quand Teau descend jusqu'au niveau AÂ, L=G"(Aa — A,), ou, en éliminant G",

Les trois dernières formules sont identiques aux trois équations que j'ai établies pour le travail disponible de la machine à vapeur.

Dans ces dernières figure la chaleur fournie mesurée en

travail ( ~ j ; au lieu de cette quantité , nous avons ici le travail W.

De même ici les distances respectives des niveaux au niveau de la mer remplacent les températures absolues qui entrent dans les trois équations citées. L'analyse que nous venons de signaler montre clairement les phénomènes qui se passent dans une machine à vapeur. La chaudière nous présente un cas analogue à celui qui est représenté par l'équation (383). Le combustible fournit la chaleur à la chaudière, de même que l'eau d'un canal fournit du travail au bassin dans leqi;el elle s'écoule. La chaudière constitue un grand réservoir dans lequel tombe la chaleur; mais c'est uti réservoir dans lequel nous pouvons, pour ainsi dire, régler le niveau BB en modifiant la pression de la vapeur; seulement les limites qui nous sont imposées sont assez restreintes.

Ces développements justifient, je l'espère, l'usage que je vais faire de l'équation (370) pour calculer le travail disponible des machines à vapeur.

Le cycle que parcourent nos machines à vapeur réelles est bien un cycle complet; car le corps intermédiaire, qui est un mélange de vapeur et de liquide , revient à son élat initial à la fin de chaque opération; mais ce cycle n'est pas un cycle parfait, parce que nous n'effectuons pas (même en faisant abstraction des résistances passives) le cycle qui donne le maximum du travail. Cela lient à la disposition des organes de la machine.

Cherchons quel est le cycle que nous pouvons réaliser dans les circonstances les plus favorables.

Prenons une machine à double effet, et faisons les hypothèses suivantes ;

1** Il n'y a pas d'espace nuisible;

2" La pression de la vapeur qui entre dans le cylindre est égale à la pression dans la chaudière ;

3** La contre-pression de la vapeur située derrière le piston est égale à la pression dans le condenseur si la machine est à condensation, et à la pression atmosphérique si la machine est sans condenseur;

4** Pendant la détente, la pression diminue depuis celle de la chaudière jusqu'à celle du condenseur ou de l'atmosphère : nous disons qu'une pareille détente est complète;

5** Enfin, la disposition des soupapes permet de tenir complètement ouvert le tuyau d'entrée de la vapeur tant que dure son introduction, et d'avoir une libre communication pendant toute la course du piston entre l'espace qui se trouve derrière lui et le condenseur, ou l'atmosphère.

Soient A [Jig. 5i ) la chaudière dans laquelle on a une pression p2 et une température /«; B le cylindre à vapeur; G le condenseur dans lequel la vapeur et l'eau se trouvent sous la pression/?,; enfin, D la pompe à air servant aussi de pompe d'alimentation; elle doit retirer du condenseur la vapeur condensée pour la refouler dans la chaudière. A côté du cylindre B,

j'ai représenté le diagramme correspondant à celle machine : il indique simplement le cycle des opérations.

Le piston est en haut de sa course; la vapeur arrive sur sa surface supérieure; Tordonnée Oo représente la pleine près-

Fig.5i.

sion ^2, qui reste constante pendant que le piston parcourt l'espace V,. A partir de là, la détente commence, et elle continue jusqu'à ce que la vapeur occupe le volume V, et que la pression ait diminué de p2 à /?i. Lorsque le piston remonte, cette vapeur est transportée sous la pression constante pi dans le condenseur ou dans l'atmosphère; dans le dernier cas, oii la machine est sans condensation, nous pouvons considérer Fatmosphère comme un condenseur dans lequel la pression est celle de Tatmosphère, et où la condensation de la vapeur a lieu à la température ^, = loo degrés.

Le travail que la vapeur a effectué dans cette opération, par course du piston, est représenté par la surface ombrée aoxix^a^ que Ton peut mesurer facilement. Supposons que M kilogrammes de vapeur et d'eau passent par course du piston de la chaudière au c^'lindre; que la quantité spécifique de la vapeur soit ^2; que M^2 soit le poids de la vapeur, et M(i — ar,) celui de Teau; le volume du mélangé, au commencement de

la détente, sera

(384) V.z=rM(^,«,-f-(7),

et le travail pendant la pleine pression

(385) L' = M/?, (^ji/jH-o").

La détente a lieu suivant la courbe adiabatique, et le travail de la détente L'^ est, d'après Téquation (247), p. 3*22,

(386) L'' = ~(^2— -ç, H-^îpj — ^,p,).

Comme le volume final Va pour expression

le travail de la contre-pression de la vapeur L** sera

ar, désignant, dans les deux dernières formuîes, la quantité

spécifique de la vapeur à la fin de la détente.

y On tire de là, sans difficulté, le rapport de la détente ~j et

le travail total L gagné par course du piston et mesuré en unités de chaleur; car on a

AL = A(L'-f-L"-L'").

En désignant par r, comme précédemment, la chaleur de vaporisation, et en rappelant la relation r = p -h Apu, nous aurons, après avoir remplacé L', V\ L"', parleurs valeurs

(389) AL = M[^,— - qi -h rtXt— nx^-h A(x(p2— pi)].

11 faut encore faire disparaître de cette équation la quantité a:,, qui n'est pas donnée directement, et cela se fait à l'aide de l'équation (243)> qui a été donnée à propos de la courbe adiabalique (p. 3i3), et qui devient ici

(390) "tT '""tT '*

Nous obtenons ainsi, pour le travail de la vapeur par course

48o TROISIÈME SECTION. — DBS YÀPEUBS.

du piston,

AL = Mr^(T.~T.)-h^,-î.

— T,(Ta— T,)-f-A(T(/;2— Pi) U

que nous pouvons regarder comme la formule fondamentale des machines à vapeur réelles.

Avant dé continuer cette étude, j'appellerai ratteniion du lecteur sur un résultat singulier. La parenthèse de l'équation (391) devient identique à l'expression (337), que j'ai établie (p. 406) en étudiant l'écoulement des mélanges de vapeur et de liquide, quand on intervertit les indices; on a donné l'indice i, dans cette dernière, aux quantités qui correspondent à la pression supérieure, et l'indice 2 à celles qui se rapportent à la pression inférieure. La comparaison de ces deux équations donne la relation

Par conséquent, lorsqu'un mélange de vapeur et de liquide, pesant M kilogrammes, sort directement dans l'atmosphère de la chaudière d'une machine sans condensation, la masse M gagne à l'état de force vive exactement le même travail que celui que Von peut gagner à l'aide de la machine dans les circonstances les plus favorables.

Cette proposition, pourrait nous donner le moyen de chercher la valeur des machines motrices (roues à réaction à vapeur, turbines à vapeur) dans lesquelles on utilise l'écoulement d'un mélange de vapeur et de liquide. Cette idée a été déjà poursuivie plusieurs fois. Je ne chercherai pas à tirer parti de cette proposition en ce moment, parce que cela m'éloigneralt du but de cet ouvrage.

On pourrait facilement remplacer la formule (3gi) par des formules approximatives plus simples en procédant comme on a fait (p. 410) pour la formule de l'écoulement; je laisse de côté cette question pour le moment.

DU GTGLB DE LÀ MACHINE À YAPBUR. 4^1

Celle formule donne le iravail que la machine fourniraii dans le cas le plus favorable par course du pislon, ou par se* conde, quand le poids M du mélange esl rapporlé à la seconde, s'il n'y avail pas de résislances passives et si la renlrée de Teau dans la chaudière, c'est-à-dire ralimenlalion, n'exigeait pas de travail.

Nous allons d'abord nous occuper de cette dernière queslion, et déterminer le iravail de l'alimentation que nous devrons retrancher de la valeur de L donnée par la formule (Sgi). Nous devons distinguer la nîachine ai^ec condensation de la machine sans condensation, et nous préoccuper du mode d'alimentation de la chaudière suivant qu'elle se fait par une pompe ou par l'injecteur.

PBEHIBR CAS. — TRAVAIL DE l' ALIMENTATION DANS LES MACHINES