Q„0, = AF

F étant le travail e.\terue, et comme «ti = ♦a, il vient ;

Avant d’aller plus loin , je présente une remarque à la fois intéressante comme question de fait, et importante pour le cas de notre démonstration.

Désignons par F.. Fi, — Fa, — Fa, le travail externe produit pendant nos quatre périodes. On a évidemment :

Et comme: <ii) = * 3 . il vient en retranchant l’équation (III) de l’équation (I) :

fr. dz, — fri dZi = Fi — F3.

Ce qui nous apprend que la dilTérence entre le travail interne d’abord produit , et puis partiellement dépensé dans la première et dans la troisième périodes est égale à la différence du travail externe produit pendant la seconde période et dépensé pendant la quatrième.

Pendant chacune de nos quatre périodes, le volume différentiel du corps et la pression totale interne et externe sont sans cesse dépendants l’un de l’autre et liés par de certaines lois. Au premier abord, non-seulement rien ne nous indique la forme de ces lois, mais rien môme ne nous prouve qu’elles ont entre elles un point quelconque de communauté, ni surtout qu’elles ne varient point d’un corps à l’autre.

Faisons pour simplifier :

S. = (R.-1-P,) S, = (R,-fP,)

Sa = (Ri-j-Pa) S3 = (R3-)-P3) et pour la plus grande généralité possible, admettons :

1" Période

2' Période

3' Période

4' Période

V. , ?i , =ï . «-3 désignant les fonctions qui a chaque instant lient s et z.

J’écris:

et non

?. Zi Vl *1

parce que la variation de la pression s,, Si ... . ne peut dépendre que de la grandeur relative des deux volumes successifs , et non de

la valeur absolue de chacun pris isolément. Cette remarque est ic i 1 (îs importante.

Pour plus de clarté, rôsumoii.s, sous forme d’une représentation rrapliiquc, ce qui précédé. »

[t'iijnre C). Dé.signons par la longueur o Z„ le volume dilférenticl i lilial Z„(lüut à fait inconnu d’ailleurs) du corps; et sur le prolon- ; ement de colle ligne portons o Zi Zi , o Zü = Zs , o Zj — Z,i ; en Z„ , Zi , Zj , Zi . élevons les ordonnées Z„ So , Zi Si , ï% Sj , Zj S 3 , qui représentent les pre.ssions totales S„, Si , Sj , &i . En joignant par des courlies convenables les e.xtrémilés des perpendiculaires, les abeisse^ et les ordonnées de ces ipiatre systèmes de courbes nous représentent les valeurs de en fonction de î données par les quatre fonction^ aibilraires -j„ , ç, , ç, , . 11 est évident que le travail total, répon-

dant à chacune de nos quatre périodes et que nous avons désigné [tar <i>„ , 4>i , t’a , 'l> 3 . sera représenté par les ejuatre (piadrilatères curvilignes ( Z„ S., Si Si ), { Zi Si S; Z 2 ). ( Zi Sj S- Zs ), ( Z.. S„ Sa Za ) et que la dilfércnce sera la surface ( S„ Si Si Sa ).

La pression interne du corps étant représentée par les ordonnées

Z„ = H„, Zi Ri = Ri il est clair que le travail interne sera

représenté par les quatre surfaces :

/ 11 » / Hi

( Z„ R„ R, Zi ) = / r.. , ( Zi Ui R-. Z-. ) -= / r, *1

./ K. J Rî

/ lia /'Ha

I Z-2 R> Ra Zi) — j l'i ilz-i , ( Za Ra Ri> Zu ) — I C’a dZi Ra Ro

et qu’entre celles-ci , nous avons la relation nécessaire :

( Z„ R„ R, Zi ) - ( Za Ra lU Z . ) = ( Z, Ri Ra Zj ) - ( Z„ R„ Ra Za ) et ( Z„ R„ Ri Zi ) — ( Zi Ra R > Z. = (Ri Zi Z> lia ) - ( R„ Z„ Za Ra ). Nos quatre intégrales ci-de.ssus sont devenues :

1" Période.

2' Période.

/‘•■s il

J Sa

3' Période.

J Sa

= Sa

4' Période.

Posons, en 4 >u , par exemple, — = y, d’où z ~ —

il en résulte :

et si après l’inlégration , nous remettons pour y sa valeur — > il vient :

= a Sa Z, ^ 1 — v’o ^ V„

v'o étant une nouvelle fonction convenable et « une constante;

Mais ce que nous disons de peut se dire des trois autres équations ;

Toutes les quatre se ramènent donc à la forme :

4>a — a So Zo (

It.

Période.