ÉQUATIONS GÉNÉRALES COMMUNES A TOUS LES CORPS POSSIBLES
Le volume apparent d’un corps , la pression externe qu’il exerce en tous sens et la température sont toujours liées de telle sorte, que si deux de ces éléments sont donnés, le troisième est déterminé aussi ; on a donc :
(=/'{v.p) et
p,t et V étant les pression, température et volume qui se correspondent.
Il est aisé de reconnaître qu’il en est absolument ainsi de la chaleur interne «, du volumeetde la pression. En effet, le travail interne A, et par suite la ehaleur .Aa qu’il représente , dépendent à chaque instant et exclusivement de la position réciproque des atome.s matériels : mais cette position elle-même dépend A la fois et exclusivement de la température , du volume et de la pression externe à laquelle le corps est soumis. Toutes les fois donc qu’un corps revient à son volume et à sa pression initiale, et n’importe par quel circuit il y revient, il reproduit de nouveau le travail interne initial, et par suite, il a de même sa température et sa chaleur interne initiales. Comme il cq est ainsi A chaque moment quelconque et arbitraire, il s’ensuit que quelle que soit la loi qui lie v et p, que quelle que .soit la voie par laquelle le corps passe de w.-p» A vi.pi, la quantité de chaleur interne qu’il perd ou gagne, dépend seulement de l’état Onal et de l’état initial. On a en un mot :
«I — Mo = f(Vi,pi } — f (Vo.Po)
et par conséquent
Cette première donnée est de la plus haute importance. Il est essentiel de bien se la rappeler.
du du
Posons pour abréger Xet Z; nous aurons :
rfu=Xdp + Z dv
Comme celle différentielle est complète, on a :
rfX(^ dv dp
Ce qui précède ne concerne absolument (pie la chaleur interne des corps et scs variations en fonction de {v,p) et non la chaleur externe qui peut être ajoutée ou soustraite suivant une loi quelconque pendant que le volume et la pression d’un corps changent ^ suivant une loi (luelconque aussi. 11 est visible que celle-ci est une certaine somme de la variation de la chaleur interne et de la chaleur consommée par le travail externe produit ou consommé, et comme la grandeur de ce travail dépend de la forme de la loi qui relie v et p, la quantité de chaleur ajoutée ou soustraite et ce travail lui-mème dépendront Tun^de l’autre.
On a en un mot :
dQ==du-\- Apdv = \dp-\-ïdv-\-kpdv ou, en posantZ-f Ap= Y
rfO = Xrfp-|-Ydi; (1)
Il est clair que cette équation ne peut s’intégrer que quand on connaît la fornje de la fonction qui relie v etp.
En différentiant Z -f- A p = Y par rapport à p on a :
dp dp
et comme :
(U d\ dp dv
U en résulte;
dp dv
(II
Qui constitue par son usage important la seconde des équations principales de la théorie dynamique.
Tous les développements qui précèdent reposent uniquement sur la première proposition de la théorie mécanique , sur l’équivalence de la chaleur et du travail. Nos équations ne supposent aucun retour du corps soumis à l’action de la chaleur vers son état initial, aucun cycle fermé. Elles sont entièrement indépendantes delà température absolue à laquelle se trouve soumis le corps.
11 va nous être facile de les modifier de manière à impliquer forcément l’intervention de la température elle-même à laquelle on opère.
Nous avons démontré que toutes les fois qu’en ajoutant et puis en retranchant de la chaleur à un corps quelconque, nous opérons de manière à obtenir un maximum de travail externe, il existe un rapport défini , non seulement entre le travail F obtenu et la quantité de chaleur (Q„ — Qi ) consommée, mais encore entre la quantité Qo de chaleur d’abord donnée et ce travail lui-môme. Nous avons démontré, en un mot, qu’on a les diverses relations, d’ailleurs toutes semblables :
Qi = 0«Y
AF = (Qo-Qi)=0o-
Mais le travail définitif F est le résultat des quatre périodes par lesquelles passe le corps .soumis à l’action de la chaleur : 1®. Dans la première, le corps reçoit la quantité de chaleur Q„, mais se détend de manière à rester à la même température L; le travail externe
fourni est / pdv; 2“. dans la deuxième période, le corps se détend
/’Pi
sans recevoir de chaleur; sa pression tombe de à pj et sa température de T„ à Ti; le travail rendu est I pdo; 3°. dans la troisième
période le corps est comprimé de pi à pj , mais avec soustraction de la quantité de chaleur Qi , de manière à rester à Ti ; le travail rendu
rpi
t — I pdv ; 4®. I
J Vi
est — / pdv ; 4®. enfin dans la quatrième période, le corps est ramené de àpo sans soustraction de chaleur; il revient à son volume
et à sa température To ; le travail rendu est-
'Pi
pdv. On a donc ; Po
/*Pi TP* /*P» /*P3
F= I pdv-\- I pdv — I pdv — I pdv J Po J Pi J Pi J P»
En représentant {fig. 7 ) la pression par des ordonnées, et le volume par des abeisses, les quatre intégrales précédentes répondent aux quatre surfaces Vo po pi vi , vi pi p-i us , vj pi pa 1 - 3 , vzpipo v» et le travail F n’est autre chose que la surface du quadrilatère curviligne p» Pi Pipi-
Si l’on suppose infiniment petites l’expansion sans addition de chaleur de la seconde période et la compression sans soustraction de chaleur de la quatrième période, il est clair que pour chaque môme abeisse de la seconde et de la quatrième période, c’est-à-dire pour chaque volume égal dans l’une et l’autre, la pression de la première ne dilfère que de dp de la pression de la seconde. Le travail externe produit sera infiniment petit, et aura pour expression:
/ pi . t'i rpo— dp> Vo — dv
pdv — / pdv
pi—dp,vi—dv J p„, Vo
L’abaissement et l’élévation de température produits pendant les seconde et quatrième périodes seront infiniment petits aussi ; et notre équation universelle :
deviendra:
AF = Qo
T désignant la température absolue et t la température centigrade.
Si, de plus, nous supposons infiniment petites les variations de volume et par suite de pression dans la première et la troisième période, il est clair qu’on aura ;
— dp, Vo — dv pdv
Po , l’o
/ pl,Vi
pdv
p, — dp, vi —
dv
et { vi — Vo ) = du, mais la quantité de chaleur fournie deviendra infiniment petite aussi ou d Q, et l’on aura :
Advdp = — — remplaçant d Q par sa valeur :
dQ = Xdp+Ydv
divisant de part et d’autre par dv dp , et remarquant que pour un accroissement positif dv , l’accroissement dp est nécessairement négatif-, il vient enfin
