XIV

A l’aide des données et des considérations précédentes, nous allons aisément construire des équations générales qui nous permettront de résoudre tous les problèmes concernant les vapeurs saturées. ,

Soit un poids M de liquide à 0®, soumis à la pression p»; portonsle de 0® à fo et évaporons un poids m. Il faudra fournir une quantité de chaleur externe :

(7 = M ((K fD + AA.)-f Ap„ (tr„ — w))-f m(ApoUo4-p.)

Ma. étant le travail interne exécuté dans le liquide de 0“ à lo et mr, la chaleur consommée par le travail interne exécuté pour l’évaporation de m.

Mais nous avons : K fo-f Aa,p

cdt\ en négligeant MAp(w’o—w

il vient donc :

to

cdt-\-mr=

to

cdf-|-m(Apit-f-p)

qui peut s’écrire sous la forme :

to

cdt + mSo

La chaleur interne du liquide est (M — m) Jcdt\ celle de la vapeur estwJo; d’où:

cdt)

cdt estla chaleur potentielle interne de l’unité de poids de vapeur à p» et , ou ?.. 11 en résulte :

ccZt + »np.

Si, maintenant le volume de la masse totale vient à changer, si par exemple M est renfermé dans un cylindre dont 1e piston recule ou avance, il se condensera de la vapeur, ou il s’évaporera une nouvelle quantité d’eau ; et, que la variation de volume se fasse avec ou sans addition ou soustraction de chaleur externe, la chaleur linale interne, sera ;

cdt + wii Pi

Si la variation de volume est infiniment petite , nous aurons donc

dU=Mc<it-|-d.»np (1)

Cette première équation convient à tous les cas possibles. Occupons-nous aussi de la chaleur externe qui peut être ajoutée ou retranchée à la mas.se M, pendant que le volume change. Cette chaleur a pour expression :

dQ=dU-l-Aptii;

dv étant la variation du volume. Mais pour une masse M contenant m de vapeur et (M — wi) de liquide, le volume total v est : i) = (M — m) m-|-»ne=.M tü-f-mu Nous avons aussi dv—d.mu et par suite :

d(}=dU-l- Apd.mu

Mettant à la place de d U sa valeur ci-dessus et remarquant que f=r —k.pu, il résulte, en faisant les réductions :

dQ = Mcdt -|- d.tnr — kmu

dt.

Hais notre expression générale :

Ku=

nous donne Au

dp

Substituant celte valeur dansl’équalion ci-dessus, elle devient enQn ; (/Q=M — (II)

Les équations (1) et (II) s’appliquent à tous les liquides et vapeurs. En partant de la relation :

Apu= Blog.

JL

Zeuner est arrivé, comme il suit, à une nouvelle équation qui ne s’applique plus qu’à l’eau, mais qui exprime le travail externe en fonction des phénomènes internes sous une forme très remarquable.

Soit en effet L la chaleur représentée par ce travail externe. Sa valeur élémentaire est :

ou :

dL = kpd {mu)

dL=Apudm-\- kmd {pu) — A ^ j

et puisque :

on a enfin :

dL=Blog.hyp.-^rfm— — rft (III)

Il va nous être facile do reconnaître l’utilité des deux équations tout-à-fait générales (I ) et ( II), ainsi que de la troisième qui se rapporte à l’eau seule.

Je vais examiner quatre problèmes qui se présentent à tous moments, soit dans la mécanique appliquée, soit dans l’étude scienli- Oque des vapeurs. Dans son ouvrage sur la théorie mécanique de la chaleur, Zeuner a traité ces problèmes, entre autres, sous une forme aussi neuve qu’élégante et simple, en ce qui concerne la vapeur d’eau seule. J’étendrai notre examen aux vapeurs d’éther sulfurique

et de suiflde carbonique ; et je ne ferai à la méthode et à l’exposition de Zeuner que les changements qui m'ont semblé indispensables pour me conformer à mon plan général.

g XV.

Problème I.

«Cn cylindremuni d’un piston contient Wo‘ de vapeuret (M —

•de liquide à Le piston recule lentement, la masse se détend sans •recevoir ni perdre de chaleur du dehors, la température s’abaisse •de to à ti ; la pression de po à pi. Quel travail fournit la détente et •comment se comporte la masse do liquide et de vapeur pendant •l’expansion ?•

Je me sers du mot lentement pour dire que le mouvement du piston en avant ou en arriére est tel que la tension a le temps de de s’égaliser dans toute la masse et que par suite l’efTort exercé sur le piston répond à cette tension. En réalité la vitesse du piston peut être relativement très grande sans que celte condition cesse d’élre remplie.

Puisqu’il ne s’ajoute ni ne se soustrait de chaleur du dehors, on a, dans l’équation II, d Q = 0 d’où :

mr

Mec/t+d (mr) — -y dt = 0

Équation qu’il est aisé de ramener à la forme :

M c (Il fmr\

■~T VT j

et qui donne, en intégrant entre fo et h ou T„ et Ti

En appliquant cette équation à la vapeur d’eau et en posant c = const., cn prenant la valeur moyenne de la capacité vulgaire entre To et Ti, on a :

Telle est l’équation remarquable donnée pour la première fois par M. Clausius, pour la détente de la vapeur d’eau, sans addition ni soustraction de ctialeur externe.

Supposons que toute la masse ait été primitivement en vapeur, et faisons m = M = 1‘; supposons que la détente soit telle que la température tombe de To = 272,85 + 200“ à Ti = 272,85 + 100“; et par suite la pression de 15“-,38 à 1"‘. A 200“ on ar = 464,3; à 100, r = 536,5; entre 200 et 100“, on a Ci = 1,026. On a donc :

+ 1,026 log.

Ce qui nous apprend que la masse de vapeur diminue pendant la détente, et que pour le cas particulier, il se condense 1 — 0,85165 = 0M4835. Ce sont MM. Clausius et Rankine qui les premiers , et

chacun de son côté, sont arrivés par l’analyse à la découverte de ce fait singulier. Ce résultat renverse de fond en comble tout ce qui avait été admis si longtemps en physique et ce qui avait servi de base à toutes les théories des machines à vapeur d’eau. Au point de vue expérimental, j’en ai mis l’existence hors de doute en 1853, et, chose assez curieuse, avant d’avoir eu connaissance des beaux tra-

vaux de MM. Rankine et Clausius (voyez le bulletin 133 de la Société

industrielle de Mulhouse, p. 137).

A l’époque où ces travaux ont été publiés, il eut été impossible d’appliquer l’équation de M. Clausius à d’autres vapeurs qu’à celle de l’eau. Aujourd’hui les recherches de M. Régnault ont rendu cette application aisée pour beaucoup de liquides et leur vapeur. Ma première pensée, comme analyste et comme observateur, a été, dès l’apparition du volume de .M. Régnault, de soumettre l’éther sulfurique au calcul et à l’expérience. Et ici encore le résultat a été, comme on va voir, tout aussi frappant que pour l’eau , mais en sens préci-

sément opposé.

L’équation ci-dessus, en y posant wio = M = l‘, et en mettant pour c sa valeur ;

devient ici :

"H = -^ (^ + y Jo.529 + 0.000592 1 ) ^

ou en réduisant et simpliQant :

w»i=— + 0.8463 log.vul.-Jî- + 0,000592

ri \ To lo /

Faisons ici l’inverse de ce que nous avons fait avec la vapeur d’eau . supposons que la température initiale de la masse 1‘ de vapeur d’éther, soit de 20® et comprimons cette vapeur jusqu’à ce que la température s’élève à 120°. A 20° on a ro= 92.0795; à 120°. r, = 72.2596.

Faisant toutes les opérations et réductions, il vient : m = 0S80066

C'est-à-dire que par la compression il se condense de la vapeur élhérêe.

Pour le cas particulier, la quantité condensée s’élève aux deux cinquièmes de la masse de vapeur initiale.

C’est encore un fait que j’ai vérifié expérimentalement de la manière la plus satisfaisante (Voyez Cosmos 10 avril 1803). En appliquant notre équation à la vapeur du sulfure de carbone, on trouve qu’elle se comporte comme celle de l’eau, c’est-à-dire qu’elle se condense partiellement par la détente : fait que j’ai aussi vérifié expérimentalement. Ainsi, tandis que les vapeurs d’eau et de sulfide carbonique se condensent partiellement par la détente, et se surchauffent par la compression, la vapeur d’éther au contraire se surchauffe par la détente et se condense partiellement.

La confirmation c.\périmentale de faits aussi remarquables, annoncée par Fanalyse, est encore une justification des plus frappantes des propositious I et 11, de l’existence et de la vraie position du zéro absolu, puisque l’équation de M. Clausius implique ces quatre choses et dérive d’elles.

Parmi les liquides pour lesquels M. Régnault a déterminé S et l'cdt, l’élher sulfurique est le seul dont la vapeur se surchauffe par

la détente et se condense en partie par la compression. Occuponsnous des vapeurs qui, comme celle de l’eau, se condensent partiellement par la détente. Revenons au cas général où la masse M, au lieu d’ôlre initialement toute entière en vapeur, est formée de nio de vapeur et de (M — mo) de liquide à lo et po- L’équation de M. Clausius ou :

JTlo -}- M

nous donne le moyen dedéterminer pourchaqueinstantdcla détente la ma.sse actuelle «u de vapeuren fonction de la température. Toutefois à l’aide de quelques considérations très simples , je vais donner à cette équation une forme qui nous permettra de suivre encore mieux le phénomène des yeux.

Soit qu’un liquide se trouve mêlé à l’état de poussière avec sa vapeur, soit qu’il s’y trouve en une masse séparée, mais dans un môme vase, il .«e met toujours et presque instantanément à la température de sa vapeur, quelque modification qu’elle éprouve. Supposons en effet que par la détente, la température de la vapeur vienne à baisser de f„ à ; la tension diminuant ainsi , le liquide, au lieu d’ètre soumis à la pression po, l’est alors à pi < p»; son point d’ébulition tombe de et il bout au sein même

de la masse, aux dépens de son excès de température {t„ — h ) : cet excès disparaît à l’instant. 11 résulte de là que quand une vapeur se détend, le liquide qui s’y trouve mêlé bout et produit à chaque instant une nouvelle quantité de vapeur absolument comme si, dans un vase séparé, on l’avait soumis à une pression décrois-sante.

Lorsque l’expansion s'est opérée de T„ à T , dans les conditions indiquées en tète de ce paragraphe, la masse finale ni, de vapeur est évidemment formée de la quantité nouvelle que produit la masse (M — 1 ») de liquide d’abord à T„ et de la masse primitive Wo diminuée de ce (jui s’est condensé par la détente.

Pour avoir la quantité de vapeur que donne une ma.sse M' de liquide à T„, lorsiiue, en diminuant graduellement la pression de p» à

Pi, on laisse la vapeur se produire el la lempéralure lomber par suite de To à Tl, il sulTit de faire mo=o dans notre équation générale, qui devient par là :

■ T, r dT

D’un autre côté, la masse finale d’un poids initial M" de vapeur pure qu’on laisse se détendre de To à Ti, est donnée par l’équation :

La quantité condensée est donc

M” — »ni'

osée est donc :

/, Tl r„ Tl n» at \

y ri-To rijTi'T/

Puisque nous supposons le liquide mélé à sa vapeur, l’augmentation ou la diminution du poids de la vapeur à la Cn de la détente aura pour expression :

Tl r dt

’( . Tl 1-0 Tl r dj\

Mais en reprenant nos désignations premières, nous avons ici :

— M' = M — «Uo et M" = nio

II résulte de là :

,1 Tl /• dt / , Tl ro\

Il est donc visible que pour un môme abaissement de pression de P» à Pi et de température de to à fi,Ia variation dépend uniquement des quantités primitives (M — uio) de liquide et Wo de vapeur en présence. Si nous posons m = o, il vient :

En prenant l’eau pour exemple et en opérant dans les limites To = 160 + 273 et Ti = 20 + 273, on trouve :

7710 = 0,517 M soit -J M

Ce qui signifie que, dans un mélange de parties égales d’eau et de vapeur, la masse primitive de vapeur reste invariable pendant la détente (ou la compression) sans addition ni soustraction de chaleur du dehors. On voit avec quelle admirable facilité la théorie mécanique débrouille un phénomène des plus compliqués , qui se présente à tout moment dans nos moteurs é vapeur.

Le travail externe que produit la détente de To à Tj , ou que coûte la compression d’une masse de vapeur t 7»„ et de liquide (M — »tio) est facile à trouver, ainsi que le volume initial et final de la masse M.

Puisque nous opérons sans addition ni soustraction de chaleur externe, le travail fourni au dehors se fait tout entier aux dépens de la chaleur interne üo. Pour avoir la variation de celle-ci, il suffit donc d’intégrer l’équation IV entre les limites T» et Ti , ce qui nous donne :

0 = M/ C -^-1-7711 Pi — 771opo •J To

En mettant à la place de itii , sa valeur fournie par l’équation:

on a ensuite la valeur numérique de U.

Je suppose, par exemple, qu’il s’agisse d’une masse de vapeur 777o = M= 1‘, qui se détend de 200“à 100®. .\ 200“ ma table donne Po = 417,15; à 100“, elle donne pi= 49,026. 11 vient ainsi :

cdt -{- (0,85805. 490,28 — 417,15)

Entre To = 473 et Ti = 373, on a:

J cdt— 103.1

n résulte de là, en définitive :

En multipliant par ï = 425‘> ou par l’équivalent mécanique, on a 46155 (lynames ou kilogrammètres pour le travail eiterne fourni par notre piston.

A 100“ centigrades, onaei = !—»654; à200“, on aeo = 0“‘* 125. Le volume total de notre masse passe donc de :

C’est-à-dire que la vapeur augmente de 1 à = 11,3 en

volume, tandis que sa pression baisse de 15"-,38 à 1“.

Zeuner donne pour la vapeur d'eau qui se détend dans les conditions précédentes une équation remarquable de simplicité et des plus aisées à résoudre, niais seulement approximative. Elle indique directement la chaleur consommée en travail externe pendant la détente, et par conséquent ce travail lui-même; c’est:

L=(1,0224M — (M — «ii)0,7882)(t. — t,) ou plus simplement encore :

L = 0.7882 ( 1 ,2973 .M -f rrii) ( f„ — t, )

Ce qui donne pour le travail F dû à la détente:

Nous allons recourir de .suite à cette équation approximative.

C’est ici le cas de citer un ensemble de faits qui confirment pleinement la solution du problème, à laquelle nous venons d’arriver et qui eût été absolument inabordable il y a peu d’années.

Dans le concours de chaudières à vapeur provoqué si utilement, en 1859, par la Société industi iclle de Mulhouse, et pendant le cours des expériences qui ont eu lieu à ce sujet et qui ont été conduites avec tant de zèle et de talent par le comité de mécanique, on a observé à plusieurs reprises un phénomène qui a paru des plus énigmatiques à beaucoup de personnes, et qui trouve pourtant ici son explication naturelle.

Les chaudières soumises au concours servaient alternativement à fournir de la vapeur à une machine à détente variable, à un cy- Undre sans enveloppe à vapeur, qui avait à donner un travail externe

presque constant. Or il est arrivé que, taudis qu’il existait des difTé* rences apparentes très notables entre les poids de vapeur produits par 1 kil. de houille avec ces diverses chaudières, tandis que les unes allaient à 8 kil. de vapeur pari kil. et les autres seulement à 6 kil. 50, la quantité de combustible nécessaire pour la marche de la machine a au contraire peu varié. On arrivait, en un mot, àcette conclusion paradoxale : c’est qu’un même travail externe peut, dans des conditions identiques, coûter desquantilés très variables de vapeur, et coûter au contraire la même quantité de combustible.

Ayant été appelé à donner mon opinion sur cette bizarrerie apparente, je pensai qu’elle devait dépendre uniquement des quantités variables d’eau qu’entraînait la vapeur des diverses chaudières essayées et qui, dans l’expérience, étaient dosées comme vapeur produite. Le calcul suivant justifie pleinement mon opinion.

Supposons qu’une chaudière que j’appellerai A, fournisse de lauapeur sèche et qu’une autre chaudière que j’appellerai B, fournisse de la vapeur chargée de 20 p. ®/o d’eau en poussière ; supposons que ces deux chaudières consomment <1 peu près la même quantité de combustible par unité de temps. Voyons quelle influence aura l’emploi alternatif de vapeur sèche et de vapeur mouillée sur la quantité de travail produit.

Nos deux machines marchent, par exemple, à 5“- dans les chaudières et avec une détente telle que la pression passe de 5"‘ à 1“*.

Pour plus de simplicité, admettons qu’on alimente et qu’on condense û 0».

Quel est le travail théorique donné par la chaudière A?

Le volume spécifique de la vapeur saturée à 5’‘- est :

log. nat. =0“ -336506

Le travail dû à la pleine pression pour une dépense de M“'- de vapeur sera:

F = M 51 663.0,36506 = 1 8869 ® M Le travail dû A la détente sera, d'après la formule approximative de Zcuner :

F' = M 335 (0,2973 + 1 ) ( 1 52,22 — 100) = 22695 “ M Le travail total devient ainsi :

F + F' = 41555“M Ce poids de vapeur M nous coûte:

ç = M ( 606,5 + 0,305. 1 52,22 ) = M 652“'- ,92 Avec la chaudière B nous devons produire le même travail. Soit M' la quantité d’eau et de vapeur mêlées dépensée pour cela. Nous avons ici mi = 0,8 M. Le travail dû à la pleine pression et à la détente est ;

Pour obtenir le même travail avec les deux chaudières, il faut que nous dépensions :

de vapeur chargée de 0,2 d’eau au lieu de M de vapeur sèche.

Quelle quantité de chaleur nous coûte la production de cette vapeur mouillée? Nous avons ;

puisque 1 ,0224 est la capacité calorifique vulgaire moyenne de l’eau entre 0° et 152',22. Mais M' = 1 ,2121 M ; il en résulte :

5’ = M 553,47. 1 ,2121 = 670,87 M Pour obtenir le même travail avec la vapeur mouillée qu’avec la vapeur sèche, nous ne dépenserons donc que :

de combustible de plus, quoique nous consommions en apparence ;

de vapeur de plus I Or des variations de 3 p. % dans le combustible sont, comme on sait, très difliciies à constater à coup sûr en industrie.

n est visible que si 1‘ de houille nous donne 6‘,5 de vapeur sèche avec A, le même poids nous donnera avec B :

c’esl-à-dire l‘,lC8 de plus de vapeur, en apparence.

Celle analyse nous explique bien des contradiclions apparentes que l’on a souvent signalées dans les résultats que donne la machine à vapeur, et qui résultent tout simplement de ce qu’on n’a pas tenu compte de l'eau entraînée par la vapeur, ou plutôt de ce qu’on l’a comptée comme vapeur réellement dépensée.

Je me hâte de dire que, datis les expériences faites au concours de Mulhouse, l’atlenlion du comité de mécanique s’csl portée sur celle cause d’erreur et que l’on a fait ce qu’il était possible de faire, soit pour l’évaluer, soit pour l’éviter. Mais, il faut bien le dire, la difficulté, en ces deux .sens, est très grande, à un point de vue pratique. Les tentatives faites, dans le dernier sens surtout, ont jeté un jour remarquable sur l'état où se trouve l’eau entraînée par la vapeur et sur sa prodigieuse divi.siou. Le lecteur trouvera à ce sujet les détails les plus intéressants dans le rapport do MM. Burnat et Dubied, lu dans la séance du 28 décembre 1 8,59 à la Société industrielle.

Nous venons de voir comment se comiioi tent les diverses vapeurs lorsqu’elles se détendent sans addition ni soustraction de chaleur par les parois du vase où .se fait l’opération. Nous allons étudier maintenant les conséquences d’une addition ou d’une soustraction de chaleur.

g XVI.

Problème IL

•Un cylindre, muni d’un piston, contient Wo de vapeur et M — rn» •de liquide A to et à po- La masse so détend lentement. Quelle quan-

• lilé do chaleur faut-il ajouter ou .soustraire du dehors pour que la •masse initiale de vapeur Wo reste constante, et quel travail externe •produit alors la vapeur par suite de celle addition ou de celle sous-

• traction ?•

Pour résoudre ce problème, prenons l’équation générale II ou :

'ffiT

dQ = Mc</t-l-rf [mr)

et posons dm = o puisque la condition donnée est m^ = const.

II en résulte ;

dQ = Mcdt + mdr — m y dt

En substituant à r et à c, les valeurs qui conviennent pour l’eau, l’éther et le sulûde carbonique , intégrant entre To et Ti, et réduisant, on a :

Éther : Q= m„^53,168.3 log. 0,0004257 (T„»—Ti*)j — M ( 0,329 ( /„— h ) -(- 0,00029588 ( — h ^) )

SulQde :t) = w. ^77,5811 log. ^ -|- 0.00024691 (To= - T,’)j

-M (0,235232 (to— «i) 0.000815 (t»’ — t,»))

Et pour l’eau en simplifiant :

Q=m800,74 log. hyp.^ — M ((t„—t, ) + 0,00002 (t»’ — «i*) h

-1-0,0000003 (to’ — ti’))

Faisons de suite une application numérique de ces équations; 8uppo.sons qu’on ait à l’origine «lo = M = 1^; c’est-à-dire qu’on opère sur les trois vapeurs sèches; posons pour les trois cas : to=100 et ti = 0‘’ et par suite To = 372,85, T, = 272,85.

En effectuant les opérations indiquées, nous avons, pour ; l’eau: Q = -f 150"'-,51

l’éther: Q=— 11, 77

le sulüdc carbonique : Q=-f 15, 82

Ce qui nous apprend que tandis qu’il faudra ajouter 150"',3 à la vapeur d’eau et 13"',82 à celle du sullide, il faudra en retrancher 1 1 ,77 à celle de l’éther, pour empêcher les deux premières de se

condenser partiellement et la troisième de se surchauffer pétulant la détente.

Il est visible que c’est précisément le contraire qui aurait lieu si, au lieu de laisser la vapeur à 100° se détendre jusqu’à 0®, nous la comprimions de 0" à 100° : il faudrait alors soustraire 150“'-, 5 et 15"', 81 pour les deux premières vapeurs , et ajouter 1 1“'',77 à celle de l’éther, pour maintenir la saturation.

L’évaluation du travail externe produit est très simple. Remarquons, en clTet, que la chaleur que coûte ce travail n’est autre chose que la somme de la chaleur ajoutée ou soustraite du dehors, et de la variation de la chaleur interne ; et comme la vapeur reste saturée pendant toute la durée de l’opération, la variation de la chaleur interne n’est autre chose que la différence des chaleurs internes de la vapeur saturée à T» et à Ti . On a ;

Pour l’eau : Jo— Ji = 576"'-,ll— 596“'-,78 =— 20"'-,66 L’éther: 86, 5 —124, 506=— 38, 01

Le sullide carbonique : 82, 78 — 90, 9 = — 17, 12

11 résulte de là :

Eau L=150"'-,51 +20"'-,66=17l”'-,17 Éther L = 28, 01- 11, 77=26, 24

Sullide L = 17, 12+ 15, 82 = .32, 94

Le Iravail externe dû à la détente est par suite :

Eau F = 425. 171,1 7 = 72747“

Éther F = 42.5.26,24= 11 152“

Suinde F = 425.32,9 4 = 24000“

Quant aux volumes de nos trois vapeurs avant et après la détente, ils ne sont autre chose que les valeurs de e. et répondent à et à h dans les tables 1, 11 et III.

Les deux problèmes que je viens d’examiner, me semblent bien propres à faire ressortir l'immense progrès que la théorie mécanique de la chaleur a réalisé dans la physique mécanique. A part même l’intérêt intrinsèque qu’ils présentent comme étude des phénomènes physiques et comme solution de questions naguères encore

inabordables, ils ont encore une poliée très grande au point de vue tout pratique de la mécanique appliquée dans nos moteurs à feu. J’entrerai à cet égard en temps et lieu dans les détails nécessaires ; ici cependant je dois déjà signaler, au moins à larges traits, j’origine de l’utilité si grande de leur solution.

Il existe deux systèmes de machines à vapeur d’eau saturée : ils ne diffèrent que par un détail que l’on croirait et que l’on a cru sans importance. Dans l’un de ces systèmes, le cylindre moteur est garanti simplement du refroidissement externe par une enveloppe isolante en bois (par exemple); dans l'autre, il est placé dans une enveloppe remplie sans cesse de vapeur à la tension de la chaudière, enveloppe recouverte elle-même à la périphérie par une couche isolante. L’emploi de cette chemise à vapeur est dû à Watt. Elle semble une complication de construction bien superflue, tellement superflue même, que beaucoup de constructeurs l’ont suppri- mée, comme nuisible. Eh ! bien, l’influence de cette chemise e.st telle en réalité, que pour une même dépense de vapeur le second système de machine peut donner parfois près de 20 p. ®/o de force disponible de plus que le premier. C’est ce qu’ont prouvé les expériences de M. Combes d’abord, et puis les miennes plus tard. (Voyez le hullelin 133 de la Société industrielle de Mulhouse.)

A quoi donc est due une telle supériorité? A une raison maintenant très claire, autrefois ab.solument inconnue, et introuvable avec les anciennes données de la physique.

Dans le premier système, la vapeur ne reçoit pas de chaleur additionnelle pendant l’expansion ; elle s’y comporte comme nous l’avons admis dans notre premier problème; dans le second système, au contraire , elle en reçoit; elle s’y comporte, du moins en partie, comme nous l’avons admis dans le second problème.

Traduisons cette différence en nombres. Supposons deux machines à vapeur absolument identiques, à cette différence près que dans la première la vapeur se détend sans addition de chaleur, tandis que dans la seconde, elle reçoit assez de chaleur pour rester saturée sans

traces d’eau condensée. Toutes«deux d’ailleurs marchent avec de la vapeur à6", 25 ou àTo = 160,81 4- 272,83; toutes deux se détendent de 433®,66 à 312“,85. Dans chacune t‘“ d’eau évaporée nous donne d’abord un volume e, = 0“ ’,2934 sous 6" , 23 et par conséquent un travail disponible de :

Mais voyons la différence du travail des deux espèces de détente.

Dans la première, la masse finale de vapeur est :

Mettant pour et n les valeurs 493 et 564,8 qui répondent à 433” ,9 et à 3I2”,85; posant pour c la valeur moyenne 1,025, nous trouvons pour la valeur très approximative de wi : m,=0‘,8l523

L’équation IV intégrée entre 533”,7 et 3 12”, 85 nous donne donc la valeur de ü. On a ainsi, en prenant toujours pour c la valeur moyenne 1 ,025 :

U=- 1,025.120,81 -f (0,8153.544,09 — 448,27)= 119”,16 Le travail fourni par la détente est ;

Le travail total disponible est donc :

Dans la seconde machine, il faudra fournir à la vapeur, pour prévenir toute condensation pendant la détente :

valeur que nous donne la formule en y mettant les valeurs de To, T„ to, t,.

La chaleur interne de la vapeur à 160”,85 est 61 1 ; à 40“ elle est 584. La perte de chaleur interne éprouvée par la détente est : 611— 584= 27"'-

11 y a donc :

qui ont donné du travail externe, et celui-ci a pour valeur :

Le travail total disponible est de

au lieu de 69591»que nous avait fourni 1‘ d’eau vaporisée à 6“ ,25 et détendue de 160,81 à 40°, sans addition de chaleur.

Nous verrons que dans l’application mécanique le problème est plus compliqué que je ne le présente ici. Mais le principe d’action de la chemise à vai)eur de Walt est manifeste.

C’est en étudiant cette action comme observateur que j’ai soupçonné le phénomène de condensation que présente la vapeur qui se détend sans addition do chaleur; phénomène dont j’ai ensuite mis l’existence hors de doute en montrant que la vapeur saturée se trouble en effet dès que la détente commence (page 137 du bulletin 133 indiqué plus haut).

Les deux problèmes suivants, très intéressants aussi, ont été résolus entièrement et pour la première fois par Zeuner. Je les laisse tels qu’il les a présentés dans son ouvrage, et en ne les appliquant qu’à la vapeur d’eau, comme exemple particulier.

g XVII.

Problème III.

• Dans un réservoir se trouvent de vapeur et (M — m) kil.

• d’eau, toutes deux à la température t. Quelle est la quantité de « chaleur qu’il faut amener du dehors pour porter la température

• à fl, lorstiu’on maintient le volume du réservoir constant?

• Quelles sont les quantités ünales d’eau et de vapeur à cette tem-

• pérature fi, et quelle est la quantité f» nécessaire pour réduire » toute l’eau en vapeur?»

D’après nos désignations ordinaires le volume initial de la masse est : n» «O + M w

et le volume final est : wi «i + M w

et comme nous voulons que ce volume reste invariable , nous trouvons, en égalant ces deux valeurs :

«Il Ui =mu

La quantité finale de vapeur est donc, pour une température finale donnée h :

«Il = — m. (nii)

L’accroissement de la chaleur interne nous est donné par l’intégrale de l’équation IV :

U = «iifi — mp-j-Mc (fl — f). (D)

Comme, en raison de la constance du volume, il ne sc produit aucun travail externe, cette expression nous donne immédiatement la quantité Q do chaleur à amener du dehors, et l’on aQ=U. Si, comme nous l’avons admis, la température finale fi est connue, et si par conséquent nous connaissons la quantité finale «ii de vapeur par l’équation («ii ), la substitution de cette valeur vni dans l’équation (U) nous donne aussi pour la quantité de chaleur à fournir :

— ^)-|-Mc(f, — f). (A)

Ce qui précède n’est applicable qu’au cas où la vapeur qui reste est saturée; la limite de l'emploi de nos formules répond donc à la vaporisation de la totalité de l’eau, c’est-à-dire a «ii = M. Si l’on désigne par h la température qui corrcsiiond à ce cas, par wj et par p, les valeurs correspondantes de « et de p, l’équation («id nous donne :

M2=yM; (?*î)

d’où , à l’aide de la méthode de calcul Indiquée page 1 34, on détermine la température fj. A l’aide de l’équation (U), on détermine alors aussi la quantité do chaleur externe nécessaire :

Qi=Mfj — «ip-|-Mc(f2 — f). ((}•)

Par une addition plus grande de chaleur , la vapeur se trouverait surchauffée, et l’expression précédente ne serait plus applicable.

Pour mieux préciser notre discussion, admettons que les «i‘ de vapeur initiale aient été produits à l’aide de la masse M‘ d’eau portée d’abord de C° à (ce qui a coûté M et calories) cl puis évaporée sous la pres.sion constante p répondant à la température t (ce

qui a coûté mr calories) ; il résultera de là que la quantité totale de chaleur nécessaire pour arriver à l’état initial était :

M et mr

ou: Mct-f + >>> Api/, (S)

puisque nous avons : r = p -|- A pu.

De celte masse nous avons ensuite tiré wi kil. de vapeur à la température t, par une nouvelle addition de chaleur faite à volume constant : c’est pour celle production de vapeur seulement que nous avons dépensé la quantité de chaleur donnée par l’équation (li). En ajoutant ensemble les valeurs données par les équations (ü) et ( S ), on a la quantité totale de chaleur Q nécessaire pour la production de m'i kil. de vapeur dans les conditions indiquées, on :

Q = M c/l -)- mi Pi m A pu.

ou, puisqu’on a nii i/i = m u :

Q = M et, -j- m. Pi H «ii Api «1.

Pi

Si, au contraire, nous avions produit la vapeur dans les conditions posées par la formule de M. Régnault; autrement dit, si nous avions d’abord porté de 0 à /i la masse d’eau M, et puis évaporé la quantité «Il sous une pression constante répondant à /i,la chaleur totale Qi serait, d’après l’équation ( S ) :

Qi = ,M c/l + OT| Pi mi A Pi «1.

Un regard jeté sur ces deux dernières équations nous montre qu’il faut des quantités externes de chaleur düTérentespour produire la même quantité de vapeur dans les deux cas; que cette quantité est un peu moindre avec la méthode que nous avons adoptée qu’avec celle à laquelle répondent les données de M. Régnault. Mais nous voyons aussi que la différence de ces quantités totales de chaleur résulte seulement de ce que le travail produit est moindre dans le premier cas que dans le second, car les termes (M c/i «ii pi ), qui représentent la quantité finale de chaleur contenue dans la masse, sont les mêmes dans les deux équations, et la différence ne dérive

que des termeswii Apii/i et — m,kpiu, , qui sont relalifsau travail.

Si nous voulons qu’à la fin de l’opération la masse entière soit réduite en vapeur saturée à la température , la quantité totale de chaleur nécessaire sera dans les conditions de notre problème, et puisque wi = M :

Q = m|c1j -f-fj + “ Apj «îj

ou puisque ( h + ck ) représente la quantité Jj de chaleur contenue dans l’unilé de poids de vapeur :

Q = M I Jî + ~Ap2t/j| (Q'.)

Au contraire, si la production de vapeur a lieu dans les conditions où s’applique la formule de M. Régnault, on a :

Qi — M I Ja A pî 1/2 I

Éclaircissons tout ce qui précède par un exemple numérique.

Soit M = l‘“ la quantité totale de vapeur et d’eau ; soit = 22 le

poids de la vapeur, et par suite M— m==0‘'',78 le poids de l’eau; soit <=100”, la température qui nous donne 1“ pour pression. Nous voulons que, par une addition de chaleur externe , la température soit portée à 120”, et, par suite, la pression à l“-,962.

D’après le tableau I, nous aurons :

Pi =480,42 A Pi «1 = 41,874.

L’équation ( m, )nous donne d’après cela, pour la quantité de vapeur finale :

Le poids final d’eau est donc :

M = wll = 0‘^5854.

La chaleur à lournir du dehors sera :

Q = ll4"'.2t,

puisque nous avons ; — = 547,3 et — = 300 «1 «

Si, au contraire, nous avions voulu convertir la masse totale d’eau en vapeur sous un volume constant, la température finale se déterminerait comme il suit.

D’après l’équation ( «j ) nous avons ici :

mu

et à cette valeur répondent, d’après la table I, la température (j= 152°,22 et la pression 5“'

D’après l’équation ( Qj }, il faudrait fournir à la masse initiale la quantité de chaleur :

Qj= 1.455,05 — 0,22.496,21 -f- 1,0225 (152,22 — 100) = 399”‘-, 48.

Une plus grande addition de chaleur élèverait, il est vrai, encore davantage la pression et la température, mais suivant une toute autre loi, puisqu’à partir de ce moment la vapeur serait surchaulfée.

Si, à la quantité de chaleur que nous venons de trouver, nous ajoutons celle qui est nécessaire pour échauffer d’abord 1^ d’eau de 0“ à 100°, et puis pour en vaporiser 0‘,22 sous la pre.ssion constante de 1“-, nous trouvons à l’aide de la table 1 la chaleur totale : S = 608,99 +-f. 44,082 = 017"'-,86.

' Si, au contraire, nous avions porté l’eau de 0° à (s = 152°,22, pour l’évaporer ensuite totalement sous la pression de 5“', la chaleur totale serait :

Si = 606,5 -f- 0,305.152,22 = 652,93.

Les formules ci-dessus s’a[)i>liquent nalurelleinent au cas inverse où il y a soustraction de chaleur ou refroidissement par le dehors; ce cas a une importance pratique toute particulière, car c’est son examen qui nous permettra de chercher ce qui se passe dans le condenseur d’une machine ii vapeur, en faisant celte .<eule restriction que le refroidissement soit fait par l’extérieur et n’ait pas lieu à l’aide de l’injection d’eau froide, comme il arrive ordinairement.

L’exemple que nous avons soumis au calcul peut aussi servir à l’étude de ce cas.

Si, dans un condenseur, il se trouve 0‘“, 4227 de vapeur et 0“',5773

d’ean à 120°, et si, à volume constant, on soustrait à cette masse ll4'*',81, en entourant, par exemple, d'eau froide le résenoir, la température tombera, d’après les calculs ci-dessus, de 120° à 100°, et la pression de l*'-968 à 1“- : la quantité finale de vapeur sera 0^,22 et la quantité d’çau OS 78.

Si nous n’avions eu d’abord que 1‘ de vapeur à 5”’, et si, à volume constant, nous avions soustrait SOfi***' 48, nous aurions obtenu le même état final que dans le cas précédent.

Les résultats de notre problème nous donnent le moyen d’en résoudre un autre assez important qui concerne ce qui se passe, en certains cas, dans les chaudières des machines à vapeur. Si nous supposons l’état du foyer , la production de la vapeur, et le travail de la machine a leur régime normal , nous connaissons la quantité de chaleur que la chaudière reçoit en une seconde par exemple. Si alors nous coupons brusquement la communication de la chaudière avec le cylindre, la production de la vapeur se fait, dès ce moment, à volume constant. Comme la production de chaleur dans le foyer, et par conséquent la chaleur fournie a la chaudière restent a très peu près invariables, nous pouvons calculer l’accroissement par seconde de la température, et par suite de la pression dans la chaudière, à l’aide de l’équation (A), a condition seulemeut que nous connai.ssions les quantités de vapeur et d’eau qui se trouvent dans la chaudière au moment où nous avons coupé la communication.

g XVIII.

Problème IV.

€ Dans un réservoir, ou condenseur, se trouvent de vapeur et

• (M — d’eau a la température t.

• On injecte d’eau à la température ».

» La température tombe a h .

• Quelle quantité d’eau et de vapeur se trouve dans le condenseur

• et quelle quantité d’eau a-t-il fallu injecter? (étant connues toutes > les valeurs autres que /> et nti ).«

(Fig. 8.) Concevons un réservoir A , un condenseur, contenant les quantités m et M — m de vapeur et d'eau à la température donnée (. Ce réservoir est lié au cylindre B par un tuyau C, muni d’un robinet qui permet d’établir ou d’interrompre à volonté la communication des deux capacités. Supposons d'abord le robinet fermé ; dans le cylindre B se trouve la quantité d’eau à la température t, soumise à la pression d’un piston chargé de par métré carré : dans les machines à vapeur la pression p, qui détermine l’injection n’est autre chose que la pression de l’air externe.

D’après nos désignations habituelles , le volume V de la masse contenue dans le condenseur est :

V = mu -j- Miü. ( V )

La chaleur interne de cette masse est :

l] = nif -f- Met.

Le volume de l’eau d’ipjection du cylindre B est :

Sa chaleur interne est :

Cl = pCr.

La chaleur interne totale de la ma.sse toute entière est donc :

U + Cl = C = nip Met -|- //Ct.

Maintenant ouvrons le robinet C Jusqu'à ce que toute la quantité M ait pénétré dans le condenseur. Rappelons une condition expresse, c’est que la température initiale t soit inférieure à t et que la tension initiale dans le condenseur ne dépasse que peu celle de la pression atmosphérique externe. Fermons le robinet dès que est injecté, et cherchons quel est l’état de la masse d’eau et de vapeur dans le condenseur.

Cette raa.sse est M + a*, et il s’y trouve mi à l’état de vapeur. En dé.signant par U la température et par «i et pi les valeurs de « et de P qui y corre.spondent, nous avons pour le volume de la masse :

et comme le volume est égal au volume initial du condenseur ou V. on a eu égalant avec l’équation ( V ) :

ui-\- !iw — mu. (F)

C’est une première équation fondamentale.

La chaleur interne de la masse entière est :

U ’ = w!i fl -f- (M -f- cfi .

Cette chaleur est nécessairement plus grande, comme on va voir, que celle qui répondait à l’état initial et que nous donnait pour U' l’équation ( ü Ui ).

En effet, pendant toute l’opération, la masse a recueilli du travail externe, car le piston du cylindre B est descendu sous la pression constante po. Comme le volume initial de l’eau d’injection était mu et que c’est évidemment là le volume engendré par la course du piston, le travail, exécuté sous la pression po et emmagasiné par la masse, est : poF^v ; la quantité de chaleur qui y répond est ;

g == Apomu.

C’est donc là l’accroissement de la chaleur interne finale de la masse. En utilisant les équations ci-dessus, nous arrivons pour notre problème à une seconde équation fondamentale :

m? -{- Met -|- Apo^m = nii pg -|- (M f) cti équation qui, avec la première (F), nous permet de déterminer les deux inconnues f et «u , et par suite de ré.soudre complètement le problème. La dernière équation en effet peut s’écrire :

«Il fl f* (c (ti — t) — Apou j = mf -f Mc (t — ti ).

L’équation nous donne d’ailleurs :

mu — vw

im = 1

Et si nous introduisons cette valeur de »ii dans la dernière équation, nous trouvons après quelques réductions :

C(tl--)-U'(Apo-j-^)

A l’aide de celte valeur f, l’équation ( F ) nous donne la quantité finale de vapeur wn contenue dans le condenseur. Quant à la quantité d’eau, elle a pour valeur : M -|-p — mi . lin exemple particulier va

faire comprendre mieux encore l’usage des expressions précédentes. Supposons que dans le condenseur d’une machine à vapeur il se trouve M‘ d’eau et de vapeur et «i=0,9M de vapeur. La tension de cette vapeur est deÿ'’ < sa température est , par suite , t = 1 1 1®,74. Le calcul nous donne d’abord :

«= 1-M224 et — =433~'-,9,

SoitT=12“, la température de l’eau d’injection soumise à la pression atmosphérique />„=1033'i‘; soit ti=35® la température dans le condenseur après l’injection de l’eau. On a par suite, wi = 25,541,

fl

et pour la chaleur latente interne : pi = 547,44. 11 suit de là : —

= 21 ,43. Remarquons encore que nous pouvons admettre, pour la capacité caloriflque de l’eau, c = 1 ,0223, pour le volume de l’eau :

W=0"’,001, cl enfin pourA, — ^ ; il suit de là :

--^)== ‘>6.69 M; Mc(t— 1,) = 78,46 M

c(f,—r)= 23,52 te^Apo + -^ j=0,05;

d’où: /j = 21,l M

11 faut donc, dans le cas présent, injecter 21 fois plus d’eau qu’il ne se trouve d’abord de vapeur et d’eau dans le condenseur. L’équation ci-dessus nous donne en.suite pour la quantité de vapeur qui reste dans le condenseur :

et pour la quantité d’eau : M = 22.062 M.

Si nous avions admis que toute la masse .M renfermée d’abord dans le condenseur ait été de la vapeur, nous aurions trouvé de la mémo manière pour la quantité d’eau injectée: p.=24,07 M

pour la quantité finale de vapeur :

mi =0,043 M

et enfin pour la quantité d’eau finale : 24,028 il.

Dans l'application de notre équation à la détermination de la quantité d'eau d'injection dans les machines à vapeur à condensation, nous pouvons toujours négliger le terme :

parce qu'il est très petit. On arrive ainsi, pour la quantité d’eau injectée, à l’expression plus simple :

Le numérateur de cette fraction ne représente d’ailleurs rien autre chose que la quantité de chaleur qu’il faudrait soustraire à la masse M pour faire tomber la température de t à (i, sans changement de volume : c’est ce que nous apprennent l’étude du problème III et l’équation qui y est relative.

A peine est-il nécessaire de faire remarquer que, dans les calculs précédents, pour la détermination de la quantité d’eau d’injection dans les machines à conden.«alion, j’ai suivi une voie essentiellement différente de celle qu’on a suivie jusqu’ici. Sans entrer dans une comparaisonapprofondio, je rappellerai simplement queles anciennes formules reposentsurdessuppositions qui sont entièrement inacceptables, d’après les principes fondamentaux de la théorie mécanique de la chaleur. (Traduit de Zcuncr.)

Je passe i deux autres problèmes qui me semblent de nature à intéreeser particulièrement le lecteur et qui servirent de Iranciticn naturelle à l’étude de la vapeur surcbaulTée.

g XIX.

Problèr)\c V.

■D’une chaudière à vapeur tenue à la pression et à la température •constantes po et fo. et par un robinet convcnablepeat placé, ca •lais.se échapper une masse de vapeur cts mêlée à ,-i.e masse •(M — nie) de liquide, qu’on reçoit dans un réservoir cù le inélanjo

•est tenu à pression pi et à température ti constantes aussi. On de- •mande quelle est la proportion de liquide et de vapeur après cette •détente brusque, si l’on ne soustrait ou n’ajoute pas de cbsleur du •dehors.»

D’après le seul énoncé de ce problème, on voit qu’il concsrco un des cas les plus fréquents de la physique et de la ttpi li-

quées. Je crois donc devoir l’enaminer avec scie e‘ dans scs détails.

Il va nous être facile tout d’abord de lui donner uns fcira qui le fasse en quelque sorte parler aux yeuu ot qui en rendra la, résclutîca beaucoup plus facile.

(Fiff. 1 1 .) Au lieu de laisser notre iPilango ii lcr ber irinédiatcment de la pression po à la pression pt, fais, ens 1: passer . sans changement de pression dans un cylindre vertical (que j'appellerai A) à parois imperméclks au calcrique, où se meuve sans frottemecl un piston chargé de mardère à faire prédsér.ert équilibre t p». Lase> lion de ce cylindre étacts, le piston va s’élever « une certaine hauteur k telle qu’en aura 7i; = (M — mç) Wc -t-neCo et if» étant tsujourc les volumes d:. runité de perd? de vapeur et de liquide d k et à Po. Le travail exéculi par h vapeur sera :

PoS.'t =Po ( ( M — îîl c ) U’o 4- W O Ce )

Sans rien changer à la charge du pistou, moîtens ?. l’aide d’un robinet le bas du cylindre en ccmnunisalicn avec ud veco vide dont les parois, psrjr.tfab/es au calcrique, scient tenues t zéro cl dont le vcluœc sci. M i¥ (V/ étanî toujours le vclums de runité do poids de liquide à C ). Le piston va descendra lentem.e.et ; la vapeur se condecoera toute entière, et pour cpé.'tr celle ccr.derir.a'.icn, il faudra scuslraire par les pards du condenseur une quantité de chaleur qui aura évidenrment pour va’ sur :

Gc = Ua-f-Apc ((M— ..nd üo étar. ; i.a chaleur interao du iU ’.'nrf e.

Freoidoas uutrcr.'cnh Au lieu de mettra cy’Irdrc ulc'n de vapeur et ds l'oui-êo .a rapport av-.c L ccndooscc’^, mcîtanr, io i l’aide d’un roLiuet (îs jcactiùo en comniùnicatiun avec un second cylindre

vertical (que j'appellerai B) dontles parois soient aussi i7npermài6/es au calorique, et dans lequel se meuve sans frottement un piston chargé de manière à ce qu’on ait ;

s' étant la section et P la charge. O est évident que dans cette nouvelle disposition notre mélange M va passer brusquement de la pression constante fo à la pression constante aussi pi , absolument comme si nous le laissions échapper immédiatement de la chaudière dans un vase tenu à pt. Le piston de A de.«cendra, celui de B montera lentement, si nous n’ouvrons qu’en partie le robinet de jonction, et lorsque tout aura passé en B , le piston se sera élevé à une certaine hauteur h' telle qu’on aura :

h' s' = ( M — «Il ) li’i -f- «i|Ci

Le travail externe exécuté par la vapeur en B sera donc :

Pi A' s’ = Pi { ( M — «Il ) u'i -f «îiCi )

Si maintenant nous mettons à son tour le bas du cylindre B en communication avec un vase vide de volume MW, dont les parois soient tenues à zéro, le piston B descendra lentement; et pour tout condenser à 0°, il faudra soustraire une quantité de chaleur qui aura pour expression :

Qi = Ui Api (( M — «Il ) u'i -}- «JiCi )

Ui étant la chaleur interne de la masse M à fi et à h. Comme nous n’avons recueilli aucun travail externe, nous avons évidemment ; 0» = Qi. ou :

-|- A pa ( ( M — «îo) tfo-l-moCo ) = Ui Api (( M — ) u'i -f «îi Cl)

Mais les valeurs de U„ et de üi sont connues , puisque celles de

Po, pi, tu et ti, sont données ; elles ont pour expression ;

cdt «i„ Po

cdt jni Pi

Il vient donc en définitive :

cdt + mopo + Apo((M — Wo) ifo + rnoCo)

= M J cdi + ni, P, +Api((M— 7ni)tt'i+ni,e, )

Celle égaillé se simplifie aisémcnl, en remarquanl que :

Apo ((M — wio)«'o + »noeo) = A (Mpoifo + WoPoMo) Api ( ( M — Wi ) M'i + mi Cl ) = A ( M pi wi + mi p, tii )

J*^'cdt^=U p'cdt

Il vienl, en elTet, ainsi :

M / cdl + moPo + MApoU'o +n»o Apo«o=wii Pi -(-MApi u'i

J to

+ nii A Pi «1

Mais (po + Apo«o) = ro el (a +Api «i ) — n ; on a donc :

( M /* cdl + Wo r„ + M A (po tCo — pi ici ) ) : n = wi

ou, encore plus simplemenl, en remarquanl que AM (p# tCo — pi wi ) est toujours très petit par rapport aux termes précédents :

cdt trio r« ) : n = «Il

Notre problème est ainsi complètement résolu.

Donnons-nous pour condition que le mélange M en passant de p, à Pi , doive se réduire totalement en vapeur ; on a par suite «h = M et il vient :

( a C cdt-}-nijro^:ri=M

( M / cdt nij To I : n :

mo = M\ ri — / cdt^ ;

V J to J

Telle est donc la quantité de liquide que doit entraîner une vapeur quelconque qui s’échappe d’une chaudière à pression constante p.

et qui tombe subitement à une pression constante pi , pour que la totalité du mélange se réduise en vapeur saturée à fi et à pi.

Prenons pour premier exemple l’eau et sa vapeur. Supposons que la pression constante dans la chaudière soit de a"' et que le mélange M se précipite de la chaudière dans l’atmosphère ou tombe de 5“- à !”•. IÎOU5 avons ici ;

/„= 152,2, = 100”, r„ = 499,13, r,=î= 536,5 et la valeur moyenne de c est 1,0224 ; nous pouvons prendre aussi u'o = 1^1 = 0,00 105; il résulte de là :

«1. = .M ( 536,5 - 1 .0224 ( 1 52,2 — 100) ; 4S9.3 = 0,9574 M oa en faisant M = 1‘

mo = 0‘,9674

Ainsi, il faut que la vapeur à 5*" entraîne 3,26 p. % d’eau pour se réduire en vapeur sèche, mais saturée, à l'“, lorsqu’elle se précipite d’une chaudière à 5"’ en plein air. Il est clair que si elle en contient moins, elle se surchauffe : je reviendrai bientôt sur ce fait remarqua’ole.

Prenons pour exemple l’éther sulfurique; supposons que sa vapeur, tenue à la pression constante 10*'-, 16, se précipite dans un espace où elle tombe à 1“',19. Nous avons ici :

et :

cdt = { 0,529 ( 120— 40 ) -t- ‘M 0,000592 { 1 20* - 40* )) = 51 .4

Nous pouvons prendre aussi u,'o= u-i =0,00 1 65 ( Exp. de M. Pierre).

D’où il résulte ;

wjo=M ^59,48 —

Ce qui nous apprend qu’il faut que la vapeur d’élher entraîne prestjue son poids de liquide pour ne pas se surchauffer en tombant de 10"-,10 à 1“-,16.

ê ïx.

Problème VI.

• Les données premières étant les mêmes que dans le proWème t précédent, on demande quelle est la vitesse d’écoulement et quel • est l’état physique du mélange M à l’orillce d’écoulement? »

Cette belle question a été résolue tout récemment et de la manière la plus originale par Zeuner. Les détails que j’ai donnés dans le problème précédent me permettent d’aborder immédiatement celuici, et de lui donner une forme claire et concise.

Nous avons vu que le mélange M qui s’écoule sous la pression constante po d’un cylindre A dans un cylindre B où la pression est devenue Pi , se trouve rigoureusement dans les mômes conditions que s’il s’écoulait d’une chaudière à po dans un réservoir à pi. Le piston de A en descendant donne un travail poV , , Vo étant le volume engendré; celui de B en montant reçoit un travail pivi , vi étant aussi le volume engendré; mais au moment où le mélange passe de k en B, son volume s’élève de v. ù vi. Le travail total représenté par les molécules au moment où elles ont atteint leur maiimiim de vitesse est donc nécessairement :

^po l’o — Pi ui -|- ^ pdv^ M

Si nous désignons par Z cette vitesse maxima, ce travail total a

aussi pour expression et l’on a l’égalité :

Z’ = 2ÿ( p„Uo — piVi-\-

rvi \

- I pdv )

J Vo /

En mettant cette équation sous la forme équivalente : Z* = 2y J'ipdv — d{pv))

et, en diiïérentiant, on a :

~^=-vdp

Mais en désignant par m la valeur que prend à chaque instant la

masse de vapeur, on a, en consentant d’ailleurs tontes nos désignations habituelles,

v = tne m) w = mu-\-)iw

ou simplement :

O = tü -(- mu

en faisant M = Il vient ainsi :

d. Z’ ld/p\

ï= — (tt'-j-wu) dp= — dt—wdp

en remarquant que p est une fonction immédiate de t. Dès le début de ce chapitre, nous sommes arrivés, pour toute vapeur saturée, à la relation :

En substituant cette valeur dans l'équation ci-dessus, elle devient:

, , l* mr

Ad. ^ = — |-dt — Atfdj)

Mais w en général varie si peu entre les limites t„ et où nous pouvons faire nos expériences, qu’on a sensiblement w = W ou u;=const. 11 en résulte :

wir

ou en se rappelant que -^ = 425" et 2ÿ = 19",6l76

L’une des équations principales de la théorie mécanique, appliquée aux vapeurs saturées, nous donne :

mr

■Y~dt = cdt -\-d. mr — d Q

dQ étant la quantité de chaleur fournie A la masse M pendant l’expansion. Si nous prenons le cas le plus simple, celui où l’on n’ajoute

ni ne soustrait de chaleur à cette masse pendant l’écoulement de A en B, il en résulte dQ=0, et par conséquent :

/ <! Mi

mr , I

to *J to

cdt-{- rtioro — «Il n

En substituant cette valeur dans l’équation de la vitesse à l'oriflce, elle devient :

Z’ = 84748^W(j5o — ) + J cdt-\-maro — w»in ^

L’équation :

peut se mettre sous la forme :

mr

dQ = cdt-j-d. (mr) ^ dt

qui, pour dQ = 0, nous donne :

wii n tHo fo

“T.- tT

dt

c d’où «Il = — T ♦!

moro , {* cdt\

“tT'^ I T 1

Tl / moro

Ce qui donne enfin pour Z’ :

/ ti Ml

edt-h j •

to V to

cdt

~+Vl(po-pi)

Pour le cas où l’on a primitivement nio = M, c’est-à-dire où la vapeur est sèche, -mais saturée, on a encore plus simplement :

/ k /*ti \

«it-T, I j

to J to J

puisque W (p» — pi ) est toujours une fraction négligeable.

Telle est l'expression remarquable à laquelle conduit la théorie mécanique de la chaleur, pour la vitesse d’écoulement d’une vapeur saturée et sèche qui passe d’une pre.ssion constante fo à une autre

constante aussi pi. En appliquant cette équation à la vapeur d'eau, et en admettant pj = t*", Zeuner a trouvé les résultats suivants pour la vitesse de la vapeur saturée qui s’échappe d’une chaudière à po.

Po

Po

Mais l’analyse mathématique permet de pénétrer dans des détails encore plus intimes du phénomène physique.

L’équation ;

mr

d(i = cdt-\-d.mr —

en y posant dQ = 0, en intégrant et en faisant w, = M = 1‘ nous a donné :

En adoptant par c la formule donnée par M. Régnault, et en prenant comme exemple po = 12“‘ et par suite fo = 188,4, on trouve :

/ 188,4 .-^lOO

c — = u,53l5et J c

A ces températures 188°,4 et 100®, on a r„ = 472,9 et r, = 536,5. Q résulte de là, tout calcul fait ;

«Il = 0,864

Que signiüe ce nombre ? 11 nous apprend que quand la vapeur d’abord saturée, mais sèche, a atteint sa vitesse maxima en tombant de 12“- à 1“-, il s’y est condensé 1‘ — 0,862 = 0M36 d’eau. Lorsqu’ensuite celle vapeur a perdu sa vitesse en chocs et en frottement dans le réservoir à pi = !•'■ = const., non seulement cette

quantité 0‘,136 s’évapore , mais la vapeur se surchauffe considérablement et atteint, comme nous le verrons dans le chapitre suivant, la température de 155®. Et que l’on ne croie point qu’il s’agisse ici de pures spéculations théoriques. L’expérience confirme en effet, admirablement , les résultats de l’analyse. C’est à l’orifice même que la vitesse d’écoulement est la plus grande possible; c’est donc là que la vapeur renferme le poids d’eau 0M36: aussi quand on observe un jet de vapeur sèche et saturée qui, sens une pression constante, s’élance dans l’atmosphère eu tombe de p» à 1 “-, on aperçoit parfaitement un cône trouble dont la pointe est dirigée en avant et qui, à sa base, a le diamètre de l’orifice. Au-delà du cône, la vapeur est diaphane comme l’air.