PRESSION
TEMPÉnATURE To
SURCHAUFFE 8i
Nous verrons bientôt quelle est l’importance de toutes ces données expérimentales dans la théorie de la vapeur d’eau. 11 serait vivement à désirer que ce genre d’expériences fût étendu à d’autres vapeurs.
Proposition II.
Lorsqu'une vapeur quelconque, saturée, mais sèche, se précipite d'un réservoir où ellccst tenueà une pression constantepa dansvn autre où elle est tenue aussi à une pression co7istante pi <po, sans recevoir ni perdre de chaleur du dehors , le produit de la pression initiale par le volume de l’unité de poids de vapeur à cette pressiosi.
est égal au produit de la pression finale par le volume qu'occupe l’unité de poids de la vapeur sous celte pression et à la température que prend spontanément cette vapeur par suite de son passage brusque de la pression po à l’autre pi. En d’autres termes, et en désignant par Co le volume spécifique de la vapeur à po et à ta, et par El le volume qu’elle prend à la pression pi et à la température inconnue <>i , on a la relation :
Pi El — - po Co
d’où :
pi=Po ^ et El = — c„
Kl Pi
Je pense devoir in extenso donner les deux démonstrations auxquelles je suis arrivé pour «ette proposition si importante et d’un caractère à la fois si simple et si étrange.
â VI.
Première démonstration.
Reprenons notre appareil (fig. 9) , mais au lieu de supposer les pistons reliés et rendus solidaires par la roue intermédiaire, rendons les libres (flg. 1 1), et chargeons les tous deux de poids égaux n. Le robinet r étant fermé , supposons que A renferme un poids M = 1‘
d’une vapeur quelconque , .saturée mais sèche, à la température to
et à la pression p„, telle qu’on ait po = -j . A l’aide du robinet r' ,
oü\CTt partiellement, mettons le bas du cylindre en communication avec un réservoir vide dont les parois , perméables au calorique soient tenues à 0® et dont le volume W soit précisément celui de la masse M = 1‘ du liquide qui a engendré la vapeur et qui est pris à 0". Le piston a va descendre lentement jusqu’au bas de sa course, la vapeur va se précipiter dans le condenseur G , où elle se réduira en liquide à 0® et qui ünira par être rempli totalement. Pour opérer ainsi cette condensation, il est clair que nous aurons à soustraire par les parois de C ; 1®. toute la chaleur interne MUo de la vapeur à t„; 2®. toute la chaleur que produira le travail du piston et qui est
égale à MAp»«o. étant le volume spéciûque de la vapeur saturée. Nous recueillerons, en un mot, une quantité de chaleur:
0„ = .M ( U„ + Apo Co) = .M ( U„ + Po e„)
Au lieu de condenser ainsi notre vapeur laissons r' fermé et ouvrons partiellement r. Le piston a va encore descendre lentement en maintenant la vapeur à p„ ; cette vapeur pas.sant en B va se détendre
brusquement de la pression p« à la pression p, = , qui restera
constante aussi , et le piston b montera lentement en produisant un travail dont la valeur finale sera Mpi X ; X étant le volume de la vapeur brusquement détendue de p.. à pi et surchauffée par suite à fil. A l’aide du robinet r", mettons le i>as de B en communication avec un condenseur G’ rigoureusement dans les mômes conditions que C. La vapeur va s’y précipiter comme précédemment , s’y condensera à 0° et son liquide remplira complètement G'. Pour opérer cette condensation, nous aurons à soustraire : 1“. toute la chaleur interne ML'i de la vapeur ; 2°. toute la chaleur que produira le travail du piston et dont la valeur Duale sera MApiX. Gomme nous n’avons recueilli aucun travail externe, il est clair que nous aurons :
M { lo -f- Apo Co ) = M ( L’i Api X )
et par suite :
Uo — Ui = A (pi X — p„ Co )
Rendons de nouveau nos pistons solidaires (flg. 9) et A étant plein de vapeur à et à p», ouvrons partiellement r. La vapeur va encore se précipiter de A en B; le piston o descendra lentement; le pistou b montera précisément autant. Lorsqu’il sera arrivé au haut de sa course, il aura engendré le volume connu :
^ME, -eo|- m) ou E, = -|
Supposons variable la pression p que la vapeur prend à chaque instant eu B pendant l’ascension du piston : au commencement de
l’opération, cette pression sera nécessairement pi = — po, puisque
les pistons se font réciproquement équilibre et que po n’a pu varier que de dp-, k la fin elle sera p,. Le travail exécuté par le piston b est donc :
/ p. fp.,h = o
;j(fE = M I P Srf/i = M/), SH = M/), E Pi J pi,/i = Il
en désignant par;j, une certaine pression inconnue et moyenne.
Lorsque le piston b était libre, il a rendu un travail piX, mais la chaleur interne finale est devenue Müi : maintenant celte chaleur linale est égale à MUo; le travail p, Ei que le piston b rend au piston
O diffère donc de celui qu’il nous avait donné, autant que MUi diffère de MUo, c’est-à-dire qu’on a :
(üo — Ui) = (pi X— pog„)=:(p, X— P, E) d’où il résulte :
PoCo = p, E,
et comme Ei = — e„, on a p, = pi. C’est-à-dire que la pression
moyenne en B, quand les pistons sont solidaires, est la même que la pression constante pi que nous avons donnée quand ils étaient libres. NousdLsons qu’au commencement, elle était aussi pi en B; les pistous étant solidaires: si la prcssionpest variable, il faut donc qu’elleoscille de manière àètre successivement plus petite et plus grande que pt- Il est facile de reconnaître que la pression ne peut osciller ainsi, ni varier d’une manière quelconque pendant la marche des pistons.
Désignons par U ce qu’est à chaque instant la chaleur interne de l’unité de poids de vapeurenA et par ?n le poids de cette vapeur; par U' et m' ce que sont, à chaque instant correspondant, ces éléments en B; nous avons :
m-)-m' = M=1* (1) mU-|-m'U' = MU® (2)
Au début on a m=M et m ==o; à la lin on a m=o et m =M.
Si U' varie, il faut, pour que l’égalité (2) subsiste, que U varie aussi , mais en sens contraire ; mais U' ne peut croître ou diminuer en B qu’à condition que p croisse ou diminue, et l’on a l’égalité: e/U'=SAp’dA
et de mémo U ne peut croître ou diminuer en A qu’à condition que p croisse ou diminue aussi, et l’on a :
</U = SA pdh
Or, lorsque JJ s’accroît en B, p' s’accroît aussi en A, et l’on a tou-
jours p' =p — ; U varie donc dans le môme sens que U' au lieu
de varier en sens contraire comme l’exige l’égalité (2). Donc ü= Ij’ =U o et par conséquent, d’un bout à l’autre de la course du piston, nous avons :
Pj Pi — Po
Et par suite aussi :
Po c„=j)i El
La constance de U en A et en B ressort, du reste, plus clairement, s’il se peut, de cette simple considération, que la chaleur interne de la vapeur en B est en définitive celle qui appartient à la vapeur en A, augmentée ou diminuée de l’excès de travail du piston a sur celui du piston h ; et comme cet excès est toujours nul, la chaleur interne en A ne peut différer de celle en B.
î VU.
Deuxième démonstration.
{Fig. 12.)Concevons deux capacités cylindriqiiesG etC desection s et S, misesen rapport par un large tube muni d’un robinetr'. L’une, G, que j’appellerai chaudière, est en communication par un large tuyau ff avec un réservoir d’eau R, à température i et à niveau constants. L’autre, C, que j’appellerai condenseur, porte à sa partie inférieure un tuyau oo, que l’on peut rafraîchir, qui s’ouvre à l’air libre cl porte en r un robinet dont le centre est à une distance verticale II du niveau en R.
Supposons les deux capacités G etC totalement pleines d’eau, et le robinet r tout ouvert. Ouvrons partiellement seulement le robinet r' ; si. comme nous l’admettons ici, l’ouverture de r' est très petite par rapport aux sections de oo, de ff, de tt et de r, nous pourrons négliger les frottements, les contractions et la vitesse d’écoulement du liquide par r. L’eau se précipitera donc de G en C par r' sous la charge intégrale H : la pression de l’air, que je désignerai par B, s’exerçant en r comme en R, nous n’avons pas à nous en occuper pour le moment.
Soit W le volume d’eau qui s’écoule par unité de temps : le poids écoulé sera W/ = M=1‘. Puisque le liquide, d’abord en repos, se précipite de G en C sous la charge H, pour rentrer ensuite en repos, le travail MH dépensé par unité de temps sera exclusivement employé à produire de la chaleur. En désignant par A l’équivalent calorifique du travail, la chaleur, produite ainsi, sera :
AMll=r‘‘
U capacité calorifique vulgaire de l’eau étant C (ou sensiblement 1 ), l’élévation de température sera:
AMlI:CM=(at)<>
Et l’eau s’écoulera à /"= i a t.
Supposons maintenantqu’en G nous founiissionsàreauQ”''parunité de temps en chaleur externe ; il y aura (Q -)-<?)”'• disponibles en C. Pour remplir la condition /'==(i -fat), il faudra et il suffira d’enlever par les parois de C et de oo cette quantité Q-f < 7 , quelque grande quelle soit et quelques phénomènes que puisse déterminer en G l’addition de cette chaleur externe
Supposons donc : 1“. que Q soit assez grand pour porter M de i à to et pour réduire ce poids en vapeur saturée à B-f 2®. que le
robinet r' soit réglé de manière A donner passage au volume Co de vapeur produite par unité de temps ; 3“. que les parois de C soient tenues à la température h répondant au point de saturation pour la pression barométrique.
Dans cet état de choses, il est visible : 1®. que tandis qu’en G la
vapeur s’engendre à la température t» et sous la pression po=B + H, eu G, elle se condense sous la pression B=/)i , puisque la température <1 des parois répond d cette pression ; 2“. que la vapeur se précipitera par suite de G en C sous la diiïérence de pression — B=p„ — pi et se surchauffera spontanément à une température 0 , , en prenant un volume Ei ; 3“. qu’en G le niveau de l’eau se trouve à la hauteur du centre de r ; i». qu’il en sera de môme en C, puisque la pression interne pi est égale à la pression externe B.
Le volume d’eau \V pénétrant en G par unité de temps, s’y évapore et puis se condense en C pour s’écouler par r, sans vitesse sensible, absolument comme lorsque nous ne chaulTions point l’eau eu G ; il n’y a donc rien du tout de changé aux conditions dynamiques de l’appareil. Q étant ajouté en G et retranché en C, nous aurons en r : /'=i-f (i t)“.
Analysons maintenant en détail l’emploi qui se fait de la chaleur Q en G et en C.
Le volume W qui arrive en G s’y échauffe de t(que pour plus de clarté je fais = o) à t» : ce volume devient too et fournit par suite un travail po (Wo — W) qui coûte hpoiwo — W) ; puis il s’évapore et produit un travail p o (Co — u'o) qui coûte Apo (co — u*o) ; de plus, il faut fournir une certaine quantité de chaleur J. que nous appelons chaleur interne de la vapeur. On a donc :
Qu=J»-fAp {tt’o— W)-l-Apo(Co— n’o)=J„-PApo(Co— \V) pour l’expression de l’emploi de la chaleur externe fournie.
Voyons maintenant quelle est la quantité de chaleur Q' qu’il faudra soustraire par unité de temps en C et en 00 pour ramener l’eau à i=0".
Notre vapeur surchauffée à 0 i , avant de se condenser, est d’abord ramenée à G ; son volume diminue donc de Ei à ci , ce qui coûte un travail de pi ( Ei — ei ) et nous restitue Api { Ei — ei ) ; puis le volume Cl se condense sous la pressionpi , ce qui coûte un travail pi (ci — wa) et ce qui nous restitue Api (ci — wi ). L’eauà <iétantramenéeàt=0, son volume diminue de ita à W, ce qui coûte encore un travail
p, (u'i — W) et nous restitue Api (i/ i — W). EnDn nous avons à soustraire à la vapeur surchauffée et puis saturée toute sa chaleur interne que nous n’avons pas h analyser de plus près et que nous désignons par U. Nous recueillons donc ;
Q’ = U +Ap.(E, -W)
Retranchant Q' de Q, il reste :
Q' — Q= (U -1-Api El ) — {J» -(- ApoCo) -f AW (p»— pi )
Maintenant de combien Q' doit-il surpasser réellement Q ? Évidemment de toute la chaleur représentée par le travail Mil qui nous a été fourni sans dépense de chaleur par la chute II oup„ — pi ; autrement dit de AMIi=AW (p„ — pi ). On a donc :
Q’ = Q+AW(p.-pi)
d’où ;
Jo -f- ApoCo = ü -|- Api E|
Supposons que les sections s et S de G et de G soient telles qu’on ait : spü=Spi,et supposons que dans chacun de ces cylindres se meuvent sans frottement des pistons sans poids. Ces pistons sollicités sur leurs deux faces par une même pression, prendront la vitesse verticale moyenne de la vapeur dans les cylindres.
Le piston s, se trouvant d’abord au contact de l’eau, va s’élever graduellement; la vapeur contenue dans la partie supérieure pa.sscra dans le cylindre C; le piston S, supposé tout au haut, descendra graduellement.
Rendons par la pensée nos pistons solidaires l’un de l’autre, de telle sorte que s ne puisse pas marcher avec une vitesse ascendante plus petite ou plus grande que la vitesse descendante de S. Puisque sur les faces inférieures les charges paS et jh S sont égales, nous pouvons en faire complètement abstraction et ne nous occuper que do ce qui se passe au-dessus.
Cela posé. Je dis que les pistons marchent exactement comme s’ils étaient libres, et que les pressions restent p„ en G et pi en G d’un bout à l’autre de la marche.
En désignant par h l’espace parcouru de part et d’autre, et par p «
et p'i les pressions en G et en C supposées variables, on a toujours :
spo'=Spi'
puisque les pistons se font réciproquement équilibre. On a donc aussi égalité de travail dépensé et produit, ou :
hsp„'=hSrpi'
Désignons par Uo et par L'i la chaleur interne de l’unité de poids de vapeur en G et en G, chaleurs supposées variables aussi.
1®. Admettons que po' s’accroisse peu à peu, à mesure que le
piston b s’élève ; croîtra alors dans le rapport po' -g = pi. La
chaleur interne de la vajjeur s’accroîtra aussi en G ; la compression surchauffera cette vapeur d’abord saturée. 11 arrivera alors : 1°. Que la chaleur interne diminuera en C, de telle sorte qu’on ait toujours Lo+Ui =const., d’où il résulterait que la température tomberait en Cà mesure qu’elle s’élèverait en G et que la pression de la vapeur s’accroîtrait avec un abaissement de température , ce qui est absurde ; 2“. ou que Ui croîtra en C comme L'„ en G, ce qui supposerait que la chaleur interne d’un corps peut croître sans cause.
2°. Admettons que po’ diminue peu A peu : pi' diminuera alors
dans le rapport ; pr=- 7 po’. La chaleur interne de la vapeur en G
diminuera alors par cette chute de pression graduée. 11 arrivera : 1®. ou que la chaleur interne croîtra en C de sorte qu’on ait: U„-f-lJ=const., d’où il résulterait que la température s’élève en C à mesure qu’elle tombe en G et que, par suite, la vapeur se contracte par réchauffement, ce qui est absurde ; 2®. que üi diminuera avec Uo, ce qui supposerait que la somme de chaleur interne d’un corps peut diminuer sans cause.
Cette démonstration ab absurdo nous prouve que nous aurons d’un bout à l’autre de l’ascension de S et de la descente de s :
Pü’=po=const.
p,'=pi =const.
D’où il résulte :
(p„(sA=Co) ==pi (S/i=Ei ))=(Poeo=pi El ) (I)
d’où:
= (II
Pi
et
Pi = P» (H>)
Ainsi donc :
A toute vapeur surchauffée à 6, sous une pression pi , répond une vapeur saturée à une certaine pression p» et à une certaine température /„ qui, par sa détente brusque est capable de la surchauffe spontanée 5 ; et entre les volumes Ei et c» et les pressions pi et p» de la vapeur dans ces deux états successifs, il existe la relation nécessaire :
EiPi=Copo (1)
Mais dans la vapeur saturée Co ctp„ sont des fonctions implicites de to, et l’on a toujoure :
Co=?l fo et pa = ri U
Donc :
pi El = ?
quelle que soit la forme de la fonction y h.
J’appellerai désormais vapeur saturée relative, ou simplement vapeur relative, la vapeur capable par sa détente brusque de p„ à Pi de donner la température ei ; la température par la même raison, sera la relative de Oi.
g Vlll.
11 est évident que les démonstrations précédentes s’appliquent à une vapeur quelconque et que la proposition qui en découle est générale.
Cette proposition remarquable ne s’applique pas seulement au passage d’une vapeur saturée quelconque d’une pression à une autre plus faible, elle s’applique à toute vapeur et, j’ajoute maintenant, à
tout gaz, qui , sans rendre de travail externe, passent d’une pression Po à une autre pi < pn.
Supposons, en enet,que nous laissions la raôrae vapeur saturée d p„ et à <o passer subitement soit à pi < po, soit à p 2 < pi < po- Dans le premier cas, nous aurons :
Dans le second cas :
Pj
En divisant l’une de ces équations par l’autre , poCo disparaît, et il vient :
pj El = Pi El
Cette nouvelle expression nous prouve : 1°. qu’il est indifférent de laisser la vapeur saturée se détendre en une fois de p» à pj < p» ou de l’y faire arriver par détentes successives, par cascade; 2°. qu’une vapeur déjà surchauffée se trouve dans le même cas qu’une vapeur saturée, lorsqu’elle tombe d’une pression à une autre. Et comme celte expression est absolument indépendante de la température actuelle de la vapeur à T, il est évident qu’elle s’applique tout aussi bien à un gaz qu’à une vapeur.
Le lecteur comprendra bientôt toute l’importance des relations d’ailleurs identiques I, 11, 111. Combinées avec une autre, à laquelle nous sommes arrivés dans le Livre deuxième, elles nous permettront d’établir une théorie complète des vapeurs surchauffées et d’arriver à une foule de données que l’expérience seule semblait pouvoir fournir.
Mais une suite de considérations préliminaires sont indispensables ici. Je vais les présenter aussi méthodiquement que possible.
