CHAPITRE III

DIGRESSION SUR LE CARACTÈRE PARTICULIER DE LA PROPOSITION II ET SUR LES DIVERSES DÉMONSTRATIONS QUI EN ONT ÉTÉ DONNÉES.

Par la forme comme par le fond, la propositioiv II diffère singulièrement de la propositioin^ I. Celle-ci est facilement saisissable dans son énoncé et dans ses conséquences ; elle établit un rapport défini et unique entre la chaleur et le travail, entre deux choses dont, il est vrai, nous pouvons ignorer la nature intime, mais que tout le monde conçoit du moins à titre de grandeurs susceptibles de variation et de mesure précise. Celle-là renferme un élément de plus, la température; élément qui, déjà assez difficile à bien définir en lui-même, a pris dans la science moderne un caractère nouveau, par l'épithète à' absolue qu'il fauty ajouter. Par des raisons supérieures, la démonstration de l'une ne peut être qu'expérimentale , mais elle est directe ; par des raisons en quelque sorte matérielles, la démonstration expérimentale de l'autre ne saurait être qu'indirecte. L'une est complètement moderne et trace une ligne de démarcation précise entre deux périodes du développement des sciences physiques; l'autre, au contraire, établit un trait d'union entre les deux périodes.

Dans l'ancienne Physique, et alors que les impondérables étaient considérés comme des substances assimilables à la matière, mais seulement plus rares, plus ténues, plus subtiles qu'elle, la quantité de calorique (par exemple) présente dans l'espace et dans la totalité des corps était nécessairement ré-

|)Uli*»* in\anal)lt'; il ne pouvait v avoir eutrr l<s diNcrs rorps »pic (les rcliaiiiic'S dr ( li.ilcur, cl, par stiilr, drs transports (h' ( lialiiii- (1 tiii |Miiiit a un autn*. Ou aduu'ttah, en ouin-, sans (ju d fut a la Ncritr possiltlc de dirt' j>our<pi(ii. «pu- la (piaiititc (K- cliilfiii" coiilftiiic dans tJKKpic ((ii"j»s est inépuisable.

Dans la I lit iuu)dvuauu<ju(' des plus rmiarcpiahlcs, (ju<' (-iruot et (ilapcvrou ont fondée sur ces prini ipes, il est elair (jue la elialeiu* qui donne le travail dans un moteur tliernutpie ne j)ou\ait être considérée (pie connue traversant la macliine, dans toute sou intéf^rité. La diUérence de tenijH*rature disjxniihle, à 1 aide de lacpielle s Obtient la lontuaiité i\u travail, jouait alois le seul lole essentiel, (ette différence étut, d'uni' façon trés-exj)ressive, assimilée à une chute. \^\\e quantité de clialeur donnée, tond)ant d'uin' certaine hauteur, d une certaine tenijxrature, à une autie inférieure, j)roduisait par cette chute, et uni<piement en \eitu de cette chute, iHi (•••itaiii tiMvail deleiinine. (.aiiuil et luns (.laj>e\ron avaient Ires-ltien compris la sini^ularite des résultats iu\<pi<'ls on arri\e m l'on admet que la \aleui' de i <• tra\ad depi nd des corps (pi'on soumet a l'action de la clialeiu', et ils eu axaient ( (JUc lu «pie la i^randeur absolue de ce tra\ail n<' doit releser «pu- «le la «lifl«renc«* «l«' cliut«' et de I a liauleur absolu«' «l«*s«l«'U\ temjtiviatiires, et iiulleiiieiit des piopriétcs (lu corps «pli sert «l<' N«lin iile a 1,1 « lialeur.

I nulef«ns, «Il raison «li s niées r pic l'on s'était laites II prion, «l sans londi-mriit r«-el, sur la «pianlil»' «l«- cliab'ur présente «lans l«s <«)rps, ('.]a|>eNron a i'onsi«l«'n' l«' tia\ail ««inuiM* une fonction uni\«is'lle «le l«in|)«ratur<', «loni lespéj-e cl la fornu'

reslan-nt a deteimmer. Les «le\ el(»j>j»ements anabllcpies (pi d a fondes sur « «-s considérations smit « nniiiis de « b u un |e n «i |»a«» à m'y arrél«r ici,

I'a' «pii «lans la 'I'bermo«l\ naninpie a< lin Ile Ion ne l.i riiopo

siTiON II constituait de fait la proposition principale et unique de la théorie de Carnot et de Clapeyron.

La température joue encore un rôle essentiel dans notre proposition II; mais elle y a pris un caractère autre et peutêtre plus frappant encore. Ainsi que le lecteur a pu le remarquer, la démonstration, quelle qu'elle soit, de cette proposition est formée de deux parties : dans l'une, on a à faire voir que quand, moyennant une différence de température disponible, une quantité de chaleur donnée rend, sous forme continue, un maximum d'effet, cet effet ne dépend plus en aucune façon du corps employé, mais seulement des deux températures auxquelles le corps est alternativement soumis ; dans l'autre partie, on a à établir la relation précise qui existe entre le maximum de travail et les deux températures disponibles. Dans la première partie, on ne s'occupe qu'accessoirement de la température, en ce sens qu'on considère les corps comme placés dans les mêmes conditions, pourvu que les températures soient les mêmes pour tous ; dans la seconde partie, on s'occupe abstractivement de la température en ellemême dans ses rapports avec le travail.

Bien que le résultat final de toutes les démonstrations qu'on peut donner à ces deux points de vue soit naturellement le même à fort peu près, la forme de ces démonstrations, tout comme leur base, peut être, dans certaines limites, très-diverse. Et si l'on y regarde de près, on remarque en effet que toutes celles qu'ont essayées les physiciens ou les géomètres portent l'empreinte de l'ordre d'idées, je dirais presque de la manière de penser particulière de chacun.

Je ne m'arrêterai qu'à l'examen de deux d'entre elles. Ce sont, non-seulement les premières en date, mais ce sont les plus claires, les plus caractéristiques, et l'une d'elles surtout a été des plus riches en conséquences.

Point de départ de la démonstration de lîankine.

Raiikino démontre de la manière la plus précise que la quantité de travail externe rendu à la fin du cvcle fermé par un corps homogène est uniquement dépendante de la quantité absolue de chaleur présente dans le corps initialement, et de la différence des quantités présentes au commencement et à la fin de la deuxième ou de la quatrième période. Par suite de la définition qu'il donne d'un corps homogène tel qu'il le conçoit, sa démonstration ne perd rien du tout en généralité : je reviendrai plus loin sur ce côté de la question.

Toutefois, quand il en arrive à chercher aussi une relation entre les températures et le travail, le grand géomètre pense qu'il est nécessaire d'introduire une hypothèse dans la discussion, afin d'établir nettement d'où dérive ce que nous appelons température. Son hypothèse porte alors directement sur la nature même de la chaleur, dont il attribue les phénomènes à des tourbillons moléculaires [Molecular vortices). Je reviendiai an long sur ce côté de la question, en analysant le principe sur lequel repose la démonstration que je viens de donner d.'Mis le Chapitre précédent (').

(') Qu'il me soit permis ici de payer mon tribut d'admiration et de reprcts à la mémoire du grand et honnête savant que l'Angleterre a perdu roremment. Rankine fut non-seulement un géomètre et un penseur hors ligne, mais il lui de j^liis l'iuininio probe par ('xrclleiire. Modeste jus(|u'à l'excès <|uant i» sa propre valeur, il était toujours prêt il <léfendre le mérite des autres savants contre les agressions de l'envie jalouse, et lorsque la calomnie s'en prenait ii quebiu'un, il savait frapper sévèrement le coujiable, à l'insii même de celui dont il avait pris la cause en main. Quant aux travaux de Rankine, je u'ai point à en parbr : ils occuperont désormais une des bellcH pa|;es di' riiisti>iie de» science»

Principe d'oà est parti M. Clausius. Discussion critique et justification de ce principe.

Pour démontrer que la nature du corps sur lequel agit la chaleur n'intervieat en aucune façon, lorsque, entre deux températures inégales disponibles, ce corps rend un travail maximum, M. Clausius s'est fondé sur un principe de physique accessoire dont on n'a point à s'occuper dans la démonstration de la PROPOSITION I, à savoir : que la chaleur ne peut passer d'elle-même d'un corps sur un autre plus chaud que lui. En ce qui concerne la relation précise qui existe entre ce travail maximum et ces températures, il part, non comme Rankine, d'une hypothèse sur la chaleur, mais de ce fait mis hors de doute par l'expérience, à savoir : « qu'un gaz permanent qui se dilate à température constante n'absorbe que tout juste la quantité de chaleur que représente le travail externe produit )) .

Il me sera facile de montrer en quoi la démonstration que j'ai donnée diffère de celles de Rankine et de M. Clausius, et aussi ce qu'elle a de commun avec elles. Toutefois, bien que les Œuvres complètes de M. Clausius soient traduites aujourd'hui en français et qu'elles se trouvent probablement entre les mains de la plupart de mes lecteurs, il est, je crois, utile de nous arrêter d'abord, avec toute l'attention qu'il mérite, sur le principe qui a servi à l'éminent analyste de base poiu' la première partie de sa démonstration. Par les déductions qu'il a su en tirer, ce principe est devenu l'un des plus féconds de la Thermodvnamique; en résultats importants et élevés; et cependant, comme le fait remarquer M. Clausius lui-même, ce

principe a été accueilli dans le monde scientifique de deux façons opposées. Il a été considéré comme évident par les uns, et au contraire comme des plus contestables par d'autres. J'ajoute de mon côté que ce principe a été tout à la fois et de divers cotés mal compris, mal interprété et mal appliqué. En ce sens toutefois, je m'imposerai dans mon examen la réserve que je me suis imposée en une autre occasion ; je m'abstiendrai de critiquer tout autre que moi-même; mais, sous cette forme limitée et personnelle, la discussion critique qui suit ne paraîtra infructueuse à personne, je l'espère.

M. Clausius a donné trois formes assez différentes à l'énoncé du principe.

1° La chaleur ne peut passer d'elle-même d'un corps sur un autre plus chaud.

2° La chaleur ne peut passer d'un corps sur un autre plus chaud sans une compensation (qui s'opère, soit sous forme de travail, soit sous forme d'une chute de température).

3° La chaleur, susceptible de se disperser spontanément, ne peut être reconcentrée sans une dépense (soit en travail, soit en une chute de température).

Ces trois énoncés sont au fond équivalents, bien que cela ne saute nullement aux yeux, et c'est à ce titre qu'ils méritent chacun un examen attentif; car la difficulté, c'est précisément d'apercevoir cette similitude.

C'est indubitablement le premier qui, en raison de son extrême concision, a donné lieu aux méprises et aux fausses interprétations auxquelles j'ai fait allusion. En soi-même, en effet, la vérité de cet énoncé est plus qu'évidente, s'il est possible. Un corps chaud étant mis en contact ou seulement en regard (sans intermédiaire) d'un autre moins chaud, la chaleur non-seulement ne peut passer que du premier au second, mais elle y passe nécessairement jusqu'à ce que les tem-

pératures se soient égalisées. Mais, si le fait physique est évident, ou plutôt s'il n'est pour nous que l'expression d'une des propriétés fondamentales et essentielles de la chaleur, il n'en est plus du tout de même des diverses applications du principe, et il se présente bien des cas où l'on ne voit pas le moins du monde, directement et sans démonstration, que le principe se trouve en jeu. Je citerai, par exemple, le cas même qui nous a servi de point de départ dans tous nos raisonnements sur le produit ou la dépense du travail dans les conditions de rendement maximum.

Dans les deux cycles fermés décrits plus haut (|). 197 et 207), l'un direct, l'autre inverse, l'un donnant du travail externe définitif, l'autre en coûtant, nous n'avons mis nulle part le corps subissant l'action de la chaleur en contact avec un autre plus chaud ou moins chaud que lui-même. Nous avons laissé le corps se détendre à la température constante To, en lui fournissant une quantité de chaleur Qo; puis nous l'avons laissé se détendre sans addition ni soustraction jusqu'à ce que sa température fût tombée à T, ; nous l'avons ensuite comprimé avec soustraction d'une quantité de chaleur Q, de façon à tenir T, constant et enfin par une deuxième compression, sans soustraction ni addition tle chaleur, nous l'avons ramené à Tq. La dépense définitive de chaleur Qo — Q, nous a donné un travail positif et définitif F^.

Dans tout le cours de ce cycle, jamais la chaleur n'a passé directement d'un corps chaud sur un autre moins chaud, et c'est même là la première condition du rendement maximum. La quantité Qo fournie pendant la première période au corps, à température constante To, a été employée tout entière au travail interne et externe. Pendant la troisième période, et lorsque le corps à température constante T, a restitué à la source de froid (censée à T, aussi) la quantité Q,. celle-ci a

été produite tout entière par le travail interne et externe redépensé. Il n'y a, je le répète, pas eu le moins du monde chute directe de chaleur d'un corps chaud sur un corps froid.

Pendant le cycle inverse, nous avons laissé le corps se détendre à température constante T, , avec addition de chaleur Qj ; nous l'avons comprimé sans addition ni soustraction, de manière à élever la température de T, à To ; puis nous avons comprimé en soustrayant une quantité Qo de façon à maintenir To constant ; enfin nous avons laissé se détendre de To à T< sans addition ni soustraction de chaleur. Cette série d'opérations nous a produit une quantité de chaleur (Q^, — Q, ) et nous a coûté un travail — F[, = F^,.

Dans cette seconde opération, énoncée comme elle l'a été, la chaleur ne passe pas plus directement d'un corps yro/</ sur un autre plus chaud que dans la première opération (énoncée comme elle l'a été) elle ne passe directement d'un corps chaud sur un autre moins chaud. On n'aperçoit donc pas du tout à première vue comment le principe de Physique énoncé serait contredit s'il était possible, pour

(Qo-Q.) = (Q'o-Q'.),

d'avoir

Q'o>Qo, Q'.>Q..

Il en est tout différemment des deux autres énoncés du principe. Si la température d'un corps ne peut pas être relevée, ou si la chaleur ne peut pas être reconcentrée sans une compensation, sans une dépense, il est clair par soimême qu'on ne saurait avoir

q.,<q; pour Qo-q. = q;-q'.;

mais ces deux énoncés sont loin d'être évidents de vérité comme le premier.

Je pense qu'il n'est nullement inutile de résoudre l'espèce de difficulté qui s'offre à nous, et de montrer que même le premier énoncé serait bien positivement contredit s'il était possible d'avoir

Q'o>Qo et Q',>Q, pour Qo-Q, = Q'o-Q;,

Tq et T, étant donnés. J'ai dit (p. 208) que deux machines jiarfaites, l'une à travail positif, l'autre à travail négatif, marcheraient indéfiniment par suite d'ime impulsion du volant. Il n'est pas inutile de montrer que ceci même est une impossibilité.

Dans le cycle à travail externe positif, nous avons commencé par laisser le corps se détendre à température constante Tq, en lui fournissant pour cela sans cesse de la chaleur, dont la quantité totale s'est élevée à Q^. Mais comment avons-nous procédé pour lui faire absorber cette chaleur? On a coutume de dire qu'il suffit pour cela de mettre le corps en contact avec un autre de masse infiniment grande à la température T^,. Une pareille assertion, cependant, est physiquement et théoriquement absurde. Pour que la source de chaleur puisse fournir au corps à Tq la chaleur Qo, il est indispensable qu'elle possède elle-même une température

Physiquement, il faut que AT ait une valeur très-notable : l'eau dans nos chaudières ne saurait bouillir rapidement à Tq, si le foyer n'avait une température beaucoup plus élevée que T„. Théoriquement, il suffit^ mais en même temps il faut que la source soit à To-t-c/T. Dans la troisième période du cvcle, nous avons comprimé le corps à température constante To en soustrayant de la chaleur, dont la totalité s'est

élevée à Q, . Ici encore on a coutume de dire qu'il suffit pour cela de mettre le corps en contact avec une masse infiniment grande à T, ; mais ceci aussi est absurde en réalité. Pour soustraire Q, il faut que la source de froid soit à (T, — AT). Expérimentalement, il faut que AT ait une valeur très notable; ce n'est qu'à l'aide d'eau beaucoup plus froide que la vapeur que nous obtenons une condensation pratique rapide dans nos moteurs. Théoriquement, il suffit, mais en même temps ïXfaiit qu'on ait (T, - dT). Si maintenant nous passons à notre machine à travail négatif, nous reconnaîtrons qu'il suffit^ mais aussi c}^\\ faudra que la source à température inférieure soit à (T, -f- c?T) et qu'au contraire la source à température élevée soit à (To — ^T). La double condition

To + r/T, T, - f/T,

pour le premier cycle, et

T, -i-ûfT, To-f/T,

pour le second, laisse théoriquement intacte l'existence du rendement maximum; elle rend seulement infinie la durée de l'opération, car Q, et Q, ne peuvent passer de la source de chaleur sur le corps à To, et du corps à T, sur la source de froid qu'en un temps infini, si les différences de température entre les sources et le corps sont infiniment petites. Mais cette douljle condition nous apprend que, pour que l'inégalité q; > Q„, q; > Q, fût possible pour

To et 1\ restant invariables, il faudrait ])ien positivement que la chaleur pût aller directement et d'clle-jnême sans compen-

sation d'un corps sur un autre plus chaud. Cette condition nous montre aussi que la marche de la machine conjuguée (p. 208) est impossible même théoriquement.

§ in.

Expérience qui semble contredire le principe de M. Claiisius. Solution de la difficulté apparente.

Je passe à l'examen d'un autre cas fort singulier en luimême; il se rapporte à une expérience qu'il serait à la vérité très-difficile de réaliser, mais qui est du moins théoriquement possible et discutable dans ses résultats. Ces derniers ont donné lieu, entre M. Clausius et moi, à une discussion reposant partiellement sur un malentendu dans les termes, mais partiellement aussi sur une difficulté bien réelle de la question. C'est à ce dernier point de vue seulement que je vais v revenir comme le sujet le mérite.

Je commence par décrire l'expérience fondamentale d'où je suis parti.

Concevons deux cylindres A et B [fi g. 7) égaux en section, fermés par le bas, mis en communication par le tube tt' , dans lesquels se meuvent sans frottement deux pistons dont les tiges sont commandées par une roue dentée v. Dans la partie fermée, comprise sous les deux pistons, se trouve un poids 31 d'un gaz quelconque , d'air atmosphérique par exemple , à pression Pq et à une température initiale t^ . (Pour plus de simplicité, je poserai ^, = o.)

Par suite de la disposition qui vient d'être décrite, il est bien clair :

i^ Que, quelle que soit la pression Po, les pistons resteront en repos, puisque cette pression est la même des deux côtés,

et que les pistons se font réciproquement équilibre par la roue ç;

2° Que, lorsque nous tournons la roue v dans un sens ou dans l'autre, l'un des pistons remontera, et l'autre descendra avec la même vitesse ;

3° Que, puisque nous supposons nuls tous les frottements,

Fig. 7.

nous pourrons transvaser à volonté le gaz de A en B, et de B en A par le mouvement de la roue, sans nulle dépense de travail : pourvu que nous fassions marcher les pistons assez lentement pour pouvoir négliger le très-petit excès de pression qu'il faudra d'un- côté pour pousser le gaz dans le cylindre opposé.

Admettons en outre que les parois de nos cylindres soient imperméables au calorique, ou, ce qui est absolument la même chose, qu'elles se trouvent toujours à la température moyenne actuelle du gaz qui y est contenu, de telle sorte que le gaz n'éprouve par elles ni perte ni bénéfice de chaleur.

Maintenant, le piston de A étant au haut de sa course, et Je piston de B étant au bas, portons le tube tt\ et rien que ce tube, à une température constante /„, t't faisons descendre très-lentement le piston de A de sorte que l'air en passant par it' prenne toujours la température t^.

Quelles vont être les conséquences de cette méthode d echauffement par parties infinitésimales ?

Remarquons que le volume V compris entre les deux pistons est invariable, et que chaque portion de gaz, une fois échauffée, est séparée de la source et ne reçoit ou ne perd plus de chaleur du dehors. La pression du gaz, d'abord P(,, va donc s'élever peu à peu, à mesure que le gaz passera en tt et s'échauffera.

Les portions d'air à /„ qui entrent en B sont ainsi soumises à une pression croissante, par suite de réchauffement des portions suivantes : ces portions s échauffent donc au-dessus de Îq. C'est visiblement pour Jes premières portions que l'accroissement de pression et, par suite, réchauffement seront le plus considérables : pour la dernière portion, ils seront nuls, et cette portion restera à t^. De même l'air de A se trouvant comprimé de plus en plus s'échauffera aussi audessus de zéro.

Si nous supposons que l'air, au lieu de s'équilibrer en température en B, reste séparé par couches, nous aurons donc, lorsque tout aura passé en B, et à partir du fond de B, une suite de couches dont la température ira en s'élevant : la couche en contact avec le piston, qui est la première entrée, aura la température maxima, puisque c'est pour elle que le changement de pression a été le plus considérable. La couche inférieure, au contraire, sera à la température minima, puisque le changement de pression a été nul pour elle, à partir de son entrée en B. INIais cette température minima

est ^0 • 'a température moyenne totale est donc plus grande que /,.

En la désignant par ^,„, nous avons en tous cas

Donc, avec une source à t^, nous avons, sans nulle dépense de travail, échauffé un autre corps à Z,„ >> t^ .

Maintenant que B est plein de gaz à /,„, enlevons la source de chaleur qui entourait tt\ et remplaçons-la par une source de froid, par de l'eau et de la glace, par exemple; autrement dit, tenons tt' à zéro, et faisons lentement descendre le piston de B et remonter celui de A.

A mesure que le gaz passe par tt', il tombe maintenant à zéro, et par suite aussi la pression, qui dans l'expérience précédente s'était élevée de Pq à P, va baisser de plus en plus jusqu'à ce que tout le gaz ait été ramené de B en A.

Les portions de gaz, refroidies à zéro en entrant en A, sont ainsi soumises à une pression qui va en diminuant : ces portions se refroidissent donc au-dessous de zéro. C'est évidemment pour la première portion entrée que la diminution sera la plus considérable ; c'est aussi pour elle que le refroidissement le sera le plus : il sera nul pour la dernière, puisque pour elle le changement de pression sera nul. Mais ce qui est évident aussi, c'est que, quand tout le gaz sera rentré en A, sa température sera nécessairement inférieure à zéro, puisque c'est là la température maxima, et qu'à partir du fond du cylindre, si les couches ne se mêlaient pas, nous trouverions du gaz de plus en plus froid jusqu'au piston.

Avec une source de froid à t^, nous avons donc amené, sans dépense aucune de travail, un autre corps à une température

Rien de plus simple que l'explication des phénomènes, en apparence si singuliers, que nous venons de produire.

Lorsque nous chauffons un gaz sans lui permettre de changer de volume, l'accroissement de chah^n- interne est égal, comme nous savons, au triple produit de son poids ])ar sa capacité à volume constant et par son accroissement de température.

Pour l'air, par exemple, nous avons

^ = c,M(«o- ^i) = o,iG87M(/o- o«) = o,iG87M^o,

/o étant notre température finale.

Mais, dans notre expérience, chaque partie de l'air est chauffée isolément dans un tube ouvert par les deux bouts : elle peut donc se dilater, et comme elle est infiniment petite , ou du moins très-petite par rapport au volume total invariable Y, sa dilatation ne modifie que d'un infiniment petit la pression à laquelle elle était soumise en entrant en tt' . L'échauffement de chaque portion isolée a donc lieu à pression constante, et non pas du tout à volume constant. Pour avoir la valeur de la quantité de chaleur cédée par la source à ^«^ d f^wt dès lors multiplier le poids de chaque portion par la capacité à pression constante, et puis par l'accroissement de température ; et, comme cette capacité est pour l'air o, 2377, il est évident que la somme de tous ces produits partiels sera plus grande que ne l'est le produit 0,1687^1/0, et si nous représentons cette somme par S, nous aurons, par conséquent,

S>o,i687M/o et S = o,i687M^„, d'où

Ce n'est donc pas du tout en créant de la chaleur que nous