AT, ''P
APw =
dT
d'autres équations, qui nous permettent d'étudier tous les phénomènes thermiques et dynamiques auxquels peuvent donner lieu les vapeurs saturées.
§IV
Equations générales relatives à la détente ou à la compression des vapeurs saturées.
Exprimons d'abord sous forme algébrique la valeur de la chaleur interne U d'inie masse de vapeur et de liquide saturés, autrement dit, la sonniie [C ^- Ail) en excès de chaleur réelle et de chaleur potentielle que représente notre masse. Soit ]M le poids total de la va[)eur ( t du liquide saturés; soit m le poids de la v;îpeur.
La partie de U relative au liquide a pour expression
(M — m) 1 cdl;
en d'autres termes, ce sont les quantités de chaleur (réelle et potentielle) que le poids (M — m) contient de plus à t qu'à zéro. Nous avons vu que, pour évaporer l'unité de poids d'un liquide arrivé à t et à P, il faut une quantité de chaleur r, dont l'expression est
7 = APw -+■ p.
\j'd partie Wu qu'a coûté le travail externe ne peut évidemment plus figurer dans la somme (C H- AH), et nous avons, j)ar suite,
Uo = M / cdl -{- m^p„.
D'après un des principes élémentaires de la Thermodynamique, la valeur de U ne peut varier : i° que si la masse totale M rend un travail externe (positif ou négatif), en augmentant ou en diminuant de volume et en surmontant, en même temps, la pression externe ; et alors la variation de U est rigoureusement proportionnelle au travail externe rendu ; 2° que si la masse, sans rendre de travail, reçoit ou perd de la chaleur par son contact avec un autre corps; 3° enfin que si les deux phénomènes ont lieu à la fois : dans ce cas toutefois, la variation de U peut encore être nulle. Examinons le premier et le dernier problème.
Si, pendant que le volume total de M augmente ou diminue, en faisant toujours équilibre à la pression externe P, désormais variable, on n'ajout(^ ou ne retranche point de chaleur à jM, l;i température /„ variera de /^ à t,, et la somme Lo
devenue U, aura pour valeur
= M / Cdt -i- TTlfPf
La variation de U sera
[la) U, — U(^ == M / cdt -h 7?ifpf — mo/5o-
Si l'on suppose la variation U, — Uo infiniment petite, on a
naturellement
du .-." Mcdt -t- d.jnpy
et le travail externe rendu sera
AF =: U, — Uo ^ M (y, — 7o) — m, pi — m,p„ ou
(Ib) AdF = Mcdt-^- d.mp.
Supposons maintenant que, pendant la variation de volume de la masse M, on ajoute ou retranche de la chaleur. La variation de U sera évidemment égale à la somme de la chaleur que coûte (ou donne) le travail, et de la clialeur <^Q ajoutée. On aura donc
dQ--= du + kVdç.
Voyons ce qu'est dv. Le volume spécifique de la vapeur à la température t et à la pression P étant V, on a, pour le volume de la masse M,
V — (M — m) w -f- mV — M(P -^ m[N — w)~ ^Iw + mu.
Vax différentiant, il vient
Jç; — M dw H- d . imi ;
mais, d'une part, le volume spécifique w d'un liquide saturé n'est en général qu'une petite fraction du volume spécifique V de la vapeur saturée. D'autre ])art, en raison de la faible dilatabilité des liquides, la variation (q^< — Wq) est elle-même excessivement petite, par rapport à (V^ — V,,). Nous pouvons donc, en conservant un assez grand degré d'approximation,
poser
dw = o, d'où dv r- d.mu.
Il résulte de là
JQ = d\J -f kVd.mu,
ou bien, en remplaçant 6?U par sa valeur complète,
dÇ) — - Me dt 4- d.mo -\- AP d .mu ; mais nous avons
et, par suite,
^Q = ^Icdt -{- d. m'r — APw) + XVd.itm. En réduisant, il vient
dQ = ^Icdt -r- d.mr — Xmu dP.
L'équation fondamentale
Au =
nous donne
Am^P = ^^/T.
Écrivant cette valeur à la place de XudV, on a (II) dQ = Mcdt -f- d. mr — ^ f/T.
Ainsi que je l'ai dit, les valeurs de Je dt et de r sont, pour un grand nombre de liquides, connues par les expériences de M. Regnault, et exprimées sous forme d'équations empiriques de la forme
cdt—- a + ht -\- et- + di^ ,
r=-- k + B/4-C^--^-Dr\ De cette dernière on tire
dr — B dt -\- 2Ct di -{- ^Bt- dt Comme on a
d'où
on transforme aisément les formules de M. Regnault en d'autres qui renferment T au lieu de t, et il devient très-facile de se servir des équations (Ta), (16), (TI). Je vais donner quelques exemples de leur emploi dans l'analyse des phénomènes les plus importants et les plus intéressants que présentent les vapeurs saturées.
Détente ou compression sans addition ni soustraction de chaleur.
Occupons-nous d'abord du cas où une vapeur se détend ou est comprimée sans recevoir ni perdre de chaleur extérieurement, et en donnant le maximum de travail externe qu'elle est susceptible de donner. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, si la vapeur se détendait ou se trouvait comprimée
dans un cylindre à parois parfaitement imperméables au calorique, fermé par une extrémité, dans lequel se mouvrait, sans frottement, un piston hermétique dont la charge variable ferait sans cesse équilibre à la pression de la vapeur.
Désignons par m^ le poids de vapeur initial et par (M — m^,) le poids du liquide que, pour plus de généralité, nous y suj)poserons mêlé. Soient T, la température initiale et Tf la température finale de la masse au moment où nous arrêtons le mouvement du piston.
La condition qu'il n'y ait point de chaleur ajoutée ou soustraite pendant l'opération donne ici û^Q=odans l'équation (II'; et il vient, par suite,
o -= Me fit H- d . mr — -- dT.
Si nous divisons par T, il vient
'Mrdt fl .mr mrdT Mcdt j [ mr\
<'t, par conséquent,
o = M / cdt -^ -y- — --^ .
Cette équation est due à ]M. Clausius. Deux applications à <les liquides bien différents, l'eau et l'éther sulfurique, vont nous montrer quel horizon nouveau elle a ouvert quant à la théorie des vapeurs.
Pour plus de simplicité, supposons que nous ayons eu, au début, de la vapeur saturée sans liquide, dans notre cylindre : ce qui nous donne m^ — ]\I. Il vient ainsi, en résolvant l'équation ci-dessus.
Les expériences de M. Regnault ont donné pour l'eau
c = -y- = I -I- o,oooo/i t -4- 0,0000009^-.
En remplaçant / par T, il vient
c = i,o56o88 — 0,0004^^1 i3T -^ OjOoooooqT-.
En substituant cette valeur de c dans notre équation et en intégrant de T, à Tf, il vient
m^^-uC^] r(;^y-l-i,o56o88logï^-o,ooo45ii3(T/-T,)
-t- 0,00000045 (T/^ — Tf) • Posons maintenant, comme exemple d'application,
T,r= (272,85 + i3o) et T/=: (272,85 + 3o). On a, pour ces deux températures,
7V= 5i5^»',i53, ry=r 585^'-", 624.
En remarquant que le logarithme est népérien, et en exécutant tous les calculs, il vient
nif = 0,81023,
ce qui nous apprend que la masse de vapeur diminue pendant la détente, autrement dit, qu'une partie (les o, 189 au cas particulier) se condense, passe à l'état d'eau. Il est clair que, par la compression, c'est le contraire qui a lieu, et que si, dans notre cylindre, nous avions, par exemple, un mélange de 0,81023 de vapeur et de 0,18976 d'eau saturée à 3o degrés (T = 302*^, 85), l'eau se réduirait en vapeur lorsque, en comprimant le mélange à l'aide du piston, nous ramènerions le tout à i3o degrés ouT = 402, 85.
Prenons maintenant pour exemple la vapeur saturée d'é-
thcr siilfuriquc, en renversant toutefois l'expérience. Supposons que, dans notre cylindre, il se trouve un poids M de cette vapeur saturée à 3o degrés ou T — 3o2,85, et que l'on refoule cette vapeur jusqu'à ce que sa température atteigne i3o degrés (T =r 4(^2,85).
En partant des formules empiriques que j'ai indiquées (page 225), on trouve pour l'éther :
Ai3odegrés r^— 07,004, -J = c — o,']C)5i'53,
A 3o degrés /v -: 89,42 ; -- = c = 0,60662.
cdt
Au lieu d'intégrer -— ? nous pouvons, sans crainte d'erreur
notable, prendre c constant et adopter la movenne des deux nombres précédents, qui est c = 0,70088.
Notre équation générale réduite en nombre devient ainsi
ou
,, 4o2 85r8q,4o. /4oo,85\-l = M J T ^~T^ — 0,70088 log T. ^
57,004 L302, bD '' ^\v5o2,8j/J
TTlf = M . 0,67322.
Ainsi, tandis que la vapeur d'eau se condense partiellement j)ar la détente et se surchauffe par la compression, c'est précisément le contraire qui a lieu pour la vapeur d'éther sulfurique ; elle se condense partiellement par la compression et, par conséquent, se surchauffe pendant la détente, si elle n'est pas mêlée d'unç quantité de licpiide suffisante pour la maintenir au point de saturation.
Ce sont jNDI. Clausius et Rankine (presque simultanément) qui ont démontré analytiquement ces deux faits : d'abord celui qui concerne la vapeur d'eau, et puis celui qui concerne la vapeur d'éther. De mon côté, bien avant que j'eusse pris
connaissance des beaux travaux de ces éminents analystes, l'étude de la machine à vapeur de Woolf m'avait fait soupçonner l'existence du phénomène de condensation que présente la vapeur d'eau, que j'ai réussi ensuite à mettre expérimentalement hors de doute, à l'aide d'un appareil spécial dont je parlerai plus loin. Plus lard, j'ai vérifié directement aussi le phénomène contraire, signalé par M. Clausius, quant à l'éther sulfurique .
L'éther est le seul corps dont la vapeur, aux températures habituelles, se condense par la compression. Toutefois, ce n'est point là une exception ou une anomalie, comme on l'a cru d'abord, et il existe, au contraire, pour chaque vapeur une température à partir de laquelle elle se comporte comme celle de l'éther (').
L'importance capitale que présente la découverte des deux phénomènes précédents ne saurait échapper à personne ; elle a renversé toutes les idées qu'on se faisait en Physique des propriétés des vapeurs; mais surtout elle a constitué implicitement une magnifique démonstration directe de la proposition II et de l'existence d'une température absolue ayant sa limite à 272°, 85 au dessous de notre zéro ordinaire. L'équation
iiit
n'aurait, en effet, aucune raison d'être si le point de départ AF ^ Qo ^^-"^
Au
était faux, et si T n'était qu'un être imaginaire.
(') \oir, à ce sujet, la Note page 3i2 de la traduction du livre de Zeuncr par MM. Cazin el Ariitlial.
Nous venons (rétudier les phénomènes au point de vue tliermique; eontinuons notre examen au point de vue dynamique.
Pendant la détente ou la compression spéciale que nous examinons, nous n'ajoutons ni ne retranchons de chaleur extérieurement. Le travail externe, positif ou négatif, ne peut donc se faire qu'aux dépens ou au ])rofit de la somme U de chaleur réelle et de chaleur potentielle présentes. L'équation [la) nous donne ici directement cette somme. Pour le cas de la vapeur d'eau, nous avons
\jiZ=]Sl r \dt^ Moi
= M(3o,oG -r- 0,8 1 1.55 1,97 =M.476^"''',o9;
la somme primitive M. 602,37 se trouve donc réduite à
M.476'='V)7 ou diminuée de
i26^"^'',28IM ou de i2G"',28,
si nous supposons M -= 1'^^'. Ces 126^^'^', 28, qui font défaut à la masse totale i kilogramme, formée de 0^^2,811 de vapeur (^t de o'^s, 189 d'eau saturées, ont donné nécessairement
de travail externe.
Le lecteur doit être frappe déjà de la différence étrange qui existe entre les phénomènes que présentent la détente d'une
vapeur saturée et ceux de la détente d'un gaz. Je vais accentuer encore mieux ces différences et en montrer on même lemps l'origine pliysiqu(\
Je démontrerai, en temps el lieu, que la capacité absolue (le l'eau (glace, liquide, vaj)eur est 0,4. H suit (liivctcment (le là cpie, si la vapeur d'eau était un gaz, non pas j)arfLÙt, })uisqu'il ne peut point en exister, mais seulement analogue à l'air, à l'indrogène, une chute de température de 100 degrés (/|02,85 — 3o2,85) donnerait lieu à un abaissement de
Q ~ o,Zj . 100 -- /lo^"'
dans la chaleur réelle, et approximaliiement unique, de ce gaz fictif, et que le travail externe donné par la détente serait de 40 ':< 425 r- lyooo''^'" et non 53 G69 kilogrammètres. A^oilà déjà qui peut sembler fort étrange; mais allons plus loin. J.e \olume spécifique de la vapeur d'eau saturée est o"*'^,G558 à T = 4^2,85 ou t=--\'io°. La pression est de a-yGo/j kilogrammes. On a donc
OU
, ,^, o.7fio4.o.65').S T ,-, , T, ?. --604. 0,6558 , V/-
K)"" — m lO"" — ^
^"^ïy 4-..5.4o-.>,85 '^V,
pour la relation qui existerait entre les volumes et les températures de notre gaz fictif, s'il se détendait sans atldilion ni soustraction de chaleur, et en rendant le maximuin de travail. 1! vient ainsi
l^>grj/^o,2G433'31og-|
(1 , au cas particulier,
d'où il résulte
pour le volume qu'aurait le gaz après la détente. La pression
serait
La pression de la vapeur d'eau à 3o2,85 ou l -- So*^ n'est qui' de 429 lulograuimes. Comment se fait-il donc, peut-on se demander, que le gaz, dont la pression ne tombe que de 27604 à 70G2 kilogrammes, donne 53669 — 17000 = 3666() de travail de moins que la vapeur, dont pourtant, à égalité de chute de température, la pression tombe près de 17 fois plus bas? Et puis comment se fait-il surtout que dans la vapeur, dont la chaleur réelle présente est bien représentée par 40 calories (pour une variation de 100 degrés), il puisse v avoir une disparition de 126"', 28 pour une chute de 100 degrés ? Rien de plus facile cependant à résoudre que cette double difficulté, si grande en apparence.
Le volume spécifique de la vapeur d'eau à 3o degrés est 33""^, 267. Lorsque notre poids de vapeur s'est détendu de I 3o à 3o degrés, il s'y est précipité M. 0,189 d'eau. Le volume total a donc passé de M. o,6558 à
M(o,8ii .33'",2G7) rr. 26'"% 98.
(Nous pouvons négliger ici le volume o,i89qp]M de l'eau condensée.)
Le volume de la masse s'est, comme on voit, accru de o"^'^,6558 à 26,98 ou de i à 4i, tandis que celui du gaz fictif n'a passé que de o,6558 à 1,927, soit de r à 2.9. On comprend donc que le travail de la détente puisse être beaucoup plus considérable avec la vapeur qu'avec un gaz, en dépit de
rt'iiormc abaissciuciit de pression Kii rr (|iii cfuiccriu' l.t <ltiXMiso «les I :>(')'"•'', -.'S, rrxj)li<ali()ii en est «'iicor*' ff)i*t simj>l«' et « ;u*a<t('risli(jii('. iN-iidaut (|ii(' la Napciir se (I(f»ii<l. il n rii loii- (Iciisc mil' jiartic : crltc p.iiMic (('(le doiu' ;i l.i \.i|)i'iir irst.nit»' toiilf sa cltdliiir iiotcnlu Ui . et I addition de ccftc clialciir. df- \(iiiif rnllc, cmprclii' coiiliiiinllciiiciit la j)|-rssi()n di- tomlxT pendant rafcroissonicnt de \nliiiiic. autant (|iic cela anrail lieu sans la condensation, l'.n ini mol, une paific <!i' la eha- Icnr d(''p('ns('< . en appaicncf en pni'c [»<i-tc. jxmr 1 Cvanoration du licpndc. donne lien, pendant la détente, à ini tra- \ail evteiMje fort eonsideralile
( )n \oit, [)ai' cette discussion, combien ('taient fausses les idées (juOn se faisait auticlois sur le mode réel du tra\ail de Il vapeur tl.uis les moteurs. Ici toutefois je ilois, pour la preuiière fois et sous forme de simple renianpie, présenter un lait siu' lecjuel j'aurai |)lus tard à re\enir à j)lusi(Mn's reprises et à m t'Iendre tie>> lonLiiK'Mient . .lai suppose paj'Iaiteinent nnp<'i'meal»les au ( alorupie les pai'ois du cxlindre dans le(pi<l nous avons opcic la détente on la comiiression di- nos \apeurs; or cette (ondilion n'est nnllement remplie dans nos moteurs tlierninpies. et I action dis parois des c\lindres est telle dans ces motenis. ipic nous n'amons |amais heu de ri'- ( oiirii" aux di\erses ((piatious cpn sont dc\ eloppees dans CC para^rapli»'.
\\ant de (pntter noti'e sii|<t spt-cial. |e recoin^ ( epeiidant rneore une lois a notre cNinidre impermeahie prmr résoudre \\\\ proMeme (pu est jort inleressanl tlieorKpiemenl parlant.
Nous n a\ons a|)pli(pie notre «(piation
«pi i I ' A imen (l<s plniiomeiiis inie presenteni les NapetU"
sèches. Il est clair qu'elle se prête tout aussi bien à l'étude de n'importe quel mélange (]\I — m) et m de liquide et de vapcuisaturés. Il y a pour ce mélange un cas particulier fort curieux Je vais l'analyser et le résoudre avant même de l'énoncer. Pour fixer les idées, reprenons l'exemple de la détente de la vapeur d'eau de i3o à 3o degrés ou de 1\= 4^*2,85 à Ty=3o2,85; mais, au lieu d'admettre qu'au début nous n'ayons que de la vapeur saturée dans le cylindre, admettons, au contraire, que nous n'ayons que de l'eau saturée. Il est clair, d'après cette condition, que le terme m,- devient nul
et que, par suite, (^ ). l^^ devient aussi. On a donc simplement
rrii
Il résulte de là pour l'eau
lUf — M f - ) I ,o jGoBB log \7^\ — 0,00043 1 1 3 (T,- — Ty)
