Reprenons la formule d'Ampère (n

qui donne l'action mutuelle de deux éléments ds et ris' des courants. Nous déterminons les positions des milieux M et M' des deux éléments par les arcs s et i' comptés à partir de deux points fixes 0 et 0' sur les conducteurs {.fig.Ho). La dislance r des deux points M et M' est alors une fonction des deux va-

3i8 uKU-ïifeiiE rintiï. — chafitu ii.

rialilos iiidi- pendantes s et s'.el nous avons démontré (ci" -215)

les relations suivantes ;

CO50 — cosù' — —

ou en déduit

La (|iianlilé <Jr 011 r~> e;sl aussi une fonction des deux variables indépendantes i ei s\ et l'on a

d'où

et, par suite.

La formule («) se réduit ainsi à ta forme plus simple

COS£ eus 0 f (I- J

SUITE t>K l'BLECTBODTMXIQOI. 3i()

C'est cette forme que nous emploierons pour le calcul du travail.

TRAVAIL EKTRK 1)ÏL'X COUSANTS tEEMfS.

iiîG. Considérons deux conducteurs fermés C et C parcourus par îles courants d'intensité (' et i"' ; par suite de la déformation ou du déplacement relatif des conducteurs, la dislance r de deux poinis déterminés M et M' de ces conducteurs varie avec le temps. On doit donc regarder r comme une fonction d'une troisième varinblr indépendante t. La variation de la distance H M' dans le temps infiniment petit i/l, par suite de la mobilité (les conducteurs, sera ~ dt, et le travail élémentaire de la force F qui s'exerce entre les éléments ils cl ils' des conducteurs aura pour expression

- F ^ dt = *kii'dsM ~ V;dt fsfc,

ou, plus simplement.

Le travail pondant le temps dt de toutes les forces qui s'exercent entre les deux conducteurs sera donné par la formule

la double intégration s'étcndanl à toute la longueur des deux conducteurs.

Nous allons transformer celle expression. En intégrant par parties, on a

J jiw/ "\« m ),, J ïi 1 au* '

3?0 DEUXIÈME PARTIR. — i:HA FITHH 11.

et, pâr suite,

1341 Arw-

On aura tic même par symétrie

En ajoutant ces deux expressions cl remarquant que

ji' s/il + ij i«y ii

un a

2(i7. Lorsque les deux conducteurs sont fermés, les deux premières parties du second memhrc sont nulles, et la formule précédente se réduit à

(36) </6 = — aHftfi y / x - - — rfjjfr'.

Posons

celte quantité W est une fonction de (. Si chacun des con-

SUITE DE LÉLECTIIODYUAMIQUE. 3 a i

dncleurs conserve une longueur invaiiable, les limites do l'intégrale double élanl des constantes, on a

et, par suite,

(3 7J dG = ie^fdl = ii'dW.

La quantité \V peut être mise sous une autre forme; on a d'abord

(«•] w=!ff°-a°^d.j,:

On peut écrire encore

en intégrant par parties, et tenant compte de la relation (<i| du n" ou a

il en résulte

(«-, w=ïffZ!l*<U.

Cette quantité W est ce que M. Ilelmholl/ appelle le potentiel relatif à l'action mutuelle de deux courants d'intensité i parcourant les conducteurs, dans des sens déterminés. Si l'on Change le sens de l'un des courants, coss changeant de signe, la valeur de W change elle-même de signe.

URUïiËJiK pmrrK. — CBIPITM ix.

968. Cherchons d'abord le travail des forces qui s'exercent entre un courant fermé ci un pôle d'un solénoïde ou d'un aimant. Nous avons vu [ n" 260) que l'action d'un courant fermé sur un pôle boréal se réduit à une résultante unique appliquerai! pôle; les formules [5.9) ou (3o) donnent les composantes de celle force, lorsque l'origine est au pôle. L'origine occupant une position quelconque, si l'on appelle x, y, : les coordonnées du pôle, les formules(3o) deviennent

Comme on a d'ailleurs elles se réduisent à

ai >* ï= t ,»Y, î = ,,.»[.

■ tx Sj- Sz

Le travail des forces résultant de l'action mutuelle du courant el du pôle, dépendant du déplacement relatif du pôle et du conducteur, on peut supposer le conducteur fixe et le pôle seul mobile. Il suffit alors de prendre le travail de la force qui agit sur le pôle; ce travail est [38) rfS = — furfV.

Lorsque le pôle est austral, on change le signe de u.

Si l'on pose

on b en lin

269. La fonction V a ici une signification géométrique trèssimple : tiu pôle P, comme centre, avec un rayon égal à l'unité, décrivons une sphère ci considérons la portion il détachée sur la surface de celte sphère par le cône qui a son sommet en I\ et pour directrice le conducteur ferme. Soit M un poinl quelconque de la surface S limitée au courant fermé, HN la normale en ce point, menée dans un sens tel qu'un observateur placé sur cette normale voie le courant tourner de droite à gauche ; la lettre p désigne la longueur de la perpendiculaire P.ti abaissée du point P, sur le plan langent en M (yîg-.Sj); on a

t = cosMP,L = cosDMN.

Fi E .B..

A un élément ab ou du de la surface S correspond un élément cd ou rifl de la sphère dont le rayon esl i et un élément db' ou r'dQ. de la sphère dont le rayon est P,M; mais l'élément a'b' peut être regarde comme la projection de l'élément dia sur le phi n prrpi'mlieuhiii'c à 1\ M; on a donc

r'dQ =±d<* X cosDMN =±

on prendra le signe 4- ou le signe —, suivant que la normale MN fait un angle aigu ou obtus avec le prolongement MD du rayon vecteur P,M.

DEUÏ. rARTIE. — CIlAr. II. — SUITE DE l.'ÉLECrnODÏNÀHlQU E.

L'expression du potentiel devient ainsi

Ainsi la fonction V est proportionnelle à l'ouverture du cône snus lequel du pôle on voit le courant.

270. Considérons, en général, l'action d'un aimant sur tin courant fermé. Si l'on cherche, comme précédemment, la fonction V relative à l'action de chacun des pôles élémentaires sur le courant fermé, et si l'on pose

le travail des forces i|Ui s'exercent entre le courant fermé et

l'aimant aura pour expression

(3o) rfG^ûMV.

Ceci résulte d'ailleurs immédiatement d'une remarque faite du n" -iGi. Pions avons vu qu'on peut remplacer le courant fermé par une surface magnétique; le calcul du travail est alors le même que s'il s'agissait de deux aimants.

i'H r:>o'i f:vi:s iMsuvcriny.