PHÉNOMÈNES D'INDUCTION
FORMULE DE WKER.
27i. Nous avons étudii- iIl-ii v iNHi'^oni's pii ne i pales île phénomènes électriques : les phénomènes d'électricilé slplique qui sont régis par la loi de Coulomb
el les phénomènes électrodjnamiques qui sonl compris dans la loi d'Ampère (n° 265)
fi >M
La première donne l'action mutuelle de deux masses électriques m et m' au repos, la seconde celle de deux éléments de courant. M. Weber est parvenu à réunir ces deux lois dans une loi plus générale, comprenant tes deux catégories de phénomènes; il admet que l'action mutuelle de deux masses électriques n'est pas la même quand ces masses sont en mouvement que lorsqu'elles sont en repos, et il a trouvé que celle
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action est représentée par la formule
On reconnaît immédiatement qoe celte formule coniprenii celle de Coulomb, puisque, lorsque les masses électriques sont au repos, le second terme est nul. Nous verrons qu'elle comprend aussi celle d'Ampère. M. Weber raisonne dans l'bypotlièse des deux fluides; dans cet ordre d'idées, on regarde un courant d'intensité i comme formé de deux courants d'électricités contraires, morcliant dans des sens opposés avec la même vitesse u, et avant chacun une intensité égale à ^-
Si l'on appelle u la section très-petite du conducteur et p la densité des fluides électriques, la quantité de chacun des fluides qui traverse la section du fil dans l'unité de temps est p'.ui, cl l'on a, pour chacun des courants,
et, par suite,
Un élément ils du conducteur contient des masses égales + m et — m de fluide positif et de fluide négatif, et l'on a
et, par suite,
(,) afli« = irf*.
ACTION MUTUELLE DE DEUX COURANTS D'INTENSITES CONSTATES . DAKS DES CONDUCTEURS FIXES.
272. Considérons deux courants d'intensités constantes i et f dans des conducteurs fixes C et G, et supposons d'abord que les aires u et ai' des sections soient constantes; les vitesses « et u' de l'électricité sont alors constantes le long de chacun d'eux. La position d'une masse m de fluide posi:if se mouvant sur le premier conducteur, avec la vitesse K, dans
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le sens de la flèche, esl déterminée à chaque instant pnr l'are s compte à partir d'un point fisc 0 sur le conducteur \ftg. 8a j.
KL 6 . tji.
De même, la position d'une masse m' de fluide positif se mouvant sur le second conducteur, avec la vitesse dans le sens de la flcclic, est déterminée à chaque instant par l'are s' compte à partir d'un point fixe 0' sur ce conducteur. On doit donc regarder s et »' comme des fonctions du temps, et l'on a
1l = u ' ~dï = "'- La distance r des deux masses en mouvement est une fonction des aies s et j', et par conséquent une fonction du temps. Il en esl de même de la quantité /i: On a donc, en dlfférentianl une première fois celle fonction composée,
dj? ijr rfî W? ds' ij? )J?
t2) dt ~ 3* 3ï di lê "*~ Di' '
Les dérivées partielles sont elles-mêmes des fonc-
tions de s ei s', et par conséquent des fonctions de (; on aura donc, en dirférentiant une seconde fois,
d>fr fvfr-dt ï>vr</»'\ JVtfrd* vfi ds'\ dt> ~ "\Ss' dt + isïs' dl J \ïsï? Tt S»" dt)'
r dans la formule de Weber, on obtient l'action exercée par la masse + m sur la masse
Pour avoir l'action exercée par la masse — m sur la masse + m', il suffit de changer, dans l'expression précédente, le signe de m et aussi celui de u; car la masse — m marche en sens inverse et par conséquent avec la vitesse — u; on a ainsi, pour cette seconde action,
En ajoutant ces deux forces, on a l'action exercée sur la. niasse H- m' par l'ensemble des deux niasses + nt et — m contenues dans un même élément ds du conducteur C, savoir
4*m«W i'<fr
si l'on remplace imit par idi, et si l'on représente celle aclion par -i il vient
Pour avoir l'action exercée par l'ensemble des deux masses + m et — m sur la masse — m', il suffit, dans l'expression précédenie, de changer les signes de m' el de u'; on trouve
la môme force ^- La somme de ces deux forces
^km'u'ids ï'Jr *~ ' ^ Sri?'
ou
nkiïdsds' ?' V V
j; Sri*
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esi l'action exercée par l'élément ds sur l'élément ds'; c'esL précisément la force élecirodjnamiquc d'Ampère(fi).
273. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que chaque conducteur a une égale section dans toute sa longueur; si la seclion est inégale, il faudra regarder s> comme une fonction de *; la vitesse u du courant ne sera pas la même aux différents points du conducteur, ce sera aussi une fonction de*. La vitesse « de la masse + mse mouvant dans le conducteur C sera donc variable, et l'on aura
du du ds du
~dl ~"ïts dt ~" rfT
On aura de même sur l'autre conducteur
Quand nous avons différenlié l'expression (2) de -^f* nous avons regardé u et u' comme des constantes; ces quantités étant maintenant des fonctions du temps, il faudra à l'expression (3) de ^-J^ ajouter les termes
tê dt ~*~ il' dt '
ou
du ^^r , du' ? dr U ~dï~ls~ " ~dl Js 1 "
Quand on considère l'action de -t-m ou celle de — m sur -+- m', ces termes additionnels restent les mêmes dans les parernlièses; comme le signe est changé en avant de la parenthèse, ces termes disparaissent dans la somme (I). Ainsi l'inégalité de la section ne change pas la force — qui agit sur la masse 4- m' ou sur la masse — m', cl par conséquent la force électrodynamique F reste la même.
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