En différenliunl une première fois, on a
d<J? i<fr dt U±dJ
dt is dl il 1 dt + <i(
ou
d-fr >fr ,i</? ifr
! ' 61 -dT = "-î7 +a W^W
Chacune des dérivées partielles ~\ ^y". de la fonction
yr = if( J > s '< ') doil aussi ôlre considérée comme une fonction des trois quantités s, s', t. On aura donc, en différenliant une. seconde fois,
df \ )s' dC a* S* 1 dt • isit )
, ,{S>'-frds Vjfr M Vfr \
^, ii dt + a*- j(
s/a» a/.v ae /
3^0 Ml Ill.lt PABT1B. — CBAPITËE X.
Lorsque la section est înc-«ulc cl l'intensiié variable, u esi une fonction île i el /, comme nous l'avons expliqué précédemment (n- 273), el l'on a
du 3 n dt 3k ïk 3jf du' , Ja' , iV
dl ~3* dt + 3/ 3/' dl ~ "a* 1 jV
On a ainsi
( a«aVr .w wj\
\ ii si tï a»- y
\.3i 3/ S» 1 J/ / Quand on considère les actions réunies de 4- m el (le - m sur -H m', comme il foui changer le signe de m cl celui de «,
les seuls termes de -^7- qui subsistent dans le résultat sont les trois termes
, 3'vV 3 <fi ,1» 3»j/r
I "" itif "a* a/ a/a* 1
qui changent de signe avec u ; tous les autres se détruisent. On trouve ainsi que l'action des deux masses -i- m et — m, qui sont contenues dans l'élément ds, sur ■+■ m' est
1 ^ ai*v ^7 ' a« 3/
PlltKOltfeNliS d'induction. 3$i On retrouve ainsi les deux forces - et ± E obtenues précédemment (n D 27;>), et ia mobilité des eonducleurs introduit une troisième force
La somme des actions exercées par l'élément ds sur les dcuv masses 4- m 1 ei — m' contenues dans l'élément ds' est toujours égale à F; c'est la force électrod vnamique dont l'expression reste la même. Nous avons maintenant deux forces éleciromolrices : l'une ± E due à la variation de l'intensité; l'autre ± E' due au déplacement des conducteurs.
285. Évaluons le travail des forces dans les conditions actuelles. Appelons v et v' les vitesses des points M et M' des conducteurs, l'angle de la vitesse e avec la direction MM', 4-' l'angle de la vitesse avec la direction M' M ( fig.83). Fi E -S3.
La masse électrique + m a un double mouvement; elle se meut sur le conducteur C avec la vitesse », et participe au niouvcmentdu conducteur qui l'entraîne avec lui; son déplacement pendant le temps dl est la résultante des deux déplacements MX — udi, MP — vdt. Le déplacement de la masse
Les masses électriques -+- m' et — m' ont de même un double mouvement: leur mouvement propre sur le conducteur C, et le mouvement du conducteur qui les, entraîne avec lui; le déplacement de la masse -t- m' dans l'espace pendant le temps dl est la résultante des deux déplacements WN' — u'dt et
Sfja DIUXIlH PARTIE. — CHAPITRE ï.
M'P'— v'dt; le déplacement de la masse — ni est la résultante dos deux déplacements — u'dl et v'dt.
Or on sait que le travail d'une force pour un déplacement résultant est égal à la somme des travaux relatifs aux déplacements composants. Nous avons vu (11° 274) que la résultante des forées - t qui agissent sur la masse -+■ ni, et qui proviennent des différents cléments du conducteur fermé C, est normale au conducteur C, et que, par conséquent, le travail de cette résultante pour le déplacement u'dl est nul ; le travail pour le déplacement v'dt est égal à
-Mu-h>dtf^™¥-d t .
La résultante des forces - qui agissent sur la niasse — ni, étant
égale en grandeur et en direction, donne aussi un travail nul pour le déplacement — u'dl, et le même travail pour le déplacement v'dt. De sorte que le travail des forces ^q u i agissent sur les deux masses ■+■ ni et — ni, contenues dans l'élément </*', est
le travail des forces - 'qui agissent sur toutes les masses électriques contenues dans le conducteur C, est donc ■]8] dGFC'=-*kirdt C Ç l ^?s4/
Le travail des mêmes forces qui agissent sur toutes les masses électriques contenues dans le conducieur C est
(,,) «M = - ff£g ï=t d.di.
Il est évident que- la somme de ces deux travaux est le travail des forces élerlrodynamiques dans le système des deux conducteurs, travail dont nous avons trouvé la valeur
lï'rfW au n° 267. C'est ce qu'il csl d'ailleurs facile <le vérifier; on a, en effet,
v ces if -+- e'cos if — —,
et la somme tics deux travaux précédents est identique à l'expression (33) du n°2G6,,
Les forces -i- E et — E qui agissent sur les masses + m' et — m' donnent, pour le déplacement v'i/i, des travaux égaux et de signes contraires; on peut donc, dans l'évaluation du travail de ces forces, faire abstraction du mouvement des conducteurs, et on est ramené au cas que nous avons traité au n° 277. Ainsi le travail, pendant le temps Jt, des forces ±E est —Vfi'di sur le courant C, — Wirfi' sur le courant C; en tout— Wtf(ïi').
286. Les forces + E' el — E' qui agissent sur les masses + m' et — ni' donnent de même, pour le déplacement v'i/t, des travaux égaux et de signes contraires, et l'on peut encore faire abstraction du déplacement du conducteur C. Le travail de la force E', qui agit sur la masse + n.', pour le déplacement «Vf, est
„, ... ikm'uidtdt Jr à'V**
E'COSfl'X U'dt = - ■ JJT yyy^
Le travail de leur résultante est
Çfrm-u'idt Ç^^-dt.
La résultante des forces — E', qui agissent sur — m', donne un travail égal et de même signe; de sorte que le travail des forces + E' et — E', qui agissent sur les deux masses -+■ m' et — m' contenues dans l'élément ds 1 , csl
Le travail des forces ±E', qui agissent sur toute l'étendue du
344 DEUIlBMÏ PARTIE. — CHAPITRE X.
courant C, esl donc
En intégrant par parties, on a
puisque les conducteurs sont fermés, cl l'expression précédente devient
si l'on compare cette expression à l'expression (33] du n°26G, on voit que le travail des forces ± E', qui agissent sur le courant C, esl égal au travail des forces éteclrodynamiques et de signe contraire; sa valeur esl donc — tï'rfW. Le travail des forces ± E' qui agissent sur le courant C a la même valeur - ii'dW.
Ainsi, le travail pendant le temps di des forces que le courant C exerce sur le courant C esl (ai) rfBFC- WiA'' - ifdW = rfSFC-M(t'W) ) celui des forces que le courant C exerce sur C est (sa) rfGFC — WiV( — ff'rfW = rfSFC — t'rf(iW). La somme de ces deux travaux, c'est-à-dire le travail de l'action mutuelle des deux courants, esl (a3) iïdW-îd{i'Vf) — M(/W) = - tf(iTW).
INDUCTION d'un courant scr LUI-MIIE par lk CBinoKMEKT
