Nous avons choisi dans ce qui précède les deux va
4« PB1ÎBIÉI1E l'HllE. — CI1APITHB 1.
riables indépendantes c et y» pour définir l'état du corps. U est une fonction de ces deux variables; nous la représenterons par U,,,, Indiquant les variables indépendantes par des indices, afin d'éviter toute confusion. Si l'un remplace dV par sa valeur
ïu„ , ïil, ,
,!V — -jf < lv + -jf d P> l'équation (n) devient
et si l'on pose, pour abréger.
X et Y étant deux fondions de v et p, elle se réduit à la loriue simple
[a,) dQ=Xtt» + Yàp.
Il existe une relation entre les deux fonctions Xet Y. Un a. en effet,
ip ivîp
ÏY 5UJ
d'où l'on déduit
Celle relation montre bieni]iie le second membre de l'équation (o,) n'est pas une différentielle exacte, ear il faudrait pour
. sx aï
cela que I on eut — — i et par suite A = o.
10. Prenons maintenant / et v pour variables indépendantes. U est une fonction de f et v, \i est aussi une fonction des mêmes variables d'après la relation t?[t,v, p) = o. On a
Etudk des
IllERMIQtJES.
alors
et l'équation fn) devient
Si l'on pose
c et / étant deux fonctions de i cl e, celle équation se réduit à ta forme
Les deux fonctions c cl / oui une signification physique qu'il importe de remarquer; c est la chaleur spi'cijîyun tht corptà volume constant, et I lu chaleur laienle de dilatation. Eu effet, si le volume est constant, de — a, et l'équation se
Or, si l'on communique au corps une quantité de chaleur AQ, le volume ivstaut (.■oiiilanl, lu température s'élè\e de A/;
elle est égale à c. Au contraire, si la température reste constante, l'équation se réduit à
/ est la limite du rapport de la quantité de chaleur reçue
par le corps à l'accroisscmenl de volume correspondant; c'est la chaleur latente de dilatation. Lorsque le corps se contracte par la chaleur, Ac est négatif, ainsi que /.
Il existe aussi une relation entre les deux fonctions c et /.
dQ = cdt + tdv.
,IQ = cdt.
</Q = ldv;
et, par suite,
-, = * ^rr; -t
3/ ic ip
11. Prenons enfin f et p comme variables indépendantes; U el v doivent èlre considérées comme des fonctions de t ei de p. On a alors
dU = ^fdt+-^dp,
et si l'on pose
. /au,, sc\
C el /t étant deux fonctions de r el />, l'équation ( a ) se met sous une troisième forme
(a,) rfQ = Ctf(-M<i/>.
La fonction C est la chaleur spécifique sous pression constante; car c'est la limite du rapport ~* quand la pression ne change pas.
Il existe aussi une relation entre C et h, e
î/t \if3/> P >tAp i>//'
ÉTLDE lu:S PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 43
et, par suite,
|a ' 1 Tt ïf~ A Ti
Les trois formes (a,), (a,), (<?,)■ sons lesquelles nous avons mis l'équation fondamentale (a), correspondent aux trois couples de variables indépendantes v et p, I et c, / et /). Les trois relations {a,), (a,), qui s'en déduisent, ont été trouvées par M. Clausius.
FONCTION D'INTEGRALITE.
42. Nous avons vu (]i"39) que, si l'on prend i' et p pour variables indépendantes, l'équation fomliimcniiilc se met sous la forme
(a,) dQ^X.dv + Yelp.
Nous savons que le second membre n'est pas la différentielle exacte d'une fonction de v et de p; mais on démontre en mathématiques qu'une «pression de cette forme, multipliée par une certaine fonction, peut être rendue différentielle exacte ; je rappelle en quelques mots la démonstration de cette proposition. Considérons réqmiiion différentielle
X dv + Ydp — a ; les deux variables i' et p sont ici fonctions l'une de l'antre, et cette équation a une intégrale générale. Supposons-la trouvée et mise sous la forme
FK/>) =f, L u étant une constante arbitraire. On en déduit
F r dv-hV f dp =
Celte valeur de ^ devant être égale à celle que fournit l'équation différentielle, on a
44 PREJUEHE PARTIE. — CHAPITRE ].
Celte équation doit ùire vérilléi? identiquement, c'esi-ô-dire quelles que soient les valeurs de p et de c; on a donc
'i. étant une certaine fonction de c et de p. On en déduit
lion («,), celle équation é dQ
). les deux membres de l'équa-
-y=f',dv + r t dp.
Le second membre csl alors la différentielle exacte de la fonction F(v, /i); désignons cette fonction par a, il vient alors
). et /a sont deux nouvelles fonctions des variables indépendantes v ei p. Le raisonnement que nous venons de faire peut évidemment être répété quelles que soient les variables choisies; il esl indépendant du clioix de ces variables.
Ainsi : // existe une fonction ). des deux cartables indépendantes telle, que l'expression '^S défient une différentielle
13. Il existe même une infinité de fonctions qui jouissent de celle propriélé. En effet, soil /, l'une d'elles, on aura
si l'on pose
dQ =
tTDDi des i-Btnoataru thermiques. 4 5 f (p) ijlant une fonction arbitraire de p, il vient
<iq = ?., à? = dp
l l, o(p) ylfi) 1
le second membre est évidemment la différentielle exacte d'une certaine fonction tl (a) qu'on obtiendra en posant
Ainsi : Quand on connaît une fonction ). (/ci variables indépendantes qui rend t'expres%ion ^y- différentielle exacte, on obtient une nouvelle fonction qui jouit de la même propriété en multipliant lit première par une fonction iirbitmirn (le u.
H. Un gaz parfait serait un gaz satisfaisant d'une manière rigoureuse aux lois expérimentales qui ne sont applicables aux gaz réels que d'une manière approchée. On ne connaît pas de gaz jouissant absolument de ces propriétés, mais les conséquences auxquelles on arrive en supposant les gaz parfaits, sont sensiblement vraies pour les gaz réels.
Pbemièbkloi EXFÊaMEHTAU. lois de Mariolle et de Gny-Lussac. — Ces deux lois, comme nous l'avons vu ( n" lli), sont renfermées dans l'équation suivante
(3) pv= ap ,v.{a + l).
Cette équation suppose que la température est mesurée par le thermomètre a air. I.es constantes a et p, sont les mêmes pour tous les gaz; v, est une constante particulière à chaque gaz, c'est le volume spécifique du gaz à la température zéro cl sous la pression p.. En réalité la constante a n'est pas absolument la même pour tous les gaz; mais les différences sont faibles, elles indiquent l'existence d'une loi générale et de
pm; mi tau partie. — chapitre i.
perturbations secondaires. Ainsi, les valeurs de a = - sont
Pour l'air . ■ 273,20
Pour l'hydrogène 273,13
Pour l'acide carbonique. 273,81
io. D bohème loi expérimentale. Loi de Joule. — De ses cvpérionccs sur lu détente des gaz, M. Joule a conclu que l'énergie intérieure d'un gaz dépend uniquement île su température et non île son volume. En admettant celle loi nous pourrons poser
Il résulle de celle hypothèse plusieurs conséquences importa ni es.
Première conséquence. — En se reportant à la valeur générale de la chaleur spécifique à volume constant ( n" 40), ou obtient dans le cas actuel
Le second membre est une fonction de la température seule. Ainsi : La chaleur spécifique d'un gaz à volume constant dépend uniquement de lu température de ce gaz.
Deuxième conséquence. — On a de même, pour la chaleur spécifique sous pression constante ( n" il).
Pour les gaz, nous connaissons la relation (3) qui existe entre le volume, la température et la pression; on en déduit
Cl, par suite,
La chaleur spécifique d'un gaz sous pression constante est aussi une fonction de fa température seule du gaz.
