CYCLE UE CA1XOT

60. On appelle cycle une suite de transformations telles que le corps revienne à son étal primitif. Parmi tous les cycles imaginables, il en est un qui joue un rôle important dans cette théorie; il est Tonné de deux lignes isothermes et de deux lignes adiabatiques : on l'appelle cycle de Girnoi.

Considérons deux lignes isothermes DC et AB, correspondant, la première à la température ( ( , la seconde à une température plus élevée /„ et deux lignes adiabatiques AD et BC correspondant aux valeurs p., et p,. Si le corps pan de l'étal A et y revient après avoir éprouvé les transformations Fin. 7.

-4 1 il l r

successives AB, BC, CD, DA, il aura suivi un cycle de Carnot. Pour que celle transformation soit possible, il faut concevoir deut corps étrangers indéfinis parfaitement conducteurs, l'un K,à la température /„ l'autre K, à la température l„ avec lesquels le corps considéré sera mis alternativement en coin-

tio PHKHIÏRK PARTIS. — OUMTII1, II*

munication. Supposons le cycle parcouru dans le sens ABCDA, que nous appellerons direct.

lure constante />; il reçoit du corps extérieur K, une certaine quantité de chaleur Q,; cette chaleur produit une variation d'énergie intérieure et un travail extérieur positif figuré par l'aire du trapèze AHB'A'.

a" Tendant la transformation BC suivant une ligne adiabatique, le corps n'a aucune communication calorifique avec l'extérieur, il ne reçoit ni ne perd de la chaleur, l'énergie intérieure diminue et se transforme en un travail extérieur positif BCC'B'.

Kii allant de l'élut A à l'état C le corps a donc effectué un travail extérieur figuré par l'aire AltCC'A'.

3" Pendant la transformation Cl) à la température constante /,, le travail extérieur est négatif. La pression extérieure fournit au corps une certaine quantité de travail CDD'C; ce travail produit une variation d'énergie intérieure, et le dégagement d'une certaine quantité de chaleur Q,, qui se porte sur le corps extérieur K, en contact avec le corps considéré, et à la même température que lui.

4" Enfin le long de la ligue adiahatique 1)A, toute communication de chaleur est de nouveau supprimée; le travail extérieur reçu DAA'D' augmente l'énergie intérieure du corps et ramène le corps à l'étal primitif A.

Le corps, dont nous avons considéré les Iransftu mations, est une véritable machine fonctionnant suivant le cycle de Carnoi. Elle est alternativement en communication avec le corps extérieur K,, auquel elle enlève une certaine quantité de chaleur Q-à la température constante (,, el avec le corps extérieur K,, auquel elle cède une quantité de chaleur Q, à la tempéra-

Après chaque cycle, l'énergie intérieure 11 reprenant sa valeur primitive, on a i U = o et l'équation fondameniale (i) EQ^AU + S

se réduit à

EQ = S.

TntORfexE de (■.•unir. 6l La quantité de chaleur Q = Q,— Q, gagnée par la machine esi changée en une quantité équivalente S Je travail extérieur: cette quantité de travail S est la différence entre le travail ABCC'A' produit parla machine ei le travail reçu CDAA'C; elle est figurée par l'aire du cycle ABCD.

Cl. Il est clair qu'une pareille machine est réversible. Supposons qu'elle fonctionne en sens inverse en partant de l'élu l D.

Suivant la ligne isotherme DC.la machine prend au corps extérieur K, une quantité de chaleur qui est précisément égale à Qi , elle éprouve une variation d'énergie intérieure et produit un travail extérieur figuré par Taire DCC'D'. Suivant la ligne adiabalique CB, elle reçoit un travail extérieur CBB'C qui produit un accroissement d'énergie intérieure. Suivant la ligne isotherme HA, la machine éprouve une variation d'énergie intérieure, reçoit un travail extérieur BAA'B' cl cède au corps extérieur K, la quantité de chaleur Qi. Enfin, suivant la ligne adiabalique AD, il y a une diminution d'énergie intérieure qui produit le travail extérieur ADD'A'.

Dans ce jeu inverse, la machine prend à la source inférieure K, une quantité de chaleur Q, et verse sur la source supérieure K, une quantité de chaleur plus grande Q,; il y a création d'une quantité de chaleur Q,— Q,. En même temps la machine a reçu une quantité de travail extérieur CBAA'C plus grande que celui ADCC'A' qu'elle a accompli; la différence S esl figurée par l'aire du cycle ABCD. Celte quantité S de travail absorbée par la machine est transformée en une quantité équivalente de chaleur, et l'un a l'équation S = B(Q,-Q.).

Ainsi, dans le jeu direct, la quantité de chaleur Q,— Q, est transformée en une quantité équivalente S de travail extérieur accompli par la machine; c'est une machine motrice. Dans le jeu inverse, il y a eu au contraire transformation d'une quantité S de travail extérieur en une quantité équivalente Q,— Q, de chaleur; on a alors une machine créant de la chaleur par le travail.

l'Tt KMI Hlf li FiHTIK. — CHJF1TRE II,

LOI HXPÊniHENTlLG DE CHUSIDS.

62. Lorsque deux corps parfaitement conducteurs K, cl K,, le premier à une température („ le second à une température inférieure I,, sont en communication directe d'une manière quelconque, soit par rayonnement, soit par conductibilité, la chaleur passe du corps K, au corps K,, cl, si l'on suppose ces deux corps infiniment grands de manière que leurs températures ne changent pas sensiblement, le passage de la chaleur a lieu indéfiniment dans le même sens et d'une manière uniforme. Supposons maintenant que ces deux corps conducteurs soieul mis en relation, non plus directement, mais par l'intermédiaire d'une machine fonctionnant suivant le cycle de Carnot. M. Clausius admet que, quelle que soit la combinaison adoptée, il est impossible de transporter de la chaleur du corps le plus froid K, sur le corps le plus chaud Ki sans une dépense de travail.

Cette loi n'est pas absolument évidente, mais on l'admet comme une généralisation de la manière dont s'effectue le passage de la chaleur entre deux corps mis en communication directe l'un avec l'autre.

TBÊOBtKE DE CAHNOT.

G3. Ce théorème consiste en ce que, pour tous les rorps fonctionnant suivant des cycles de Cnrnot entre les mêmes limites de température, le rapport de la quantité, de chaleur puisée à ta source supérieure à la quantité de chaleur transformée en travail est constant.

Concevons différents corps fonctionnant dans le sens direct suivant des cycles de Carnot, formés do lignes adiabaliques quelconques et de lignes isothermes correspondant aux mêmes températures /, et /, ; ces lignes isothermes ne sont pas pour cela identiques, puisque leur forme dépend de la naiure des rorps. Si l'on appelle Q„ Qj, Q'„. . . les quantités de chaleur que ces différents corps empruntent à la source supérieure K,, Q,, Q', , Q',.. . les quantités de chaleur qu'ils

THÉORÈME DE C1BHOT. (J3

cèdent à la source inférieure K„ le théorème de Carnot signifie que les rapports

sont égaux.

Nous pouvons nous borner à considérer deux corps ; il s'agit de démontrer que l'on a

Nous allons faire voir que si ces deux rapports n'étaient pas égaux, on serait conduit à une conséquence en contradiction avec la loi expérimentale de M. Clausius.

Supposons le premier rapport commensurable et égal au rapport de deux nombres entiers m et «,

el admettons que le deuxième rapport ~ diffère du premier, soit par exemple plus petit. On aurait

Appelons A et B les deux corps considérés, fonctionnant, le premier suivant le cycle (A), le second suivant le cycle (B). Formons avec, ces deux corps une macliine complexe dans laquelle le corps A parcoure n fois le cycle (A) dans le sens direct, pendant que le second (B) parcoure m fois le cycle (B) dans le sens inverse.

Évaluons d'abord le travail extérieur accompli par la machine pendant cette période rie fonctionnement. A chaque cycle, le corps A transforme la quantité Q>— Q, de chaleur en travail ; pendant toute la période, il a donc effectué le travail *E[Q,-Q,).

64 l-lll.J1tl.ltl-: PARTIE. " CHAPITRE II.

Le corps B produit à chaque cycle, la quantité de chaleur Q', — ; il iilisorlm Jour pendant In même période une quantité de travail égale à

Il en résulte que le, iravail total accompli par la machine

quantité nulle d'après la relation (3). La machine ne dépense donc ni ne produit aucun travail extérieur.

Évaluons maintenant les échanges de chaleur. Le corps A, fonctionnant dans le sens direct, enlève à la source supérieure K„ pendant la période considérée, la quantité de chaleur nQ, el porte sur la source inférieure une quantité de chaleur nQ,. Le corps B, fonctionnant en sens inverse, enlève à la source K, une quantité de chaleur mQ',, el porte sur la source K, une. quantité de Chaleur ntQ\. La source supérieure a donc reçu la quantité de chaleur

/«Q',- n Q,. ' el la source inférieure a perdu la quantité /»Q',-«Q,.

Ces deux quantités de chaleur sont égales d'après l'équation (3). et elles sont positives d'après la relation (4)- Ainsi la machine transporterait une quantité de chaleur m Q\ — nQ, de la source inférieure à la source supérieure sans aucune dépense de travail, ce qui est contraire ù la loi expérimentale de M. Clouai US.

(In démontrerait de même que le second rapport ne peut être plus grand que le premier; ces deux rapports sont donc égaux, et l'on a

6i, Corollairk. — Iles rapports égaux ^' Q — ,

THÉORÈME DE CABPiOT.

on déduit

Ainsi, pour tous les corps fonrtivtiiutn! siih-mtl des ryclvs de

Carnot, entre les mêmes limites de température, le rapport |y

de la quantité de chaleur puisée à la source supérieure à lit quantité de chaleur cédée à h source iixférirurc est constant.

Ce rapport est le même pour tous les corps; il est indépendant des lignes adiabatiques u, et ;j, qui forment le cycle ; il dépend uniquement des températures extrêmes /, et/,. Nous □ lions nous servir de cette propriété pour déterminer la l'orme des fonctions ). que nous avons considérées déjà cl qui rendent l'équation fondamentale inlégrable.

DftTEMUUTIOH de la FONCTION uni EGR un LITÊ .

TEMPERATURE ARÈOLUE.

G5. Supposons qu'une machine fonctionne suivant le cycle de Carnot ABCD, formé par deux lignes isothermes /, et /„ et deuN lignes adiabatiques infiniment voisines. Il suffira de poser = ft, (*,= p-i- dp. Pour toute transformation infiniment peiiie n"(H), on sait que l'on a

' dQ = ld?, >. étant une fonction des variables indépendantes.

Appelons)., la valeur de cette fonction au point D cl )., la FiG- a.

valeur de la même fonction au point A. On a donc, pour la

Ulï l'HI'Ill.llE-: PARTIE. — CHAPITRE II.

transformation [)C,

et, pour la transforma lion AB,

Q. = X, rfu.

La valeur de rffi est ta même pour ces deux transformations puisqu'elles ont lieu entre les deux mêmes lignes adiaba tiques P et .un- du.. On en déduit

Um -Q=V

Mais nous venons de voir que le rapport est indépendant

de u et du, el le même pour tous les corps; doue le rapport

y dos valeurs de ï. aux points correspondants A et D de deux

lignes isothermes f, et /, (nous appelons points correspondants les points situés sur une même ligne ailuliaiiqoe p ) est indépendant de «, el pour loos les corps c'est une même fonction de t, el /,.

lili. Il en résulte que la fonction À est égale à une même fonction/!/) de la température pour tous les corps, multipliée par une fonction de u particulière el arbitraire pour chaque corps, c'est-à-dire que l'on a

(7) IWlOXfbO.

On peut vérifier d'abord que cette condition est suffisante; car si elle est remplie, on a

).,=/( (,)Xf(fO, >..=/( '.)X?(f);

d'où

Le rapport U- est alors pour tous les corps une même fonction des températures /, cl l,.

Je dis maintenant que celle forme île la fonction X est une consé<| lien ce nécessaire du théorème île Qnnot. Eu effet, si le rapport y dépend uniquement des températures/, et / ( , il en est

de même du rapport — i qui est égal à ~ — i, et aussi du rapport

Imaginons que les deux lignes isothermes l, et t, soient infiniment voisines l'une de l'autre; il suffit pour eela de poser t, = !,!,= I + ilt. Sous pouvons prendre / el jJ. comme variables indépendantes, c'esl-;Vdire déterminer rhiique point ou chaque élat du corps par l'intersection d'uni' ligne isotherme / cl d'une ligne adiabatique y. La quantité / est alors une fonction de tel y.; la limite du rapport —' ~ est la dérivée partielle

^j- de celle fonction par rapport à /, en supposant (i constante. On a ainsi

En vertu de ce qui précède, ce rapport esl pour tous les corps une même fonction ^ (/) de la température; on peut donc écrire

En intégrant par rapport à la variable r, cl remarquant que la constante introduite par l'intégration est une fonction arbitraire de l'autre variable fi, on a

ou

Si l'on pose

lis première p.vtitir. — cbipitie 11.

il vient

fonction ^ (/) i-tmit l.i même pour tous les corps, il en esl eh- même (!o In fonction /(()• Ainsi In forme que nous avons attribuée à la roiiriion î est une conséquence du théorème de Curnol.

Comme la fonction ç [u] esi arbitraire, on peut prendre ce (jui donne

Ainsi, parmi 1rs fonctions d'inlégrabilïlé, il y en a une, jonction ilr lu température seule, et la même pour tans les

01. Il est naturel de se servir de celle fonction î. pour construire une échelle des températures que nous appellerons échelle ries li-inj'êratures absolues. Si l'un désigne par T In température absolue, ceci revient à poser T=>.

Celle échelle est connue; nous avons trouvé pour les gaz parfaits (n° 48) ). = a + t, t étant la température marquée par le thermomètre à air, et la constante a ajant une valeur égale à 7.73 ; celle fonction ï. de la température seule, étant In même pour tous les corps, un a, d'une manière générale, î. = a -t- l , cl par suite

Ainsi l'échelle des températures absolues coïncide avec celle du thermomètre à air; il suffit de supposer le zéro ab-

L'cxisicncc d'une fonction d'inlégrabililé î- la même pour lotis les corps et qui nous a servi à définir la température absolue, constitue le second principe fondamental de la théorie mécanique de la chaleur; il se traduit par l'équation

Lu ].i :l'"J !:,■ Ci

TBtOBbH DE CIRffOT. Cg

où y. esl une fonction déterminée des Jeux variables indépendantes, el particulière à chaque espèce de corps.

(18. Tour une transformation finie quelconque, on a

ii, et «, étant les valeurs de la fonction a ;ni commencement el à la fin. Si la transformation s'accomplit suivant une ligne isotherme, T étant constant, l'équation précédente devient

On en conclut que la qaantUt de chaleur nécessaire pour opérer "ne Iritmfornialion suivant une ligne isotherme qn- Iconque, entre Jeux lignes lo/ml'otiquet données, est proportionnelle- O la température absolue.

Le ejele de Cantut (n° GO] est formé de deux lignes isothermes AB et DC comprises entre deux lignes adiabatiqu<:s \I> cl BC. On a donc, en vertu de la relation (10),

Telle esl, dans l'expression du théorème de Carnol (ri°G3),

-I) PHEBlÈnE PABTIE. — r.lUPlTHB II.

In valeur du rapport de la quantité de chaleur transformée en travail à la quantité de chaleur puisée à la source supérieure.

69. Le second principe fonda mental (t) esl une conséquence immédiate du théorème de Carnot, que nous avons établi à l'aide d'une loi expérimentale de M. Clausius, extension des lois ordinaires relatives à l'équilibre de la température et à la communication de la chaleur, lin comprendra bien toute l'importance du théorème de Carnot et l'immense service qu'il a rendu à la science, si l'on se rappelle que l'on ne connaît pas pour les corps quelconques les conditions mécaniques de l'équilibre de la température. Il semblait donc que la notion d'égalité de. température dût rester une notion purement empirique et que la théorie de la chaleur fût arrêtée dès ses premiers pas. Heureusement le théorème de Carnot a permis de tourner la difficulté, en établissant une relation générale (fi ) entre la quantité de chaleur et la température.

70. La même diflicullé n'existe pas pour les gaz parfaits. A l'aide de leurs propriétés connues, nous avons démontré directement l'existence d'une fonction d'intégrabilité commune à tous les gaz et dépendant de la température seule; celle fonction est ï = a -t- / = T (nous posons ici pour abréger

T—a-ht). Oit en déduit ^ = dp. La relation ~ ~

(n°G8), et par conséquent le théorème de Carnot, estime conséquence de cette propriété.

Nous avons démontré d'une manière générale ( tr GO),

tence d'uni' fmieiiun d'iii('' , gral)iliit"' r nnuiiuiie à tous les corps

propriétés dos gaz parfaits, on peut simplifier un peu la démonstration. Considérons un corps quelconque et un gaz fonctionnant suivant des cycles de Carnot entre les mêmes limites de température T, et T,; on a, d'après le théorème de Cornot(n°6i),

Q,Q', <J. ~ tf. '

Dn.liZU'J Cy Co<

THÉORÈME DE CAHM1T. 71

les quantités dp chalout- Q, et Q, se rapportant au corps considéré, les quantités Q', cl Q', au gaz. Mais, d'après les propriétés des gaz, ce dernier rapport est connu et égal à on a

donc jj-' — y' Nous avons vu (n° 65} que, si l'on suppose le ejele compris entre deux lignes adiabatiques infiniment voisines u et u +■ du, la limite du rapport est égale à h; on a

donc y = y* ou ^ = Y' °" en conc,ul 9 ue le apport .j conserve une valeur constante le Ions d'une li^ue adiabalique 1)A; c'est donc une fonction de fi, indépendante de T, et l'on a 1— Tç(u|. Mais on sait (n° 13) que quand on a trouvé une fonction d'iiilégrubilité, on en obtient une autre en multipliant ou divisant la première par une fonrtion arbitraire de u; si l'on divise la précédente par ?(fi), on a ?. = ï.

71. M.William Thomson a déduit du second principe fondamental

plusieurs relations importantes.

Quand on prend i' et /> pour variables indépendantes, on a

dQ = Xdv+ Ydp,

et, par suite,-

Le second membre étant une différentielle exacte, on doit

A l'aide de l'équation (a,) de M. Clausius (n« 39), celle équation se simplifie ci devient

72. Prenons nuiiilenanl T el v pour variables indépendantes. On a alors

dQ — cdt-t- ldv = C i/T+ Idv,

Celle expression élanl une différentielle exacte, on a de ou

-H— Si-*-

En vertu de la seconde équation [a,) de M. Clausius ( n" 10), cette équation se réduit à

(M /=AT sf

73. Prenons enfin / et /i comme variables indépendantes. On a

dQ = CdT + Adp.

rfQ C . fi , Y" = T + T ' '

THÉORÈME I1E CAUIOT.

ce qui donne l'équation de condition

Sp jt'

! équation [a } ) de M. Clausius (n° 41) ramène cette équation à la forme simple

7i. L'équation ( jî, ) est une équation aux dérivées partielles du premier ordre à laquelle de.it satisfaire la fonction T dos deux variables indépendantes v et p. Dans l'équation (3,) /» est regardée comme une fonction de T et i', et dans l'équation (p,) v comme une fonction de T et p. Mais on peut transformer ces deux dernières équations en des équations aux dérivées partielles, auxquelles doivent satisfaire la même fonction T des . deux variahles indépendantes v et p.

Représentons, en effet, par

la relation inconnue qui existe entre la température, le volume spécifique et la pression. Si l'on y regarde e comme une constante, les deux quantités variables T et ;* seront fonctions l'une de l'autre, el il est évident que les deu\ dérivées

^— i que 1 on obtient en considérant, soit p comme une

fonction de T, soit T comme une fonction de p, ont un produit égal à l'unité. L'équation [%) peut donc être remplacée par la suivante

J-t PBEaiÈBE FikBTIE. — CUAP1TBE II.

Ile môme, si l'on regarde p connue constante, les deux quantités T ci v seront fonctions l'une de l'autre, et les deux

dérivées ^.jf auront un produit égal à l'imité; l'équation (%) deviendra

Il résulte de là que la même fonction T des deu\ variables indépendantes i 1 et p satisfait aux Irnis équations aux dérivées partielles ((3,), (JS'J. La première équation contient les

deux dérivées partielles, chacune des deux aulres n'en contient qu'une.

tQlUTIOM DE HANKJ.XE.

73. Nous avons vu ( n u ti8 } que la quantité de chaleur nécessaire pour effectuer une transformation suivant nue ligne isotherme AH CM donnée par la formule

(i3) Q = T((fa-|(.).

M. Itankinc a trouvé de celle même quantité de chaleur une autre expression qu'il est bon de connaître. Si l'on appelle S le travail extérieur accompli par le corps pendant la transformation AB, on a

Imaginons que le corps parcoure une autre ligne isoilierme A,B, limitée aux mêmes valeurs v, et v, du volume spécifique, Fin. m.

c'est-à-dire comprise entre les parallèles A A', BB', le travail

Dniizcd by Co

TIlEOBÈME DE CHICOT. ^5

impli dans une de ces transforma lions est unifonction de la température de la ligne isotherme correspondante. Prenons e et T pour variables indépendantes, cl supposons la ligne isotherme A,B, infiniment voisine de AB; la variation de travail pour ce changement de ligne isotherme est figuré par l'aire AA, B, B, et l'on a

L'équation générale

<*Q = c</T 4- Mise réduit, pour une ligne isotherme, à dQ = ldv.

En remplaçant I par sa valeur tirée de l'équation {'fi,), on a

jq=*t|{*.

On en déduit la formule

ci) Q = AT S--

nEM.lRQCÏS SLR LU THEOHÈMK DE CAH30T.