PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT DES SYSTÈMES

lliHiri-mriil du ci'nlTf! ilu gruvilt'. — ThvuiriiiL' it.'s iiiniT - ilrs i|iianlilr* ili'

mipil-i'itlrlil. — '[ Ij.-iitïjriff dii (Virer* liïi-s. — Travail dru furrra înlcrii-ii r™.

— KiiiT|jîi? ncliiflli- i l ciiit);!.' |i.ili'iili.'1K-. — fiiiliinli Ii IViiiTRh- ..l'Iih'llr.

— Inauenee du nmiinmeDl ribnUIrs «ir l'énerjto poMMIelle. — Cm .mit ; n ilr> futcet c Mi' ri. ■un». — Trniui] des [irtHisiimi ritiirienrt».

6. Considérons un système de points matériels soumis l'ii même temps à leurs actions réciproques et à des forces exlé-

riel est produit par l'ensemble des forces, tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur lui. Si donc on appelle m la masse d'un point matériel, x, y, z ses coordonnées par rapport à trois aies fixes rectangulaires, X , Y, Z, X„ .Y, . Z, ,. . . les composantes des forces qui agissent sur ee point, on aura les trois équations

"rfF

Chacun des points du système donne lieu à trois équations de même forme. On peut déduire de ces équations plusieurs théorèmes importants.

■ OUÏ ESTENT DU CENTRE UE liHAVUR.

7. En ajoutant membre à membre toutes les équations qui se rapportent à l'axe des -r, et de même celles qui se rapportent à l'axe des y ou à l'axe des z, ou a les.lrois équations

PlOPlltTtS Gfclt(UtJ!S DU SIOUÏEME.IT DES SISTtMKS. 5

suivantes :

ou bien

(3) K2»'ïr=2 v -

Le signe 2 ^ aris '° premier membre s'étend il tous les points du système, et dans le second membre à toutes les forces qui agissent sur ees différents points. Comme les forces intérieures sont deux à deux égales et imposées, leurs projections sont édiles cl de signes roiiUMires. et. jiar conséquent, disj)ai-iiis.S'']]i des secunils membres des équations (3). Tes équations ne l'enferment donc que les forées intérieures ; elles sij^iiilienl que :

TbIoibmi [. — La dérivée de Ut tomme de» projections sur un axe fixe quelconque des quantités de mouvement de tous les points d'un système est éguleti la somme des projections des

8. Si les points du système ne sont soumis à aucune forée extérieure, 1rs seconds membres des équations précédentes sont nuls; on en déduit les trois équations

dans lesquelles A , B, C sont des quantités constantes. Ainsi :

(> ratLniB AISES.

Corollaire. - Quand un système de points matériels n'est soumis ii aucune farce, extérieure, la somme des projet tioit* des quantités de mouvement de tous les points du système sur un axe fixe quelconque est constante,

9. La considération du contre de gravité du système permet d'énoncer le théorème précédent d'une autre manière. Si l'on appelle x„r„ -. les coordonnées du centre de gravité el M la masse totale, un a

(5) Mj-,=2»i/,

et les équations (?.) prennent la forme

TiifnnEMK 11. — Le mouvement du rentre de giuvitê d'un système est le même que si tonte la masse, y était concentrée et toutes les forées extérieures transportées parallèlement à ellesmêmes;

Corollaire. — Quand an système n'est soumis à aucune force extérieure, le centre de gravité reste en repos, ou se meut d'un mouvement revtiligne et uniforme.

TBEOBÈME DES' MOHEMa DES QVAXTITES. M MOUVEMENT.

10. Si l'on multiplie la première des équations (i) par j; la seconde par x et que l'on retranche la première de la seconde,

PROPRIÉTÉS GÊNÊIULES DU »Oi:VKMKNT DES SYSTÈMES. 7

membre à membre, on a

.(.SE-rSO-**«.*...i-rfi*i.+...).

En ajoutant toutes les équo lions do même sorte qui se rapportent aux différents points du svslème, ou obtient l'équation

En combinant de môme la deuxième des équations (i) avec la troisième, el la troisième avec la première, on a les trois équa-

[2»(-&->-£)=2<**-rX).'

ou bien

(ft2-('S-*a)=2(»"-«i-

L'expression a: Y — rX est le moment d'une force F par rapport à l'axe des a. Comme les fore es intérieures sont deux à deux égales el opposées, leurs moments par rapport à un axe c]ueleonque sont égaux et de signes contraires; les forces intérieures disparaissent donc des seconds membres. De

même l'expression m {x '-jj — *'^rj représente le moment, par rapport à l'axe des z, de la quantité de mouvement du point matériel m. Ainsi :

ThÉOrëKk 111. — La dérivée de Ut somme îles moments, par rapport à un axe fixe quelconque, des quantités de maueo-

ment des différents points d'un Jt sterne est égale à la somme îles moments des foires extérieures, pur rapport oit même axe.

11. Si In sjslème n'est soumis à aucune force extérieure, les seconds membres des équations qui précédent sont - nuls; on en déduit

A', B', C étant dos quantités constantes. Ainsi :

Corollaire. -- Quand un système n'est soumis il aucune force extérieure, la somme îles moments îles quantités de mouvement, par rapport a an axe fixe quelconque, est constante.

12. Ce théorème peut être appliqué à un axe mobile de direction constante et passant par le centre de gravité. Appelons, comme précédemment, x„ y„ 2, les coordonnées du centre de gravité, et ç, n, % les coordonnées d'un point matériel quelconque par rapport à îles axes menés par le rentre de gravité parallèlement aux axes lixes, on a x — x, •+■ %, =

x = s, ■+■ remplaçant dans In première îles équations (7 ).

et remarquant que^mi; -- o, = 2"'^ : ~ °' on a

=».2«-/.2xH-2(i»-»s).

En verlu des équations [G], celte équation se simplifie ei devient

elle a même forme que les équations (j ).

PROPRIETES GEHÉFULES T1U MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

TEIEORBHK I1IÎS FORCES VIVES.

13. On appelle en général force rive d'un point matériel le produit de la niasse de ce point par le carré de sa vitesse. Comme ce n'est pas relie quantité elle-même i|ite l'on a à considérer en mécanique, niais sa moitié, nous conviendrons d'appeler force vive d'un point malériel la moitié du produit de la masse par le carré de la vitesse. On sait que la variation

conque est égale à la somme des travaux des forces qui agissent sur ce point pendant ie même temps. Ai l'on Tait la somme de toutes les équations semblables qui se rapportent aux différents points du système, on obtient l'équation

(■•) i 2?=2 Gr '

EF désignant le travail de la force F. Ainsi :

Théorème IV. — Lu variation de la somme des forces vives de tous les points d'un système pendant un temps quelconque est égale à la somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur les différents points du système pendant le même temps.

Appliquons ce théorème à un déplacement infiniment pelil. Soient ds le déplacement du point»), dx, dy, dz ses projections sur les axes des eoordunnées; le travail d'une force F appliquée à re point étant égal à la force des travaux de ses com-

trav. élém. de F \dx + Y dy + Z dz,

= 2 ( X rf« + V dy + Zdz ).

14. Il existe une relation très-simple entre la force vive du mouvement d'un système par rapport a des axes fixes et celle de son mouvement par rapport à son. centre rie gravité.

Désignons par x„ y„ z, les coordonnées du contre de gravité el posons, comme au n" 12, x — x< + \ t j-—y, + r„ z = z, + %,

v idx^dl dy,H dt>dK\ + 2à"' \ dt dt + dt dt + di dl }'

Si l'on appelle v la vitesse du eenire de gravité, u colle d'un point c| li i-lf mu | par rap|.uil nu centre dt: gravité, et si l'on remarque que les dernières sommes sont nulles, l'équation précédente se réduità

ThïobSme V. - Lu force vive totale d'un système est égale à la force vive de la masse entière supposée concentrée au centre de gravite, filas Ut force vive de ce. système dans son mouvement relatif aa centre de gravité.

15. Ceci va nous permettre d'étendre le théorème des forces vives au mouvement relaiïl" au centre de gravité. L'équation (i 1 ) devient en effet

Mais nous avons démontré (n" 0) que le mouvement du centre de gravité est le même que si Mule la masse y était concentrée et toutes les forces transportées para 11 élément à elles-mêmes. En appliquant à ce point de niasse M le principe des Torces vives, on a