PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT DES SYSTÈMES
ol l'équation précédente se réduit à
(.3) d^"f----J t [Xdl + Ydr, + 7.dï).
Ainsi le théorème des forces vives subsiste quand on considère le mouvement du système par rapport à son centre de gravité :
Théorème VI. — ,Sï l'on évalue la force vive de chaque point et le travail de chaque force dans le mouvement relatif au
de tous les points du système est égale à la somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur ves différents points.
1C. Dans l'application du théorème des forces vives, il est lion de distinguer les foires iiiléneiires des forces extérieures. L'action mutuelle de deux molécules m et m', dont la distance est r, se compose de deux forces égales et opposées
coud, cl dirigées suivant la droite qui les joint. L i fonction <?{r) esl positive ou négative suivant que la force est attractive ou répulsive. Soient x, y, z les coordonnées du point m par rapport aux axes fixes, x', y-', z' celles du point m' : les composantes de la force appliquée en m sont
Y=™»,vr) ta,
Z=mm'.(r)±-=i,
et le travail élémentaire de cette force dans le mouvement alisoln a pour expression
Xttx-t-Ydj + Zdz
= mm' îlp. ),Ir + (,-' -, )d X + [.'-«] dz )}.
De même le travail élémentaire de In force appliquée bu point m' est
-{Xdx' + Ydy' + Zdz')
En □joutant, on a le travail élémentaire de l'action mutuelle des deux molécules:
mm ?t r > [j y * ) ( ,i x i
+ J") W -dy) + {-J- s) [rfs' - rf; !].
Or l'équation donne
rdr=(x>-x)[dx--d*) + l/-yXd/-dy)+(z'-:y.dz--d:). L'expression du travail devient ainsi
La somme des travaux élémentaires di's fur'-es intérieure*, sera donc
^mm'd^r) = dj i mm^(r).
Il v a dans le second membre autant de termes que de combinaisons de points matériels deux à doux.
Ci.-llc expression ne renfermant que les distances mutuelles des points du système, il est rlair que le travail des forées intérieures est le inème dans le mouvement relatif que dans le mouvement absolu.
17. La distance r de deux points s'exprima lit par les dîiïérenees des coordonnées des deux points, la quanti té ^mm' i[r) est une fonction dos coordonnées de tous les points du système, fonction que nous désignerons parf{x,y, z,x?,y' t ;',...), et qui ne dépend que des positions relatives des points les
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES PU MOCVKMEM PKS SYSTfeMES. (3
uns par rapport aux autres. La somme des travaux élémentaires des forces intérieures est la différentielle totale
tenant que le système pas>e de l'état caractérisé par l'indice i à l'étal caractérisé par l'indice a, on aura, pour celle transformaiion finie,
t-4) ^EFim.^-/.
Supposons que le système ne soil soumis à aucune force extérieure, l'équation (to)des forces vives se réduit à
Nous remplacerons la fonction / par une fonction
égale el de signe contraire, afin que l'équation précédente prenne la forme
ou
1j quantité a ) al11 ' a même valeur dans deux
étals quelconques du système, conserve une valeur constante pendant toute la durée du mouvement, et l'on a
t.{ PB ÉLIMINA 1RES.
Ainsi :
THÉORÈME VII. — lorsqu'un système n'est soumis ù aucune action extérieure, sa force vive totale., augmentée de la fonction 11, reste constante.
18. Celte équation subsiste dans le mouvement relatif an centre de gravité. On a (n"H|
le système, le mouvement tlu rentre île gravité est rcctiliyne cl uniforme (n°9), la première parlie de la force vive totale est donc confiante. D'antre part, nous avons déjà remarqué que la l'onction II — *V mm' <[i (r) est la même dans fe
mouvement relatif et dans le mouvement absolu, c'est-à-dire que H[x,p, ;,...) — IT(;,ïi, £,...). Si l'on retranche la quantité constante ^-i l'équation (i5) devient
(î6) 2?-*- II = c '-
Ainsi :
TaeoRtijm VIII. — Lorsqu'un système n'est soumis à aucune action extérieure, sa force vive intérieure, augmentée de la fonction II, reste constante,
ue l'émrgii.
19. Cherchons à préciser le sens de la fonction II. Nous avons posé
La fonction ty, et par conséquent les fonctions/ et II, qui en dépendeni, renferment une constante arbitraire. On démontre en mécanique que lorsque, pour un certain état du système.
PRnnutTÊS GÈ:fttiALE5 DU HOITVEÎIENT DFS SÏSTEHKS. [5
ln valeur de la fonction /, que l'on appelle font lion tirs foires, est uel maximum, cet état est un étal d'équilibre stable. Si la
terminé l;i constante de manière que ce plus gnunl des niavima de la fonction / soit précisément égal à zéro. Ue celle manière, la fonction / conservera une valeur négative, el par conséquent la fonction H, qui lui est égale et de signe contraire, restera toujours positive.
Imaginons que le corps parte de la position d'équilibre stable qui correspond au plus grand des maxima et vienne à sa position actuelle, le travail des forces intérieures pendant
galive représente le travail qu'il faut dépenser pour tirer le corps de la position idéale d'équilibre stable et l'amener à sa position actuelle. Inversement, si on laisse le corps revenir à sa position d'équilibré stable, les forces intérieures produiront
La fonction II rc pré se me donc le [m va il positif que les forces moléculaires seraient capables d'effectuer si le corps quittait la position actuelle et revenait à la position idéale d'équilibre stable.
20. Le premier membre de l'équation ( i5) se conquise ainsi de don* parties essenlit'llcnii'iit positives dont la somme est constante ; ces deux parties peuvent se transformer l'une dans l'autre; quand l'une d'elles diminue, l'autre augmente d'une quantité égale. La première est la somme des forces vives de tous les points du système, la seconde est le travail potentiel des forces moléculaires, ou le travail maximum qu'elles peuvent produire. Il est utile de donner à ces deux grandeurs des noms qui rappellent leurs analogies mécaniques.
Nous adopterons les dénominations proposées par M. Rankinc; nous appellerons énergie actuelle d'un système la somme des forces vives de tous les points du système, et énergie po-
il) PRELIMINAIRES.
tentielte le travail maximum que peuvent produire les forces intérieures. La somme de ces deux quantités est V énergie totale du système. Nous désignerons l'énergie actuelle par V. l'énergie potentielle par ïï, et l'énergie lutulo par C, de ma-niêre que II = V + W.
Nous avons VU (n° 14) que l'énergie actuelle d'un système
V = 2~" sc com P osi; de deux parties, l'une 1 que nous appellerons V énergie du mouvement de translation, l'autre qui est Vinergi* actuelle inlêrieure do système, et
de l'énergie actuelle intérieure cl de l'énergie potentielle sera l'énergie totale intérieure, ou simplement ['énergie intérieure du système.
Grâce à ces dénominations, les théorèmes Vil et VIII peu-
Tiit'mtnv: 1\. - Lorsqu'un système n'est soumis il aucune force extérieure, son énergie intérieure, et aussi son énergie totale, restent constantes.
En résumant ce qui précède, on voit que lorsqu'un système n'est soumis à aucune action extérieure, trois quantités prin-
sur un axe fixe quelconque, et par conséquent l'énergie du mouvement de translation;
2° La somme des moments des quantités de mouvement par rapport à un axe fixe quelconque;
3° L'énergie intérieure du système.
21. lin exemple fera bien comprendre ce qu'on entend par énergie potentielle.
Considérons un système formé de deux molécules de masses m et m', soumises seulement à leur action mutuelle, que nous
PROPRIETES GÉNÉRALES DU «OOÏBMEM DES SYSTÈMES. I ~j
supposerons de la forme (n"2)
Il y a équilibre quand les lieux molécules sont à la distance r„ el colle posilion d'équilibre est slahlc. Soient A el B ljig-i} les positions des molécules en équilibre. Supposons qu'on les amène en A'elB', à une distance»' plus grande quer 0 .
il y a atlraciion ; si on laisse les molécules revenir à leur posilion d'équilibre, les forces produisent un travail positif d'autant plus grand que les molécules ont été plus écartées de leur posilion d'équilibre. De même, si l'on amène les molécules en A, et B,, à une distance r moindre que r„ il y a répulsion ; quand on laisse les molécules revenir à la posilion d'équilibre, les forces produisent encore un travail positif. Ce travail posilircsl l'énergie potentielle du système îles deux molécules dans l'état A', B' ou A„ B,.
22. 11 est aisé du comprendre que IVni'irir totale d'un corps mesure en quelque sorte sa puissance mécanique. Considérons, par exemple, deux corps A et It {fig.it), unis par un lil
inextensible et sans masse Cl). Supposons qu'il n'y ail pas de forces extérieures, l'énergie totale du système formé partes deux corps restera constante. L'énergie du lil est nulle. En effet, sa masse étant nulle, son énergie actuelle est nulle; d'autre pari, tomme il est inextensible, les deux tensions donnent des travaux égaux el de signes c
itt l'Ilf'l l'IIS IIH1
soile, l'énergie potentielle du i «. I est aussi nulle. On » donc simplement, pour ce système, en appelant V l'énergie du corps A, et il' celle du corps B, l'équation li U' ..- consl.
Les lieux pari i es de celte somme peuvent se transformer l'une dans l'uuiiv pur l'intermédiaire du ±11. I.ursque U diminue, U' augmente d'une quiiulilé égale; c'est là ce qui caractérise l'action mécanique du corps A sur le corps II. Supposons que II diminue jusqu'à devenir nul, et, à ce moment, supprimons la communication des deux corps en coupant le lil ; alors l'énergie du corps A est nulle, et la nouvelle énergie U"du corps It est égale, d'après le lliéorème général, à la somme des deux précédentes. On a donc
ment nulle; ce corps est arrivé à un élal d'équilibre stable au repos qui persistera tant que des forces extérieures n'interviendront pas. L'énergie totale U mesure donc J'aclion mécanique maximum qu'un corps peut exercer sur les corps extérieurs.
ÊXERRIE DES MOUVEMENTS ÏIHIUTOIRES.
2IÎ. Nous avons vu déjà [ n" 14} que l'énergie actuelle d'un système se compose de l'énergie du mouvement de translation du centre de gravité el (le l'énergie actuelle intérieure, c'està-dire de l'énergie actuelle du mouvement relatiT à des axes passant par le centre (le gravité. M;<is il y a lieu de distinguer
Vcmcnl sensible et ce qui se rapporte an mouvement vibratoire, qui est en général très-rapide et impossible à obserier directement.
Considérons d'abord un système de points matériels sans mouvement sensible el animés seulement d'un mouvement vibratoire. Cbaque point matériel oscille autour d'une position moyenne. Nous représenterons par x, y, z les coordonnées de
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MDUVUEflT DES SYStÉUfi?. I<)
celle position moyenne, et par x + \, y + n, z 4- £ celles du point matériel en mouvement. Puisi|u'il n'y a pas do mouvement sensible, les coordonnées x, y, : sont indépendantes du temps, et l'on a
comme la superposition de vibrations simples de la Tonne S = Aco 5 (^ + .),
Pour une vibration simple, on a
Mfr[*~(¥ + .) '
+ B.,in.(^ + ? ) + C.,i„.(^ + ,)],
OU
+ » + A'to.(4jî + »«)-...].
La force vive varie pendant la durée d'une vibration. Sa valeur moyenne esl donnée par l'intégrale délinie
> r T mv> , , A' + B' + C'
Dans un mouvement vibratoire complexe, le carré de la vitesse a pour expression
-=H[2WtH]"
+ a) est une somme de termes tic la forme
su 11 carré
En transformant les termes de la première somme, comme précédemment, et prenant la moyenne pendant un temps Irès-grami par rapport à chaque période, alin de pouvoir négliger les termes périodiques, ou obtient
Les termes de la deuxième somme peuvent être transformés de la manière suivante :
L'intégrale du second membre est «ne somme de simis, et la valeur moyenne de celle intégrale pour un intervalle de temps 8, très-grand par rapport à la durée de chaque période, est négligeable.
On trouve ainsi, pour la valeur moyenne de l'énergie actuelle du point m,
aAA' TT
sin(^i + *) S in(^ + *')
if!"*-*!
PROPRIÉTÉS GÉNÉHILM Dit MOtYEHRUT DUS SYSTÈMES. Il
On conclut île là que : L'énergie, moyenne, d'un mouvement vibratoire, quelconque est égale il ta somme des énergies moyennes des mouvements vibratoires simples qui le com-
24. Supposons maintenant <|uc le corps soil animé en mi>mi' temps d'un mouvement sensible ei d'un mouvement vibratoire. Les coordonnées d'un point m à un instant quelconque sont encore x+ %, y + r„ «.+ Ç; mais les coordonnées x,y, i Je la position moyenne sont ici des fonctions du temps. Les composantes de la vitesse de ce point sont
Pour le point considéré, la composante ' ^ de la vitesse sensible peut être regardée comme constante pendant la durée d'une période T, si le mouvement vibratoire est simple, ou, plus généralement, pendant un intervalle de temps 0, petit en valeur absolue, mais très-grand par rapport à chacune des périodes qui entrent dans un mouvement vibratoire complexe. On peut donc écrire
dx d\ dt + dt' dr du dt dt' dz dÇ dt + ~dt'
0 J a dt dt at - B m dt J„ dt dt L*J.-°-
On a d'ailleurs
dt dt
dyd* dt dÇ dt dt + dt dt .
Les trois leimes de la dernière intégrale sont ni'jJipMliles,
aa vrElihimaiiies.
comme nous venons de le voir, il resie donc
gj 0 ^r ,l! =l(dïï + 7ï+W-)
l.a première partie du second membre est la force vive du mouvement sensible, la seconde est la force vive moyenne du mouvement vibratoire. On dira donc que ;
L'énergie actuelle d'un corps .-si la somme, de l'énergie du mouvement sensible et de l'énergie du mouvement vibratoire.
IHFLUENCK DU MOU VEXENT V1BR»TOIBK SDR l'ÉHÏIGIB rOTEKTIKLLIÎ.
2!i. Considérons un corps sans mouvement sensible et animé d'un mouvement vibratoire. L'énergie potentielle, qui est une fonction des dislances des différents points, dépend du mouvement vibratoire et varie aussi d'une manière périodique; nous pouvons nous proposer de calculer sa valeur moyenne. Représentons toujours par x,y, z les coordonnées de la position moyenne do point m; s'il n'y avait pas de mouvement vibratoire, l'énergie poteniielle aurait [jour valeur
Pendant In vibration, les coordonnées du point m sont i + E, r+s, - + S; alors l'énergie potentielle a pour valeur
Les coordonnées -, «, £ du déplacement vibratoire sont trèspetites par rapport à x, >-, z. ; on peut donc développer celle fonction en série rapidement décroissante et écrire, en se bornant au\ termes du second degré,
IbyCo
PROPRIÉTÉS GÊXÉBJLES DU MOUYKKIKT DES SYSTÈMES. a3
Les termes du premier degré n'ont pns d'influence sensible dans la moyenne. Mais les termes du second en ont une, ei l'on trouve que la valeur mojcuiie de l'énergie potentielle a pour e\[iression
On conclut de là que : La vibration change la valeur moyenne de l'énergie potentielle, sans que les positions moyennes îles molécules soient changées, c'est-à-dire sans que l'état apparent du corps soit changé.
CAS OtI IL V ! DES FORCES EXTÊHIECHES.
26. Nous avons trouve l'équation des forces vives dans le cas le plus général (n" 13]:
Si le corps a passé de l'état [i] à l'état [a], on a (n° 17)
2GFint.=/,-/; = H 1 -n 1 ; l'équation (ao) devient ainsi
i2 î ? + ( II '- n ')=2 GFe3tl -
ou bien
AV + AW=2 5 Fext., (ai] AU=]£sFc*t.
Ainsi :
TntOlfcM X.— La variation île l'énergie totale d'un système est égale à la somme îles travaux des forces extérieures. Nous avons vu que le théorème des forces vives subsiste
*4 l'Ul'.l.lMISAlMtS.
dans le mouvement relatif au centre de gravite (n n 15); on a donc
A 2 ~f =2 G ' Fint - + 2 r *«"••
E' désignant le travail dans le mouvement relatif. Le travail îles forces intérieures étant le même dans le mouvement relatif que dans le mouvement absolu, relte équation peut être mise sous In forme
ÛV;-t-AW=2 6'Fext.,
tu] n=Jrroi.
Ainsi :
Théorème XL - La variation de l'énergie intérieure d'an système est égale à la somme des travaux des forces extérieures dans le mouvement relatif au centre de gravité.
27. Outre l'uciion des forces, extérieures piepreinent dites, le corps peut recevoir une certaine i|iiantité d'énergie ealurifi'|iic qui lui vient du dehors, ou bien il peut perdre une certaine quantité d'énergie ealorîliquc qu'il communique aux corps extérieurs. Cet échange (l'énergie calorifique a lieu par rayonnement ou par conductibilité, et vuici comment on conçoit qu'il s'effectue :
Quand un corps est animé d'un mouvement vibratoire moléculaire, l'élher que possède le corps participe au mouvement; ce mouvement se communique à l'élher ambiant, dans lequel il se propage par ondes successives, et l'élher ne conserve rien
Inversement, quand une onde calorifique rencontre un corps, elle communique une partie de son énergie à l'élher que renferme le corps et aux molécules elles-mêmes; le corps entre alors en vibration, ou bien le mouvement vibratoire qu'il possédait est modifié; le corps a absorbé une certaine quantité d'énergie calorifique.
Enfin, quand une molécule d'un corps est en vibration, elle
PBOPRIÊTES GÉNÉRALES Uli MOUVEMENT DES SYSTÈMES. a5
communique cette vibration aux molécules voisines, el le mouvement se propage ainsi de proche en proche : il y a alors communication d'énergie r-alnriliqne par conductibilité. 11 est probable que i'étker intervient encore dans ce dernier cas, mais le phénomène est plus complexe.
28. Supposons donc qu'une certaine quantité d'énergie calorifique Z, venant du dehors, pénétre dans le corps; elle augmentera d'autant l'énergie totale du corps, et l'équation ( ai ) deviendra
(a3) AU=yBFexi.-r-Z.
Supposons, au contraire, que le corps dégage une certaine quantité d'énergie calorifique Z', il est clair que le travail des forces extérieures est égal à la variation d'énergie totale du corps, plus la quantité T d'énergie calorifique dégagée; l'équation ( ai ] devient ainsi
2«Fext. : AU + Z'.
Mais cette dernière équation rentre dans la précédente; il sulTit de regarder une quantité d'énergie raliiriiîque absorbée comme positive, dégagée comme négative. On a donc le théorème général suivant :
Theohrub XII. — Dans tout système, la variation de l'énergie totale est égale à la somme des travaux des forces extérieures, plus ou moins l'énergie calorifique absorbée ou dégagée.
On peut répéter les mêmes raisonnements en considérant, non plus le mouvement absolu, mais le mouvement relaliTau centre de gravité. Si une quantité d'énergie calorifique 7, est absorbée ou dégagée par le corps, elle augmentera ou diminuera d'autant son énergie intérieure, cl l'équation (sa) deviendra
[?4) AU,=2 G ' Fext - + z :
ïfi l'KÊMMINIIRF.S.
TnÉOHf.ME XIII. — Dans tout système, la variation de l'énergie intérieure est égale à la somme îles travaux des forces extérieures, estimés dans le mouvement relatif au centre de gravité, plut ou moins l'énergie calorifique absorbée ou dégagée.
