X.-V.^m.^drdr

Pour calculer la valeur de l'intégrale double, si l'on Intègre d'abord par rapport à r' et ensuite par rapport à r, il faudra

igS DtUILfiïE FltTItt. — CH4P1THÏ I.

partager l'intégrale en deux parties :

j drj" dr'+^drj dr' = a i>p - a).

On a ainsi

V,-V', = ÏH,a(3p — a).

ce rapport a pour limite X, quand a et p tendent vers iéro(").

Ki.ï. On appelle surface de niveau le lieu des points pour lesquels le potentiel V a une même valeur. Pur le point P passe une surface de niveau, cl une seule, et il est lacile de voir que la force qui s'exerce en ce point est normale à la surface de niveau. On sait, en effet, que la normale à celte surface au point P fait avec les axes des coordonnées des angles dont les cosinus sont proporliormelsaux dérivées partielles

et par conséquent proportionnels aux composâmes X, Y, Z de la force. On en conclut que la force est dirigée suivant la nor-

Soil du la portion rie normale comprise entre deux surface* de niveau infiniment voisines V et V -+■ dV, et supposons que l'axe des x coïncide avec la normale; on a

Ainsi la force qui s'exerce en un point est égale à la dérivée du potentiel par rapport à la normale à la surface de niveau

( " ; Otlr llëmiimlrMinTi iliflPniiMl-,» n Mi iniii|;i par M. Hmiqiwl.

Electrostatique. i<jj| passant par le poinl considéré, cl relie force est dirigée du rôle vers lequel le potentiel diminue.

THÊOH&MÏ FONDA HUMAI..

100. Jusqu'ici nous n'avons parlé que des dérivées premières rlu potentiel ; les dérivées secondes jouissent aussi de propriétés Irès-remarquables. Considérons d'abord le cas où le poinl P est silué en dehors îles musses nyissa rites; la fonction - ne devenant pas infinie, on peut différeiilïer sous le signe somme comme à l'ordinaire. Une première opération (n* 159) nous a donné

il r;':- r

Une seconde opération nous donnera

On a de même

On en déduit

La fonction placée sons le signe somme étant identiquement nulle, la somme elle-même est nulle. Ainsi, tant que le point 1' csl en dehors des masses agissantes, on a

s iy >VV

Sx 1 + ïy + Sa"

Pour abréger, nous représenterons le premier membre pnr le

200 DEUXIÈME F.BTIE. — CHAPITRE I.

symbole AV, de sorte que l'équation précédente s'écrira

AV = o.

Lorsque le point P est situé à l'intérieur îles masses agissantes, la fonction placée sons le signe somme devenant infinie, on ne peut plus opérer comme nous avons fait ; d'ailleurs, les expressions telles que

auxquelles nous avons été conduit, n'ont plus ici de signification déterminée; car si l'on remplace dq par sa valeur kr'ittodr, il reste encore le facteur rau dénominateur, et la fonction sous le signe somme devient infinie. Il faul alors recourir à d'autres méthodes.

167. Supposons d'abord que la masse agissante ait, dans le voisinage du point P, une densité constante. Imaginons une petite sphère S comprenant le point P; appelons V, le potentiel de la masse renfermée dans la sphère, et V, celui de la niasse extérieure. L'origine des coordonnées étant placée au centre de la sphère, nous avons trouvé (n- 160)

-r— — — iitkx, - — = ~~iztty, ~? — = — pitiés; ix 3 3/ 3 ■ Sa 3

on en déduit

ix' — if* ~ 3a' "~ 3 '

et, par suite,

4V, = -4it*,

/,■ étant la densité du fluide dans la petite sphère. Le point P n'étant pas situé dans la masse extérieure à la sphère, on a d'autre part

AV 1 = o,

il en résulte