Le potentiel ayant une valeur constante dans chacun
des corps conducteurs, les dérivées premières—.—» —
sont nulles en tous les points du corps, et il en est de même
des dérivées secondes 'y^ ■ Ainsi, dans chacun des
corps, on a AV-o; de la relation fondamentale àV — — 4ji k, on conclut que la densité h de l'électricité libre à l'intérieur des corps esl nulle, et par conséquent, qu'il n'y a pas d'électricité libre à l'intérieur des corps conducteurs. Il résulte de là que l'électricité libre esl distribuée suivant une couche infiniment mince à la surface de chacun des corps conducteurs.
É LECTh OSTAT I Q U li. T.O-]
Soit du un élément de surface, e l'épaisseur de la couche en ce point; la masse d'électricité libre répandue sur cet élément
appelle la densité de la couche électrique. La quantité «l'électricité libre répandue à la surrace de l'un des corps, ou sa charge électrique, est
son potentiel est
171. Dans chacun des corps conducteurs, le potentiel, comme nous l'avons dit, conserve une valeur constante; il varie d'une manière continue à l'extérieur, ou dans l'espace qui sépare deux corps conducteurs; nous allons démontrer qu'il jouit de la même propriété quand le point P traverse une couche électrique. Supposons, en effet, que le point P soit placé à une distance très-petite d'une couche électrique, dislance mesurée par la normale PO {figj\i)k cette couche;
Fis. (l.
appelons V, le potentiel d'une zone très-petite AB comprenant le point 0, cl V, le potentiel des autres masses électriques; on a
Sur un élément mn de la zone est répandue une quantité d'électricité hdrs, et le potentiel de la zone a pour expression
ao8 DIDXIEH PAHTIÏ. — CHAPITRE 1.
Projetons la zone Al! sur le plan langent au point 0; appelons y le cosinus de l'angle que la normale en m fait avec la normale au point 0, di' la projection de l' élément do; on
do'-- ydo.
Menons dans le plan tangent un ave fixe Ox lf s . 43), et déterminons l'élément do' par deux droites, faisant avec l'axe Ox
Fi,, jî.
des angles égaux a ? et à ç + dy, el par deuv cercles décrits du point 0 comme centre, avec des ravons égaux à Bd«+ du; ou aura alors
di' = udud<3.
el, par suite,
l-ln désignant pur A l'angle de la droite l'm avec I» normale 1*0 ijig.{*). on a
Soit A, la valeur maximum de h sur la zone, y, la valeur minimum de laquelle est voisine de l'unité; ou a, pour un point quelconque de la zone,
ELKCTBOSTATIQIIK.
et, on supposant que la projeclion Je la zone sur le plan langent soil un cercle de rayon p,
On voit que la zone n'introduit dans le potentiel qu'une quan-
V, ayant une valeur Irès-petile et V, variant d'une manière continue, il en est de même de V.
172. Bans rhacun des corps conducteurs, le potentiel a une valeur constante, et celle valeur est la même qu'a la surface puisque In fonction varie d'une manière continue; la surface du corps est dune une surface de niveau. La force qui agit sur la quantité d'électricité hda répandue sur un élément de la surface du corps est - h — <l- la dérivée étant prise à l'ex
térieur; celle force est dirigée du dedans au dehors et détruite par la résistance de l'air ou de l'enveloppe isolante; il en résulte que si h est positif, la fonction V diminue quand on va de l'intérieur du corps à l'extérieur; c'est le contraire qui a lieu quand h esl négatif.
La force dont nous venons de parler produit sur l'enveloppe isolante une pression qui, rapportée à l'uniié de surface, esl
dn
Remarquons encore que -j^ change brusquement de valeur quand le point P traverse une couche électrique; car, à l'intérieur, celle dérivée est nulle, cl, à l'extérieur, elle a une valeur finie différente de zéro.
La superposition de deuv élats d'équilibre esl un nouvel état d'équilibre. Soient en elTel V el V les potentiels relatifs
il ces deux étais d'équilibre; le potentiel V + V pour le nouvel étal résultant de In superposition (les deux premiers sera encore constant dans ch:ujui- corps conducteur.
Si l'on change dans un rapport constant la densité électrique de chaque point, on obtient de même un nouvel étal
rupport, conserve une valeur consente â l'intérieur de chaque
l'onsidéruns un corps conducteur unUjiii! dans un milieu isolant; nous démontrerons plus lard qu'une quantité donnée d'électricité libre ne peut être distribuée que d'une seule manière à la surface de ee corps. 11 résulte de ce qui précède que si l'on connaît la loi île distribution d'une quantité Q. d'électricité ii la surface du corps, on connaîtra celle d'une quantité quelconque 0;il suflira de multiplier la densité en chaque
point par le rapport ~j eu d'autres termes, de poser
' Q. ' ., par suite,
ÎV Q 3V, in Q, 3n'
Le potentiel variant dans le même rapport, on a V — V, -
Ainsi la pression en chaque point e>t proportionnelle au carré de la charge.
173. La recherche de la loi de distribution de l'éleclricilé libre à la surface d'un corps conducteur isolé, et qui n'est soumis à l'action d'aucun autre corps éleetrisé, présente de grandes difficultés iiMiliétnaiiques; celle question spéciale s'éearlanl du plan de ce cours, nous nous bornerons à en citer quelques exemples simples.
ÉLECTROSTATIQUE. 2 I I
Il est évident que sur une sphère la couche électrique doit être uniforme; si donc on appelle a le rayon de la sphère, ht
densité de la couche sera h — ' j C potentiel (n° 160)
est ~ à l'intérieur, et y à l'extérieur, p désignant la distance
du point P au centre. La pression électrique est égale à ^~ ■
Considérons maintenant un corps conducteur ayant la forme d'un ellipsoïde; imaginons une seconde surface ellipsoïde, concentrique el homothélique à la première, très-voisine et extérieure, et concevons que l'espace compris entre ces rient surfaces soit rempli d'un fluide de densité constante h. On sait qu'une couche ellipsoïde homogène telle que celle-là n'exerce aucune action sur un point intérieur; le potentiel à l'intérieur étant constant, celte couche pourra servir à figurer la loi de distribution de l'électricité à la surface de l'ellipsoïde. Soit 1 — f- s le rapport de similitude des deux surfaces. 2 étant très-petit; appelons p la perpendiculaire OU abaissée du centre sur le plan tangent au point M C/ïff. ^4î ; l'épaisseur; fie. U.
de la couche en M est la dislance MN des plans tangents parallèles aux points homologues M et M', distance égale à px; on a donc A — kc = fexp; ainsi la densité h de la couche électrique en chaque point M est proportionnelle à la distance du centre au plan tangent on ce point. Une ligne d'égale densité est la ligne de contact d'un plan tangent à l'ellipsoïde cl a une sphère concentrique donnée. Si l'on désigne par a, b, c les longueurs des demi-axes de l'ellipsoïde, le volume do la '4-
HEUXJÊME l'ARTJE. — CHAPITRE I.
ou sensiblement faahca, e ou la cliarge électrique est
Q = 4jr«6coifr,
On a d'ailleurs
ptique
Si l'on suppose que. c devienne liès-peliL, l'ellipsoïde se transforme eu un plateau elliptique i «Uni ment mince; puisque
les lifincs d'égale densité .sont des ellipses concentriques et Imnioihéliques. I-a densité électrique augmente à mesure qu'on s'éloigne du centre sur un rayon.
C1UHTHK 11. — SUIT! [IE l'e I.ECTROSr ATrOL E .
