CHAPITRE D

SUITE DP. L'ÉLECTROSTATIQUE.

ninli' <lr I-i.tii . ■— 'Hh'iu itiii'* lti r.'^nl

174. Soient U et V deux fonctions riueleoniiues finies et continues de x, y. s. Posons, comme précédemment,

... 3'V 3*V 3'V ïx' 2 y' et'

et considérons l'intégrale

f f ^Và,\dxdydz,

étendue au volume enveloppé par une surface fermée con- Fij. ffi.

vexe S [Jig. ;[5). Cette intégrale est composée de trois te rie la forme

Dans l'intégrale / U^-^ dx ks coordonnées r ei s restent J 3*

consumes, et les limitas do l'inli'graiifiii sont les abscisses el des doux points M, et M,, où une droite parallèle à l'axe des x rencontre la surface S. On a donc, eu intégrant par par-

et, par suite,

///-S***-//T-('^(»lî»*

Le produit </:r «W; représente un élément de volume dv, le produit rfvrf: un élément de sorfaee pris sur le plan desy;; on peut donc écrire l'équation précédente sous la forme plus simple

L'élément dos est lu projection sur le plan yOs de deux éléments da, et (/tri de la surface S, situés aux points M, et M.. Si l'on appelle (3,, y,, a„ (3„ y, les cosinus des angles que les normales M, N,, M, Ni à la surface au* points M, et M, font avec les axes des coordonnées, la normale en chaque point ciant menée à l'extérieur du volume enveloppé par la surface* on a

S LITE 11 K l'ÊLKCTHÙ STATIQUE. Il5

Mais le second membre esl l'intégrale

étendue à toute la surfaceS; on a donc

Les deux autres parties de l'intégrale proposée donnent de même

En ajoutant ces trois équations ternie à ternie, U vient /0AV*=/ 0 (.|ï*(>[î + ,>ï)j.

Soiw/i un clément MM' de la normale à la surface S, menée par le point M vers l'extérieur : les cosinus a, p, y des angles que cette normale fait avec les axes ont pour expressions

On en déduit

IV SV 3V JV rfi 3V dr 3V rfi </V H a* + P J r ~ t ~' / J: ~i.r rfj + Jj- 3» Ja </* " rfi '

'ce qui donne finalement

l'intégrale double s 'étendant à la surface S. et les deux intégrales triples au volume enveloppé par cette surface. Telle esl la formule de (ireen.

aiti DEUXIEME PARTIE. — ClAPITmi II.

Pour simplifier, nous avons supposé le volume limité par une surrace convexe. Mais le môme mode de raisonnement s'applique à un volume quel conque i quelle que soil la forme du volume, une parallèle à l'ave des x rencontre la surface S eu un nombre pair de points M„ M„ M„ M,,...; l'Intégrale

doit être prise d'abord de x, à x : , puis de j-, à j-„ etc.; en transformant comme précédemment eliacune de ces pontons