S„--/SS
et, par suite,
rfûi — — a, da, — ■+■ a, da : = — a s dai — + a, Jo 1 , — . . . ,
on voit que le premier terme du second membre n'est autre chose que l'intégrale
étendue à toute la surrace S, la normale en chaque point étant' menée en dehors du volume. Ainsi la formule <!e Greeo est générale.
TntonSïK 11.
I7!>. Nous supposerons dans ce qui suit que V désigne le potentiel d'un système de masses électriques, on plus généralement d'un asenl quelconque s'exerçant suivant la loi de
suite de l'ei.kctuostatioce. 217 Newton. Si dans la formule de Green on fait U = r, elle se réduit à
si l'on remplace ensuite AV par sa valeur — fai, plie de vient
lais l'intégrale J'^" n'est autre chose 1 situées d
masses agissantes situées dans un volume considéré donc la relation
Nous avons désigné par ils un élément extérieur MM' de la normale à la s u dïi ce S [Jii>. |l> ! ; ciuisiilérims les dru\ surfilées
de niveau V et V+ liV qui passent par les points M et M'; appelons du l'élément MN de la normale à la surface V compris entre les deux surfaces de niveau, et 1 l'angle NMM' des deux normales. Dans le (nantie n-rimi^lr- MNM', on a
du — ds cosi : ;
il en résulte
dV dV
— cosi — — F cosi;
1-' désignant la forre qui s e verre au point M, el qui est dirigée
Il8 DBUI1ËHB PAIT1B. — CBAPtTM 11.
suivant la normale UN à la surface de niveau, Fcosi esl h projecLion do colle farce sur la normale MM' à la surrace S. L'équation (11) prend ainsi tu forme suivante ;
fil)' Çvcosidc^-ti,
qui l'exercent lur les différents éléments d'uni- surface fermée est égaie à lu musse naissante enveloppée pur cette sttrfitce,
multipliée, par le fadeur constant t\r..
TiiËoim lu.
11(>. Lit différence, des forées qui s'erereent sur deux éléments correspondants de deux surfaces de niveau est égale à la musse agissante contenue dans le canal orthogonal compris entre ces deux éléments, multipliée par le facteur constant fa.
Soient S, cl S, deuv surfaces de niveau [Jîg. £■;); prenons sur lu première un élément dv,, el par chacun dos peints du
périmètre de cet élément menons une ligne orthogonale aux surfaces de niveau comprises entre S, el S,; le canal ainsi formé découpera sur la surface S, un élément correspondant d 17,. Appliquons lu théorème mérédent au volume enveloppé par ce canal el les doux éléments qui le terminent; il faut étendre l'intégrale à toute la surface du canal; en chaque point do la surlace latérale, la force étant tangente à la ligne orthogonale, su composante normale est nulle. L'intégrale si; réduit donc aux termes fournis par les deux bases du, el </<r,. Si l'un mène les normales dans le sons M, M,, la relation ( 11 )
SUITE DE L'ÉLECTROSTATIQUE. = 10.
q étant [a masse agissante comprise (lads le fanal orthogonal.
Le théorème de M.Chasles est un cas particulier de celui-ci. Lorsqu'il n'y a aucune masse agissante entre les deux surfaces de niveau, un a
et par conséquent les forces qui s'exercent sur les éléments correspondants des surfaces de niveau sont égales.
Théorème IV.
J77. La densité, en chaque point d'une couche électrique est égale ii in force qui s'exerce en ce point divisée pur le facteur constant 4tt.
Dans un système électrisé quelconque en équilibre, la surface S d'un corps conducteur est une surface de niveau, cl sur cette surface est répandue une couclie électrique. Prenons un élément du de celle surface, et considérons deux surfaces voisines, savoir: une surrace de niveau extérieure S, dans le voisinage de l'élémcnn/ u, et une surface intérieure S,; par chaque point du périmètre de l'élément lia, menons à l'extérieur uniligne orthogonale aux surfaces de niveau comprises entre S et S„ et prolongeons Cette ligne arbitrairement à l'intérieur jusqu'à la surface S,; nous formerons ainsi un canal détachant
la relation (11) au volume de ce canal; l'intégrale doit être
est située à l'intérieur du conducteur, comme dV est nulle, les cléments de l'intégrale sont nols. La normale en un point quelconque de la partie extérieure de la surface latérale du canal étant tangente à la surface de niveau qui passe en ce
point, quand on marche sur cette normale on a -3- = o, et les
1ÎO BEÏXItlIS PARTIR. — CHAPITRE II.
éléments de l'Intégrale pour celle partie de la surrace latérale sont encure nuls. L'intégrale se réduit donc à l'élément
(^) fo " rili Diir la ' ,ase ex 'é'ieure <!<?•• D'autre pan, si l'on désigne par h la densité de h couche électrique sur l'élément dij, la masse électrique conienue dans le canal est hdi. L'équation [ Il ) devient donc
Si l'on suppose que la surface CKLêrieure S, se rapproche de plus en plus de la surface S, le rapport '~ a pour limite l'unité, el l'équation précédente se réduit à
(iv) £=-«"*■
la dérivée clam prise à l'e\lérieur.
178, Coboluihe. — La pression exercée par la couche électrique sur le milieu iMilaut, et nipptiriée à l'unité de surface,
poinl es! propoilionm-lir tui carré de la densité de la couche en ce point.
autre corps éleetrisé, la pression est e\primée par la formule
où Q désigne la charge, et p la dislance du centre au plan tangent ou point considéré ( n° 173).
SUITE DE L'ÉLECTROSTATIQUE-
TnBontaE V,
179. Les éléments correspondants de deux t ouches pincées en regard l'une de l'autre contiennent des quantités d'électricité égides cl de signes contraires.
Considérons doux corps conducteurs A elB isolés, et placés en regard l'un de l'autre (Jtg. 48), de telle sorte que deux
Fi E . 48.
parties S, et Si de leurs surfaces soient comprises dans un même canal orthogonal, ne renfeniuiH entre les deux couches répandues sur S, et S, aucune autre masse électrique. Nous npjH'lifTuns éléments correspondants des deux couches les cléments de, et da, compris dans un même canal orthogonal inliniment petit; imaginons ce canal prolonge d'une manière quelconque dans chacun des corps A et II et fermé aux deux bouts, et appliquons encore à ce volume la relation (Il ); tous les éléments de l'intégrale sont nuls : d'ailleurs la masse électrique qui y est contenue est II, du, +- A, dtr„ A, et II, désignant les densités sur d<?> et da,; l'équation se réduit donc à
(V) fi 1 rfff, + fi I rf<r, = o.
181). Coroi.l.uhe. — Supposons que les deux surfaces S, et S, soient très-voisines l'une de l'autre, et appelons c leur distance M, M,. Les éléments du, et du, étant sensiblement égaux, on a approximativement h, — — A,. La densilé est donnée par la relation (IV),
