dn
mais quand on va de M, h M„ la dérivée diffère peu de— — — ;
e, désignant une valeur moyenne 'te la distance e.
Ces considérations peuvent être appliquées au plateau condensateur el à la bouteille de Leyde. Ordinairement, on fait communiquer le corps B avec le sol ; dans ce cas, on a Vi= o. et la formule précédente se réduit à
' Si la bouteille était parfaite, c'est-à-dire si les deux armatures étaient fermées, les charges des deux armatures seraient rigoureusement égales cl de signes contraires.
TlltOBÈME VI.
181. Lorsque, dans Un système éleclrisê en équilibre, un corps uomhtuteur enveloppe diverses masses électriques , In somme algébrique des quantité* d'élerlririlé situées a l'intérieur et sur la surface interne dit corps est nulle.
Soient g, q'.q"... les niasses ëlerii ïtpies situées il l'intérieur du corps conducteur enveloppant A (jîff. 49) ; sur '* surface interne du corps A est répandue une couche Q, , et sur la surface externe une couclie Q, ; il peu! y avoir d'autres niasses éleclri<]iics en dehors. Imaginons une surface fermée S dans le corps A lui-même, c'est-à-dire entre sa surface interne cl sa surface externe, et appliquons au volume enveloppé par cette surface le théorème II :
SUITE [IK L'fLKOTIIOSTATIQrK. ïl3
Lu potentiel V de tout le sjlème ayant une valeur constante <Ians le corps À, la dérivée —j- pst nulle en chaque point de
la surface S; on a donc Q =:o, et, par suite,
(VI) Q, + ? + î - + ... = „.
Les masses q, q'. . . peuvent appartenir à des corps mauvais conducteurs, ou bien être les couches répandues à la surface de corps conducteurs éleclrlsés, séparés les uns des autres et de la surface interne du corps A par un milieu isolant.
ConoLLAtHE. — Supposons qu'il n'y ait pas d'autres masses électriques que celles qui sont enveloppées par le corps A, et que ce corps ait été primitivement à l'élat neutre; M sera éler- Irisé par influence, et la somme algébrique Q, ■+■ Q, des quantités d'électricité libre développées sur ce corps sera nulle; on aura donc
On trouve ainsi la loi de Faraday : ta quantité d'électricité induite sur un corps conducteur enveloppant est égale à In
Tu l:i Mit: mi: VII.
182. Quand une surface fermée ne renferme aucune masse agissante, et que sur celle surface te potentiel est constant, le. potentiel est aussi constant dans tout le volume enveloppé par la surface.
Supposons que, dans la formule de Greetl, les deux fonctions U el V soient égales et représentent un même potentiel,
si l'on remplace AV par sa valeur — 4"''' et si l'on remarque que
La surface S ne contenant aurum.' masse agissante , h — a dans tout le volume, et, par suite,
D'auire pan, le potentiel ayant une valeur constante V, s: surface S, on a, en vertu du llléorème [I,
da = - 4rV,Q =
On en déduit.
(VII) fv>dv = o.
Ainsi la force F est nulle, et par conséquent le potentiel constant, dans toute l'étendue du volume.
183. Corulhibe. — Lorsqu'un corps conducteur présente des cavités ne renfermant aucune masse agissante, toute l'électricité libre se porte sur la surface extérieure i/u corps comme si le corps était plein. Sur la surface d'une cavité, le potentiel a une valeur constante Y,; supposons qu'en un point P de la cavité il ail une valeur différente n; sur chaque rayon allant (le P à un point quelconque de la surface, le potentiel variant de a à V, . on pourrait trouver un point M où le potentiel aurait une valeur donnée b, comprise entre a et V,; le lieu des points H formerait une surface fermée, à laquelle on pourrait
Oigilized b/C
SUITE DE L'ELECTROSTATIQUE. 27.5
appliquer le théorème précédent; le potentiel aurait la râleur constante 6 à l'intérieur de celle surface, ce qui esl contraire à l'hypothèse. Ainsi le potentiel a, dans toute la cavité, h valeur constante V, qu'il a dans le corps conducteur, et par conséquent, en vertu du théorème IV, il n'y a pas d'électricité libre à la surface de la cavité. En outre, si l'on introduisait dans cette cavité un corps conducteur non électrisé, l'état de ce corps ne serait pas modifié.
Théorème VIII.
184. lin système formé de masses électriques fixes données, et de charges électriques données sur des corps conducteurs, n'admet qu'un état d'équilibre.
Considérons d'abord un système formé seulement de corps eonducicurs A, B, C,. . . , isolés et tels, que chacun d'eux renferme desquantités égales d'électricité positive et d'électricité négative, je dis que le seul état d'équilibre est l'état neutre. Admettons en effet qu'il s'établisse un autre étal d'équilibre,
et appelons V,, V,, V, les valeurs ronsuuiles du potentiel
dans les différents corps ; soit V, la plus grande de ces quantités en valeur absolue; désignons paru une quantité constante comprise entre V, et zéro, et plus grande que chacune des autres quantités V,, V,, .... en valeur absolue. D'un point 0 pris arbitrairement sur la surface du corps A, menons des droites dans diverses directions ; 'sur une droite qui ne rencontre aucun des corps, le potentiel variant de V, à zéro, on peut trouver un point M où le potentiel ail la valeur a; sur une droite rencontrant la surface de l'un des autres corps, Il par exemple, le potentiel variant de V, à Vu on peut trouver dans l'intervalle qui sépare les deux corps un point M où le potentiel ail aussi la valeur a; si la droite rencontrait d'abord la surface du corps A en un second ou en plusieurs points, on prendrait le point M au delà du dernier. On obtiendra ainsi une surface fermée S, sur laquelle le potentiel a l;t valeur constante a, et celle surface enveloppera le corps A en laissant tous les autres en dehors. Appliquons au volume eniS
DBD1IËMB PtITIB. — CHAFJTHE II.
veloppé par cette surface la relation [ y ) du numéro précédent,
Q, étant lu somme algébrique dos masses électriques enveloppées par la surface S. Puisque toutes ces masses sont situées sur le corps A, on a aussi
J*AVrfc = V. fkdv = V,Q.;
l'équation (•/) devient donc
Mais dans le cas actuel, Q. = oj on en conclut que F est nulle à l'intérieur de la surface S, et par conséquent, en vertu dd théorème IV, que le corps A est à l'état neutre.
En faisant abstraction de ce corps neutre, on démontrera de même qu'un second corps est à l'élut neutre, cl ainsi de suite. Ainsi, dans le ras que nous considérons, l'état neutre est le seul élal d'équilibre.
Éludions maintenant un système quelconqucformé de masses électriques fixes q, q', q' appartenant à des corps non conducteurs, et de charges Q„ 0,. Q, répandues sur des corps
conducteurs. Nous voulons démontrer qu'il n'y a qu'un état
d'équilibre; admettons qu'il y en ait deux; appelons Ii„ h
les densités des couches répandues sur les corps conducteurs dans le premier élat, h\, h'„. ■ ., les densités dans le second étal. Si l'on change les signes de toutes les masses électriques dans le second élal, ou aura un nouvel élat d'équilibre — q, — q', — q", ... — A',, — /i',,...; ajoutant cet élal au premier, on obtiendra un nouvel étal d'équilibre, dans lequel les masses lises q et — q, q' et — q', ... , se neutralisent, cl la densité des diverses couches devient /i, — lî, , A, — h\ , . . . ; la somme algébrique îles quantités d'électricité qui l'onuent chaque couche est nulle. On rentre alors dans le cas particulier que nous avons étudié d'abord; ce nouvel étal est l'étal neutre, et l'on
SUITE DE L' ELECTROSTATIQUE. 21;
a ti, — A, , /t', = /(.,...: ainsi le système proposé ne peut présenter i|u'itn état d'équilibre.
Thêouème IX.
185. Si dans ta formule de Grec n, on permute les lettres 13 el V, et que l'on retranche membre à membre, il vient
(5) f VAVdv-J VAU<fc = f( V '-Çr~ y l!f) do - La fonction V désignant toujours le potentiel d'un sjsUMitf quelconque de masses électriques, supposons que U suit l'inverse - de la distance d'un point quelconque du volume considéré ù un point fixe P. On a, en remplaçant AV par sa valeur
prises dans le volume. Considérons d'abord le cas où le point P est extérieur au volume; la distance rue devenant pas nulle, on a identiquement AU — A - -- o, el l'équation (a) se réduit à
18lî. Supposons maintenant que le point I' soit situé dans le volume limite par la surface S. Du point P comme centre avec un rayon très-petit r 1 , décrivons une sphère 5'; nous pouvons appliquer l'équation précédente ( IX ) au volume compris entre les deux surfaces S et S' ; l'intégration doit ëlre étendue aux deux surfaces. En ce qui concerne la surface S', on a ds = -dr', da = r"da,
DEUXlBME PARTIS. — ClUl'lTRE 11.
Quand r' tend vers zéro, le premier terme du second membre lend vers zéro; le second terme, vers — 4 ~V,, V,, désignant lepoienliel au point P de toutes les masses agissantes. D'ailleurs le potentiel V des masses comprises entre les surfaces 5 et S' □ pour limite le poicnitel des masses enveloppées par la sur- Tare S; l'équation (IX) devient donc
l'intégrale se rapportant uniquement à la surface S.
Si la surface S ne comprenait aucune masse agissante, on ferait V p — o; si elle les comprenait toutes, on ferait Y p — V r
187. Corollaire. — Supposons que la surface S soit une sphère de rayon H dont le point P occupe le centre; on a
tfi=rfR.
mais, en venu du théorème II,
q étant la masse agissante contenue dans la sphère; l'équation (IX)' devient ainsi
(A) JVdcr = 47rRii+4wR , {V l ,-V;i.
Lorsque la sphère S ne renferme aucune masse agissante, on a q — o, V' p — o, et l'équation précédente se réduit à
Si. au contraire, la sphère contient toutes les masses agis-
SUITE DE L'ÉLECTROSTATIQUE. ÏIO,
samcs, on a Vj, = V,, et l'équation devient
(A) J"vd C = 4lt»Q,
Q étant la somme de'lniites les masses agissantes.
Tbéohrme X.
188. Lortqu'une surface fermée enveloppe toutes les masses agissantes, et que sur cette surface le potentiel n une valeur constante, il a en chacun des points extérieurs une valeur comprise entre zéro et la valeur relative ù cette surface île niveau.
Supposons que la surface fermée S enveloppe toutes les masses agissantes, et que le potentiel ail sur celle surface une valeur constante positive a. Nous démontrerons d'abord qui; le potentiel conserve ie même signe à l'extérieur; supposons en efTcl qu'en un point extérieur V le poienlie) ail une valeur négative — b; sur chaque droite allant du point P à un poinl de la surface S, le potentiel variant de — b à -+■ a, on pourrait trouver un poinl M, où le potentiel aurait une valeur donnée — b', comprise entre — b et zéro ; sur chaque droite indéfinie partant du point P, et ne rencontrant pas la surface S, le potentiel variant de — bh zéro, on pourrait trouver un poinl jouissant de la même propriété. Le lieu de ces points formerait, autour du poinl P, une surface de niveau fermée S', ne comprenant aucune masse agissante; d'après le théorème VII, le potentiel serait constant dans toul l'intérieur, ce qui est contraire à l'hypothèse.
11 est impossible qu'en un poinl extérieur P le potentiel ait la valeur zéro; du poinl P comme centre, décrivons une sphère extérieure ellangenle à S;d'après l'équation (a) du numéro précédent, on aurait
le potentiel V conservant le même signe sur toute la surface de la sphère, il faudrait qu'il fût nul en chaque poinl de cette surface, ce qui es! impossible.
Nous allons faire voir maintenant que le potentiel ne peut
avoir, en un point extérieur, une valeur égale ou supérieure
le potentiel aurait une valeur maximum c égale ou supérieure
précédemment, une splière extérieure et tangente à la surface S; d'après l'équation on aurait
et il serait nécessaire que sur toute la surface de la splière |e potentiel eût la valeur maximum c; ceci exigerait que c—a, et le potentiel aurait celle même valeur a dans tout l'intérieur de la sphère. D'un autre point P' de cette première splière, décrivons une seconde splière extérieure et tangente a S; on démontrerait de la même manière que le potentiel devrait avoir la valeur constante a dans l'intérieur de cette seconde splière. En continuant de celle manière, on arriverait à celle condition que le potentiel a la valeur constante a dans l'espace infini extérieur a la surface S, ce qui est impossible, puisqu'è l'infini le potentiel est nul. Ainsi, à l'extérieur de la surface S, le potentiel a une valeur comprise entre a et zéro.
Si, parlant d'un point quelconque M de la surface S, on s'éloigne vers l'extérieur, le potentiel V commence par diminuer; on arrivera à un point M' voisin de M, où le potentiel aura une valeur donnée a' un peu plus petite que a, le lieu des points M' formera une surface de niveau 5' enveloppant la première. En Continuant de cette manière, on formera une série de surfaces de niveau s'enveloppani les unes les autres, et sur lesquelles le potentiel a des valeurs de plus en plus petites.
Il est un cas particulier qu'il importe de remarquer, c'est celui où le potentiel est nul sur la surface S; la première partie du raisonnement précédent suffit pour prouver qu'il est aussi nul dans loul l'espace extérieur..
Théorème XI.
189. Lorsque, dans un système éleclrisé en équilibre, un corps conducteur enveloppe diverses musses électriques , lu
SUITE DE L'fiLECTROSTATIQUK.
couche répandue sur lit surface interne du corps et tes masses électriques situées à l'intérieur, forment an système partiel en équilibre, de lui-même et sans action ù l'extérieur.
Revenons à la figure du n" 181, et appliquons le théorème IX. ii la surface fermée S que nous avons imaginée dans le corps conducteur A; le poientiel V de tout le système ayant une rfV
valeur constante V, dans le conducteur A, la dérivée est nulle sur la surface S, et le premier membre des équations ( IX ) et (IX)' se réduit à
La quantité - peut être regardée comme le potentiel d'une masse égale à l'unité placée au point P; d'après la relation (Il ), l'intégrale
est égale à zéro ou à — 4«> suivant que le point I' est situé à l'extérieur ou à l'intérieur de la surface S. Dans le premier cas, l'équation (IX) se réduit donc à VJ, = o; dans le second cas, l'équation (IX)' donne V. — V, — V,. Mais V est le potentiel au point P des masses électriques Q,, q. >,'..■ ■ renfermées dans la surface S; comme on peut prendre la surrace S aussi rapprochée que l'on veut de la surface interne du corps conducteur A, on en conclut que le potentiel du système formé par ces masses, dont la somme algébrique est nulle (n° 181 J, est constamment nul à l'extérieur; à l'intérieur, il est égal au potentiel total, diminué de la quantité constante V,.
il résulte de là que le système partiel Q,, q, q',. . . est en équilibre de lui-même; d'abord son potentiel V a une valeur, constante zéro dans le conducteur A; ensuiio si q, q',--. sont les charges de divers corps conducteurs placés à l'intérieur, le poientiel total V ayant une valeur constante dans chacun d'eux, le potentiel partiel V y a aussi une valeur constante. Cet équi-
232 DEUXIEME P.IBIÏE. — CttANÏBE 11.
libre partiel esl celui qui s'établirait si le corps A communiquait avec le sol. Puisque son potentiel esl nul à l'extérieur, le système partiel n'exerce aucune action à l'extérieur, cl se comporte comme un corps neutre. Une bouteille de Lcyde complète jouit de cette propriété.
Les autres masses électriques présentent évidemment un second équilibre, sans action intérieure; car le potentiel V — V de ce second système partiel esl constant et égal à V, dans tout l'intérieur; ce second équilibre est celui qui s'établirait si le corps A était plein. L'équilibre général esl donc la superposition de deux équilibres partiels. Par exemple, s'il n'y a pas d'autre masse électrique que celles qui sont enveloppées par le corps A, ou situées sur ce corps, la couclie électrique 1.1, qui existe à sa surface externe esl en équilibre d'elle-même : c'est ce qu'on appelle une couche de niveau.
190. Cobollaibe. — On peut généraliser le théorème précédent. Supposons que plusieurs systèmes analogues à A soient eux-mêmes enveloppés par un conducteur li; les masses électriques renfermées dans les corps A, A',. . . formant des équilibres partiels sans action extérieure, on pcul en faire abstraction else borner à considérer les couches Q„ Q',,--- répandues
sur les surfaces
externes de ces corps, comme s'ils étaient
pleins ; ces mas-
;es électriques avec la couche répandue sur la
surface interne
du conducteur enveloppant B formeront un
nouveau System
e partiel en équilibre sans action à l extérieur
S'il n'y a pas
d'autre masse électrique que celles qui sont
enveloppées par le conducteur B ou situées sur ce corps, la eouche répandue sur la surface externe du corps B est en équilibre d'elle-même : c'est une couche de niveau.
11 esl bon de remarquer qu'une couche de niveau n'est formée que d'une seule espèce d'électricité; car la surface extérieure de la couciie enveloppant toutes les masses électriques, eu venu du théorème X, le potentiel diminue en valeur absolue
quand on s'éloigne de la surface en dehors; la dérivée
SUITE l)Ë l.'ÊLECTKOSTATICUB.
et, par suite, la densilé h a donc le mémo signe en tous les points de la surface.
191. Les expériences de Faraday confirment ces résultais de la théorie. Faraday prend un cylindre conducteur isolé {Jig. 5o), dont la hauteur est beaucoup plus grande que le
diamètre, et le met en relation avec un éleelroscopc Irès-sensible. Il fait descendre dans ce eylintïre une boule élcctriséc ; les pailles de l'élertroscopc divergent; la divergence angmenle
fût- ... i . .1 -nsitden I c-iiriji'l-: •} 1 l> f !■
est située au-dessous d'un certain niveau; elle est alors indépendante de la position de la boule dans le cylindre, cl reste encore la même quand on met la boule en contact avec le cylindre. En effet, lorsque le cône mené de la boule à l'ouverture du cylindre csl suffisamment petit, le cylindre se comporte comme une enveloppe fermée, ei la couche de niveau qui se forme à sa surface extérieure a une charge constante -+- Q égale à celle de la boule.
F'araday a fait l'expérience d'une manière plus complète en employant deux cylindres concentriques A et B {Jig. 5i ] parfaitement isolés, le dernier étant en communication avec un élcclroscope. Quand on introduit dans le cylindre A la boule chargée d'une quantité d'électricité -+- Q , la couche de niveau qui se forme sur la surface externe du cylindre H esl la même que si le cylindre A n'existait pas, et l'écartemenl des pailles esl le même que dans la première expérience. Quand on met
Fig. 5o.
a34 demi ta e paiitie. — chipitre h.
le cylindre A en communication nvec le sol, la couche répandue sur la surface externe de ce cvlindre disparaissant, te cj-
lindre B cesse d'èlre élcctrisé, et les pailles revicnnenl au contaci.
Tu Mtii(:>n: XII.
192. L'action que des masses t'Iertrii/iies iloniu'-ea exercent à l'extérieur d'une surface fermée qui les enveloppe est lit mime que celle d'une conr/ir île même niante, répandue sur celte surface suivant une certaine loi.
Soient q, q',.. . les masses électriques données dont nous appellerons la somme 0. et que nous supposerons fixes comme si elles appartenaient a des corps non conducteurs; une surface S de forme quelconque les enveloppe. Imaginons un corps conducteur limité intérieurement à la surface S et extérieurement à une surface quelconque S'. Sous l'influence des masses données, il se formera sur la surface S une couche électrique — Q, et sur la surface 5' une couche ■+- Q. D'après le théorème précédent, le potentiel de la couche — Q et des masses q, q',. . . est nul à l'extérieur de la surrace S. Il en résulte que, dans celte région de l'espace, le potentiel de la couche — Q est égal et de signe contraire à celui des masses données. Convenons maintenant que l'on change le signe de la densité en chaque point de la couche — Q, nous aurons une couche Q répandue
suite de l' Electrostatique. a35 sur la surrace S el ayant à l'extérieur même potentiel que les
Cette couche, répandue sur la surface S, et qui a même action extérieure que les masses données, n'est pas en général une couche de niveau, c'est-à-dire n'est pas en équilibre d'elle-même. Pour qu'elle jouisse de celte propriété, il faudrait que son potentiel fut constant sur la surface S; mais le potentiel de la couche est égal à celui des masses données dans toute la région extérieure à la surface S, el par conséquent sur la surface S elle-même; il faudrait donc que la surface S fût une surface de niveau par rapport aux niasses données.
Si la somme algébrique des masses électriques données était nulle, la couche équivalente formée sur la surface S serait composée de deux quantités exiles <! 'électricité positive et d'électricité négative; l'électricité positive occuperait une partie de la surrace, l'électricité négative l'autre partie.
ÊLECTBJSATION FAR INFLUENCE.
193. Considérons d'abord un corps conducteur A communiquant avec te sol, el soumis à l'action d'une masse électrique fixe q, plaréc en un point extérieur 0. Sons l'influence de la masse électrique q, il su forme sur le corps une couche électrique telle, que le potentiel V de celte couche et de la masse q soit nul à l'intérieur d'un corps A. Dans le voisinage du
point 0, le terme ji remportant sur ceux relatifs à la couche,
donne son signe au potentiel. Nous remarquerons d'abord que le potentiel conserve le même signe dans tout l'espace; car s'il avait en un point P un signe contraire à celui qu'il a dans le voisinage du point O, on pourrait former autour du point P une surface fermée ne comprenant aucune masse électrique, et sur laquelle le potentiel aurait une valeur consume comprise entre zéro el la valeur qu'il a en P : ce qui est Impossible (n° 182).
Supposons que la masse électrique q soit positive, le
l36 DBI1XIBIB PARTIR. — CHII'ITRE It.
potentiel a une valeur nulle dans le corps A, ci uni- valeur positive à l'extérieur ; la valeur de la dérivée sur la surface vers l'extérieur est donc positive, cl pur consignent la densité h de la couche est négative (n" 177). On en conclut i|ue le corps conducteur A est chargé d'une quantité d'éleciricilé q' de signe contraire à q.
Imaginons une sphère enveloppant à la fois le point 0 et le corps A; d'après l'équation {h) du n° 187,
4jrR(? + î')=yVd<ri
le potentiel ayant une valeur positive, l'intégrale a elle-même une valeur positive, et l'on a q-\-q'>o. Ainsi, la quantité tl'rliTtrivitt- induite sur un corps conducteur coniniiuiujiuiiii avec le toi est égale ou inférieure à la quantité inductrice. Elle lui est égale, comme nous l'avons vu au n" 181, lorsque le corps conducteur enveloppe la masse inductrice,
19b. Cherchons le rapport — de la quantité d'électricité induite à la quantité inductrice . Considérons le volume compris entre une suiï.irt' S. intîninicni vnisine du corps A et l'enveloppant, une petite sphère décrite du point 0 comme centre avec un rayon r, et une sphère décrite d'un point arlittraire P comme centre avec un très-grand rayon II, cl appliquons à ce volume l'équation (o , du n" 18;i,
/,«AT-VA B| *./( B S-TÎ)fc
dans laquelle nous supposerons que V désigne le potentiel précédent, et l) le potentiel de. la couche de niveau qui se formerait à la surface du corps A, si ce corps était isolé et l'-leetiisé, sans être soumis ;i l'action d'aucune masse électrique extérieure. L'inlégrale dans le premier membre s'étend à un volume dans lequel n'est située aucune masse agissante; en chacun des points de ce volume on a donc AV = o, AU = o,
Di^.Ii:û"J il 1 ;
cl par conséquent l'intégrale est identiquement nulle. L'intégrale dans le second membre doit être étendue aux trois surfaces qui limitent le volume considéré. Sur la grande sphère, les deux potentiels ont des valeurs très-petites, t*i peuvent être exprimés par des séries convergentes de la forme
on en déduit
U rfR dR~ R' 4 "" î
comme, d'autre part, du = R'rfu, un voit que l'intégrale re- Ijlive 3 la grande sphère a pour limite zéro, quand It augmente
Puisque, dans le corps A, V a une valeur nulle, rl U une laleur constante 0,, cl que l'élément de normale doit ici ëirc porté en dedans, l'intégrale relative à la surfjcc S se réduit à
Désignons par U. la valeur de U au point 0, et posons
V étant le potentiel de la couche induite; si l'on remplace ils — drel de par r" dr,i, on reconnaît que l'intégrale relative petite sphère a pour limite (J-ijU,. L'équation (3) se ré-
o = 4tt(ï' U.+ fU,), 9' U.
duit donc d'où
Il en résulte que la quantité d'électricité induite sur h corps
238 DEDllfan PABTKS. — ClltPITHK 11.
conducteur A communiquant avec le sol par une musse électrique donnée reste la même, quand cette masse se déplace sur une surface de niveau du corps A isolé, et ia quanlïlé induite est d'autant plus petite que la surface (le niveau est plus grande.
195. S'ilyaviiil plusieurs niasses rlertriq lies lixes ;igissnn[ sur le eurps conducteur A communiquant avec lesol, on chercherait la couche induite par chacune d'elles cl ou !es superposerait.
Si le corps conducteur A était isolé, et primitivement à l'étal neutre, à la couche Q' induile par les masses électriques données, quand le corps A communique avec le sol, on superposerait la couche de niveau — Q', qui s'établirait it sa surface s'il était isolé, sans être soumis à l'action d'aucune masse électrique extérieure.
Enfin, si le corps A était isolé et chargé primitivement d'une quantité d'électricité donnée Q,, à la charge induile Q' on superposerait la couche de niveau (J, — Q'.
q\ q'„. . ., S une surface de niveau qui enveloppe une partie
d'entre elles, par exemple q', q'„ On peut remplacer les
masses q', q',,--. par une couche égale répandue sur la surface S ( n" 102); si l'on appelle Vie potentiel des masses q,q„..„ V" celui des masses q', q\,..., le potentiel de la couche et des masses q, ç,,. . . à l'extérieur de S étant égal à V'+V"=V, sera constant sur la surface S, et par conséquent' cette couche est en équilibre sous l'influence des masses q, g„ ....
106. Considérons maintenant l'influence réciproque de deux corps conducteurs A et B isolés, et chargés primitivement de quantités d'électricité données Q, cl Q,. On ramène ce cas général à des cas plus simples par la méthode de Murpfty. Soit^, la couche de niveau qui, répandue sur A, y pruduit le potentiel ij cette couche, supposée fixe, induira sur 11, communiquant avec le sol, une couche — q t . La couche — g,.
SUITE [IK l'électrostatique. a3g supposée lixe, induira à son tour sur A, communiquant avec le sol, une couche q,; cette dernière, supposée fixe, induira sur B, communiquant avec le sol, une couche — q,, et ainsi de suite indéfiniment. Superposons ces diverses couches, nous aurons sur A une couche
ff, = î.+ î.+ î» + ...,
sur B une couche
il esl facile de voir que les deux couches (V, et — Q', ont ensemble un potentiel égal à i sur A, à zéro sur If, et par conséquent sont en équilibre sous leur action mutuelle.
De même, soit q\ la couche de niveau qui, répandue sur II, y produit le potentiel i. Celte couche, supposée fixe, induira sur A, communiquant avec le sol, une couche — q',; celle-ci, supposée li\e, induira sur It, communiquant avec le sol, une couche q\, ci ainsi de suite indéfiniment. Les deux couches
répandues sur A et B, ont ensemble un potentiel égal à i sur B, à zéro sur A, et, par conséquent, constituent un nouvel état d'équilibre.
Concevons maintenant que l'on multiplie la densité en chaque point dans le premier étal d'équilibre par V„ la densité en chaque point dans le second état par V,, les quantités V, et V: satisfaisant aux deux équations
V,ff,-V I Q", = Qi, -V.Q'.+V.Q^Q,,
et que l'on superpose les deux nouveaux états d'équilibre ainsi obtenus, on aura l'état d'équilibre réciproque des deux quantités d'électricité données Q, et Q„ répandues sur A et B. Le potentiel de l'ensemble aura les valeurs constantes Y, sur A, V, sur B. Si l'on donnait les valeurs V, et V, du poien-
DEUXlSlE PARTIE. — CHAPITRE lr.
tiel sur A el B, les mêmes équations détermine raie m les couches Q, ei Q,.
On peut trouver, comme précédemment, des exemples d'équilibre de celte nouvelle espèce. Soil V le potentiel de niasses fixes données, S el S' deux surfaces de niveau qui en veloppeni, la première une partie des niasses g, q„ . . ., la seconde loules les autres q', <]',,.... On peut remplacer les masses q, q,, . . . par une couche égale répandue sur la surface S, et de même les masses r/\ q\ par une couche égale
répandue sur S' ; le potentiel de l'ensemble de ces deux couches à l'extérieur est égal à \' + V — V; il a une valeur constante sur S eL une autre valeur constante sur S, et, par coït' séqueni, les deux couches sont en équilibre sous l'influence de leur action mutuelle.
TPAYAEL DES FORCES ELECTRIQUES.
