THÉORÈME DE CARNOT

Cycle.

51. On appelle cycle une suite de transformations qui ramènent le corps à son état primitif. Un cycle est figuré par une courbe fermée. La somme algébrique des travaux accomplis ou reçus par le corps dans la suite des transformations est égale en valeur absolue à Taire enveloppée par la courbe fermée.

Si, par exemple, le cycle ABCDA {Jig* lo) est décrit dans le sens de la flèche, le corps effectue un travail extérieur

Fîg. 10.

ABCC'A' pendant la phase ABC de la transformation ; il reçoit au contraire un travail CD A A' C pendant la phase CDA; le premier est positif, le second est négatif; la différence, qui est positive, est égale à Faire enveloppée par la courbe fermée ABCDA. Si le cycle était décrit en sens contraire, le corps effectuerait un travail AD ce A' pendant la phase ADC, et recevi*ait un travail plus grand CBAA'C pendant la phase CBA; la différence, qui est négative, est encore égale, en valeur absolue, à Taire enveloppée par la courbe. Dans les deux cas, la quantité de chaleur Q absorbée ou dégagée par le corps pendant le cycle entier est égale au travail S accompli ou reçu par le corps (n° 34).

52. Concevons que le corps parte d'un même état initial Mo et arrive au point M par différents chemins Mo A M, MoBM {Jîg. II). Son énergie U au point M est indépendante du chemin suivi pour y arriver; c'est une fonction des deux variables r et p qui définissent la position de ce point. Le travail S, qui est représenté par Taire limitée par la courbe et les deux or-

5o PBEMltaE PARTIE. — CHAPITRE U.

données extrêmes, variant avec la forme de la courbe, n*est pas simplement une fonction de la position du point M ou

FIg. II.

de ses deux coordonnées v et p. Comme on a

Q.-(U-Uo)-fS,

la quantité de chaleur Q, absorbée ou dégagée pendant la transformation, varie aussi avec la forme de la courbe; elle n*est pas non plus une fonction des deux variables ç et p.

Fonction intégrante.

53. Deux séries d'expériences pour chaque substance nous ont donné, d'une part la suite des lignes isothermes/(i% /?) =^ d'autre part celle des lignes adiabatiques F(r,/>) i= {x. Il sera avantageux, comme nous le verrons, de définir la position du point M, qui représente l'état du corps à un moment quelconque, par l'intersection de la ligne isotherme t et de la ligne adiabatique {x qui passent en ce point {Jig.ii). Toutes les quantités qui dépendent uniquement de l'état actuel du corps, comme le volume i^, la pression p, l'énergie U, pourront être regardées comme des fonctions des deux variables t et {x.

Soient q et q' les quantités de chaleur relatives à des transformations infiniment petites MN, MN', allant du point M à deux points N et N' situés sur une même ligne adiabatique \j.-\-d\k, voisine de la ligne adiabatique p. qui passe par le point M, et supposons que le corps décrive le cycle MN'NM; sur MN' le corps absorbe une quantité de chaleur q'\ sur la ligne adiabatique N'N il n'y a ni absorption ni dégagement

THÉORÈME DE CARNOT. 5l

de chaleur; sur NM le corps dégage une quantité de chaleur q^ de sorte que, pour le cycle entier, la quantité de chaleur acquise par le corps est ^' — q. Cette quantité de chaleur q' — q est égale au travail extérieur accompli, qui est représenté par Taire du triangle MN'N; cette aire étant

Fig. 12.

une quantité infiniment petite du second ordre, il en résulte que les deux quantités de chaleur q et q* ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite du second ordre, et par conséquent que les rapports ^> ^ tendent vers la même limite,

quand d]x tend vers zéro. On en conclut que, lorsqu'un corps part de Tétat M et éprouve une transformation MN dans une direction quelconque, la limite du rapport de la quantité de chaleur absorbée ou dégagée û?Q à la variation de ^ est indépendante de la direction du déplacement MN ; elle dépend uniquement de la position du point M; c'est donc une fonction des deux variables t et [jl. Nous désignerons par X cette fonction et nous poserons

On arrive à la même conclusion en transformant analytiquement Téquation des forces vives. Les quantités U et ^ étant des fonctions des deux variables t et [jl, on a, en effet, les différentielles totales

aU = -T- «^ H- ^— «M., àt d]i-

ai^ z= -T- dt^ -.— aui,

52 PREMIÈBE PABTÏE. — CHAPITRE II.

^t réqualion (i) devient

elle prend la forme

X' et X étant des fonctions de t et de (*. Mais quand rf(x = 0' c'est-à-dire quand la transformation s'opère sur la ligne adiabatique h^, la quantité de chaleur dQ est nulle; il en résulte que la fonction V est identiquement nulle et, par conséquent, que l'équation précédente se réduit à la forme

c'est l'équation (2).

Nous avons dit que Q n'est pas une fonction des deux variables i' etp, choisies primitivement pour définir à chaque instant l'état du corps ; la relation

^ = d^ nous apprend que la fonction X jouit de la propriété de rendre l'expression ^ égale à la différentielle exacte d'une fonction ,x de ces variables; nous l'appellerons, pour cette raison,/o«ction intégrante.

Cycle de Camot.

54 Parmi les différents cycles, il en est un qui joue un rôle important dans la théorie; il est formé de deux lignes isothermes et de deux lignes adiabatiques : on l'appelle cycle de Carnot Considérons deux lignes isothermes DC et AB (y?^. 1 3), correspondant, la première à la température t^, la seconde a une température plus élevée f„ et deux lignes adiabatiques \D et BG correspondant aux valeurs (a, et (Xj. Si le corps part de l'état A et y revient après avoir éprouvé les transformations successives AB, BC, CD, DA, il aura suivi un cycle de Carnot Pour que cei te transformation soit possible, il faut concevoir deux corps étrangers, indéfinis et parfaitement conducteurs l'un K, à la température fj, l'autre K, à la température