THÉORÈME DE GARNOT

ti, avec lesquels le corps considéré sera mis alternativement en communication.

Supposons le cycle parcouru dans le sens ABCDA, que nous appellerons sens direct.

Fig. i3.

I* Pendant la transformation AB, le corps est à la température constante t^; il reçoit du corps extérieur K, une certaine quantité de chaleur Q^; cette quantité de chaleur produit une variation d'énergie intérieure et un travail extérieur positif figuré par Taire du trapèze ABB'A'.

2° Pendant la transformation BG, suivant une ligne adiabatique, le corps n'a aucune communication calorifique avec l'extérieur; il ne reçoit ni ne perd de la chaleur : l'énergie intérieure diminue et se transforme en un travail extérieur positif BCC'B'.

3« Pendant la transformation CD à la température constante ti, le travail extérieur est négatif ; la pression extérieure fournit au corps une certaine quantité de travail CDD' G'; ce travail produit une variation d'énergie intérieure, et une certaine quantité de chaleur Qi, qui se dégage et se porte sur le corps extérieur Rj en contact avec le corps considéré, et à la même température que lui.

. 4"* Enfin, le long dé la ligne adiabatique DA, toute communication de chaleur est de nouveau supprimée: le travail extérieur reçu DAA'D' augmente l'énergie intérieure du corps et ramène le corps à l'état primitif A.

Le corps, dont nous avons considéré les transformations, est une véritable machine fonctionnant suivant le cycle de Garnol. Elle est alternativement en communication avec le corps exté-

rieur K,, duquel elle reçoit une quantité de chaleur Qj à la température constante ^„ et avec le corps extérieur Ki, auquel elle cède une quantité de chaleur Qi à la température constante ^i.

Après chaque cycle, Ténergie intérieure U reprenant sa valeur primitive, Téquation des forces vives se réduit à

Le travail extérieur S accompli par la machine est la différence entre le travail positif ABCC'A' et le travail négatif CDAA'C; il est figuré par Taire du cycle ABCD. La quantité de chaleur Qj fournie par le corps Kj se divise en deux parties : Tune Qj — Qi se transforme en travail, l'autre Qi passe du corps Kj au corps Ki, qui est à une température ti inférieure à t^. On a ici deux phénomènes connexes : transformation d'une quantité de chaleur en travail, et passage d'une autre quantité de chaleur d'un corps à un autre, qui est à une température moins élevée que le premier.

55. Il est clair qu'une pareille machine est réversible. Supposons qu'elle fonctionne en sens inverse, en partant de l'étatD. Suivant la ligne isotherme DC, la machine reçoit du corps extérieur Kl une quantité de chaleur Q,; elle éprouve une variation d'énergie intérieure et produit un travail extérieur figuré par l'aire DCC'D'. Suivant la ligne adiaba tique CB, elle reçoit un travail extérieur CBB'C, qui produit un accroissement d'énergie intérieure. Suivant la ligne isotherme BA, la machine éprouve une variation d'énergie intérieure, reçoit un travail extérieur BAA'B' et cède au corps extérieur Kj la quantité de chaleur Qj. Enfin, suivant la ligne adiabatique AD, il y a diminution d'énergie intérieure qui produit le travail extérieur AD D'A'.

Dans ce jeu inverse, la machine prend à la source inférieure Kl une quantité de chaleur Qi et verse sur la source supérieure K, une quantité de chaleur plus grande Q^; il a création d'une quantité de chaleur Qs — Qi. En même temps, la machine a reçu une quantité de travail extérieur CBAA'C plus grande que celui AD G C'A' qu'elle a accompli; la différence S' est figurée par Taire du cycle ABCD. Cette quantité S' de travail

THÉORÈSIE DE GARNOT. 55

reçue par la machine est transformée en une quantité égale de chaleur Qj — Qi. On a encore ici deux phénomènes connexes : transformation du travail en chaleur et transport d'une certaine quantité de chaleur Qj du corps Kj au corps Kj, qui est à une température plus élevée que le premier.

Lorsque deux corps Ki et Kj, le premier à la température ^j, le second à une température ti supérieure à ^i, sont en communication calorifique, soit par conductibilité, soit par rayonnement, la chaleur passe d'elle-même du corps Kj au corps Ki; c'est ce fait général qui a servi à établir l'échelle des températures. On admet, par analogie, que le même phénomène se produit lorsque les corps sont mis en relation par l'intermédiaire d'une machine thermique; en d'autres termes, on admet qu'il est impossible de faire passer de la chaleur du corps Ki au corps Kj, qui est à une température plus élevée que le premier, sans une dépense. de travail. C'est, du reste, ce que l'expérience a vérifié.

Théorème de Garaot.

56. Ce théorème consiste en ce que, pour tous les corps fonctionnant suivant des cycles de Carnot entre les mêmes li^ mites de température, le rapport de la quantité de chaleur transformée en travail à la quantité de chaleur puisée à la source supérieure est constant.

Concevons différents corps fonctionnant dans le sens direct suivant des cycles de Carnot, formés de lignes adiabatiques quelconques et des lignes isothermes qui correspondent aux mêmes températures t^ et t^ ; ces lignes isothermes ne sont pas pour cela identiques, puisque leur forme dépend de la nature des corps. Si l'on appelle Q2, Qj, Qjj ... les quantités de chaleur que ces différents corps empruntent à la source supérieure Kj, Qi, Q'i> Q'i> • • les quantités de chaleur qu'ils cèdent à la source inférieure Ki, le théorème de Carnot signifie que les rapports

sont égaux pour tous les corps.

Nous pouvons nous bornera considérer deux corps; il s'agit de démontrer que Ton a

Qt " q; "q;-Q'i~q;*

Nous allons faire voir que, si ces deux rapports n'étaient pas égaux, on serait conduit à une conséquence en contradiction avec la loi expérimentale énoncée précédemment.

Supposons le premier rapport commensurable et égal au rapport de deux nombres entiers /w et /ï,

et admettons que le deuxième rapport ~ diffère du premier,

soit par exemple plus petit que lui, on aurait

Qi m

(4) /wq; — /iQ2>o.

Appelons A et B les deux corps considérés, fonctionnant, le premier suivant le cycle (A), le second suivant le cycle (B). Formons avec ces deux corps une machine complexe, dans laquelle le corps A parcoure n fois le cycle (A) dans le sens direct, pendant que le second B parcourt m fois le cycle (B) dans le sens inverse.

Évaluons d'abord le travail extérieur accompli par la machine complexe pendant cette période de fonctionnement. A chaque cycle, le corps A transforme la quantité Qj — Qi de chaleur en travail; pendant toute la période, il a donc effectué

le travail

n(Q2-Qi).

Le corps B produit à chaque cycle la quantité de chaleur Q j — Q', ; il reçeît donc pendant la mêjne période une quantité de travail égale à

THÉORÈME DK CARNOT. 5j

Il en résulte que le travail extérieur accompli par la machine complexe pendant une période est égtile à la différence

cette différence est nulle d'après la relation (3). La machine complexe ne reçoit donc ni ne produit aucun travail extérieur.

Évaluons maintenant les échanges de chaleur. Le corps A, fonctionnant dans le sens direct, enlève à la source supérieure Kj, pendant la période considérée, la quantité de chaleur nQj, et porte sur la source inférieure Ki la quantité de chaleur nQ,. Le corps B, fonctionnant en sens inverse, enlève à la source Kj la quantité de chaleur mQ\, et porte sur la source Kj la quantité de chaleur mQj. La source supérieure a donc reçu la quantité de chaleur

fnQ'^ — nQ^,

et la source inférieure a perdu la quantité

Ces deux quantités de chaleur sont égales d'après l'équation (3), et elles sont positives d'après l'inégalité (4). Ainsi la machine complexe transporterait pendant chaque période une quantité de chaleur mQ\ — /lOi de la source inférieure à la source supérieure, sans aucune dépense de travail, ce qui est contraire à la loi expérimentale dont nous avons parlé.

On démontrerait de même que le second rapport ne peut être plus grand que le premier; ces deux rapports sont donc égaux et l'on a

=: TTT ou