Des rapports égaux

on déduit

Ainsi, on peut énoncer le théorème précédent en disant quCj

pour tous les corps fonctionnant suivant des cycles de Carnot

entre les mêmes limites de température, le rapport ^r ^^ ^^

quantité de chaleur puisée à la source supérieure à la quantité de chaleur versée sur la source inférieure est constant.

Ce rapport est le même pour tous les corps; il est indépendant des lignes adiabatiques p-i et [Xj qui forment le cycle; il dépend uniquement des températures extrêmes ^i et t^ ; c'est donc une fonction de t^ et t^ et la même fonction pour tous les corps. Nous allons nous servir de cette propriété pour déterminer la fonction intégrante X, dont nous avons démontré Texistence (n<» 53).

Détermination de la fonction intégrante.

58. De la relation ^Q =i X ^/[a, dans laquelle. X désigne une fonction des deux variables t et [jl, on déduit

Ql=:/ X(i|X, 02=/ \d[X,

la première intégration étant faite sur la ligne isotherme DC, la seconde sur la ligne isotherme AB {fig* i3). Désignons par Xi et Xj les valeurs de la fonction X aux points D et A.

Si Ton appelle X, et Xj des valeurs moyennes de X sur les lignes DC et AB, on a

et, par suite,

D'après cela, le rapport r-r est indépendant de [Aj et {Xj; c'est

une fonction de ^i et t^, la même pour tous les corps.

Supposons maintenant que les deux valeurs [Aj et {Aj diffèrent très peu Tune de l'autre (faisons {Ai = {a, ia2={a-i-^[a), et que la ligne adiabatique [Aj se rapproche indéfiniment de la ligne adiabatique [Aj, les valeurs moyennes X'^, Xj sur les arcs infiniment petits DC et AB {fig. i4) tendront vers les valeurs

THÉORÈME DE GAKNOT. 5g

y Il et X2 de la fonction X aux points D et A, et le rapport — ten-

dra vers une limite égale à —• On en conclut que le rapport

r^ des valeurs de la fonction X aux points correspondants A et

Àj

D de deux lignes isothermes t^ et ^,, c'est-à-dire aux points d'intersection de ces deux lignes par une ligne adiabatique quelconque [jl, est indépendant de {x; c'est une même fonction de ti et ^2 pour tous les corps.

Fig. 14.

59. Il résulte de là que la fonction X est égale à une même fonction /( t) de la température pour tous les corps, multipliée par une fonction de {x particulière et arbitraire pour chaque corps, c'est-à-dire que l'on a

(7) Xz=/(OXCp(}JL).

On peut vérifier d'abord que cette condition est suffisante ; car, si elle est remplie, on a

>^l— /(^i) Xcp(p.),

d'où

Le rapport xA est alors pour tous les corps une même fonçai

tion des températures ti et t^, Je dis maintenant que la fonction X est nécessairement de

cette forme. En effet, puisque le rapport r^ est indépendant

6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.

de [A et qu'il est une même fonction de ^, et t^ pour tous les

corps, le rapport -^ — -y qui est égal à ~ — i, et aussi l'expression

jouissent de la même propriété. Imaginons que les deux lignes isothermes t^ et t^ soient infiniment voisines Tune de Tautre,

et posons ^i = ^ t^z=zt-\- dt, La limite du rapport — — y- est

la dérivée partielle de la fonction X par rapport à la variable ty et Ton a

Xj A dt

On en conclut que ce dernier rapport est indépendant de [ji et qu'il est une même fonction de t pour tous les corps. Si l'on désigne par ^{t) cette fonction, on a

En intégrant par rapport à la variable t, et remarquant que la constante introduite par l'intégration est une fonction arbitraire de l'autre variable [jl, on en déduit

logx = H(0 d^ -+■ logcp({A),

X=:cp(p.)e/i(Orf^

Si l'on pose

on arrive finalement à l'expression

dans laquelle la fonction /(^) est la même pour tous les corps.

THÉORÈME DE GARNOT. 6l

Comme la fonction «p(p.) est arbitraire, on peut prendre <P({jl) = I, et Ton obtient la détermination la plus simple

Ainsi, il existe une fonction intégrante X, indépendante de (x, fonction de la température seule, et la même pour tous les corps.

Température absolue et entropie.

60. Il est naturel de se servir de cette fonction l-=f(t), qui est la même pour tous les corps, pour construire une échelle des températures, que nous appellerons échelle des températures absolues. Si Ton désigne par T la température absolue, ceci revient à poser T = X.

La relation -^ =: ^[x devient

La quantité (x, qui correspond à la détermination simple l—f{t) de la fonction intégrante, est une fonction de Télat du corps, fonction particulière à chaque substance, et qui joue un rôle important dans Tétude de ses propriétés physiques ; M. Clausius lui a donné le nom d*entropie, parce qu'elle préside en quelque sorte au jeu des transformations. D'après cela, les lignes adiabatiques seront appelées lignes isentropiques , c'està-dire lignes d'égale entropie.

La quantité de chaleur absorbée ou dégagée dans une transformation infiniment petite est

(10) dQ — Td^K;

pour une transformation quelconque, elle est donnée par l'intégrale

Q = J T dix,

évaluée suivant la ligne de transformation. Sur une ligne isotherme, la température étant constante, on a

Ainsi , la quantité de chaleur nécessaire pour opérer une transformation à température constante est égale au produit de la température absolue par la variation de V entropie.

Dans le cycle de Carnot, les quantités de chaleur

relatives aux deux côtés AB et DC {fig, i3), sont proportionnelles aux températures absolues Tj et ïj. La quantité de chaleur convertie en travail

(12) Q2-Qi=:(T,-T0'({ii2-{^i)

est égale au produit de la différence des températures par la différence des entropies; ce produit mesure Taire du cycle ABCD. On en déduit

Ainsi, dans le jeu direct de la machine, le rapport de la quantité de chaleur convertie en travail à la quantité de chaleur fournie par le foyer est égal au rapport de la différence des températures absolues à la température absolue du foyer,

61. Voici comment on peut concevoir la graduation de Téchelle des températures absolues. Ayant choisi un corps

Fig. i5.

particulier comme thermomètre, on affectera à une ligne isotherme, prise à volonté, un nombre To arbitraire {fig. i5) et à une ligne isentropique, prise aussi à volonté, un autre nombre

THÉORÈME DE CÀRNOT.

arbitraire jj-o; partant du point d'intersection Ao de ces deux lignes, on parcourra sur la ligne Tq un arc AqBo, tel que la quantité de chaleur nécessaire à la transformation soit égale à To; d'après la relation (ii), la variation de Fentropie sera égale à Tunité, et par conséquent Fentropie au point Bo sera [jLo -t- 1 ; on tracera la ligne isentropique passant par le point Bq. Pour avoir la température T relative à une ligne isotherme quelconque AM, on déterminera la quantité de chaleur Q nécessaire à la transformation suivant la portion AB de cette ligne isotherme qui est comprise entré. les deux lignes isentropiques fxo et {jlo -H i; d'après la relation (i i), on a T = Q.

De même, pour avoir Tentropie fi. relative à une ligne isentropique quelconque MqM, coupant la ligne isotherme Tq au point Mo, on déterminera la quantité de chaleur Q' nécessaire à la transformation Ao Mo sur cette ligne isotherme; de la relation Q'z=: To([A— {Xo) on déduira la valeur de {x. On obtient ainsi, par des mesures calorimétriques, la température absolue T et Tentropie \l du corps, dans un état quelconque M.

Si Ton veut graduer l'échelle des températures absolues par

Fig. 16.

To-l

degrés successifs, on déterminera sur la ligne isentropique {x^ (fig. 16), d'un côté des points A„ Aj, ... tels que les quantités

de chaleur nécessaires aux transformations Al Bj, A2B2, . . . sur les lignes isothermes passant par ces points^ entre les deux lignes isen tropiques [a^ et jx© -t- 1, soient égales respectivement à To -H I, To H- 2, . . . , de Tautre côté des points A i, A 2, . . . , tels que les quantités de chaleur nécessaires aux transformations analogues A iB,, A 2B 2, ... soient respectivement égales à To — I , To — 2, . . . .

En prenant sur la ligne isotherme To, de part et d'autre du point Ao, des arcs AqBo, BqCo, . . ., AoB'o, B',,Cq, . . ., tels que la quantité de chaleur relative à chacun d'eux soit égale à To, on graduera de môme la suite des lignes isentropiques [Aq -H i,

[Aq -H 2 , • • • , [Ao I , JAq — - 2 , . . . .

Remarquons que les deux séries de lignes forment un réseau de parallélogrammes curvilignes équivalents; car Taire de chacun d'eux est égale à (Tj — Ti) ({Aj— [Xj), c'est-à-dire à l'unité, puisque les deux différences Tj — Ti, [Aj — {Xj sont égales à l'unité.

62. Zéro absolu de la température. — Sur une ligne isotherme particulière, par exemple celle qui correspond à la glace fondante, nous avons mis un nombre positif arbitraire Tq, puis, par des mesures calorimétriques, nous avons déterminé la série des températures croissantes et celle des températures décroissantes.

Les considérations mécaniques semblent prouver que, tandis que la partie ascendante de l'échelle des températures se prolonge à l'infini, la partie descendante s'arrête à une certaine limite, au-dessous de laquelle elle ne peut descendre. Quand une machine fonctionne suivant un cycle de Carnot {Jig. i3), entre deux lignes isentropiques données [Xi et fx,, l'entropie [Xj étant plus grande que [x,, si la température Tj du foyer est constante, la quantité de chaleur transformée en travail Q2 — Qi = (T2 — Tj) (fX2 — [Xi) est d'autant plus grande que la température Tj du réfrigérant est plus basse. Si la température absolue Tj du réfrigérant était égale à zéro, la quantité de chaleur Q, versée sur le réfrigérant étant nulle, toute la chaleur Q2 fournie par le foyer serait convertie en travail. Il n'existe pas de température inférieure à cette température absolue zéro, car, si elle existait, elle serait représentée par un

THËORÈIHE DE CÀRNOT. 65

nombre négatif —- T'^ ; sur la ligne isotherme CD, la machine absorberait une quantité de chaleur Q'^ z=: Tj ({Xj — [Xj), et la source inférieure jouerait aussi le rôle de foyer. Imaginons deux machines accouplées, formées par un même corps. Tune directe fonctionnant suivant un cycle de Carnot entre les deux températures T,= o et Ti~ — T^, Tautre inverse fonctionnant aussi suivant un cycle de Carnot entre les deux températures T2 = T\ et Ti m o et les mêmes lignes isentropiques [i-i et [JL2 que la précédente. La première prendrait à la source inférieure Ki une quantité de chaleur Tj([Aj— ^Xi) qu'elle transformerait en travail ; ce travail ferait marcher la seconde machine, qui créerait alors une quantité de chaleur égale se versant sur la source supérieure Kg. De cette manière, la chaleur passerait de la source inférieure à la source supérieure sans dépense de fi'avail, ce qfti est contraire à la loi admise précédemment (n'* ^). Ainsi, dans Féchelle des températures absolues, il n'existe pas de température inférieure à * zéro ; cette température zéro est le zéro absolu.

63. Remarques sur V entropie. — La température.T et la pression p affectent également tous les corps, quelle que soit leur nature; car, dansFétat d'équilibre, la température est la même, ainsi que la pression. Mais, dans les mêmes conditions de température et de pression, le volume spécifique et Tentropie spécifique, c'est-à-dire le volume et l'entropie pour l'unité de poids, sont des quantités spéciales à chaque substance. Pour des poids différents d'une même substance homogène, le volume et l'entropie sont proportionnels aux poids. Le volume d'un système de corps est la somme des volumes de ces différents corps. De même, l'entropie d'un système de corps est la somme des entropies de ces différents corps.

Lorsque deux corps sont à la même température T et qu'une quantité infiniment petite de chaleur dQ passe de l'un à l'autre,

la diminution d'entropie -7^ du premier étant égale à l'augmentation d'entropie du second, l'entropie totale reste constante. Mais, lorsque les deux corps sont à des températures différentes Tj et Tj, la chaleur passe du corps qui est à la température la plus élevée T, à l'autre corps; pendant un temps

B. — Chaleur. 5

infiniment petit, Tentropie du premier corps diminue de la quantité ^, tandis que celle du second augmente d'une

quantité plus grande 7^-; l'entropie du système éprouve donc

une augmentation égale à ( =; ^r ) ^Q- Ainsi, la libre communication de la chaleur entre les corps a pour effet d'augmenter progressivement l'entropie totale du système. Quand le système considéré n'est en communication calorifique avec aucun corps extérieur, c'est-à-dire quand la chaleur totale contenue dans le système reste constante, l'erttropie du système tend vers une valeur maximum, qui correspond à l'élat d'équilibre de la température. •

IJanslejeu d'une machine thermigue réversible, la communication de chaleur se faisant à chjque instant entre la machine • et un corps extérieur qui est à la même température que la machine, l'eQtropie du système reste constante. En particulier, si la machine fonctionne suivant un cycle de Carnot dans le sens direct, l'entropie du corps K2 éprouve une diminution

~^} celle du corps Ki une augmentatioij égale ~^'

64. * Analogies mécaniques. — Sous sa forme primitive (n<» 32 ), nous avons énoncé le théorème général des forces vives, en disant que la variation de l'énergie d'un système matériel quelconque est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui s'exercent sur lui, plus la quantité de chaleur qu'il reçoit. La quantité de travail S' et la quantité de chaleur Q, reçues par le système, entrent de la même manière dans l'équation des forces vives AU=S'-t-Q. Lorsqu'un corps est soumis à une pression uniforme/?, ou à une traction uniforme — /?, sur toute sa surface, le travail reçu par le corps, pendant une transformation infiniment petite, est6/S' = — d^=i-^pdi^; la quantité de chaleur reçue par le corps, pendant la même transformation, d'après la relation fondamentale déduite du théorème de Carnot, est dQ^=:Tdii., On voit que, dans les expressions dQ:=Td[i., dS'=:: — pd{^ de ces deux quantités mécaniquement équivalentes, la température absolue T et la