MN MN

fonction des deux variables indépendantes œ Qi t\ ^ous la représenterons par %z=ij{œy t). Quand on considérera les positions successives d'un même plan M pendant le mouvement, on regardera x comme constante et t comme variable ; quand on considérera les positions simultanées de toutes les tranches au même instant, on regardera au contraire t comme constant et X comme variable. Pour avoir le déplacement NN' du

plan N au temps ^, il suffit de remplacer x par x-^h dans la fonction y (^, t)y ce qui donne

NN'=/(^ + lu t) =f{x, t) 4-/;(^, t)h = l^^h,

en négligeant les quantités infiniment petites du second ordre. L'épaisseur de la tranche MN est devenue

]VrN'= MN' — MM'=: MN -+- NN' — MM'=: h-h^ h;

le rapport des volumes spécifiques v et ^i de la tranche pendant le mouvement et dans l'état d'équilibre étant égal à celui des volumes de la tranche elle-même, ou à celui des épaisseurs M'N' et MN, a pour limite, quand h tend vers zéro.

Le coefficient de dilatation de la tranche pendant le mouvement est

t'i dx

La dilatation ou la contraction de la tranche pendant le mouvement vibratoire s'opérant très rapidement, de manière que la chaleur n'a le temps ni d'entrer ni de sortir, la pression variable p est la fonction du volume spécifique

qui se rapporte à une transformation isentropique. L'équation (19) donne le volume spécifique ('dans le plan mobile M' au temps £; c'est une fonction des deux variables x eXt ; l'équation (20) donne ensuite la pression correspondante p au même instant. Pour avoir le volume spécifique i^' et la pression/?' au même instant dans le plan mobile N', qui était primitivement en N à une distance h du premier, il suffit de remplacer x par x -\' h en laissant t constant; on a alors

et si Ton remarque que, d'après Téqualion (19), la dérivée partielle -j~ est égale à t'i ^-^j il vient

Si l'on appelle A l'aire de la section droite du cylindre, le volume de la tranche MN est A/i, sa masse A/ipi. Dans la position M'N' qu'elle occupe au temps t, elle est sollicitée par deux forces extérieures, la pression Ap qui s'exerce sur sa face M' dans le sens positif, et la pression Ap' qui s'exerce sur sa face N' en sens contraire. En appliquant à cette tranche le théorème général de Mécanique sur la somme des quantités de mouvement (n° 11), on a l'équation

A/ip.^^ = A(/>-/,') = - Ar,F'(r) g A, ou plus simplement

dt* pi dx*

Jusqu'ici nous n'avons fait aucune hypothèse sur la grandeur du déplacement 5 de chaque tranche; si l'on suppose ce déplacement très petit, ce qui a lieu dans les mouvements vibratoires qui produisent le son, on pourra dans l'équation (21) négliger les quantités petites du second ordre, c'est-à-dire le carré de $, et par conséquent dans F'(i') remplacer t^par t^i; l'équation se réduit alors à une équation linéaire

dt^ pi âx'^'

Si l'on remarque que l'élasticité suivant une ligne isentropique est

elle prend la forme

^^^^ dt' — pi àx^'

rélaslicité Epi se rapportant à l'état d'équilibre.